2018年中考压轴题汇编《因动点产生的平行四边形问题》含答案.doc

1、因动点产生的平行四边形问题因动点产生的平行四边形问题例 12017 年成都市成都市中考第 28 题如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 yax22ax3a（a0）与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，经过点 A 的直线 l：ykxb 与y轴负半轴交于点 C，与抛物线的另一个交点为 D，且 CD4AC（1）直接写出点 A 的坐标，并求直线 l 的函数表达式（其中 k、b 用含 a 的式子表示） ；（2） 点 E 是直线 l 上方的抛物线上的动点， 若ACE 的面积的最大值为54， 求 a 的值；（3）设 P 是抛物线的对称轴上的一点，点 Q 在抛物线上，以点 A、D、P、Q

2、 为顶点的四边形能否成为矩形若能，求出点 P 的坐标；若不能，请说明理由图 1备用图例例 22017 年陕西省中考第年陕西省中考第 24 题题如图 1，已知抛物线 C：yx2bxc 经过 A(3,0)和 B(0, 3)两点将这条抛物线的顶点记为 M，它的对称轴与 x 轴的交点记为 N（1）求抛物线 C 的表达式；（2）求点 M 的坐标；（3）将抛物线 C 平移到抛物线 C，抛物线 C的顶点记为 M，它的对称轴与 x 轴的交点记为 N如果以点 M、N、M、N为顶点的四边形是面积为 16 的平行四边形，那么应将抛物线 C 怎样平移为什么图 1例例 32018 年上海市松江区中考模拟第年上海市松江区

3、中考模拟第 24 题题如图 1，已知抛物线 yx2bxc 经过 A(0, 1)、B(4, 3)两点（1）求抛物线的解析式；（2）求 tanABO 的值；（3）过点 B 作 BCx 轴，垂足为 C，在对称轴的左侧且平行于 y 轴的直线交线段 AB于点 N，交抛物线于点 M，若四边形 MNCB 为平行四边形，求点 M 的坐标图 1例例 42017 年福州市中考第年福州市中考第 21 题题如图 1，在 RtABC 中，C90，AC6，BC8，动点 P 从点 A 开始沿边 AC 向点 C 以每秒 1 个单位长度的速度运动，动点 Q 从点 C 开始沿边 CB 向点 B 以每秒 2 个单位长度的速度运动，

4、过点P作PD334yx32yx334yx233yx 3a4AC错误错误!3a4AC5a5a3a4a11()()22EAECEF xxEF xx1()2CAEF xx21(34 )2axaxa21325()228a xa258a25584a25a 5a21a21a26a26a26a16a7a77a 26 7(1)7，3a8a8a5a11a4a12a 图 1(14)，AMDNMDNP5553ana235ana235(1,)aa3( 4,)a3( 4,)a321aa77a 3aAGQKGQKD32335aaa12a 930,3.bcc 22m 22mx244my 244m2311(4)2248mmm

5、m1,1643.cbc92b 2912yxx 4sinsin5AOHOBC4sin5AHOAAOH35OH 225BHOBOH4222tan5511AHABOBH112yx29( ,1)2xxx1( ,1)2xx2291(1)(1)422MNxxxxx 9(1, )227x 9(1, )211(3,)257(27,)257(27,)2思路点拨思路点拨1菱形 PDBQ 必须符合两个条件，点 P 在ABC 的平分线上，PQ/AB先求出点 P运动的时间 t，再根据 PQ/AB，对应线段成比例求 CQ 的长，从而求出点 Q 的速度2探究点 M 的路径，可以先取两个极端值画线段，再验证这条线段是不是点

6、M 的路径满分解答满分解答（1）QB82t，PD43t（2）如图 3，作ABC 的平分线交 CA 于 P，过点 P 作 PQ/AB 交 BC 于 Q，那么四边形 PDBQ 是菱形过点 P 作 PEAB，垂足为 E，那么 BEBC8在 RtABC 中，AC6，BC8，所以 AB10在 RtAPE 中，23cos5AEAAPt，所以103t 当 PQ/AB 时，CQCPCBCA，即106386CQ解得329CQ 所以点 Q 的运动速度为3210169315（3）以 C 为原点建立直角坐标系如图 4，当 t0 时，PQ 的中点就是 AC 的中点 E(3，0)如图 5，当 t4 时，PQ 的中点就是

7、PB 的中点 F(1，4)直线 EF 的解析式是 y2x6如图 6，PQ 的中点 M 的坐标可以表示为（62t，t） 经验证，点 M（62t，t）在直线 EF 上所以 PQ 的中点 M 的运动路径长就是线段 EF 的长，EF2 5图 3图 4图 5图 6考点伸展考点伸展第（3）题求点 M 的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数：当 t2 时，PQ 的中点为(2，2)设点 M 的运动路径的解析式为 yax2bxc，代入 E(3，0)、F(1，4)和(2，2)，得930,4,422.abcabcabc解得 a0，b2，c6所以点 M 的运动路径的解析式为 y2x6例例 52017 年烟台市中考第

8、年烟台市中考第 26 题题如图 1，在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的三个顶点 B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4)以A 为顶点的抛物线 yax2bxc 过点 C动点 P 从点 A 出发，沿线段 AB 向点 B 运动，同时动点 Q 从点 C 出发，沿线段 CD 向点 D 运动点 P、Q 的运动速度均为每秒 1 个单位，运动时间为 t 秒过点 P 作 PEAB 交 AC 于点 E（1）直接写出点 A 的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点 E 作 EFAD 于 F，交抛物线于点 G，当 t 为何值时，ACG 的面积最大最大值为多少（3）在动点 P、Q 运动的过程中，当 t 为

9、何值时，在矩形 ABCD 内（包括边界）存在点 H，使以 C、Q、E、H 为顶点的四边形为菱形请直接写出 t 的值图 1动感体验动感体验请打开几何画板文件名“12 烟台 26”，拖动点 P 在 AB 上运动，可以体验到，当 P 在 AB的中点时， ACG的面积最大 观察右图， 我们构造了和CEQ中心对称的FQE和ECH，可以体验到，线段 EQ 的垂直平分线可以经过点 C 和 F，线段 CE 的垂直平分线可以经过点Q 和 H，因此以 C、Q、E、H 为顶点的菱形有 2 个请打开超级画板文件名“12 烟台 26”，拖动点 P 在 AB 上运动，可以体验到，当 P 在 AB的中点时，即 t2，ACG

10、 的面积取得最大值 1观察 CQ，EQ，EC 的值，发现以 C、Q、E、H 为顶点的菱形有 2 个点击动画按钮的左部和中部，可得菱形的两种准确位置。思路点拨思路点拨1把ACG 分割成以 GE 为公共底边的两个三角形，高的和等于 AD2用含有 t 的式子把图形中能够表示的线段和点的坐标都表示出来3构造以 C、Q、E、H 为顶点的平行四边形，再用邻边相等列方程验证菱形是否存在满分解答满分解答（1）A(1, 4)因为抛物线的顶点为 A，设抛物线的解析式为 ya(x1)24，代入点 C(3, 0)，可得 a1所以抛物线的解析式为 y(x1)24x22x3（2）因为 PE/BC，所以2APABPEBC因

11、此1122PEAPt所以点 E 的横坐标为112t将112xt 代入抛物线的解析式，y(x1)242144t所以点 G 的纵坐标为2144t于是得到2211(4)(4)44GEtttt 因此22111()(2)1244ACGAGECGESSSGE AFDFttt 所以当 t1 时，ACG 面积的最大值为 1（3）2013t 或208 5t 考点伸展考点伸展第（3）题的解题思路是这样的：因为 FE/QC，FEQC，所以四边形 FECQ 是平行四边形再构造点 F 关于 PE 轴对称的点 H，那么四边形 EHCQ 也是平行四边形再根据 FQCQ 列关于 t 的方程，检验四边形 FECQ 是否为菱形，

12、根据 EQCQ 列关于 t 的方程，检验四边形 EHCQ 是否为菱形1(1,4)2Ett，1(1,4)2Ft，(3, )Qt，(3,0)C如图 2，当 FQCQ 时，FQ2CQ2，因此2221(2)(4)2ttt整理，得240800tt解得1208 5t ，2208 5t （舍去） 如图 3，当 EQCQ 时，EQ2CQ2，因此2221(2)(42 )2ttt整理，得213728000tt(1320)(40)0tt所以12013t ，240t （舍去） 图 2图 3例例 62017 年上海市中考第年上海市中考第 24 题题已知平面直角坐标系 xOy（如图 1） ，一次函数334yx的图象与 y

13、 轴交于点 A，点 M在正比例函数32yx的图象上，且 MOMA二次函数yx2bxc 的图象经过点 A、M（1）求线段 AM 的长；（2）求这个二次函数的解析式；（3）如果点 B 在 y 轴上，且位于点 A 下方，点 C 在上述二次函数的图 1图象上，点 D 在一次函数334yx的图象上，且四边形 ABCD 是菱形，求点 C 的坐标动感体验动感体验请打开几何画板文件名“11 上海 24”，拖动点 B 在 y 轴上点 A 下方运动，四边形 ABCD保持菱形的形状，可以体验到，菱形的顶点 C 有一次机会落在抛物线上思路点拨思路点拨1本题最大的障碍是没有图形，准确画出两条直线是基本要求，抛物线可以不

14、画出来，但是对抛物线的位置要心中有数2根据 MOMA 确定点 M 在 OA 的垂直平分线上，并且求得点 M 的坐标，是整个题目成败的一个决定性步骤3第（3）题求点 C 的坐标，先根据菱形的边长、直线的斜率，用待定字母 m 表示点C 的坐标，再代入抛物线的解析式求待定的字母 m满分解答满分解答（1）当 x0 时，3334yx，所以点 A 的坐标为(0，3)，OA3如图 2， 因为 MOMA， 所以点 M 在 OA 的垂直平分线上， 点 M 的纵坐标为32 将32y 代入32yx，得 x1所以点 M 的坐标为3(1, )2因此132AM （2）因为抛物线 yx2bxc 经过 A(0，3)、M3(1

15、, )2，所以3,31.2cbc解得52b ，3c 所以二次函数的解析式为2532yxx（3）如图 3，设四边形 ABCD 为菱形，过点 A 作 AECD，垂足为 E在 RtADE 中，设 AE4m，DE3m，那么 AD5m因此点 C 的坐标可以表示为(4m，32m)将点 C(4m，32m)代入2532yxx，得23216103mmm解得12m 或者 m0（舍去） 因此点 C 的坐标为（2，2） 图 2图 3考点伸展考点伸展如果第（3）题中，把“四边形 ABCD 是菱形”改为“以 A、B、C、D 为顶点的四边形是菱形”，那么还存在另一种情况：如图 4，点 C 的坐标为7 27( ,)4 16图

16、 4例例 72017 年江西省中考第年江西省中考第 24 题题将抛物线 c1：233yx 沿 x 轴翻折，得到抛物线 c2，如图 1 所示（1）请直接写出抛物线 c2的表达式；（2）现将抛物线 c1向左平移 m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为 M，与 x轴的交点从左到右依次为 A、B；将抛物线 c2向右也平移 m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为 N，与 x 轴的交点从左到右依次为 D、E当 B、D 是线段 AE 的三等分点时，求 m 的值；在平移过程中，是否存在以点 A、N、E、M 为顶点的四边形是矩形的情形若存在，请求出此时 m 的值；若不存在，请说明理由图 1动感体验动感体

17、验请打开几何画板文件名“11 江西 24”，拖动点 M 向左平移，可以体验到，四边形 ANEM可以成为矩形，此时 B、D 重合在原点观察 B、D 的位置关系，可以体验到，B、D 是线段 AE 的三等分点，存在两种情况思路点拨思路点拨1把 A、B、D、E、M、N 六个点起始位置的坐标罗列出来，用 m 的式子把这六个点平移过程中的坐标罗列出来2B、D 是线段 AE 的三等分点，分两种情况讨论，按照 AB 与 AE 的大小写出等量关系列关于 m 的方程3根据矩形的对角线相等列方程满分解答满分解答（1）抛物线 c2的表达式为233yx（2）抛物线 c1：233yx 与 x 轴的两个交点为(1，0)、(

18、1，0)，顶点为(0, 3)抛物线 c2：233yx与 x 轴的两个交点也为(1，0)、(1，0)，顶点为(0,3)抛物线 c1向左平移 m 个单位长度后，顶点 M 的坐标为(, 3)m，与 x 轴的两个交点为( 1,0)Am 、(1,0)Bm，AB2抛物线 c2向右平移 m 个单位长度后，顶点 N 的坐标为( ,3)m ，与 x 轴的两个交点为( 1,0)Dm 、(1,0)Em所以 AE(1m)(1m)2(1m)B、D 是线段 AE 的三等分点，存在两种情况：情形一，如图 2，B 在 D 的左侧，此时123ABAE，AE6所以 2(1m)6解得 m2情形二，如图 3，B 在 D 的右侧，此时223ABAE，AE3所以 2(1m)3解得12m 图 2图 3图 4如果以点 A、N、E、M 为顶点的四边形是矩形，那么 AEMN2OM而 OM2m23，所以 4(1m)24(m23)解得 m1（如图 4） 考点伸展考点伸展第（2）题，探求矩形 ANEM，也可以用几何说理的方法：在等腰三角形 ABM 中，因为 AB2，AB 边上的高为3，所以ABM 是等边三角形同理DEN 是等边三角形当四边形 ANEM 是矩形时，B、D 两点重合因为起始位置时 BD2，所以平移的距离 m1