二次函数与圆的综合.docx
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- 二次 函数 综合
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1、二次函数与圆的综合二次函数与圆的综合初中数学讨论群初中数学讨论群 群号群号 3资料部资料部 群号:群号:45 (2012济南)如图 1,抛物线 y=ax2+bx+3 与 x 轴相交于点 A(3,0) ,B(1,0) ,与 y 轴相交于点 C,O1为ABC 的外接圆,交抛物线于另一点 D(1)求抛物线的解析式;(2)求 cosCAB 的值和O1的半径;(3)如图 2,抛物线的顶点为 P,连接 BP,CP,BD,M 为弦 BD 中点,若点 N 在坐标平面内,满足BMNBPC,请直接写出所有符合条件的点 N 的坐标考点: 二次函数综合题1171131分析: (1)利用待定系数法求出抛物线的解析式;(
2、2)如答图 1 所示,由AOC 为等腰直角三角形,确定CAB=45,从而求出其三角函数值;由圆周角定理,确定BO1C 为等腰直角三角形,从而求出半径的长度;(3)如答图 2 所示,首先利用圆及抛物线的对称性求出点 D 坐标,进而求出点 M 的坐标和线段 BM 的长度;点 B、P、C 的坐标已知,求出线段 BP、BC、PC 的长度;然后利用BMNBPC 相似三角形比例线段关系,求出线段 BN 和 MN 的长度;最后利用两点间的距离公式,列出方程组,求出点 N 的坐标解答: 解: (1)抛物线 y=ax2+bx+3 与 x 轴相交于点 A(3,0) ,B(1,0) ,解得 a=1,b=4,抛物线的
3、解析式为:y=x2+4x+3(2)由(1)知,抛物线解析式为:y=x2+4x+3,令 x=0,得 y=3,C(0,3) ,OC=OA=3,则AOC 为等腰直角三角形,CAB=45,cosCAB=在 RtBOC 中,由勾股定理得:BC=如答图 1 所示,连接 O1B、O1C,由圆周角定理得:BO1C=2BAC=90,BO1C 为等腰直角三角形,O1的半径 O1B=BC=(3)抛物线 y=x2+4x+3=(x+2)21,顶点 P 坐标为(2,1) ,对称轴为 x=2又A(3,0) ,B(1,0) ,可知点 A、B 关于对称轴 x=2 对称如答图 2 所示,由圆及抛物线的对称性可知:点 D、点 C(
4、0,3)关于对称轴对称,D(4,3) 又点 M 为 BD 中点,B(1,0) ,M(,) ,BM=;在BPC 中,B(1,0) ,P(2,1) ,C(0,3) ,由两点间的距离公式得:BP=,BC=,PC=BMNBPC,即,解得:BN=,MN=设 N(x,y) ,由两点间的距离公式可得:,解之得,点 N 的坐标为(,)或(,) 点评: 本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、圆的性质、相似三角形、勾股定理、两点间的距离公式等重要知识点,涉及的考点较多,试题难度较大难点在于第(3)问,需要认真分析题意,确定符合条件的点 N 有两个,并画出草图;然后寻找线段之间的数量关系,最终正确求得点
5、N 的坐标6 (2011遵义)已知抛物线 y=ax2+bx+3(a0)经过 A(3,0) ,B(4,1)两点,且与 y轴交于点 C(1)求抛物线 y=ax2+bx+3(a0)的函数关系式及点 C 的坐标;(2)如图(1) ,连接 AB,在题(1)中的抛物线上是否存在点 P,使PAB 是以 AB 为直角边的直角三角形若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由;(3)如图(2) ,连接 AC,E 为线段 AC 上任意一点(不与 A、C 重合)经过 A、E、O 三点的圆交直线 AB 于点 F,当OEF 的面积取得最小值时,求点 E 的坐标考点: 二次函数综合题1171131分析: (1)根据
6、A(3,0) ,B(4,1)两点利用待定系数法求二次函数解析式;(2)从当PAB 是以 AB 为直角边的直角三角形,且PAB=90与当PAB 是以 AB为直角边的直角三角形,且PBA=90,分别求出符合要求的答案;(3)根据当 OEAB 时,FEO 面积最小,得出 OM=ME,求出即可解答: 解: (1)抛物线 y=ax2+bx+3(a0)经过 A(3,0) ,B(4,1)两点,解得:,y=x2x+3;点 C 的坐标为: (0,3) ;(2)假设存在,分两种情况:当PAB 是以 AB 为直角边的直角三角形,且PAB=90,如图 1,过点 B 作 BMx 轴于点 M,A(3,0) ,B(4,1)
7、 ,AM=BM=1,BAM=45,DAO=45,AO=DO,A 点坐标为(3,0) ,D 点的坐标为: (0,3) ,直线 AD 解析式为:y=kx+b,将 A,D 分别代入得:0=3k+b,b=3,k=1,y=x+3,y=x2x+3=x+3,x23x=0,解得:x=0 或 3,y=3,y=0(不合题意舍去) ,P 点坐标为(0,3) ,点 P、C、D 重合,当PAB 是以 AB 为直角边的直角三角形,且PBA=90,如图 2,过点 B 作 BFy 轴于点 F,由(1)得,FB=4,FBA=45,DBF=45,DF=4,D 点坐标为: (0,5) ,B 点坐标为: (4,1) ,直线 BD 解
8、析式为:y=kx+b,将 B,D 分别代入得:1=4k+b,b=5,k=1,y=x+5,y=x2x+3=x+5,x23x4=0,解得:x1=1,x2=4(舍) ,y=6,P 点坐标为(1,6) ,点 P 的坐标为: (1,6) , (0,3) ;(3)如图 3:作 EMAO 于 M,直线 AB 的解析式为:y=x3,tanOAC=1,OAC=45,OAC=OAF=45,ACAF,SFEO=OEOF,OE 最小时 SFEO最小,OEAC 时 OE 最小,ACAFOEAFEOM=45,MO=EM,E 在直线 CA 上,E 点坐标为(x,x+3) ,x=x+3,解得:x=,E 点坐标为(,) 点评:
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