《概率》全册配套课件.ppt

1、2022-1-161概率全册配套课件概率全册配套课件2022-1-162 随随 机机 事事 件件 与与 随随 机机 变变 量量2022-1-1621 试验试验是对自然现象进行的观察和各种科学实验是对自然现象进行的观察和各种科学实验. .随机试验的随机试验的特点特点: : 随机试验随机试验是对随机现象所进行的观察和实验是对随机现象所进行的观察和实验. .常见随机试验常见随机试验(1) 可在相同条件下重复进行可在相同条件下重复进行; (2) 可以弄清试验的全部可能结果可以弄清试验的全部可能结果;(3) 试验前不能预言将出现哪一个结果试验前不能预言将出现哪一个结果。2022-1-163 随随 机机

2、事事 件件 与与 随随 机机 变变 量量2022-1-163电话呼叫试验电话呼叫试验抛硬币抛硬币其它试验其它试验 随机事件随机事件就是在随机试验中可能发生也可能就是在随机试验中可能发生也可能 不发生的事情不发生的事情, ,简称简称事件事件。必然事件必然事件：随机试验中：随机试验中肯定发生肯定发生的事件的事件, ,记为记为 。不可能事件不可能事件：随机试验中：随机试验中肯定不发生肯定不发生的事件，的事件， 记为记为。 在概率统计中用大写字母在概率统计中用大写字母 A A, , B B, , C C 以及以及 A A1 1, , A A2 2, , A An n , , 等表示事件。等表示事件。2

3、022-1-164 随随 机机 事事 件件 与与 随随 机机 变变 量量2022-1-164基本事件基本事件: : 在一次试验中在一次试验中必发生一个且仅发生一个的必发生一个且仅发生一个的 最简单事件最简单事件. .注意注意: :基本事件具有基本事件具有相对性相对性。复合事件复合事件：由若干基本事件组合而成的事件：由若干基本事件组合而成的事件。基本事件基本事件可理解为可理解为“不能再分解不能再分解”的事件的事件。抛硬币抛硬币测量身高测量身高电话呼叫试验电话呼叫试验纸牌试验纸牌试验2022-1-165 随随 机机 事事 件件 与与 随随 机机 变变 量量2022-1-165基本事件基本事件A1单

4、点集单点集1基本事件基本事件A2单点集单点集2 一一对应一一对应将联系于试验的每一个基本事件，可以用一个包将联系于试验的每一个基本事件，可以用一个包含一个元素含一个元素的单点集来表示。的单点集来表示。 所有基本事件对应元素的全体所组成的集合所有基本事件对应元素的全体所组成的集合, 称称为试验的为试验的样本空间（样本空间（）。摸球试验摸球试验抛硬币抛硬币样本空间的元素称为样本空间的元素称为样本点（样本点（）。复合事件复合事件是样本空间的一个是样本空间的一个子集子集。2022-1-166 随随 机机 事事 件件 与与 随随 机机 变变 量量2022-1-166 一次试验之后一次试验之后, 必定出现

5、基本事件中必定出现基本事件中的一个的一个, 假定它对应的样本点是假定它对应的样本点是, 对任对任意事件意事件A, 若若A, 称事件称事件A 发生发生, 否则否则称称 A没有发生。没有发生。 样本空间样本空间对应的事件是必然事件对应的事件是必然事件, 空集空集对应的事件是不可能事件。对应的事件是不可能事件。 摸球试验摸球试验 为了能运用数学的手段研究随机现象为了能运用数学的手段研究随机现象, 需进一步将需进一步将所有的元素所有的元素(即样本点即样本点) 数量化。即数量化。即例例 子子( ( ) )v vXRn2022-1-167 随随 机机 事事 件件 与与 随随 机机 变变 量量2022-1-

6、167 陈碟陈碟 18349223886 2022-1-168 随随 机机 事事 件件 与与 随随 机机 变变 量量2022-1-168三、三、 随机事件的关系及运算实际上就是集合的关系随机事件的关系及运算实际上就是集合的关系及运算。及运算。(1) 包含关系包含关系 A B，即事件即事件A发生，必然导致事件发生，必然导致事件B 发生发生, 称事件称事件B包含事件包含事件A，或或A是是B 的子事件。的子事件。2022-1-169 随随 机机 事事 件件 与与 随随 机机 变变 量量2022-1-169从集合的角度：若从集合的角度：若AB如果两个事件互相包含如果两个事件互相包含, 称为事件相等。称

7、为事件相等。对任意事件对任意事件A, 有有 A 。(2) 和事件和事件事件事件A与与B 的和事件记为的和事件记为 AB从集合的角度从集合的角度: AB = |A 或或B 。 例例 子子2022-1-1610 随随 机机 事事 件件 与与 随随 机机 变变 量量2022-1-1610从随机事件角度：从随机事件角度：AB 是事件是事件 A与与B至少有一个发生至少有一个发生 .,21121这这一一事事件件至至少少有有一一个个事事件件发发生生中中表表示示nniinAAAAAAA 211.,A,AAii这这一一事事件件生生中中至至少少有有一一个个事事件件发发事事件件列列表表示示 参见例子参见例子2022

8、-1-1611 随随 机机 事事 件件 与与 随随 机机 变变 量量2022-1-1611(3) 积事件积事件事件事件A与与B 的积事件记为的积事件记为 AB 或或 AB。从集合的角度从集合的角度:AB = |A 且且B 。从随机事件角度从随机事件角度: AB 是事件是事件 A与与B同时发生同时发生 。参见例子参见例子 .,21121这一事件发生同时表示nniinAAAAAAA .,211这这一一事事件件同同时时发发生生事事件件列列表表示示AAAii2022-1-1612 随随 机机 事事 件件 与与 随随 机机 变变 量量2022-1-1612(4) 互不相容事件互不相容事件 若若 AB =

9、 , 称称 A、B为互不相容或互斥事件为互不相容或互斥事件, 即事即事件件 A、B不可能同时发生。不可能同时发生。显然显然, 与任何事件互不相容。与任何事件互不相容。 A1, A2, , An中任意两个互不相容中任意两个互不相容, 称称 n个事件个事件 A1, A2, , An互不相容（两两互斥）。互不相容（两两互斥）。 事件列事件列 A1, A2, 互不相容是指其中任意有限个事互不相容是指其中任意有限个事件互不相容。件互不相容。性质：性质：同一试验的基本事件互不相容。同一试验的基本事件互不相容。参见例子参见例子2022-1-1613 随随 机机 事事 件件 与与 随随 机机 变变 量量202

10、2-1-1613(5) 对立事件（逆事件）对立事件（逆事件） 若若 AB = , 且且 AB = , 称称 A、B 互为对立事件互为对立事件（逆事件）（逆事件）, 记为记为 B = A从随机事件角度从随机事件角度:事件事件 A不发生不发生。A显然显然, 在一次试验中在一次试验中, 与与 A 必发生且仅发生一个必发生且仅发生一个, 非此即彼。非此即彼。A从集合的角度从集合的角度: v v A,A参见例子参见例子2022-1-1614 随随 机机 事事 件件 与与 随随 机机 变变 量量2022-1-1614(6) 差事件差事件 事件事件 A与与B 之差之差 AB从随机事件角度从随机事件角度:AB

11、 是事件是事件 事件事件A发生且发生且 B不发生不发生。参见例子参见例子从集合的角度从集合的角度:B.A, |B-A且且显然有显然有A.A ,BAB-A2022-1-1615 随随 机机 事事 件件 与与 随随 机机 变变 量量2022-1-1615 甲乙两人向同一目标射击甲乙两人向同一目标射击: 设设A=甲命中目标甲命中目标,乙未命中目标乙未命中目标, 则其对立事件则其对立事件 (d): 甲未命中或乙命中甲未命中或乙命中A=( )(c): 甲未命中甲未命中(b): 甲乙均命中甲乙均命中(a): 甲未命中且乙命中甲未命中且乙命中2022-1-1616 随随 机机 事事 件件 与与 随随 机机

12、变变 量量2022-1-1616 (7) 随机事件（集合）运算律随机事件（集合）运算律德德 摩根律摩根律:交换律交换律:AB= BA，AB=B A。结合律结合律: (AB)C=A(BC）;(AB)C=A(BC)。分配律分配律: (AB)C=(AC)(BC) ; (AB)C=(AC)(BC) (A-B)C=(AC)-(BC)吸收律吸收律:A.ABB,BAB,A则如果参见例子参见例子 例例 题题2022-1-1617E1E1 从从1010个标有号码个标有号码 1, 2, 1, 2, 10 , 10 的小球中任取一的小球中任取一个个, , 记录所得小球的号码记录所得小球的号码. .123109876

13、54?随随 机机 试试 验验2022-1-1618E2E2 抛一枚硬币，将会出现正面还是反面？抛一枚硬币，将会出现正面还是反面？随随 机机 试试 验验2022-1-1619E5 E5 检验出检验出N N件产品中的次品。件产品中的次品。E6 E6 测量某团体人员的身高。测量某团体人员的身高。E4 E4 测量某零件长度测量某零件长度x x和直径和直径y y所产生的误差。所产生的误差。E3 E3 仪器上某种型号的电子元件使用时间已达仪器上某种型号的电子元件使用时间已达300300小时，小时， 检测该元件还能使用多少小时？检测该元件还能使用多少小时？随随 机机 试试 验验2022-1-1620E1:

14、E1: 某电话总台一天接到的呼叫次数某电话总台一天接到的呼叫次数 . .A A = = 呼叫次数呼叫次数为偶数为偶数 ；B B = = 呼叫次数呼叫次数为奇数为奇数 ； C C = = 呼叫次数呼叫次数大于大于 3 3； A Ai = = 呼叫次数呼叫次数为为i , , i =0,1,2, =0,1,2, 等等等等; ; 都是随机事件。都是随机事件。 =呼叫次数呼叫次数不小于不小于0 0 是必然事件是必然事件, , f f=呼叫次数呼叫次数小于小于0 0 是不可能事件。是不可能事件。随随 机机 事事 件件2022-1-1621E2 E2 抛一枚硬币，观察其出现正面抛一枚硬币，观察其出现正面H

15、H和反面和反面T T的情况。的情况。在试验中，若根据硬币出现正面或反面来决定球在试验中，若根据硬币出现正面或反面来决定球赛的首发权，把硬币赛的首发权，把硬币“出现正面出现正面H H”和和“出现反面出现反面T T”这这两个可能结果看成随机事件。两个可能结果看成随机事件。故有：故有：A A=出现正面出现正面 ， B B=出现反面出现反面 。由于试验的目的，硬币沿什么方向滚动等结果将由于试验的目的，硬币沿什么方向滚动等结果将不被看成随机试验。不被看成随机试验。随随 机机 事事 件件2022-1-1622E3 E3 检验出检验出N N件产品中的次品。件产品中的次品。E4 E4 测量某团体人员的身高。测

16、量某团体人员的身高。随机事件有：随机事件有：A A=检验到正品检验到正品 ； B B=检验到次品检验到次品 ，等等。等等。用用X X表示人的身高，表示人的身高， X = = x 表示表示“人的身高为人的身高为x m m”则有：则有： X X = = x x 0， X X 0 0 ， X X 1.5 1.70 1.70 等等都是随机事件。等等都是随机事件。随随 机机 事事 件件2022-1-1623基本事件基本事件复合复合事件事件复合事件复合事件E1: E1: 某电话总台一天接到的呼叫次数某电话总台一天接到的呼叫次数 . .A A = = 呼叫次数呼叫次数为偶数为偶数 ；B B = = 呼叫次数

17、呼叫次数为奇数为奇数 ； C C = = 呼叫次数呼叫次数大于大于 3 3； A Ai = = 呼叫次数呼叫次数为为i , , i =0,1,2, =0,1,2, =呼叫次数呼叫次数不小于不小于0 0 是必然事件是必然事件, , f f=呼叫次数呼叫次数为为1.2 1.2 是不可能事件。是不可能事件。基基 本本 事事 件件2022-1-1624例例2 抛一枚硬币，观察其出现正面抛一枚硬币，观察其出现正面H和反面和反面T的情况。的情况。在试验中，若根据硬币出现正面或反面来决定球在试验中，若根据硬币出现正面或反面来决定球赛的首发权，把硬币赛的首发权，把硬币“出现正面出现正面H”和和“出现反面出现反

18、面T”这两个可能结果看成随机事件。这两个可能结果看成随机事件。故有：故有：A=出现正面出现正面， B=出现反面出现反面。基本事件基本事件基基 本本 事事 件件2022-1-1625例例4 4 测量某团体人员的身高。测量某团体人员的身高。 用用X表示人的身高，表示人的身高， X = = x 表示表示“人的身高为人的身高为x m ”则有：则有： X = = x x x00， X 0 0 ， X 1.5 1.70 1.70 等等都是随机事件。等等都是随机事件。基本事件基本事件 若测量人的身高是为了判断乘车购票与否，则仅若测量人的身高是为了判断乘车购票与否，则仅有三个基本事件：有三个基本事件：A=A=

19、购全票购全票 ，B=B=购半票购半票 ，C=C=免票免票 。复合事件复合事件 基基 本本 事事 件件 的的 相相 对对 性性2022-1-1626例：从例：从52张扑克中任意抽取一张。张扑克中任意抽取一张。 2C.2H.HKHA2S.SKSA 2）不考虑花色）不考虑花色其基本事件集合为：其基本事件集合为： 2.KA 3）考虑花色但不考虑点数）考虑花色但不考虑点数 其基本事件集合为：其基本事件集合为： CDHS 基基 本本 事事 件件 的的 相相 对对 性性1）考虑其点数及其花色。）考虑其点数及其花色。 基本事件集合为：基本事件集合为：2022-1-1627E1 E1 从从 10 10个标有号码

20、个标有号码 1, 2, 1, 2, 10 , 10 的小球中任取一个的小球中任取一个, , 记录所得小球的号码记录所得小球的号码, , 这就是一个随机试验。这就是一个随机试验。A A = = 取得的小球号码为偶数取得的小球号码为偶数 ，B = B = 号码为奇数号码为奇数 , , C = C = 号码大于号码大于 3 3；A Ai i = = 号码为号码为 i i , , i i = 1, 2, = 1, 2, , 10 , 10 等等等等; ; 都是随机事件。都是随机事件。基本事件：基本事件：A Ai =号码为号码为i =i i=i , ,i =1,2, =1,2,10,10。复合事件：复合

21、事件：A A = =号码为偶数号码为偶数=2,4,6,8,10=2,4,6,8,10B B = =号码为奇数号码为奇数=1,3,5,7,9=1,3,5,7,9；C C = =号码大于号码大于3=4,5,6,7,8,9,103=4,5,6,7,8,9,10。事事 件件 的的 集集 合合 表表 示示2022-1-1628=号码不超过号码不超过10 =1,2,3,4,5,6,7,8,9,1010 =1,2,3,4,5,6,7,8,9,10此此即为样本空间，是一个必然事件。即为样本空间，是一个必然事件。f f=号码等于号码等于0 0 ， 它不包含任何基本事件它不包含任何基本事件 ，从而，从而不包含任何

22、样本点，是不可能事件。不包含任何样本点，是不可能事件。.02,4,6,8,1 A 号码为偶数号码为偶数.1,3,5,7,9 B号码为奇数号码为奇数事事 件件 的的 集集 合合 表表 示示2022-1-1629E2 E2 抛一枚硬币，观察其出现正面抛一枚硬币，观察其出现正面H H和反面和反面T T的情况。的情况。A A=出现正面出现正面 ，B B=出现反面出现反面 。基本事件基本事件我们可以令我们可以令A A=出现正面出现正面=H H ，B B=出现反面出现反面=T T 。而样本空间而样本空间=H H，T T 。事事 件件 的的 集集 合合 表表 示示2022-1-1630E5 E5 检验检验N

23、 N 件产品中的次品数。件产品中的次品数。E4 E4 测量某零件长度测量某零件长度x x和直径和直径y y所产生的误差。所产生的误差。E2 E2 抛一枚硬币，观察其出现正面抛一枚硬币，观察其出现正面H H和反面和反面T T的情况。的情况。若用若用X X 表示抛一次硬币时出现正面的次数，则表示抛一次硬币时出现正面的次数，则X X( (H H )=1)=1，X X( (T T )=0)=0。若用若用Y Y表示检查表示检查N N件产品中的次品数，我们有件产品中的次品数，我们有Y Y( (k k)=)=k k 。则则生的误差生的误差和直径所产和直径所产分别表示测量零件长度分别表示测量零件长度和和用用,

24、yxee,),(+yxyxeeee事事 件件 的的 数数 字字 化化2022-1-1631BA从集合的角度从集合的角度参见参见示图示图例例 从从 10个标有号码个标有号码 1, 2, 10 的小球中任取一个的小球中任取一个, 记录所得小记录所得小球的号码。球的号码。A = 球的号码为球的号码为4的倍数的倍数=4，8, B = 球号码为偶数球号码为偶数=2，4，6，8，10。则：则：B.A 包包 含含 关关 系系2022-1-1632BA从集合的角度从集合的角度参见参见示图示图例例 从从 10个标有号码个标有号码 1, 2, 10 的小球中任取一个的小球中任取一个, 记录所得小记录所得小球的号码

25、。球的号码。A=球的号码是不大于球的号码是不大于3的奇数的奇数=1，3, B=球的号码是不大于球的号码是不大于4的偶数的偶数=2，4C=球的号码不超过球的号码不超过4 = 1，2，3，4。则：则：CBA和和 事事 件件2022-1-1633例例 对某一目标进行射击，直至命中为止。对某一目标进行射击，直至命中为止。设：设：,2, 1,Aiii次次击击中中目目标标第第A = 击中目标击中目标；B = 前前k次击中目标次击中目标。则则1AAiik1ABii和和 事事 件件2022-1-1634从集合的角度从集合的角度参见参见示图示图例例 从从 10个标有号码个标有号码 1, 2, 10 的小球中任取

26、一个的小球中任取一个, 记录所得小记录所得小球的号码。球的号码。A=球的号码是奇数球的号码是奇数=1，3，5，7，9, B=球的号码大于球的号码大于5=6，7，8，9，10C=球的号码是球的号码是7或或9 = 7，9。则：则：CBABA积积 事事 件件2022-1-1635例例 对某一目标进行射击，直至命中为止。对某一目标进行射击，直至命中为止。设：设：D = 进行了进行了k次射击次射击；Ai = 第第i次射击命中目标次射击命中目标，i=1,2 Bi = 第第i次射击未命中目标次射击未命中目标, i=1,2 则则D=B1B2Bk-1Ak积积 事事 件件2022-1-1636事件的互斥事件的互斥

27、从集合的角度从集合的角度参见参见示图示图AB例例 从从 10个标有号码个标有号码 1, 2, 10 的小球中任取一个的小球中任取一个, 记录所得小记录所得小球的号码。球的号码。A=球的号码是奇数球的号码是奇数=1，3，5，7，9, B=球的号码是不大于球的号码是不大于4的偶数的偶数=2，4。则：则：A与与B是互不相容的事件。是互不相容的事件。2022-1-1637例例 对某一目标进行射击，直至命中为止。对某一目标进行射击，直至命中为止。设：设：Dk = 进行了进行了k次射击次射击，k=1,2Ai = 第第i次射击命中目标次射击命中目标，i=1,2 Bj = 第第j次射击未命中目标次射击未命中目

28、标, j=1,2 则：则：Dk ，k=1,2 是互不相容的事件列。是互不相容的事件列。Ai、Bi， i=1,2 是互不相容的事件列。是互不相容的事件列。事件的互斥事件的互斥2022-1-1638对对 立立 事事 件件从集合的角度从集合的角度参见参见示图示图A例例 从从 10个标有号码个标有号码 1, 2, 10 的小球中任取一个的小球中任取一个, 记录所得小记录所得小球的号码。球的号码。A=球的号码是奇数球的号码是奇数=1，3，5，7，9, B=球的号码是偶数球的号码是偶数=2，4，6，8，10。则：则：A与与B是对立事件。是对立事件。AB2022-1-1639从集合的角度从集合的角度参见参见

29、示图示图例例 从从 10个标有号码个标有号码 1, 2, 10 的小球中任取一个的小球中任取一个, 记录所得小记录所得小球的号码。球的号码。A=球的号码是奇数球的号码是奇数=1，3，5，7，9, B=球的号码不大于球的号码不大于4=1，2，3，4。则：则：A-B=5，7，9。AB差差 事事 件件2022-1-1640例例 测量某团体人员的身高。测量某团体人员的身高。用用X X表示人的身高，表示人的身高， X=xX=x表示表示“人的身高为人的身高为x x米米 ” 事件事件X1.7-X1.5X1.7-X1.5 = =1.5X1.71.5X1.7表示事件表示事件“人的身高介于人的身高介于1.51.5

30、与与1.71.7之间之间”。差差 事事 件件2022-1-1641例例 证明证明 (A-AB)B=AB证明证明:B)ABA(BAB)-(AB)BAA(BBAAABBABABBAB)BA(BBABA差事件性质差事件性质对偶律对偶律分配律分配律吸收律吸收律吸收律吸收律分配律分配律事事 件件 的的 运运 算算2022-1-1642设设A B C为三个随机事件为三个随机事件,试用试用A,B,C的运算关系的运算关系表示下列事件表示下列事件.1) A发生发生,B,C都不发生都不发生.2) A,B,C中恰有两个发生中恰有两个发生.3) A,B,C中不多于一个发生中不多于一个发生.4) A,B,C中至少有一个

31、发生中至少有一个发生.解解: 1) CBACBA ABCBACCAB2 )( () )ABCBCACAB CBACBABCACBA3 )ACBCAB BCA4 )2022-1-1643概率概率是刻划随机事件发生是刻划随机事件发生可能性大小的数量指标可能性大小的数量指标。事件事件A的概率的概率记为记为P(A) 常规定常规定 0 P(A) 1 P()=1 P() =0它不依主观它不依主观变化而变化变化而变化例如例如如何计算如何计算概率概率?摸摸 球球 试试 验验抛骰子试验抛骰子试验2022-1-1644赌徒分赌金问题赌徒分赌金问题定义定义:设设E是一个随机试验是一个随机试验,若它满足以下两个条件：

32、若它满足以下两个条件：(1)仅有仅有有限多个有限多个基本事件；基本事件；(2)每个基本事件发生的每个基本事件发生的可能性相等可能性相等。则称则称E 古典概型的试验古典概型的试验。古典概率的起源古典概率的起源 掷骰子试验掷骰子试验例如：例如：2022-1-1645定义：定义：设试验设试验E为古典概型试验，为古典概型试验，Ai，i=1,2,n是是基本事件基本事件,则由则由样本空间的样本点总数样本空间的样本点总数所含样本点的数目所含样本点的数目基本事件总数基本事件总数所含基本事件个数所含基本事件个数AAAP )(所确定的概率称为事件所确定的概率称为事件A的的古典概率古典概率.鸽笼问题鸽笼问题摸彩试验

33、摸彩试验注注：在古典概率的计算中常用到：在古典概率的计算中常用到排列组合的知识排列组合的知识， 如如乘法原理乘法原理、加法原理加法原理等等。等等。用样本空间求概率用样本空间求概率2022-1-1646古典概率具有如下三个古典概率具有如下三个性质性质：(1)对任意事件对任意事件A，有有0P (A)1；(2)P ( )=1；(3)若若A1，A2，An互不相容，则互不相容，则 miimiiAPAP11)()(思考：思考：古典概率能否解决所有的随机问题？古典概率能否解决所有的随机问题？ 抛硬币试验抛硬币试验仪器寿命试验仪器寿命试验例如：例如：2022-1-1647定义：定义：在相同条件下，进行了在相同

34、条件下，进行了n n次试验，事件次试验，事件A A发生发生了了m m次，称比值次，称比值为事件为事件A A发生的发生的频率频率。nmAfn )(频率频率从一定程度上反映了事件发生可能性的大小。它从一定程度上反映了事件发生可能性的大小。它随着随着试验的次数、试验者的不同会有所不同试验的次数、试验者的不同会有所不同。抛硬币试验抛硬币试验 频率的应用频率的应用例如：例如：注注：频率频率不是不是概率概率，但在某种意义下，频率稳定，但在某种意义下，频率稳定 于概率。于概率。2022-1-1648定义：定义：设设E的样本空间为的样本空间为 ，对于对于E的每个事件的每个事件A，均均对应于唯一一个实数，记为对

35、应于唯一一个实数，记为P(A)，其对应规则为其对应规则为 1. (非负性非负性) 对任一事件对任一事件A, 有有0P(A)1;2. (规范性规范性) P( )=1;3. (可列可加性可列可加性)E的事件列的事件列A1,A2, 互不相容互不相容,则则 11)()(iiiiAPAP由公理化定义可以得到如下重要性质由公理化定义可以得到如下重要性质:2022-1-1649基本性质基本性质:1. 不可能事件的概率为不可能事件的概率为0, 即即P(f f )=0; 2. (有限可加性有限可加性)若试验若试验E的事件组的事件组A1,A2,Am互不互不相容相容,则有则有 miimiiAPAP11)()(3.

36、对立事件概率和为对立事件概率和为1, 即即P ( A ) + P( A ) = 1;成立成立. .则有则有满足满足和和若事件若事件概率单调性概率单调性 )()()( ),()( , )( . 4APBPABPBPAPBABA 2022-1-1650概率加法定理概率加法定理: 对试验对试验E 的任意两个事件的任意两个事件A 和和B 有有P(AB ) = P(A ) + P(B ) - P(AB )BAAB概率的公理化定义及性质，为概率的计算提供了更概率的公理化定义及性质，为概率的计算提供了更完善的理论依据完善的理论依据.古典概率是公理化定义的特例古典概率是公理化定义的特例.抽检试验抽检试验例如：

37、例如： 补补 充充 例例 题题多多 除除少少 补补2022-1-1651例例1 抛一颗均匀的骰子，观察其出现的点数情况。抛一颗均匀的骰子，观察其出现的点数情况。 我们通过实践与分析可得：我们通过实践与分析可得： 出现的点数为出现的点数为1,2,3,4,5,61,2,3,4,5,6的可能性都的可能性都是相等的。是相等的。概概 率率 的的 客客 观观 性性2022-1-1652例例2 从从 10个标有号码个标有号码 1, 2, 10 的小球中任取一个的小球中任取一个, 记录所得小球的号码。记录所得小球的号码。12310987654?我们可得：摸我们可得：摸出任一号码的出任一号码的小球的可能性小球的

38、可能性是相同的，这是相同的，这是客观存在的是客观存在的事实。事实。概概 率率 的的 客客 观观 性性2022-1-1653例例3 抛一枚硬币，观察其出现正面抛一枚硬币，观察其出现正面H和反面和反面T的情况。的情况。 通过实践与分析可得：硬币出现正面的可能性通过实践与分析可得：硬币出现正面的可能性等于它出现反面的可能性。等于它出现反面的可能性。 历史上几位著名科学家的试验结果历史上几位著名科学家的试验结果:实验者实验者抛掷次数抛掷次数 出现正面次数出现正面次数m/n德德.摩根摩根204810610.5181蒲丰蒲丰404020480.5069皮尔逊皮尔逊24000120120.5005维尼维尼3

39、0000149940.4998频频 率率2022-1-1654例例4 圆周率圆周率p p 的计算。的计算。刘徽刘徽(公元公元263年，割圆术年，割圆术) p p 3927/12503.14163927/12503.1416。祖冲之祖冲之(429500) 3.1415926 p p 3.1415927 3.1415927。威廉威廉.向克斯：用向克斯：用20年时间于年时间于1872年将年将p p 算到小数算到小数后后707位位。法格逊怀疑向克斯的结果，用了一年的时间，发法格逊怀疑向克斯的结果，用了一年的时间，发现向克斯现向克斯p p 只有前只有前527位是正确的位是正确的。法格逊猜想：在法格逊猜想

40、：在p p 的数值中各数码的数值中各数码0,1,9出现的出现的可能性大小应当相等可能性大小应当相等。1973年，法国学者让年，法国学者让盖尤对盖尤对p p 的前的前100万位小数中万位小数中各数码的频率统计结果表明，尽管各数字出现也有各数码的频率统计结果表明，尽管各数字出现也有起伏，但频率都稳定于起伏，但频率都稳定于1/10。频频 率率 的的 应应 用用2022-1-1655 有两个赌徒相约赌若干局，谁先赢有两个赌徒相约赌若干局，谁先赢s 局就算赢了，局就算赢了，当赌徒当赌徒A赢赢a局局( a s )，而赌徒而赌徒B赢赢b局局( b 0，称称)()()|(BPABPBAP 为为在事件在事件B发

41、生的条件下发生的条件下，事件，事件A发生的发生的条件概率条件概率。条件概率的性质条件概率的性质:) )( () ) )( () ) )( () )( () )( () ) 1121312101iiiijiiBAPBAPjiAA,.,ifABPBAP则则且且若若f f 注意注意：由于条件概率易与概率混淆，故在应用中，：由于条件概率易与概率混淆，故在应用中，不仅会算，还要会判断问题是否涉及条件概率。不仅会算，还要会判断问题是否涉及条件概率。2022-1-1672 ：设设P ( B ) 0，则有则有 P ( AB ) = P ( B ) P ( A|B ) 若若P ( A ) 0，有有P ( AB

42、) = P ( A ) P ( B|A ).注：注：该公式是概率计算中的重要公式。关键是分清题该公式是概率计算中的重要公式。关键是分清题 目中的条件概率目中的条件概率. 更一般地有，若更一般地有，若P ( A1 A2 An-1 ) 0，则则P (A1A2An-1An) = P(A1)P(A2|A1)P(An|A1A2An-1 )空战试验空战试验例如：例如：2022-1-1673 当事件的概率计算很复杂时当事件的概率计算很复杂时,我们可以对基本事我们可以对基本事件进行分类计算件进行分类计算.有朋自远方来有朋自远方来引例引例:：设设 为随机试验为随机试验E E 的样本空间，的样本空间，B B1 1

43、，B B2 2 , , ，B Bn为为E E 的一组事件，若的一组事件，若 (1) (1) B BiB Bj = = f f ，i j； (2) B1B2 Bn= 。称称B1，B2 ，Bn 为为 的一个的一个有限划分有限划分.2022-1-1674：设随机试验：设随机试验E的样本为的样本为 ，A ， B1，B2 ，Bn 为为 的一个有限划分，且的一个有限划分，且P(Bi) 0, i = 1, 2, , n ; 则有则有 niiiBAPBPAP1)|()()(证明：证明：B1，B2 ，Bn 为为 的一个有限划分的一个有限划分 =B1B2 Bn 从而有从而有 A = A A A（ B1B2 Bn

44、）吸收律吸收律 ni=1iAB)( 分配律分配律2022-1-1675注注:该公式常用在预测推断中，又称为该公式常用在预测推断中，又称为事前概率事前概率.抽检试验抽检试验例如：例如：抽签的公平性抽签的公平性又因为又因为 (A ABi) (A ABj) = A (BiBj) = Af f = f f , , i j由概率的有限可加性由概率的有限可加性 niiniiABPABPAP11)()( )( 因为因为P(Bi) 0, i = 1, 2, , n，利用乘法公式利用乘法公式得得 niiiBAPBPAP1)|()()(2022-1-1676 某仪器有三个灯泡，烧坏第一、二、某仪器有三个灯泡，烧坏

45、第一、二、三灯泡的概率分别为三灯泡的概率分别为0.1,0.2,0.3，并且，并且相互独立。当灯泡未被烧坏时仪器正相互独立。当灯泡未被烧坏时仪器正常工作。当烧坏一个灯泡时仪器发常工作。当烧坏一个灯泡时仪器发生故障的概率为生故障的概率为0.5，两个为，两个为0.6 三个为三个为0.9 。求仪器发。求仪器发生故障的概率。生故障的概率。对此问题我们给出的划分应为：对此问题我们给出的划分应为： 3210,iiAi 个个灯灯泡泡烧烧坏坏第第 3210,iiAi 个个灯灯泡泡烧烧坏坏 思思 考：考：2022-1-1677 在应用中，我们常遇到：在已知结果已经发生在应用中，我们常遇到：在已知结果已经发生的条件

46、下，去找出最有可能导致它发生的原因。的条件下，去找出最有可能导致它发生的原因。：设随机试验：设随机试验E的样本为的样本为 ，A ， B1，B2 ，Bn 为为 的一个有限划分，且的一个有限划分，且P(Bi) 0, i = 1, 2, , n ; 则有则有 niiijjjBAPBPBAPBPABP1)|()()|()()|(证明：证明：P(Bj | A) = P(ABj )P(A)P(Bj )P(A|Bj)P(A)=2022-1-1678 贝叶斯公式用来计算事后概率。在实际应用中，贝叶斯公式用来计算事后概率。在实际应用中，如果把事件如果把事件A看成看成“结果结果”，把事件，把事件B1，B2，Bn看

47、成导致该结果的可能的看成导致该结果的可能的“原因原因”。“结果结果”发生了，发生了，P(Bj|A)即为即为“原因原因”Bj导致该结果发生的概率。导致该结果发生的概率。 实际中的例子有很多：设备维修，计算机诊病等实际中的例子有很多：设备维修，计算机诊病等等。等。病情诊断试验病情诊断试验例如：例如：2022-1-1679例例1 100件产品中有件产品中有5件不合格，其中件不合格，其中3 件是次品，件是次品，2 件件是废品，现从中任取一件，试求是废品，现从中任取一件，试求 （1）抽得废品的概率）抽得废品的概率p1; （2 2）已知抽得不合格品，它是废品的概率已知抽得不合格品，它是废品的概率p2 2。

48、解：令解：令A=抽得废品抽得废品，B=抽得不合格品抽得不合格品。有有52)|(2 BAPp1002)(1 APp注意到注意到1002)(,1005)( ABPBP有有)()(1005100252)|(BPABPBAP 条条 件件 概概 率率2022-1-1680例例2 甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为分别为0.6和和0.5，现已知目标被击中，求它被甲射中，现已知目标被击中，求它被甲射中的概率。的概率。解：令解：令A=目标被甲击中目标被甲击中，B=目标被击乙中目标被击乙中， C=目标被击中目标被击中。有有8 . 05 . 06 . 05

49、. 06 . 0)()()()()( + + + + ABPBPAPBAPCP 所求概率为所求概率为75. 08 . 06 . 0)()()()()|( CPAPCPACPCAPp条条 件件 概概 率率2022-1-1681乘乘 法法 公公 式式例例3 两架飞机进行空战，甲机首先开火，击落乙机的两架飞机进行空战，甲机首先开火，击落乙机的概率为概率为0.2，若乙机未被击落，进行还击，击落甲机的，若乙机未被击落，进行还击，击落甲机的概率为概率为0.3，若甲机又未被击落，它再次向乙机开火，若甲机又未被击落，它再次向乙机开火，并击落它的概率为并击落它的概率为0.4。试求这几个回合中。试求这几个回合中

50、（1）甲机被击落的概率）甲机被击落的概率p1； （2）乙机被击落的概率）乙机被击落的概率p2。解：设解：设A=甲机首次攻击击落乙机甲机首次攻击击落乙机 B=乙机击落甲机乙机击落甲机 C=甲机第二次攻击击落乙机甲机第二次攻击击落乙机所以有所以有 P(A)=0.2,4 . 0)|(, 3 . 0)|( BACPABP2022-1-1682 （1）甲机被击落的概率）甲机被击落的概率24. 03 . 08 . 0)|()()(1 ABPAPBAPp （2）乙机被击落的概率）乙机被击落的概率424. 0 4 . 0)3 . 01)(2 . 01 (2 . 0 + + )|()|(1)(1 )( + +