郑州市2022届高三第一次质量检测文科数学试卷(及答案).pdf

1、郑州市 2022 年高中毕业年级第一次质量预测文科数学试卷注意事项:1. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其它答案标号. 回答非选择题时, 将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.一. 选择题本大题共 12 小题, 每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 = N N 2, = 1,0,1,2 , 则 的子集的个数为()A. 4B. 6C. 7D

2、. 82. 设复数 满足 2 = 2 3 , 其中 为虚数单位, 在复平面内, 复数 对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 设等比数列 的前 项和为 , 若 3= 3 , 6= 27 , 则公比 等于()A. 5B. 4C. 3D. 2 4. 已知向量 , , 在正方形网格中的位置如图所示, 以 , 为基底,则 可表示()A. = 2 + 3 B. = 3 + 2 C. = 3 2 D. = 2 3 5. 已知命题 0 R R,3sin0+ 4cos0= 42 ; 命题 R R,(1e)| 1 , 则下列命题中为真命题的是()A. B. () C. ()

3、D. ( )6. 已知双曲线2222= 1 ( 0, 0) 的渐近线方程为 = 32 , 则此双曲线的离心率为()A.72B.213C.147D.2337. 已知函数 () = 2,() = 2,() = log2 , 设这三个函数的增长速度为 1,1, 1, 当 (4,+) 时, 则下列选项中正确的是()A. 1 1 1B. 1 1 1C. 1 1 1D. 1 1 1第 1 页共 6 页32128. 已知函数 () = sin(2 + ) ( 0,| 0) 上不同两点 、 , 满足 | = | =| = 43.( I ) 求抛物线 的标准方程;(II) 若直线 与拋物线 相切于点 , 与椭圆

4、 24+22= 1 相交于 、 两点, 与直线 = 2 交于点 , 以 为直径的圆与直线 = 2 交于 、 两点. 求证: 直线 经过线段 的中点.第 5 页共 6 页(二) 选考题:共 10 分. 请考生在第 22 、23 题中任选一题作答. 在答题卷上将所选题号涂黑, 如果多做, 则按所做的第一题计分.22.选修: 坐标系与参数方程 (10 分)在直角坐标系 中, 直线 的参数方程为 = cos, = 1 + sin,( 为参数). 以坐标原点为极点, 轴正半粙为极轴建立极坐标系, 曲线 的极坐标方程为 =2tancos.( I ) 若 =6, 求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程;(

5、II) 设点 的直角坐标系下的坐标为 (0,1) , 直线 与曲线 交于 , 两点, 且 | = 4 , 求直线 的倾斜角.23.选修: 不等式选讲 (10 分)已知 , 均为正数, 且满足 2 + 3 + 4 = 9.( I ) 证明: ( + 1)( + 1)( + 1) 9 ;(II) 证明: 42+ 92+ 162 27.第 6 页共 6 页郑州市 2022 年高中毕业年级第一次质量预测文科数学试卷注意事项:1. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选

6、涂其它答案标号. 回答非选择题时, 将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.一. 选择题本大题共 12 小题, 每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 = N N 2, = 1,0,1,2 , 则 的子集的个数为( )A. 4B. 6C. 7D. 82. 设复数 满足 2 = 2 3 , 其中 为虚数单位, 在复平面内, 复数 对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 设等比数列 的前 项和为 , 若 3= 3 , 6= 27 , 则公比 等于(

7、)A. 5B. 4C. 3D. 2 4. 已知向量 , , 在正方形网格中的位置如图所示, 以 , 为基底,则 可表示( )A. = 2 + 3 B. = 3 + 2 C. = 3 2 D. = 2 3 5. 已知命题 0 R R,3sin0+ 4cos0= 42 ; 命题 R R,(1e)| 1 , 则下列命题中为真命题的是( )A. B. () C. ()D. ( )6. 已知双曲线2222= 1 ( 0, 0) 的渐近线方程为 = 32 , 则此双曲线的离心率为( )A.72B.213C.147D.2337. 已知函数 () = 2,() = 2,() = log2 , 设这三个函数的增

8、长速度为 1,1, 1, 当 (4,+) 时, 则下列选项中正确的是( )A. 1 1 1B. 1 1 1C. 1 1 1D. 1 1 1第 1 页共 8 页32128. 已知函数 () = sin(2 + ) ( 0,| 2) 的部分图象如图所示, 则下列说法错误的是( )A. 函数 () = 3sin(2 +3)B. 函数 () 的图象关于 (3,0) 中心对称C. 函数 () = 3cos2 的图象可由函数 () 的图象向左平移12个单位得到D. 函数 () 在 6,23 上单调递减9. 已知函数 () 的定义域为 R R , 且 () 不恒为 0 , 若 ( + 2) 为偶函数, (3

9、 + 1) 为奇函数, 则下列选项中一定成立的是( )A. (12) = 0B. (1) = 0C. (2) = 0D. (4) = 010. 许多球状病毒的空间结构可抽象为正二十面体. 正二十面体的每一个面均为等边三角形, 共有 12 个顶点、30 条棱. 如图所示, 由正二十面体的一个顶点 和与 相邻的五个顶点可构成正五棱锥 , 则 与面 所成角的余弦值约为( )(参考数据: cos36 0.8)A.512B.35C.58D.5611. 2020 年 12 月 8 日, 中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86 (单位: m ), 三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一. 如图

10、是三角高程测量法的一个示意图, 现有 , 三点, 且 , 在同一水平面上的投影, ,满足 = 45, = 75,由 点测得 点的仰角为 30, 与 的差为 100 ; 由 点测得点的仰角为45,则, 两点到水平面的高度差为( )A. 1002B. 100(2 + 1)C. 1003D. 100(3 + 1)12. 函数 () = |lg| 1, 给出下列四个结论:1若 = 0 , () 恰有 2 个零点;2存在负数 , 使得 () 佮有个 1 零点;3存在负数 , 使得 () 恰有个 3 零点;4存在正数 , 使得 () 恰有个 3 零点.其中正确命题的个数为( )A. 1B. 2C. 3D.

11、 4第 2 页共 8 页二. 填空题本大题共 4 小题, 每题 5 分, 共 20 分.13. 已知实数 , 满足条件: 0, + 4 0, 1,则 + 1的最大值为2314. 甲、乙、丙三位同学打算利用假期外出游览, 约定每人从嵩山少林寺、黄河游览区这两处景点中任选一处,那么甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的概率是1215. 已知一张纸上画有半径为 4 的圆 , 在圆 内有一个定点 , 且 = 2 , 折叠纸片, 使圆上某一点 刚好与 点重合, 这样的每一种折法, 都留下一条直线折痕, 当 取遍圆上所有点时, 所有折与 的交点形成的曲线记为 , 则曲线 上的点到圆 上的点的最大距离为3.16

12、. 已知一圆柱的轴截面为正方形, 母线长为 6 , 在该圆柱内放置一个棱长为 的正四面体, 并且正四面体在该圆柱内可以任意转动, 则 的最大值为2.三. 解答题共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤. 第 17 21 题为必考题, 每个试题考生都必须作答. 第22 、23 题为选考题, 考生根据要求作答.(一) 必考题:60 分.17.(本小题满分 12 分)2021 年 5 月习近平总书记到南阳的医圣祠考察, 总书记说, 过去中华民族几千年都是靠中医药治病救人, 特别是经过抗击新冠肺炎疫情、非典等重大传染病之后, 我们对中医药的作用有了更深的认识, 我们要发展中医药, 注重用

13、现代科学解读中医药学原理, 走中西医结合的道路. 某农科所实地考察, 研究发现某地适合种植甲、乙两种药材, 通过大量考察研究得到如下统计数据: 药材甲的亩产量约为 300 公斤, 其收购价格处于上涨趋势, 最近五年的价格如下表:年份编号12345年份20172018201920202021单价 (元/公斤)1719232630药材乙的收购价格始终为 21 元/公斤, 其亩产量的频率分布直方图如下:频率组距0产量 (公斤)3503703904104304500.00500.01000.01750.01250.0050( I ) 若药材甲的单价 (单位: 元/公斤) 与年份编号 具有线性相关关系,

14、 请求出 关于 的线性回归方程,并估计 2022 年药材甲的单价;第 3 页共 8 页(II) 用上述频率分布直方图估计药材乙的平均亩产量, 若不考虑其它因素, 试判断 2022 年该地区种植哪种药材收益更高? 并说明理由.附: 回归方程 = + 中, =1( )( )=1( )2=1 =12 2, = .解答 =1 + 2 + 3 + 4 + 55= 3 , =17 + 19 + 23 + 26 + 305= 23 ,所以 =(2) (6) + (1) (4) + 0 0 + 4 3 + 2 7(1)2+ (2)2+ 02+ 12+ 22= 3.3.又因为 = + , 即 23 = 3.3

15、3 + , 解得 = 13.1,所以 = 3.3 + 13.1; 当 = 6 时, = 32.9.(I)360 0.1 + 380 0.2 + 400 0.35 + 420 0.25 + 440 0.1 = 401.若种植甲种药材每亩地的收入约为 32.9 300 = 9870,若种植乙种药材每亩地的收入约为 401 21 = 8421 9870,所以应该种植甲种药材.(II)第 4 页共 8 页18.(本小题满分 12 分)如图, 为直角三角形, =2, = 4 , = 1 , 、 分别为 、 中点, 将 沿 折起, 使点 到达点 , 且 = 3.( I ) 求证: 面 面 ;(II) 求点

16、 到平面 的距离.解答连接 , 为直角三角形, =2, 、 分别为 、 中点, 又 = 5, = 2, = 3,2+ 2= 2, 即 . = , 面 . 面 , 面 面 (I) =2, = 1, = 2,= 1,=13 =23;由 (1) 得 , =2, = , 面 , . 而 = 22,= 2. 到面 的距离 =3= 2.(II)第 5 页共 8 页19.(本小题满分 12 分)已知等差数列 的公差为 ( 0) , 前 项和为 , 现给出下列三个条件:11、2、4成等比数列;24= 16 ;38= 4(8+ 1).请你从这三个条件中任选两个, 解答下列问题:( I ) 求 的通项公式;(II

17、) 若 1= 4( 2) , 且 1= 3 , 求数列 1 的前 项和 解答1: 因为 1、2、4成等比数列, 则 22= 14, 即 (21+ )2= 1(41+ 6),因为 0, 可得 = 21.24= 41+ 6 = 16 即 21+ 3 = 8.38= 4(8+ 1), 可得 81+ 28 = 4(1+ 7 + 1), 可得 1= 1.若选12, 则有 = 2121+ 3 = 8, 可得1= 1 = 2, 则 = 1+ ( 1) = 2 1;若选13, 则 = 21= 2, 则 = 1+ ( 1) = 2 1;若选23, 则 21+ 3 = 2 + 3 = 8, 可得 = 2, 所以,

18、 = 1+ ( 1) = 2 1(I) 1= 4= 8 4( 2), 且 1= 3,所以, 当 2 时, 则有 = 1+ (2 1) + (3 2) + + ( 1), 1= 4= 8 4( 2), 则 1= 3,所以, 当 2 时, 则有 = 1+ (2 1) + (3 2) + + ( 1).= 3 + 12 + 20 + + (8 4) = 3 +(8 4 + 12)( 1)2= 42 1,1= 3 也满足 = 42 1, 故对任意的 N N,= 42 1,则1=1(2 1)(2 + 1)=12(12 112 + 1),所以, =12(1 13) + (1315) + + (12 112

19、 + 1) =12(1 12 + 1) =2 + 1.(II)第 6 页共 8 页20.(本小题满分 12 分)已知函数 () =1 2+ .( I ) 若 = 0, 求曲线 = () 在点 (1,(1) 处的切线方程;(II) 若 () 在 = 1 处取得极值, 求 () 的单调区间及其最大值与最小值.解答当 = 0 时, () =1 2, 则 () = 23,(1) = 0,(1) = 1,此时, 曲线 = () 在点 (1,(1) 处的切线方程为 = ( 1), 即 + 1 = 0;(I)因为 () =1 2+ , 则 () =(2+ ) 2(1 )(2+ )2=2 2 (2+ )2,由

20、题意可得 (1) =3 ( + 1)2= 0, 解得 = 3,故 () =1 2+ 3,() =( + 1)( 3)(2+ 3)2, 列表如下:(,1)1(1,3)3(3,+)()+00+()增极大值减极小值增所以, 函数 () 的增区间为 (,1),(3,+), 单调递减区间为 (1,3)当 0; 当 1 时, () 0) 上不同两点 、 , 满足 | = | =| = 43.( I ) 求抛物线 的标准方程;(II) 若直线 与拋物线 相切于点 , 与椭圆 24+22= 1 相交于 、 两点, 与直线 = 2 交于点 , 以 为直径的圆与直线 = 2 交于 、 两点. 求证: 直线 经过线

21、段 的中点.解答由题意得：(23,6), = 1, 抛物线的标准方程是：2= 2(I)设 (,22), 故 抛物线 =22,= , 直线 的斜率为 = .设 (1,1),(2,2),212+214= 1,222+224= 1,两式相减可得1+ 21+ 2= 2 1 21 2= 2. 设中点 , 则 = 2.又 ,(,2),=2.= . 故直线 经过线段 的中点(II)第 7 页共 8 页(二) 选考题:共 10 分. 请考生在第 22 、23 题中任选一题作答. 在答题卷上将所选题号涂黑, 如果多做, 则按所做的第一题计分.22.选修: 坐标系与参数方程 (10 分)在直角坐标系 中, 直线

22、的参数方程为 = cos, = 1 + sin,( 为参数). 以坐标原点为极点, 轴正半粙为极轴建立极坐标系, 曲线 的极坐标方程为 =2tancos.( I ) 若 =6, 求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程;(II) 设点 的直角坐标系下的坐标为 (0,1) , 直线 与曲线 交于 , 两点, 且 | = 4 , 求直线 的倾斜角.解答当 =6时, 直线 的参数方程为 =32 = 1 +12( 为参数), 的普通方程为 3 + 3 = 0.又因为 =2tancos, 所以 =2sincos2, 所以 2cos2 = 2sin,所以曲线 的直角坐标方程为 2= 2( 0).(I)将

23、= cos, = 1 + sin,代入 2= 2( 0) 中, 得 2cos2 2sin 2 = 0,设 , 对应的参数分别为 1,2, 所以 12=2cos2,| | = 4, 所以 |12| =|2cos2|= 4, 所以 cos = 22,又因为 0,), 所以 =4或 =34,所以直线 倾斜角为 =4或 =34.(II)23.选修: 不等式选讲 (10 分)已知 , 均为正数, 且满足 2 + 3 + 4 = 9.( I ) 证明: ( + 1)( + 1)( + 1) 9 ;(II) 证明: 42+ 92+ 162 27.解答( + 1)( + 1)( + 1) =2( + 1)3( + 1)4( + 1)24124(2 + 2 + 3 + 3 + 4 + 43)3=124 216 = 9当且仅当 = 2, = 1, =12时等号成立,即证: ( + 1)( + 1)( + 1) 9.(I)由柯西不等式得: (42+ 92+ 162)(1 + 1 + 1) (2 + 3 + 4)2= 81故 42+ 92+ 162 27.当且仅当 =32, = 1, =34时等号成立即证: 42+ 92+ 162 27.(II)第 8 页共 8 页