3.1.1椭圆及其标准方程-北师大版高中数学选修2-1课件.ppt

1、北师大版高中数学选修北师大版高中数学选修2-12-1精品精品课件课件 生活中的椭圆 如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢？物件呢？生生活活中中的的椭椭圆圆（二）突出认知、建构概念（二）突出认知、建构概念 请同学们用事先准备好的学习用具小组内共同完成一下请同学们用事先准备好的学习用具小组内共同完成一下任务，并思考相应问题任务，并思考相应问题。思思考考数学实验数学实验 (1)取一条细绳，取一条细绳， (2)把它的两端固定在板把它的两端固定在板上的两个定点上的两个定点F1、F2 (3)用铅笔尖（用铅笔尖（M）把细）把细绳拉紧，在板

2、上慢慢移绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的动看看画出的 图形图形1.1.在椭圆形成的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动在椭圆形成的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？的？2.2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？3.3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？系？1. 椭圆定义：椭圆定义： 平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫作）的点的轨迹叫作椭圆。椭圆。这两个定点叫做椭圆的这两个定点叫做椭圆

3、的焦焦点点，两焦点间的距离叫做椭圆的，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距焦距 。12,F F1 2|FF|MF1|+|MF2|=2aMF1F2记焦距为记焦距为2c，椭圆上的点，椭圆上的点M与与F1， F2的的距离距离和记为和记为2a。(|F1F2|=2c,（三）注重本质（三）注重本质 、理解概念、理解概念2a2c0)绳长绳长等于等于两定点间两定点间距离即距离即2a=2c 时时,绳长绳长小于小于两定点间两定点间距离即距离即2a2c0. （2） 平面内平面内. -这是大前提这是大前提 （3）动点）动点M与两定点与两定点 的的距离的和距离的和等于常数等于常数2a1. 椭圆定义：椭圆定义：平面内与两个定点的

4、距离的和等于常数（大于平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 12,F F1 2|FF|MF1|+|MF2|=2a (2a2c0, |F1F2|=2c)MF1F2记焦距为记焦距为2c，椭圆上的点椭圆上的点M与与F1， F2的的距离的距离的和记为和记为2a。12,F F（三）注重本质（三）注重本质、理解概念、理解概念求曲线方程的步骤是什么？（1）建立适当的坐标系，设曲线上任意一点M的坐标为(x，y);（2）找出限制条件 p(M);（3）把坐标代

5、入限制条件p(M) ，列出方程 f (x，y)=0; （4）化简方程 f (x，y)=0;（5）检验(可以省略,如有特殊情况，适当说明)建、建、 设、限、代、化设、限、代、化 结合椭圆的几何特征，你认为怎样选择坐标系才能结合椭圆的几何特征，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程简单？使椭圆的方程简单？（四）深化研究、构建方程（四）深化研究、构建方程222)()(rbyaxxOyA(a,b)Mr222ryxxOyMr类比探究类比探究（四）深化研究、构建方程（四）深化研究、构建方程建立平面直角坐标系一般遵循的原则：建立平面直角坐标系一般遵循的原则：对称、简洁对称、简洁xOyM方案一方案一 探讨建立平

6、面直角坐标系的方案探讨建立平面直角坐标系的方案（四）深化研究、构建方程（四）深化研究、构建方程方案二方案二xOyM1F2F2F1F 以以F1、F2 所在直线为所在直线为 x 轴，线段轴，线段 F1F2的垂直平分线为的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系轴建立直角坐标系) 0(222babca设, 0,2222cacaca所以即由椭圆定义可知由椭圆定义可知化化代代设设 建建 F1F2xyM( x , y )设设 M( x，y )是椭圆上任意一点，是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为椭圆的焦距为2c，则有，则有F1(-c，0)、F2(c，0).- , 0c , 0c则：则：2222+-+= 2xcyx c

7、yaO 椭圆标准方程的推导椭圆标准方程的推导限限aMFMF2|21限限制条件为制条件为：)0.(12222babyax两边同除以两边同除以 得得22ba222222bayaxb得，22222222()()2xcyxcyacxy（四）深化研究、构建方程（四）深化研究、构建方程又设又设M与与F1， F2的距离的和等于的距离的和等于2aF1F2xyM( x , y )- , 0c , 0c椭圆的标准方程（四）深化研究、构建方程（四）深化研究、构建方程 焦点在焦点在 轴上轴上1F2FxyO) 0( 12222babyaxx),(yxM 思考思考：焦点在焦点在 轴上轴上的的方程是什么？方程是什么？yOx

8、y),(yxM1F2F) 0( 12222babxay012222babyax焦点在焦点在y轴：轴：焦点在焦点在x轴：轴：1oFyx2FM( x , y )aycxycx2)()(2222axcyxcy2)()(222212yoFFM( x , y )x椭圆的标准方程（四）深化研究、构建方程（四）深化研究、构建方程Y Y型椭圆型椭圆X X型椭圆型椭圆), 0(), 0(21cFcF，)0()0(21，cFcF 由两点间的距离公式，可知：由两点间的距离公式，可知：2222()()2ycxycxa 设设|F1F2|=2c(c0)，M(x，y)为椭圆上任意一点，为椭圆上任意一点，则有则有F1(0,-

9、c)，F2(0,c)， 又由椭圆又由椭圆 的定义可得：的定义可得： |MF1|+ |MF2|=2a（请大家比较一下上面两式的不同，独立思考后回答（请大家比较一下上面两式的不同，独立思考后回答椭圆的标准方程。）椭圆的标准方程。）2a2ay yc)c)(x(xy yc)c)(x(x2 22 22 22 2焦点在焦点在Y轴轴焦点在焦点在X轴轴F2F1Mxyo22222222222211xyxybacaacab22222222222211yxyxaacabbac222210yxabab焦点在焦点在x轴上的标准方程：轴上的标准方程：焦点在焦点在y轴上的标准方程：轴上的标准方程：222210 xyabab

10、（1）焦点在）焦点在x轴的椭圆，轴的椭圆，x2项分母较大项分母较大.（2）焦点在）焦点在y轴的椭圆，轴的椭圆，y2 项分母较大项分母较大.222bac222bacOXYF1F2M(-c,0)(c,0)YXOF1F2M(0,-c)(0 , c)0(12222babyax)0(12222babxay椭圆的标准方程的认识：椭圆的标准方程的认识：（1）“椭圆的标准方程椭圆的标准方程”是个是个专有名词专有名词，专指本节介绍的两，专指本节介绍的两 个方程，方程形式是固定的。个方程，方程形式是固定的。（3）椭圆的标准方程中三个参数）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足满足a2=b2+c2。（4）由椭圆的标

11、准方程可以求出三个参数）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。的值。（2）椭圆的标准方程中，）椭圆的标准方程中，x2与与y2的分母哪一个大，则焦点在哪的分母哪一个大，则焦点在哪 一个轴上一个轴上,即即“椭圆的焦点椭圆的焦点看分母，谁大在谁上看分母，谁大在谁上”PxyoacbcaOP22|令222210 xyababb0 12222babyax 0 12222babxay图图 形形方方 程程焦焦 点点F( (c，0)0)F(0(0，c) )a,b,c之间的关系之间的关系c2 2= =a2 2- -b2 2|MF1|+|MF2|=2a (2a2c0)定定 义义1 12 2yoFFMx1o

12、Fyx2FM注注: :共同点：共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是方程的左边是平方和，右边是1.2x2y不同点：不同点：焦点在焦点在x轴的椭圆轴的椭圆 项分母较大项分母较大. 焦点在焦点在y轴的椭圆轴的椭圆 项分母较大项分母较大.22( 2 )12 51 6xy2222(5)11xymm22(1 )11 61 6xy22(3)9252250 xy22(4)321xy 练习：练习：下列方程哪些表示椭圆？若表示椭圆下列方程哪些表示椭圆？若表示椭圆焦点在那个轴上？（焦点在那个

13、轴上？（独立思考后回答独立思考后回答）例例1、填空：（独立思考后回答）、填空：（独立思考后回答）(1)已知椭圆的方程为：已知椭圆的方程为： ,则则 a=_，b=_，c=_， 焦点坐标为：焦点坐标为： ，焦距，焦距 等于等于_; 若曲线上一点若曲线上一点P到左焦点到左焦点F1的距离为的距离为3，则，则 点点P到另一个焦点到另一个焦点F2的距离等于的距离等于_， 则则 F1PF2的周长为的周长为_15422yx21(0,-1)、(0,1)252 532 52|PF1|+|PF2|=2a判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：准则： 焦点在分母大的那个轴上。焦点在分

14、母大的那个轴上。F1F2(2)已知椭圆的方程为：已知椭圆的方程为： ，则，则a=_，b=_，c=_，焦点坐标，焦点坐标为：为：_焦距等于焦距等于_;若若CD为过为过左焦点左焦点F1的弦，则的弦，则 F2CD的周长为的周长为_1162522yx543(3,0)、(-3,0)60F1F2CD判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：准则： 焦点在分母大的那个轴上。焦点在分母大的那个轴上。|CF1|+|CF2|=2a192522yx192522xy练习练习1 1：判定下列椭圆的焦点在哪条轴上？：判定下列椭圆的焦点在哪条轴上？并指明并指明a a2 2、b b2 2，写出

15、焦点坐标，写出焦点坐标1162522yx答：在答：在 X 轴。（轴。（-3，0）和）和 （3，0）116914422yx答：在答：在 y 轴。（轴。（0，-5）和）和 （0，5）112222mymx答：在答：在y 轴。（轴。（0，-1）和）和 （0，1）练习2：将下列方程化为标准方程，并判定焦点在哪个轴上，写出焦点坐标 0225259122yx192522yx 132222yx1312212yx解：因为椭圆的焦点在解：因为椭圆的焦点在 轴上，设轴上，设x)0(12222 babyax由椭圆的定义知由椭圆的定义知222253532222222a 所以所以.10 a又因为又因为 ， 所以所以2 c

16、6410222 cab因此，所求椭圆的标准方程为因此，所求椭圆的标准方程为161022 yx定义法定义法xF1F2POy（六）应用拓展、提高能力（六）应用拓展、提高能力 已知椭圆两个焦点的坐标分别是已知椭圆两个焦点的坐标分别是( -2, 0 ), (2,0)， 并且经过点并且经过点P ，求它的标准方程求它的标准方程. .例例1 1： 2325， 解：因为椭圆的焦点在解：因为椭圆的焦点在 轴上，设轴上，设x)0(12222 babyax 由于由于 所以所以，2 c422 ba 又点又点 在椭圆上在椭圆上 2325，123252222 ba联立方程联立方程解得解得6,1022 ba因此所求椭圆的标

17、准方程为因此所求椭圆的标准方程为161022 yxxF1F2POy待定系数法待定系数法 已知椭圆两个焦点的坐标分别是已知椭圆两个焦点的坐标分别是( -2, 0 ), (2,0)， 并且经过点并且经过点P ，求它的标准方程求它的标准方程. .例例1 1：（六）应用拓展、提高能力（六）应用拓展、提高能力 2325，例例2、如图，在圆上任取一点、如图，在圆上任取一点P作作x轴轴的垂线段的垂线段PD，D为垂足。当点为垂足。当点P在圆上运动时，在圆上运动时，线段线段PD的中点的中点M的轨迹是什么？为什么？的轨迹是什么？为什么？422 yx解解:设点设点M坐标为坐标为M(x,y), 点点P的坐标为的坐标为

18、 P(x,y),则则由题意可得：由题意可得： yyxx2因为因为422 yx所以所以4422 yx即即1422 yx这就是点这就是点M的轨迹方程，它表示一个椭圆。的轨迹方程，它表示一个椭圆。相关点分析法相关点分析法:即利用中间变量求曲线方程即利用中间变量求曲线方程.oxyPMD例例3 设点设点A,B的坐标分别为的坐标分别为(-5,0),(5,0).直线直线AM,BM相交于点相交于点M，且它们的斜率之积是，且它们的斜率之积是-4/9,求点求点M的轨的轨迹方程。迹方程。)5(5),0 , 5(),(xxykAMAyxMAM的斜率所以，直线的坐标是因为点的坐标为解：设点).5(5xxykBMBM的斜

19、率同理，直线)5(9455xxyxy由已知有)5( 191002522xyxM的轨迹方程为化简，得点“杂点杂点”可不要可不要忘了哟忘了哟注注:这样设不失为一种方法这样设不失为一种方法.221.41.xkyyk练习 方程的曲线是焦点在 轴上的椭圆， 求的取值范围2241xky解：方程化为114122kyx轴上的椭圆，曲线是焦点在 y0411kk且.40 k即221222125.1,(0),.xyabF FabPFPFP例 已知椭圆是两个焦点，是椭圆上一点，求最大时 点坐标 yoF1 1F2 2xP21PFF证明：设2211| ,|tPFtPF令212222124cost tctt由椭圆的第一定义

20、得：att221212212212122221242)(24cost tct tttt tctt2121222244t tt tca12cos212t tb,)2(222121attt t又)(21时取等号当tt 12cos22ab最大。时，即当21), 0(PFFbP例例4.已知椭圆已知椭圆 ，焦点为，焦点为F1和和F2 ，P是椭圆是椭圆 上一点，且上一点，且 ，求，求 的周长和面积。的周长和面积。22221xyab21FPF21PFF21PFF通常叫做通常叫做焦点三角形焦点三角形，其，其周长周长为定值为定值2a + 2c.相关知识：相关知识： 注意注意新旧知识的综合运用新旧知识的综合运用1

21、 212121sin2PFFSPFPFFPF222121212122cosFFPFPFPFPFFPF余弦定理：21PFF通常叫做通常叫做焦点三角形焦点三角形，其，其周长周长为定值为定值2a + 2c，其其面积面积为为2212tantan22FPFbb（七）回顾反思、提升经验（七）回顾反思、提升经验一个概念：一个概念：两个方程：两个方程：两种方法：两种方法：三个意识：三个意识：2222+=1 0 xyabab2222+=1 0 xyabba|MF1|+|MF2|=2a (2a2c0)定义法；待定系数法定义法；待定系数法.类比意识；求美意识；求简意识类比意识；求美意识；求简意识.两种思想：两种思想：数形结合的思想；坐标法的思想数形结合的思想；坐标法的思想.2222+=1 0 xyabab 标准方程中，分母哪个大，焦标准方程中，分母哪个大，焦点就在哪个轴上点就在哪个轴上!12- , 0 , 0，FcF c120,-0,，FcFc标标 准准 方方 程程相相 同同 点点焦点位置的判断焦点位置的判断不不 同同 点点图图 形形焦焦 点点 坐坐 标标a、b、c 的关系的关系焦点在焦点在x轴上轴上焦点在焦点在y轴上轴上222cab22221(0)yxababyxMOF1 1F2 2