大学学习资料：矩阵论习题.doc

1、矩阵论习题1.在4R中，求向量x在基,4321下的坐标。设T11111，T11112，T11113，T11114；Tx1121.2.已知3R中的两个基：100,110,0111B，1011101112,B.(1).求1B到2B的基变换矩阵；(2).求在1B，2B下有相同坐标的所有向量。3.设4R中的向量01211x，11112x，10123x，73114x分别张成子空间211,xxspanw 和432,xxspanw 。求21ww 及21ww 的基和维数。4.设1V和2V分别是齐次方程组021nxxx和nxxx21的解空间，证明：21VVRn。5. 设,4321是4R的 一 个 基 ，,212

2、11 spanV，,41432 spanV，证明：214VVR.6. 设1T是nV到mV的线性变换，2T是mV到rV的线性变换， 定义nV到rV的变换12TT 为nVTTTT),()(1212。证明，12TT 是线性变换。7.已知3R的线性变换T在基1101011111,B下的矩阵是101210111，求T在基2111011112,B下的矩阵。8.V的变换T称为可逆的，如果存在V的变换S，使ITSST。这时S称为T的逆变换，记为1T，证明（1）若线性变换T是可逆的，则1T也是线性变换；（2）T的特征值一定不为零；（3）若是T的特征值，则1是1T的特征值。又若T在基B下的矩阵是A，那么1T在B下

3、的矩阵是什么？9.设T是复数域上线性空间V的线性变换，已知V的基B和T在B下的矩阵A如下，求T的特征值和特征向量：（1）321B，221111122A；（2）10 11,B，2543A.10.求下列方阵的最小多项式：31313，01121413，011211141113，4143122.11.满足下述条件的方阵A是否可对角化？（1）A是幂零矩阵；（2）)(2kIAk；（3）IAA22.12.已知100221212A，求IAAAAAAg23468439)(.13. 下述的)(f，)(m分别表示矩阵A的特征多项式和最小多项式，确定A的可能的Jordan标准形：(1).24)3()2()(f，22)3()2()(m(2).33)2()3()(f，)2()3()(2m14. 求可逆矩阵P，使APP1为Jordan矩阵，其中：022122113A。15. 设4V是由函数xe，xxe，xex2，xe2张成的线性空间，求4V的线性变换dxdD 的Jordan标准形。