八个无敌模型-全搞定空间几何的外接球和内切球问题.doc

1、1八个有趣模型八个有趣模型搞定空间几何体的外接球与内切球搞定空间几何体的外接球与内切球类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2222)2(cbaR，即2222cbaR，求出R例 1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（C）A16B20C24D32（2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是9解：（1）162haV，2a，24164442222haaR，24S，选 C；（2）933342R，942RS

2、（3）在正三棱锥SABC中，MN、分别是棱SCBC、的中点，且MNAM ,若侧棱2 3SA ,则正三棱锥ABCS 外接球的表面积是。36解：引理：正三棱锥的对棱互垂直正三棱锥的对棱互垂直。证明如下：如图（3）-1，取BCAB,的中点ED,，连接CDAE,，CDAE,交于H，连接SH，则H是底面正三角形ABC的中心，SH平面ABC，ABSH ，BCAC ，BDAD ，ABCD ，AB平面SCD，SCAB ，同理：SABC ，SBAC ，即正三棱锥的对棱互垂直，本题图如图（3）-2，MNAM ，MNSB/，SBAM ，SBAC ，SB平面SAC，SASB ，SCSB ，SASB ，SABC ，SA

3、平面SBC，SCSA ，故三棱锥ABCS 的三棱条侧棱两两互相垂直，36)32()32()32()2(2222R，即3642R，正三棱锥ABCS 外接球的表面积是362（4 4）在四面体SABC中，ABCSA平面，, 1, 2,120ABACSABAC则该四面体的外接球的表面积为（D ）11.A7 .B310.C340.D（5 5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是（6 6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为解析：解析：（4）在ABC中，7120cos2222BCABABAC

4、BC，7BC，ABC的外接球直径为372237sin2BACBCr，3404)372()2()2(2222SArR，340S，选D D（5）三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为cba,（Rcba,），则6812acbcab，24abc，3a，4b，2c，29)2(2222cbaR，2942RS，（6）3)2(2222cbaR，432R，23R2383334343RV，类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）1题设：如图 5，PA平面ABC解题步骤：第一步：将ABC画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD，连接PD，则PD必过球心O；第二

5、步：1O为ABC的外心，所以1OO平面ABC，算出小圆1O的半径rDO1（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得rCcBbAa2sinsinsin），PAOO211；第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：222)2()2(rPAR22)2(2rPAR；2122OOrR212OOrR2题设：如图 6，7，8，P的射影是ABC的外心三棱锥ABCP 的三条侧棱相等3三棱锥ABCP 的底面ABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点解题步骤：第一步：确定球心O的位置，取ABC的外心1O，则1,OOP三点共线；第二步：先算出小圆1O的半径rAO 1，再算出棱锥的高hPO 1（也是圆锥的高）；第三步：

6、勾股定理：21212OOAOOA222)(rRhR，解出R方法二：方法二：小圆直径参与构造大圆。例 2一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为()CA3B2C316D以上都不对解：选 C，221)3(RR,221323RRR,0324R,32R,31642RS类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直）类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直）1题设：如图 9-1，平面PAC平面ABC，且BCAB （即AC为小圆的直径）4第一步：易知球心O必是PAC的外心，即PAC的外接圆是大圆，先求出小圆的直径rAC2；第二步：在PAC中，可根据正弦定理RCcBbAa2sinsinsin，求出R2如图 9

7、-2，平面PAC平面ABC，且BCAB （即AC为小圆的直径）21212OOCOOC2122OOrR2122OORAC3如图 9-3，平面PAC平面ABC，且BCAB （即AC为小圆的直径），且P的射影是ABC的外心三棱锥ABCP 的三条侧棱相等三棱ABCP 的底面ABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点解题步骤：第一步：确定球心O的位置，取ABC的外心1O，则1,OOP三点共线；第二步：先算出小圆1O的半径rAO 1，再算出棱锥的高hPO 1（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：21212OOAOOA222)(rRhR，解出R4如图 9-3，平面PAC平面ABC，且BCAB （即AC为小圆的

8、直径），且ACPA ，则利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：222)2()2(rPAR22)2(2rPAR；2122OOrR212OOrR例 3（1） 正四棱锥的顶点都在同一球面上， 若该棱锥的高为 1， 底面边长为32， 则该球的表面积为。（2）正四棱锥ABCDS 的底面边长和各侧棱长都为2，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为解：（1）由正弦定理或找球心都可得72R，4942RS，（2） 方法一： 找球心的位置， 易知1r，1h，rh ， 故球心在正方形的中心ABCD处，1R，34V方法二：大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是SAC的外接圆，此处特殊，SACRt的斜边是球半径，22R，1R，3

9、4V（3）在三棱锥ABCP 中，3PCPBPA,侧棱PA与底面ABC所成的角为60，则该三棱锥外接球的体积为（）AB.3C. 4D.43解：选 D，圆锥CBA,在以23r的圆上，1R（4）已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的求面上,ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且2SC ，则此棱锥的体积为（）AA26B36C23D225解：36)33(12221rROO，362h，62362433131ShV类型四、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）类型四、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）题设：如图 10-1，图 10-2，图 10-3,直直三三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于

10、圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）第一步：确定球心O的位置，1O是ABC的外心，则1OO平面ABC；第二步：算出小圆1O的半径rAO 1，hAAOO212111（hAA 1也是圆柱的高）；第三步：勾股定理：21212OOAOOA222)2(rhR22)2(hrR，解出R例 4 （1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为89，底面周长为3，则这个球的体积为解：设正六边形边长为a，正六棱柱的高为h，底面外接圆的关径为r，则21a，底面积为833)21(4362S，89833hShV柱，3h，1)21()23(222R，1R，球的

11、体积为34V（2）直三棱柱111ABCABC的各顶点都在同一球面上，若12ABACAA,120BAC，则此球的表面积等于。解：32BC，4120sin322r，2r，5R，20S（3）已知EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，60, 2, 3AEBADEBEA，则多面体ABCDE 的外接球的表面积为。16解析：折叠型，法一：EAB的外接圆半径为31r，11OO，6231R；法二：231MO，21322DOr，4413432R，2R，16S（4）在直三棱柱111CBAABC 中，4,3, 6, 41AAAACAB则直三棱柱111CBAABC 的外接球的表面积为。3160解析：2821

12、64236162BC，72BC，37423722r，372r，3404328)2(2122AArR，3160S类型五、折叠模型类型五、折叠模型题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠( (如图如图 11)11)第一步：先画出如图所示的图形，将BCD画在小圆上，找出BCD和BDA的外心1H和2H；第二步：过1H和2H分别作平面BCD和平面BDA的垂线，两垂线的交点即为球心O，连接OCOE,；第三步：解1OEH，算出1OH，在1OCHRt中，勾股定理：22121OCCHOH例 5 三棱锥ABCP 中，平面PAC平面ABC，PAC和AB

13、C均为边长为2的正三角形，则三棱锥ABCP 外接球的半径为.解析：3460sin22221rr，3221 rr，312HO，35343121222rHOR，315R；法二：法二：312HO，311HO，1AH，352121222OOHOAHAOR，315R类型六、对棱相等模型（补形为长方体）类型六、对棱相等模型（补形为长方体）7题设题设： 三棱锥三棱锥 （即四面体即四面体） 中中， 已知三组对棱分别相等已知三组对棱分别相等， 求外接球半径求外接球半径 （CDAB ，BCAD ，BDAC ）第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；第二步：设出长方体的长宽高分别为cba,，xBCAD，

14、yCDAB，zBDAC，列方程组，222222222zacycbxba2)2(2222222zyxcbaR，补充：abcabcabcVBCDA31461第三步：根据墙角模型，22222222zyxcbaR，82222zyxR，8222zyxR，求出R，例如，正四面体的外接球半径可用此法。例 6（1）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是.（2）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）A433B33C43D123解：（1）截面为1PCO，面积是2；（2）高1

15、 Rh，底面外接圆的半径为1R，直径为22R，设底面边长为a，则260sin2aR，3a，433432aS，三棱锥的体积为4331ShV（3）在三棱锥BCDA中，, 4, 3, 2BDACBCADCDAB则三棱锥BCDA外接球的表面积为。229解析：如图 12，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为cba,，则922ba，422cb，1622 ac291649)(2222cba，291649)(2222cba，229222cba，22942R，229S（4）如图所示三棱锥ABCD，其中5,6,7,ABCDACBDADBC则该三棱锥外接球的表面积为.8解析：同上，设补形为长方

16、体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为cba,，110493625)(2222cba，55222cba，5542R，55S【55；对称几何体；放到长方体中】（5）正四面体的各条棱长都为2，则该正面体外接球的体积为解析：这是特殊情况，但也是对棱相等的模式，放入长方体中，32R，23R，2383334V，类型七、两直角三角形拼接在一起类型七、两直角三角形拼接在一起( (斜边相同斜边相同, ,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥) )模型模型题设：90ACBAPB，求三棱锥ABCP 外接球半径（分析：取公共的斜边的中点O，连接OCOP,，则ABOPOCOBOA

17、21，O为三棱锥ABCP 外接球球心，然后在OCP中求出半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值。例 7（1）在矩形ABCD中，4AB，3BC，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角DACB，则四面体ABCD的外接球的体积为（）A12125B9125C6125D3125解：（1）52 ACR，25R，6125812534343RV，选 C（2）在矩形ABCD中，2AB，3BC，沿BD将矩形ABCD折叠，连接AC，所得三棱锥BCDA的外接球的表面积为解析：（2）BD的中点是球心O，132 BDR，1342RS；类型八、锥体的内切球问题类型八、锥

18、体的内切球问题1题设：如图 14，三棱锥ABCP 上正三棱锥，求其外接球的半径。第一步：先现出内切球的截面图，HE,分别是两个三角形的外心；第二步：求BDDH31，rPHPO，PD是侧面ABP的高；第三步：由POE相似于PDH，建立等式：PDPODHOE，解出r2题设：如图 15，四棱锥ABCP 上正四棱锥，求其外接球的半径9第一步：先现出内切球的截面图，HOP,三点共线；第二步：求BCFH21，rPHPO，PF是侧面PCD的高；第三步：由POG相似于PFH，建立等式：PFPOHFOG，解出3题设：三棱锥ABCP 是任意三棱锥，求其的内切球半径方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱

19、锥的体积之和相等第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为r，建立等式：PBCOPACOPABOABCOABCPVVVVVrSSSSrSrSrSrSVPBCPACPABABCPBCPACPABABCABCP)(3131313131第三步：解出PBCOPACOPABOABCOABCPSSSSVr3习题：习题：1 若三棱锥ABCS 的三条侧棱两两垂直， 且2SA，4 SCSB， 则该三棱锥的外接球半径为 （）A.3B.6C.36D.9解：【A】616164)2(2R，3R2 三棱锥ABCS 中，侧棱SA平面ABC，底面ABC是边长为3的正三角形，32SA，则该三棱锥的外接

20、球体积等于.332解析：260sin32r，16124)2(2R，42R，2R，外接球体积332834【外心法（加中垂线）找球心；正弦定理求球小圆半径】3正三棱锥ABCS 中，底面ABC是边长为3的正三角形，侧棱长为2，则该三棱锥的外接球体积等于.解析：ABC外接圆的半径为 ，三棱锥ABCS 的直径为3460sin22R，外接球半径32R，或1)3(22 RR，32R，外接球体积2733233834343RV，4三棱锥ABCP 中，平面PAC平面ABC，PAC边长为2的正三角形，BCAB ，则三棱锥ABCP 外接球的半径为.解析：PAC的外接圆是大圆，3460sin22R，32R，5 三棱锥ABCP 中，平面PAC平面ABC，2AC，3 PCPA，BCAB ，则三棱锥ABCP 外接球的半径为.解析：973324992cos222PCPAACPCPAP，81216)97(1sin22P，924sinP，42922992422R，829R6 三棱锥ABCP 中，平面PAC平面ABC，2AC，PCPA ，BCAB ，则三棱锥ABCP 外接球的半径为.解：AC是公共的斜边，AC的中点是球心O，球半径为1R。