微专题24　球的接、切、截问题.doc

1、球的接、切、截问题球的接、切、截问题球常和其他空间几何体相结合，以选择题或填空题的形式出现计算几何体的表面积和体积，基本上都是中等难度的试题，既是考查的热点又是考查的难点试题常用简单多面体与球的接、切、截等结构特征为命题背景，这些简单多面体与球的相关问题实质上是研究球的半径和确定球心的位置问题， 分析球与多面体的接、切、截中有关量(长度、角度).通过解决与球相关的问题，培养学生良好的空间想象能力，落实学生直观想象和数学计算等核心素养1.1.例题引导例题引导因微而准 因微而细例 1(2019全国卷)已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上，PAPBPC， ABC是边长为 2 的正三角形，E，F

2、分别是PA，AB的中点， CEF90，则球O的体积为()A8 6 B4 6 C2 6 D 6 点拨与归纳：点拨与归纳：(1)球内接正三棱锥：球是中心、轴对称图形，而正三棱锥不具有对称性，设球的半径为R，球心为O，正三棱锥PABC的底面边长为a，侧棱长为b，则：球心O到正三棱锥三个顶点A，B，C的距离相等，则球心O在面ABC上的射影也是为三角形ABC的中心H处，H是三角形外接圆的圆心，而P在面ABC上的射影也是三角形ABC的中心，则球心O在PH上；延长AH与BC交于BC的中点D， 则AH33a， RtPAH中，PH223()3ba，则OH|PHR|(球心在正三棱锥内，RPH；否则，RPH) (2

3、)RtOAH中，由OA2OH2AH2得到a，b，R的等量关系(3)多面体的外接球常用的结论：设正方体的棱长为a，则它的外接球半径R32a；设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则它的外接球半径Ra2b2c22；设正四面体的棱长为a，则它的高为63a，外接球半径R64a.例 2 在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球若ABBC，AB6，BC8，AA13，则V的最大值是()A4B92C6D323点拨与归纳：点拨与归纳：1.球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心、 “切点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题2等积法：等积法包括等面积法

4、和等体积法等体积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形(几何体)的高或点到平面的距离3多面体的内切球与外接球常用的结论：(1)设正方体的棱长为a，则它的内切球半径ra2，外接球半径R32a.(2)设正四面体的棱长为a，则它的高为63a，内切球半径ra.2 2 变式联想变式联想联想问题 重构网络变式 1 已知正三棱锥 PABC，点 P，A，B，C 都在半径为 3 的球面上若 PA，PB，PC 两两相互垂直，则球心到截面 ABC 的距离为_变式 2 已知正四面体 ABCD 的棱长为 12，则其内切球的表面积为()A12B16C20D243

5、.3.串讲接活串讲接活知识串联 融会贯通串讲串讲 设 A，B，C，D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点，ABC 为等边三角形且其面积为 9 3 ，则三棱锥 DABC 体积的最大值为()A12 3B18 3C24 3D54 34.4.新题在线：新题在线：热点追踪精典新题例题：已知 A，B 是球 O 的球面上两点，AOB90，C 为该球面上的动点，若三棱锥 OABC 的体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为_5.5.佳题欣赏：佳题欣赏：精典小题 变化思维例题：将一个半径为 5 cm 的水晶球放在如图所示的工艺支架上，支架是由三根细金属杆 PA，PB，PC 组成(其中 A，B，C 分别为水晶

6、球与支架的接触点)，它们两两成 60角，则水晶球的球心到支架顶点 P 的距离是_cm.答案5 3解法一：过球心 O 作截面OP，交 PA，PB，PC 于 D，E，F(如图)，连接 OA，则 OAPD，连接 OD，则由条件知三棱锥 PDEF 为正四面体设 PDx cm，则 DO2332x33x cm.又 AO5 cm，由于 RtPDORtPOA，所以PDPODOAO，即 POAODOPD533xx5 3 (cm).解法二：如图，此模型可看作是正方体的内切球，半径为 5 cm，从而 P 到球心的距离为正方体的体对角线一半，而正方体棱长为 10 cm，体对角线长为 10 3 cm，故球心到顶点 P

7、的距离为 5 3 cm.解法三：设切点分别为 A，B，C，则在三棱锥 OABC 和三棱锥 PABC 中，连接 PO，交ABC 于点 D，则 D 为ABC 外心，PO面 ABC,设 PAPBPCx cm，则由 SPAO12OAPA12OPAD 可知，POOAPAAD5x33x5 3 (cm).点拨与归纳：点拨与归纳：1.与球有关的“接” “切” “截”问题的处理规律：(1) “接”的处理一个多面体的所有顶点同时在球面上即为球的外接问题解决这类问题的关键是抓住外接的特点， 即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径应掌握多面体外接球半径的求法，如当三棱锥有三条棱垂直或棱长相等时，可用补形法构造长方体或

8、正方体；或者直接作出截面的平面图，利用几何体中的量的关系，直接求出球的半径(2) “切”的处理若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体， 这个球是这个多面体的内切球解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体， 解答时首先要找准切点， 通过作截面来解决 如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作在求内切球的半径时，有时常用等积法进行转化，即将多面体分割成多个以内切球的球心为顶点，以多面体的侧面为底面的棱锥（3) “截”的处理用一个平面去截球，截面是圆面；解决与球有关的截面问题主要是研究截面圆与大圆的位置关系问题，从而考查球的截面的性质及其运用解题时，要作出平面图，通常指球的大圆、截面圆心所在的二面角平面角，在这个截面中应包括每个几何体的主要元素， 且这个平面图形必须能反映出体和体之间的主要位置关系和数量关系2思想方法转化思想在立体几何计算中的应用：与球有关的“接” “切” “截”问题是高考的热点，旨在考查学生的识图、用图能力及空间想象能力与运算能力若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法(转换的原则是使底面面积和高易求)、分割法、补形法等方法进行求解，借助数形结合进行转化，分析解决问题