吉林省2021-2022学年高二上学期第二次月考数学试题含解析.doc

1、试卷主标题试卷主标题姓名：_ 班级：_考号：_一、选择题（共一、选择题（共 1212 题）题）1、 已知直线l的方程为，则直线的倾斜角为（ ）A B 60 C 150 D 1202、 已知向量，若向量与向量平行，则实数m的值是（ ）A 2 B -2 C 10 D -103、 抛物线的一条焦点弦为AB，若，则AB的中点到直线的距离是A 4 B 5 C 6 D 74、 双曲线的渐近线方程是（ ）A B C D 5、 已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C与椭圆有相同的焦距，且一条渐近线方程为x 2y 0 ，则双曲线C的方程可能为（ ） .A B C D 6、 已知圆：与中心在原点、焦点在坐标轴上

2、的双曲线的一条渐近线相切，则双曲线的离心率为（ ）A 或 4 B 或 2 C D 27、 已知椭圆的离心率为，直线与椭圆交于两点且线段的中点为，则直线的斜率为（ ）A B C D 8、 已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是A 内切 B 相交 C 外切 D 相离9、 已知命题p：方程表示焦点在轴上的椭圆，则使命题成立的充分不必要条件是（ ）A B C D 10、 关于空间向量，以下说法不正确的是（ ） .A 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B 若对空间中任意一点，有，则、四点共面C 已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底D 若，则是锐角11、 已知椭

3、圆的左、右焦点分别为，离心率为，椭圆的上顶点为， 且, 曲线和椭圆有相同焦点， 且双曲线的离心率为，为曲线与的一个公共点，若，则（ ） .A B C D 12、 设是双曲线的两个焦点，是双曲线上任意一点，过作平分线的垂线，垂足为，则点到直线的距离的最大值是（ ） .A 4 B 5 C 6 D 3二、填空题（共二、填空题（共 4 4 题）题）1、 抛物线过点，则点P到抛物线准线的距离为 _ 2、 双曲线的离心率为，则其渐近线的斜率是 _ 3、 过圆内的点作一条直线，使它被该圆截得的线段最短，则直线的方程是 _ 4、 已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长

4、为 6 ，且 cosOFA，则椭圆的标准方程是 _.三、解答题（共三、解答题（共 6 6 题）题）1、 已知椭圆C的一个焦点，且短轴长为.（ 1 ）求椭圆C的方程；（ 2 ）若点P在C上，且，求的面积 .2、 如图，在棱长为的正方体中，点是的中点 .（ 1 ）求证：平面；（ 2 ）求直线到平面的距离 .3、 己知过点的抛物线方程为，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，且.（ 1 ）求抛物线的方程、焦点坐标、准线方程；（ 2 ）求所在的直线方程 .4、 已知动圆过定点，且在轴上截得的弦长为，动圆圆心的轨迹方程为，过点的直线与轨迹只有一个公共点，求此直线方程 .5、 已知抛物线与直线相交于A

5、、B两点，O为坐标原点 .（ 1 ）求证：；（ 2 ）当时，求的值 .6、 已知点A( 1,0) ，点P是 B： (x 1)2y2 16 上的动点线段AP的垂直平分线与BP交于点Q（ 1 ）设点Q的轨迹为曲线C，求C的方程（ 2 ）过x轴上一动点R作两条关于x轴对称的直线与，设M，N分别是，与曲线C的交点且M，N不关于x轴对称，MN与x轴交于点S，是否为定值？若是定值，请求出定值，若不是定值，请说明理由=参考答案参考答案=一、选择题一、选择题1、 C【分析】由直线方程得斜率，从而可得倾斜角【详解】由题意直线的斜率为，而倾斜角大于等于且小于，故倾斜角为故选： C 2、 A【分析】利用向量共线定理

6、即可得到，再进行向量坐标化，由向量相等得到参数值 .【详解】向量，向量与向量，平行，存在实数使得，坐标化得到：，解得故选： A 3、 B【分析】设出两点的坐标，根据抛物线方程求得的值，利用抛物线的定义，求得中点到直线的距离 .【详解】设，抛物线方程为，故. 根据抛物线的定义有，所以中点的横坐标为，故中点到直线的距离为，故选 B.【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查抛物线的焦点弦有关问题，属于基础题 .4、 C【分析】根据双曲线的标准方程，即可直接求出其渐近线方程 .【详解】 双曲线的标准方程为， 双曲线的焦点在轴，且双曲线的渐近线方程为，即.故选： C.5、 A【分析】根据题意求出双曲线的

7、焦距，再结合渐近线方程，讨论焦点在x轴和y轴上两种情况，进而建立a,b的方程组，然后验证选项即可求得答案 .【详解】根据椭圆方程得到双曲线的焦距为， 则， 而双曲线的其中一条渐近线方程为：.若双曲线的焦点在x轴上，则，答案 A,B 中双曲线的焦点在x轴上，容易验证A 正确， B 错误；若双曲线的焦点在y轴上，则，答案 C,D 中双曲线的焦点在y轴上，容易验证都错误 .故选： A.6、 B【分析】分双曲线的焦点在x轴上和y轴上，由圆心到渐近线的距离等于半径求解 .【详解】圆：的圆心为，半径为 1 ，当双曲线的焦点在x轴上时，其渐近线方程为，由题意得，即，所以，所以，当双曲线的焦点在y轴上时，则，

8、故选： B7、 A【分析】可以从离心率条件求出，利用点差法推导出中点弦定理，即，从而求出直线的斜率【详解】， 从而， 设， 因为点在椭圆上， 则，两式相减，得：，即，所以，设原点为，则，则，因为，求得：故选： A8、 B【详解】化简圆到直线的距离，又两圆相交 . 选 B9、 B【分析】若表示焦点在轴上的椭圆， 可得即可得的范围， 再选取该范围的一个真子集即可求解 .【详解】若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得：所以成立的充要条件是：结合四个选项可知：成立的充分不必要条件是，故选： B.10、 D【分析】对 A ，根据空间向量共面定理即可判断；对 B ，根据即可判断；对 C ，根据题意可知不共面

9、，进而判断答案；对 D ，由可得夹角的范围，进而判断答案 .【详解】对 A ，根据空间向量共面定理可知：空间中三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 .A 正确；对 B ，因为，且，所以、四点共面 .B 正确；对 C ，因为是空间的一组基底，所以不共面，则也不共面，而，则也是空间的一组基底 .C 正确；对 D ，若，则.D 错误 .故选： D.11、 B【分析】根据. 可得， 可得， 设，. 可得，根据余弦定理化简，利用离心率计算公式即可得出 .【详解】解：如图所示，设双曲线的标准方程为：，半焦距为. 椭圆的上顶点为，且.， .不妨设点在第一象限，设，.，.在中，由余弦定理可得：.两

10、边同除以，得，解得：.,.故选： B12、 A【分析】根据双曲线的对称性，不妨设点P在双曲线的右支上，延长交于N，进而得到，结合双曲线的定义可知，设，根据题意得到点N的坐标，于是得到点M的轨迹方程，最后求得答案 .【详解】双曲线的方程为：，可得，则，设，不妨设点P在双曲线的右支上，延长交于N，则.由题意，由双曲线的定义：，则，于是，即点M在以原点为圆心， 2 为半径的圆上，而圆心（ 0,0 ）到直线的距离为：，该直线与圆相切，则点M到该直线的距离的最大值为： 2+2=4.故选： A.二、填空题二、填空题1、 5【分析】根据点为抛物线上一点可求出的值，即可知抛物线的准线方程，从而求出所求【详解】

11、解：点为抛物线上一点，解得，抛物线方程为准线方程为，点到抛物线的准线的距离为故答案为： 5 2、【分析】由，结合，可得，即得解【详解】，又，即故答案为：3、【分析】由已知得圆的圆心为，所以当直线时，被该圆截得的线段最短，可求得直线的方程 .【详解】解：由得，所以圆的圆心为，所以当直线时，被该圆截得的线段最短，所以，解得，所以直线l的方程为，即，故答案为：.4、或.【分析】确定A是短轴的端点，根据三角函数得到c 2 ，考虑椭圆焦点在轴的两种情况，得到答案 .【详解】因为椭圆的长轴长是 6 ，所以点A不是长轴的端点 ( 是短轴的端点 ).所以 |OF| c， |AF| a 3 ，所以，所以c 2

12、，b2 32 225 ，所以椭圆的方程是或.故答案为：或.【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，意在考查学生的计算能力和转化能力，属于基础题型 .三、解答题三、解答题1、（ 1 ）（ 2 ）【分析】（ 1 ）由题意求出b，c，进而求出a，最后得到答案；（ 2 ）根据题意轴，进而求出点P的坐标，即求得的高，然后求出面积 .（ 1 ）由题意，则椭圆C的方程为：.（ 2 ）由已知，轴，将代入椭圆C的方程解得：，于是，即的面积为.2、（ 1 ）证明见解析；（ 2 ）.【分析】（ 1 ）连结交于点，进而证明，然后根据线面平行的判定定理证明问题；（ 2 ）由（ 1 ）可知，问题可转化为求点到平面的距离，进而

13、通过空间向量的方法求出点面距离 .（ 1 ）连结交于点，连结，因为四边形为正方形，所以是中点，又因为是的中点，所以.又因为平面平面，所以平面.（ 2 ）由题意，以为坐标原点，以的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 .则，设平面的法向量为，则，令，则，因为平面， 所以直线到平面的距离即为点到平面的距离，所以，即到平面的距离为.3、 (1) 抛物线的方程为，焦点，准线方程为； (2)或.【分析】(1) 根据给定条件求出p值即可求解；(2) 设出直线AB的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理并借助弦长公式求解即得 .【详解】(1) 因点在抛物线方程上，则，所以抛物线的方程为，

14、焦点，准线方程为：；(2) 显然，直线不垂直y轴，设直线方程为：，由消去x得：，设，则有，于是得， 解得， 即直线AB：，所以所在的直线方程：或.4、或或；【分析】设圆心，过点作轴，垂足为，利用垂径定理可得，又， 利用两点间的距离公式即可得出动圆圆心的轨迹方程， 依题意显然满足条件，再设直线方程为，联立直线与抛物线方程，消元，根据得到方程，求出参数的值，即可求出直线方程；【详解】解：如图设圆心，圆与轴交于、两点，过点作轴，垂足为，则，化为；即动圆圆心的轨迹的方程为，显然过点且与抛物线只有一个交点，满足条件；设过点的直线方程为，联立方程得，消去得，所以，解得， 所以直线方程为或，即或，综上可得直

15、线方程为：或或；5、（ 1 ）证明见解析；（ 2 ）.【分析】（ 1 ）假设，联立直线与抛物线方程并使用韦达定理可得，进一步得到，然后计算即可得到结果 .（ 2 ）计算，然后根据，代入计算即可 .（ 1 ）联立方程，消去得，设，则，因为，所以，所以，故.（ 2 ）由（ 1 ）可知：所以则又所以所以，又所以所以6、（ 1 ）（ 2 ）是， 4.【分析】（ 1 ）利用椭圆的定义即得；（ 2 ） 设， 利用直线方程可表示出点S的坐标， 再设R(m，0) ，设直线的方程为，联立椭圆方程，利用韦达定理可求点S的坐标，即得 .（ 1 ）MQ为AP垂直平分线，又点P是 B： (x 1)2y2 16 上的动点，则点Q的轨迹为以A、B为焦点的椭圆，设椭圆方程， 曲线C的方程为.（ 2 ）设R(m,0) ，设直线的方程为，设，则，MN：，令y 0 得，又N关于x轴对称点在上，由得，又，,即为定值 .