北京东城区2021-2022高三上学期数学期末试卷及答案.docx

1、数学第 1 页（共 13 页）北京市东城区 20212022 学年度第一学期期末统一检测高 三 数 学2022.1本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合 2, 1,0,1,2A ，12Bxx ，则AB （A）0,1（B） 1,0,1（C）0 1 2， ，（D） 10 1 2 ， ，（2）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（A）( )lnf xx（

2、B）( )2xf x （C）3( )f xx（D）( )sinf xx（3）在等比数列 na中，若23216aa，则4a （A）32（B）16（C）8（D）4（4）在二项式52()xx的展开式中，含3x项的系数为（A）5（B）5（C）10（D）10（5）在平面直角坐标系中，角的终边过点( 1，0)，将的终边绕原点按逆时针方向旋转120与角的终边重合，则cos=（A）12（B）12（C）32（D）32（6）人类已进入大数据时代.目前，全球年数据产生量已经从 TB 级别跃升到 PB，EB 乃至ZB 级别（1 TB1024 GB，1 PB=1024 TB，1 EB=1024 PB，1 ZB=1024

3、 EB） 由国际数据公司 IDC 的研究结果得到 2008 年至 2020 年全球年数据产生量（单位：ZB）的散点图.数学第 2 页（共 13 页）根据散点图，下面四个选项中最适宜刻画 2008 年至 2020 年全球年数据产生量y和时间x的函数模型是（A）yabx（B）yab x（C）lnyabx（D）exyab（7）已知抛物线2:4C yx的焦点为F，准线为l，P为C上一点，过P作l的垂线，垂足为M.若|MFPF=，则|PM （A）2（B）3（C）4（D）2 3（8）已知直线l：1ymxm，P为圆C：224210 xyxy 上一动点，设P到直线l距离的最大值为( )d m，当( )d m最

4、大时，m的值为（A）12（B）32（C）23（D）2（9）已知点A,B,C不共线，为实数，APABAC ,则 “0+1 ”是“点P在ABC内（不含边界）”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（10）已知na是各项均为正整数的数列，且13a ，78a ，对*k N，11kkaa与1+212kkaa有且仅有一个成立，则127aaa的最小值为（A）18（B）20（C）21（D）23数学第 3 页（共 13 页）第二部分（非选择题共 110 分）二二、填空题填空题 5 5 小题小题，每小题每小题 5 5 分，共分，共 2 25 5 分分（11）在复

5、平面内，复数z对应的点的坐标是( 1,2)，则z .（12）已知双曲线222:1(0)yC xbb的两条渐近线互相垂直，则b _；C的离心率为_.（13）已知, l m是两条不同的直线，, 是两个不同的平面.写出以,l m 之间的部分位置关系为条件 （l除外） ，l为结论的一个真命题：_（14）函数 sin3f xx（0）的非负零点按照从小到大的顺序分别记为12,nx xx. 若322xx，则_；21=x_.（15）阿基米德螺线广泛存在于自然界中，具有重要作用.如图，在平面直角坐标系xOy中，螺线与坐标轴依次交于点1( 1,0)A ,2(0,2)A,3(3,0)A,4(0,4)A,5( 5,0

6、)A ，6(0,6)A,7(7,0)A,8(0,8)A,并按这样的规律继续下去.给出下列四个结论： 对于任意正整数n，4| 4nnA A； 存在正整数n，1|nnA A为整数 ； 存在正整数n，三角形12nnnA AA的面积为 2022； 对于任意正整数n，三角形12nnnA AA为锐角三角形.其中所有正确结论的序号是_数学第 4 页（共 13 页）三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16） （本小题 13 分）在ABC中，105ba，10cos10A（）求证ABC为等腰三角形；（） 再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使ABC存在且唯

7、一，求b的值条件：6B；条件：ABC的面积为152；条件：AB边上的高为 3.注：如果选择的条件不符合要求，第（）问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分（17） （本小题 14 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PA平面ABCD，PAAB，M为线段PD上的动点（）若直线/ /PB平面ACM，求证：M为PD的中点；（）若平面PAC与平面MAC夹角的余弦值为33，求PMMD的值.数学第 5 页（共 13 页）（18） （本小题 13 分）2020 年 9 月 22 日，中国政府在第七十五届联合国大会上提出：“中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的

8、政策和措施，二氧化碳排放力争于 2030 年前达到峰值，努力争取 2060 年前实现碳中和. ” 做好垃圾分类和回收工作可以有效地减少处理废弃物造成的二氧化碳、甲烷等温室气体的排放，助力碳中和. 某校环保社团为了解本校学生是否清楚垃圾分类后的处理方式，随机抽取了 200 名学生进行调查，样本调查结果如下表：假设每位学生是否清楚垃圾分类后的处理方式相互独立.（）从该校学生中随机抽取一人，估计该学生清楚垃圾分类后处理方式的概率；（）从样本高中部和初中部的学生中各随机抽取一名学生，以 X 表示这 2 人中清楚垃圾分类后处理方式的人数，求 X 的分布列和数学期望；（）从样本中随机抽取一名男生和一名女生

9、，用“1”表示该男生清楚垃圾分类后的处理方式，用“0”表示该男生不清楚垃圾分类后的处理方式，用“1”表示该女生清楚垃圾分类后的处理方式，用“0”表示该女生不清楚垃圾分类后的处理方式.直接写出方差D和D的大小关系.（结论不要求证明）高中部初中部男生女生男生女生清楚1282424不清楚28323834数学第 6 页（共 13 页）（19） （本小题 15 分）已知椭圆22221xyCab：过点3 0A ，其右焦点为(1,0)F.（）求椭圆C的方程；（）设P为椭圆C上一动点（不在x轴上） ，M为AP中点，过原点O作AP的平行线，与直线3x 交于点Q.问： 直线OM与FQ斜率的乘积是否为定值？若为定值

10、， 求出该值；若不为定值，请说明理由.（20） （本小题 15 分）曲线lnyx在点( ,ln )A tt处的切线l交x轴于点M.（）当et 时，求切线l的方程；（）O为坐标原点 ,记AMO的面积为S.求面积S以t为自变量的函数解析式，写出其定义域，并求单调增区间.（21） （本小题 15 分）对于给定的正整数m和实数a，若数列 na满足如下两个性质：12maaaa；对任意的*nN,n mnaa，则称数列 na具有性质( )mP a.（）若数列 na具有性质2(1)P，求数列 na的前10项和；（）对于给定的正奇数t，若数列 na同时具有性质4(4)P和( )tP t，求数列 na的通项式；（

11、）若数列 na具有性质( )mP a，求证：存在自然数N，对任意的正整数k，不等式1NNkaaakm均成立.（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）数学第 7 页（共 13 页）北京市东城区 20212022 学年度第一学期期末统一检测高三数学参考答案2022.1一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）（1）A（2）C（3）B（4）D（5）A（6）D（7）C（8）A（9）B（10）B二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）（ 11 ）12i （12）1；2（13）若/ /ml，m，则l（答案不唯一）（14）2，313（15）三、解答题（共 6 小题，共

12、 85 分）（16） （共 13 分）解： （）在ABC中，105ba，10cos10A，设5am，10bm，其中0m .根据余弦定理2222cosabcbcA，得22210251021010mmccm.整理，得222150cmcm，因为0c ，解得5cm，所以ac.所以ABC为等腰三角形.7 分数学第 8 页（共 13 页）（）若选择条件：在ABC中，由10cos10A ，得3 10sin10A .所以2113 101515sin105221022ABCbcAmmmS.解得1m ，即10b .13 分若选择条件：在ABC中，由AB边上的高为 3，得sin3bA .由10cos10A ，得3

13、10sin10A .解得10b .13 分（17） （共 14 分）解： （）如图，连结 BD，交 AC 于点 O，连结 MO.因为直线/ /PB平面ACM，又平面PBD平面ACMMO，PB 平面PBD，所以/ /PBMO因为正方形ABCD，所以O为BD的中点所以M为PD的中点5 分（）因为底面ABCD为正方形，PA平面ABCD，所以 AB，AD，AP 两两垂直.如图建立空间直角坐标系.设1AB ，可得(0,0,0)A，(1,0,0)B，(1,1,0)C，(0,1,0)D，(0,0,1)P则(1,1,0)AC 数学第 9 页（共 13 页）设(01)PMPD ，则(0, ,1).AMAPPMA

14、PPD 设( , , )x y zn为平面MAC的法向量，则00ACAM ，nn即0(1)0.xyyz，令1y ，z ，则1x，可得(1,1,)n又BDAC，BDPA，所以( 1,1,0)BD 为平面PAC的法向量，22(1)3cos32342BDBDBD nnn，解得23，所以2PMMD.14 分（18） （共 13 分）解： （）依题意，参与调查的学生有 200 人，其中清楚垃圾分类后处理方式的学生有128242468人.在样本中，学生清楚垃圾分类后的处理方式的频率为681720050.用样本的频率估计总体的频率，可估计从该校学生中随机抽取一人，该学生清楚垃圾分类后处理方式的概率为1750

15、.3 分（）X 的所有可能取值为 0，1，2.记事件A为“从样本初中部学生中随机抽取 1 名学生，该学生清楚垃圾分类后处理方式” ，事件B为“从样本高中部学生中随机抽取 1 名学生，该学生清楚垃圾分类后处理方式” ，则24242( )242438345P A，1281( )12828324P B.由题设知，事件A，B相互独立，数学第 10 页（共 13 页）所以219(0)()= 115420P XP A B；21219(1)= ()= 11545420P XP ABA B；211(2)()5410P XP AB.所以 X 的分布列为X012P92092011099113()012=20201

16、020E X .11 分（）DD. 2 分（19） （共 15 分）解： （）由题可知3,1ac，则2222bac.故椭圆C的方程为22132xy. 5 分（）设00(,)P x y0(3)x ，则2200132xy，即2200236xy.由M为AP的中点，得003(,)22xyM，所以003OMykx.因为直线AP的斜率003ykx，且/ /OQAP，所以直线OQ的方程为003yyxx.令3x ，得0033yyx，则003(3,)3yQx .因为(1,0)F，所以0032(3)FQykx.所以200020003312(3)3 2(3)OMFQyyykkxxx .所以直线OM与FQ斜率的乘积是

17、为定值-1. 15 分（20） （共 15 分）数学第 11 页（共 13 页）解： （）设函数( )lnf xx，( )f x的定义域为0 +，.因为1( )fxx，所以1(e)ef.当et 时，ln1t ，即(e,1)A.所以切线l的方程为11(e)eyx ，即1eyx.5 分（）由（）知，曲线lnyx在点( ,ln )A tt处的切线方程为1ln()ytxtt，即1ln1yxtt.令0y ，得lnxttt ，所以(ln0)M ttt，.11( )lnln =(ln )ln22S ttttttttt.( )S t的定义域为(0,1)(1, e)(e,).设( )(ln )ln (0)ttt

18、tt t，则2( )lnln1ttt.令( )0t，解得15ln2t ，或15ln2t .即1520et ，或152et .当01t ，或et 时，1( )( )2S tt，1( )( )2S tt.( )0S t ，得1520et ，或et .当1et 时，1( )( )2S tt ，1( )( )2S tt .( )0S t ，得1+ 521et .所以函数( )S t的单调增区间为152(0,e) ，1+ 52(1,e)，(e,).数学第 12 页（共 13 页）15 分（21） （共 15 分）解： （）依题意121aa，且2(1 2)nnaa n，所以数列 na的前 10 项和为 5

19、.4 分（）由于数列 na具有性质4(4)P和( )tP t，其中t为大于零的奇数，令21tk，*k N，则有+2+2+2 -1+2 -14nnkknknaaaa，所以+1+1+2 -12nnknknaaaa.综上 na为常数列.又因为 na具有性质4(4)P，所以1234+4aaaa.所以1na .9 分（）要证1NNkaaakm，只需证12NNNkaaaakm，即只需证12()()()0NNNkaaaaaammm，令数列nnabam，由于数列 na具有性质( )mP a，则数列 nb具有性质(0)mP.令12*()iiSbibbN，设12mSSS， ， ，的最小值为(1)NSNm，对*k N，令Nkpmr，,prN,0rm，由于 nb具有性质(0)mP，所以0pmS.所以+1212pm rpmpmpmpm rrrNSSbbbbbbSS.数学第 13 页（共 13 页）所以11+NNNkaaaakm成立.15分