考点27：正方形.doc

1、20182018 中考数学试题分类汇编：考点中考数学试题分类汇编：考点 2727 正方形正方形一选择题（共一选择题（共 4 小题）小题）1（2018无锡）如图，已知点 E 是矩形 ABCD 的对角线 AC 上的一动点，正方形 EFGH 的顶点 G、H 都在边 AD 上，若 AB=3，BC=4，则 tanAFE 的值（）A等于B等于C等于D随点 E 位置的变化而变化【分析】根据题意推知 EFAD，由该平行线的性质推知AEHACD，结合该相似三角形的对应边成比例和锐角三角函数的定义解答【解答】解：EFAD，AFE=FAG，AEHACD，=设 EH=3x，AH=4x，HG=GF=3x，tanAFE=

2、tanFAG=故选：A2（2018宜昌）如图，正方形 ABCD 的边长为 1，点 E，F 分别是对角线 AC 上的两点，EGABEIAD，FHAB，FJAD，垂足分别为 G，I，H，J则图中阴影部分的面积等于 （）A1BCD【分析】根据轴对称图形的性质，解决问题即可；【解答】解：四边形 ABCD 是正方形，直线 AC 是正方形 ABCD 的对称轴，EGABEIAD，FHAB，FJAD，垂足分别为 G，I，H，J根据对称性可知：四边形 EFHG 的面积与四边形 EFJI 的面积相等，S阴=S正方形ABCD=，故选：B3（2018湘西州）下列说法中，正确个数有（）对顶角相等；两直线平行，同旁内角相

3、等；对角线互相垂直的四边形为菱形；对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形A1 个B2 个C3 个 D4 个【分析】根据对顶角的性质，菱形的判定，正方形的判定，平行线的性质，可得答案【解答】解：对顶角相等，故正确；两直线平行，同旁内角互补，故错误；对角线互相垂直且平分的四边形为菱形，故错误；对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形，故正确，故选：B4（2018张家界）下列说法中，正确的是（）A两条直线被第三条直线所截，内错角相等B对角线相等的平行四边形是正方形C相等的角是对顶角D角平分线上的点到角两边的距离相等【分析】根据平行线的性质、正方形的判定、矩形的判定、对顶角的性质、角平分线性质逐个判

4、断即可【解答】解：A、两条平行线被第三条直线所截，内错角才相等，错误，故本选项不符合题意；B、对角线相等的四边形是矩形，不一定是正方形，错误，故本选项不符合题意；C、相等的角不一定是对顶角，错误，故本选项不符合题意；D、角平分线上的点到角的两边的距离相等，正确，故本选项符合题意；故选：D二填空题（共二填空题（共 7 小题）小题）5 （2018武汉）以正方形 ABCD 的边 AD 作等边ADE，则BEC 的度数是30或 150【分析】分等边ADE 在正方形的内部和外部两种情况分别求解可得【解答】解：如图 1，四边形 ABCD 为正方形，ADE 为等边三角形，AB=BC=CD=AD=AE=DE，B

5、AD=ABC=BCD=ADC=90，AED=ADE=DAE=60，BAE=CDE=150，又 AB=AE，DC=DE，AEB=CED=15，则BEC=AEDAEBCED=30如图 2，ADE 是等边三角形，AD=DE，四边形 ABCD 是正方形，AD=DC，DE=DC，CED=ECD，CDE=ADCADE=9060=30，CED=ECD=（18030）=75，BEC=36075260=150故答案为：30或 1506（2018呼和浩特）如图，已知正方形 ABCD，点 M 是边 BA 延长线上的动点（不与点 A 重合），且 AMAB，CBE 由DAM 平移得到若过点 E 作 EHAC，H 为垂足

6、，则有以下结论：点 M 位置变化，使得DHC=60时，2BE=DM；无论点 M 运动到何处，都有 DM=HM；无论点 M 运动到何处，CHM 一定大于 135其中正确结论的序号为【分析】先判定MEHDAH（SAS），即可得到DHM 是等腰直角三角形，进而得出 DM=HM；依据当DHC=60时，ADH=6045=15，即可得到 RtADM 中， DM=2AM， 即可得到 DM=2BE； 依据点 M 是边 BA 延长线上的动点 （不与点 A 重合），且 AMAB，可得AHMBAC=45，即可得出CHM135【解答】解：由题可得，AM=BE，AB=EM=AD，四边形 ABCD 是正方形，EHAC，E

7、M=AH，AHE=90，MEH=DAH=45=EAH，EH=AH，MEHDAH（SAS），MHE=DHA，MH=DH，MHD=AHE=90，DHM 是等腰直角三角形，DM=HM，故正确；当DHC=60时，ADH=6045=15，ADM=4515=30，RtADM 中，DM=2AM，即 DM=2BE，故正确；点 M 是边 BA 延长线上的动点（不与点 A 重合），且 AMAB，AHMBAC=45，CHM135，故正确；故答案为：7（2018青岛）如图，已知正方形 ABCD 的边长为 5，点 E、F 分别在 AD、DC上，AE=DF=2，BE 与 AF 相交于点 G，点 H 为 BF 的中点，连接

8、 GH，则 GH 的长为【分析】 根据正方形的四条边都相等可得 AB=AD， 每一个角都是直角可得BAE=D=90，然后利用“边角边”证明ABEDAF 得ABE=DAF，进一步得AGE=BGF=90，从而知 GH=BF，利用勾股定理求出 BF 的长即可得出答案【解答】解：四边形 ABCD 为正方形，BAE=D=90，AB=AD，在ABE 和DAF 中，ABEDAF（SAS），ABE=DAF，ABE+BEA=90，DAF+BEA=90，AGE=BGF=90，点 H 为 BF 的中点，GH=BF，BC=5、CF=CDDF=52=3，BF=，GH=BF=，故答案为：8 （2018咸宁）如图，将正方形

9、 OEFG 放在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点 E 的坐标为（2，3），则点 F 的坐标为（1，5）【分析】结合全等三角形的性质可以求得点 G 的坐标，再由正方形的中心对称的性质求得点 F 的坐标【解答】解：如图，过点 E 作 x 轴的垂线 EH，垂足为 H过点 G 作 x 轴的垂线EG，垂足为 G，连接 GE、FO 交于点 O四边形 OEFG 是正方形，OG=EO，GOM=OEH，OGM=EOH，在OGM 与EOH 中，OGMEOH（ASA）GM=OH=2，OM=EH=3，G（3，2）O（，）点 F 与点 O 关于点 O对称，点 F 的坐标为 （1，5）故答案是：（1，5）9（2018

10、江西）在正方形 ABCD 中，AB=6，连接 AC，BD，P 是正方形边上或对角线上一点，若 PD=2AP，则 AP 的长为2 或 2或【 分 析 】 根 据 正 方 形 的 性 质 得 出 AC BD ， AC=BD ， OB=OA=OC=OD ，AB=BC=AD=CD=6，ABC=90，根据勾股定理求出 AC、BD、求出 OA、OB、OC、OD，画出符合的三种情况，根据勾股定理求出即可【解答】解：四边形 ABCD 是正方形，AB=6，ACBD，AC=BD，OB=OA=OC=OD，AB=BC=AD=CD=6，ABC=DAB=90，在 RtABC 中，由勾股定理得：AC=6，OA=OB=OC=

11、OD=3，有三种情况：点 P 在 AD 上时，AD=6，PD=2AP，AP=2；点 P 在 AC 上时，设 AP=x，则 DP=2x，在 RtDPO 中，由勾股定理得：DP2=DO2+OP2，（2x）2=（3）2+（3x）2，解得：x=（负数舍去），即 AP=；点 P 在 AB 上时，设 AP=y，则 DP=2y，在 RtAPD 中，由勾股定理得：AP2+AD2=DP2，y2+62=（2y）2，解得：y=2（负数舍去），即 AP=2；故答案为：2 或 2或10（2018潍坊）如图，正方形 ABCD 的边长为 1，点 A 与原点重合，点 B 在 y轴的正半轴上，点 D 在 x 轴的负半轴上，将正

12、方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 30至正方形 ABCD的位置， BC与 CD 相交于点 M， 则点 M 的坐标为 （1，） 【分析】连接 AM，由旋转性质知 AD=AB=1、BAB=30、BAD=60，证 RtADMRtABM 得DAM=BAD=30，由 DM=ADtanDAM 可得答案【解答】解：如图，连接 AM，将边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 30得到正方形 ABCD，AD=AB=1，BAB=30，BAD=60，在 RtADM 和 RtABM 中，RtADMRtABM（HL），DAM=BAM=BAD=30，DM=ADtanDAM=1=，点 M 的坐标为（1，）

13、，故答案为：（1，）11（2018台州）如图，在正方形 ABCD 中，AB=3，点 E，F 分别在 CD，AD 上，CE=DF，BE，CF 相交于点 G若图中阴影部分的面积与正方形 ABCD 的面积之比为 2：3，则BCG 的周长为+3【分析】根据面积之比得出BGC 的面积等于正方形面积的，进而依据BCG的面积以及勾股定理，得出 BG+CG 的长，进而得出其周长【解答】解：阴影部分的面积与正方形 ABCD 的面积之比为 2：3，阴影部分的面积为9=6，空白部分的面积为 96=3，由 CE=DF，BC=CD，BCE=CDF=90，可得BCECDF，BCG 的面积与四边形 DEGF 的面积相等，均

14、为3=，设 BG=a，CG=b，则ab=，又a2+b2=32，a2+2ab+b2=9+6=15，即（a+b）2=15，a+b=，即 BG+CG=，BCG 的周长=+3，故答案为：+3三解答题（共三解答题（共 6 小题）小题）12（2018盐城）在正方形 ABCD 中，对角线 BD 所在的直线上有两点 E、F 满足 BE=DF，连接 AE、AF、CE、CF，如图所示（1）求证：ABEADF；（2）试判断四边形 AECF 的形状，并说明理由【分析】（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定证明即可；（2）四边形 AECF 是菱形，根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可判断；【解答】证明：（1）正方形

15、ABCD，AB=AD，ABD=ADB，ABE=ADF，在ABE 与ADF 中，ABEADF（SAS）；（2）连接 AC，四边形 AECF 是菱形理由：正方形 ABCD，OA=OC，OB=OD，ACEF，OB+BE=OD+DF，即 OE=OF，OA=OC，OE=OF，四边形 AECF 是平行四边形，ACEF，四边形 AECF 是菱形13 （2018吉林） 如图， 在正方形 ABCD 中， 点 E， F 分别在 BC， CD 上， 且 BE=CF，求证：ABEBCF【分析】根据正方形的性质，利用 SAS 即可证明；【解答】证明：四边形 ABCD 是正方形，AB=BC，ABE=BCF=90，在ABE

16、 和BCF 中，ABEBCF14（2018白银）已知矩形 ABCD 中，E 是 AD 边上的一个动点，点 F，G，H 分别是 BC，BE，CE 的中点（1）求证：BGFFHC；（2）设 AD=a，当四边形 EGFH 是正方形时，求矩形 ABCD 的面积【分析】（1）根据三角形中位线定理和全等三角形的判定证明即可；（2）利用正方形的性质和矩形的面积公式解答即可【解答】解：（1）点 F，G，H 分别是 BC，BE，CE 的中点，FHBE，FH=BE，FH=BG，CFH=CBG，BF=CF，BGFFHC，（2）当四边形 EGFH 是正方形时，可得：EFGH 且 EF=GH，在BEC 中，点，H 分别

17、是 BE，CE 的中点，GH=，且 GHBC，EFBC，ADBC，ABBC，AB=EF=GH=a，矩形 ABCD 的面积=15（2018潍坊）如图，点 M 是正方形 ABCD 边 CD 上一点，连接 AM，作 DEAM 于点 E，BFAM 于点 F，连接 BE（1）求证：AE=BF；（2）已知 AF=2，四边形 ABED 的面积为 24，求EBF 的正弦值【分析】（1）通过证明ABFDEA 得到 BF=AE；（2）设 AE=x，则 BF=x，DE=AF=2，利用四边形 ABED 的面积等于ABE 的面积与ADE 的面积之和得到xx+x2=24， 解方程求出 x 得到 AE=BF=6， 则 EF

18、=x2=4，然后利用勾股定理计算出 BE，最后利用正弦的定义求解【解答】（1）证明：四边形 ABCD 为正方形，BA=AD，BAD=90，DEAM 于点 E，BFAM 于点 F，AFB=90，DEA=90，ABF+BAF=90，EAD+BAF=90，ABF=EAD，在ABF 和DEA 中，ABFDEA（AAS），BF=AE；（2）解：设 AE=x，则 BF=x，DE=AF=2，四边形 ABED 的面积为 24，xx+x2=24，解得 x1=6，x2=8（舍去），EF=x2=4，在 RtBEF 中，BE=2，sinEBF=16（2018湘潭）如图，在正方形 ABCD 中，AF=BE，AE 与 D

19、F 相交于点 O（1）求证：DAFABE；（2）求AOD 的度数【分析】（1）利用正方形的性质得出 AD=AB，DAB=ABC=90，即可得出结论；（2）利用（1）的结论得出ADF=BAE，进而求出ADF+DAO=90，最后用三角形的内角和定理即可得出结论【解答】（1）证明：四边形 ABCD 是正方形，DAB=ABC=90，AD=AB，在DAF 和ABE 中，DAFABE（SAS），（2）由（1）知，DAFABE，ADF=BAE，ADF+DAO=BAE+DAO=DAB=90，AOD=180（ADF+DAO）=9017（2018遵义）如图，正方形 ABCD 的对角线交于点 O，点 E、F 分别在

20、 AB、BC 上（AEBE），且EOF=90，OE、DA 的延长线交于点 M，OF、AB 的延长线交于点 N，连接 MN（1）求证：OM=ON（2）若正方形 ABCD 的边长为 4，E 为 OM 的中点，求 MN 的长【分析】（1）证OAMOBN 即可得；（2）作 OHAD，由正方形的边长为 4 且 E 为 OM 的中点知 OH=HA=2、HM=4，再根据勾股定理得 OM=2，由直角三角形性质知 MN=OM【解答】解：（1）四边形 ABCD 是正方形，OA=OB，DAO=45，OBA=45，OAM=OBN=135，EOF=90，AOB=90，AOM=BON，OAMOBN（ASA），OM=ON；（2）如图，过点 O 作 OHAD 于点 H，正方形的边长为 4，OH=HA=2，E 为 OM 的中点，HM=4，则 OM=2，MN=OM=2