第二十章 解直角三角形-解直角三角形-20.4 解直角三角形-教案、教学设计-部级公开课-北京版九年级上册数学(配套课件编号:c0568).docx
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1、解直角三角形教学设计解直角三角形教学设计一、对解直角三角形的知识解读一、对解直角三角形的知识解读1.对知识本身的分析解读对知识本身的分析解读我们知道, 由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程叫做解直角三角形,而在直角三角形中,除直角以外还有三条边及两个锐角共五个元素,那么什么样的直角三角形才可解呢?如果已知两个锐角能否解直角三角形呢?事实上,解直角三角形与直角三角形的判定与作图有着本质的联系,因为已知两个元素(至少有一个是边)可以判定直角三角形全等,也可以利用尺规作图作出直角三角形, 即此时直角三角形是确定的, 因此这样的直角三角形是可解的,从而确立了解直角三角形的概念。由于已知两个锐角的
2、直角三角形是不确定的,它们是无数多个相似的直角三角形,因此求不出各边的长。所以,要解直角三角形,给出的除直角外的两个元素中,至少有一个是边,这样,解直角三角形就分为两大类,即已知一条边及一个锐角或已知两条边解直角三角形。从直角三角形的可解性和存在性上来说, 全等三角形的有关理论对理解本节课有积极的促进作用,因此,利用三角形全等的理论,有利于理解解直角三角形的相关内容,加强知识间的相互联系,使学生的学习形成正迁移。初中主要研究锐角三角函数及解直角三角形和含特殊角的非直角三角形, 这一阶段讲授的三角函数是静态的,主要讨论直角三角形的边角关系,即进一步研究直角三角形的性质, 通过边的比值反映角的大小
3、, 而不是从函数的角度来认识。正弦、余弦、正切都是在给定的直角三角形中定义的,因此角度只限制在 0到90。可以说,解直角三角形是初中这部分内容的定位。高中主要研究任意角的三角函数 (数学 4 基本初等函数 2) 、 解斜三角形(数学 5 解三角形) ,是从函数的角度来研究三角函数的,因此它强调的是比值随角度的变化规律。在欧氏几何中主要用定性的方法研究三角形, 发现一般三角形中共性的结论。例如:三角形中,大边对大角,小边对小角;两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;三角形的内角和是 180,直角三角形的三边满足勾股定理等等。而在三角学中主要用定量的方法研究三角形, 主要以三角函数为主, 如:
4、正弦定理、余弦定理等,还包括三角函数的性质和图像,三角函数式的恒等变换等等。2.对解直角三角形地位作用的分析解读对解直角三角形地位作用的分析解读解直角三角形是义务教育数学课程标准(2011 年版) “图形与几何”领域2的内容,本节课是北京市义务教育教科书九年级上册第二十章第四节的第一课时,了解解直角三角形的概念,并能根据条件解直角三角形;解直角三角形在学习锐角三角函数、 勾股定理等内容的基础上进一步探究如何利用所学知识解直角三角形, 不但体现了三角函数的应用而且进一步完善了直角三角形的有关知识,对有关几何的运算和推理证明提供了有力的工具和建模。在直角三角形中,勾股定理反映了三边之间的关系,三角
5、形内角和反映了三个角之间的关系,而锐角三角函数反映了边角之间的关系,通过本节课的学习,学生理解直角三角形中各个元素之间的关系,并利用这些关系解直角三角形。本节重点研究解直角三角形的意义以及一般方法。加强数形结合的教学,利用锐角三角函数解直角三角形,离不开几何图形,这时往往需要根据题意画出几何图形,通过分析几何图形得到边、角的关系,再通过计算、推理等解决问题,加深对解直角三角形本质的理解。我进深刻理解到在中学数学课程中,三角的内容至关重要,三角是联系几何与代数的一座桥梁, 是沟通初等数学和高等数学的一条通道。 函数、 向量、 坐标、复数等许多重要的数学知识都与三角有关, 大量实际问题的解决要用到
6、三角知识。如直角三角形中的边角计算;一般三角形(含特殊角)和特殊四边形中的边角计算; 圆中有关半径、 弦长及圆和正多边形中的有关计算; 高中立体几何中有关边、角、距离的计算;高中斜三角形中的边角关系的推导;物理学科中的某些计算问题等等。三角是解决几何问题的有力工具,是训练代数变换能力的天然平台,如果能够对刚刚接触的解直角三角形有关知识进行有意义的探索和学习, 对几何和代数的学习必有好处。以往是把重点放在解直角三角形概念具体应用上, 而这次我是把解直角三角形作为问题来研究,探究可解的条件、可解的理论依据。3.对解直角三角形如何考的分析解读对解直角三角形如何考的分析解读解直角三角形是数学中考热点之
7、一, 尤其注重考查学生们在具体生活情景下运用数学知识的能力以及运用方程思想、数形结合思想、分类思想的能力。其中“锐角三角函数”是三角学的基础,是数学课程标准中“空间与图形”领域的重要内容,运用解直角三角形的知识解决实际问题是历年来中考的热点。近年来,联系实际的直角三角形创新题层出不穷,这些题目立意新颖、贴近生活,不但强化考查了“四基”掌握情况,而且有效的考查学生的创新能力和探究意识,很好地体现了课改新理念。3二、解直角三角形的标准要求及课时安排二、解直角三角形的标准要求及课时安排1标准要求:标准要求:(1) 利用相似的直角三角形, 探索并认识锐角三角函数 (sinA, cosA, tanA)
8、,知道 30,45,60角的三角函数值。(2) 会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值,由已知三角函数值求它的对应锐角。(3) 能用锐角三角函数解直角三角形,能用相关知识解决一些简单的实际问题。分析:本节课对应的标准要求是上述第(3)条2.中考说明要求:中考说明要求:(1)基本要求:知道解直角三角形的含义;(2)略高要求:会解直角三角形;能根据问题的需要合理作出垂线,构造直角三角形;会解由两个特殊直角三角形构成的组合图形问题;(3)会解有特殊条件的四边形中的计算问题;会设计简单的测量方案;能综合运用直角三角形的性质解决简单的实际问题。分析:在实际的中考题中,一般以会解有特殊条件的四边形中的计算
9、问题以及将解直角三角形与圆结合考查为主,结合具体题目条件,根据问题的需要合理作出垂线,构造直角三角形,从而解决这一问题,本节课学生以会解直角三角形为主,理解解直角三角形的依据,是下一步学习解非直角三角形的基础。3课时安排:北京版课时安排课时安排:北京版课时安排锐角三角函数 约 3 课时30,45,60角的三角函数值约 1 课时用计算器求锐角三角函数值约 2 课时解直角三角形约 2 课时测量与计算约 4 课时总结与复习约 2 课时分析:北京版教材在安排两节解直角三角形,应该说学生已经对解直角三角形应具有的知识准备有所掌握,“解直角三角形”的概念虽然是第一次出现,但学生对这一切并不陌生, 因此我们
10、认为第一课时是利用所学知识探索解直角三角形的条件以及所需条件的依据, 在知识的形成过程中体会探索问题的方法并时刻提醒学生每一步的解题依据,可以将所学知识融汇贯通使用,提高学生分析问题的能力。 第二课时是在第一课时的基础上,通过添加辅助线由解直角三角形向解非4直角三角形过渡,这一点也与中考说明中的第(2) (3)条不谋而合,同时规范解题格式,选择合适的边角关系式,使运算尽可能简便。 (本节课是解直角三角形的第一课时)另外,在本节课安排中,要凸显三角函数的作用,是解决几何问题的有力工具,是训练代数变换能力的天然平台,三角函数的出场,使得代数与几何紧密地联系在一起,不再各自孤军奋战。三三、教学前学生
11、情况研究、教学前学生情况研究(一)学生学习该内容已有的知识状况(一)学生学习该内容已有的知识状况学生已经学习了全等三角形的判定定理,相似三角形,掌握了锐角三角函数的知识,会由三角函数确定角度的大小,利用三角函数建立直角三角形的边角关系, 会在直角三角形中根据两边求某一锐角的三角函数值,会根据某一锐角的三角函数值以及一边长求其余的边长,并且掌握了直角三角形的勾股定理。(二)学生学习该内容已有的生活、学习经验(二)学生学习该内容已有的生活、学习经验在学习全等三角形的判定时, 学生在教师的引领下经历了从一个条件到三个条件判定两个三角形全等的过程,对于此类问题有着直觉上的感知,但是并没有完全独立探索开
12、放性问题的经历,因此,笔者认为让学生独立探索解直角三角形的条件可能还是会有一定的困难, 因此本节课还是采用了在教师引导下学生探索解直角三角形的条件这一教学方式。(三)学生学习该内容可能遇到的困难(三)学生学习该内容可能遇到的困难课前的前测中, “在 RtABC 中, C=90, A、 B、 C 的对边分别为 a、b、c,除去直角C 外,我们至少还需要给出几个元素,才可以将三边两角中其余的元素都找出来呢?”全班 32 人参与前测:1学生对题目意思的理解分析:全班 32 人中有 25 位同学采用了具体说明或者举例的方式来回答这一问题,占全班人数的 78.1%,说明大部分学生可以理解这一问题。2 学
13、生是如何思考并解答的: 全班 32 人中有 5 位学生给出了一般性的答案,(即明确的说出了需要两个条件中要至少一边或者采用分类的方法说明了需要一边一角或两边) ,占全班人数的 15.6%,13 位同学采用了举例的方式完成(给出的条件为一边一角或两边) , 但是并没有给出最终的结论, 占全班人数的 40.6%,7 位同学也举例来说明(给出的条件为一边或一角) ,占全班人数的 21.9%,还有7 位同学仅仅给出了需要几个条件(并没有明确到底是怎样的条件) ,占全班人数的 21.9%。532 人中,有 8 位学生认为需要再给出一个元素,有 14 位学生认为需要再给出两个元素,有 7 位学生认为需要再
14、给出至少三个元素,有两位学生没有给出看法,有 1 位学生认为需要给出 2-3 个元素;可以看出,有 44%的学生对于上述问题有较为清晰的想法,甚至有学生在问卷中体现出初步的分类思想,但是仍然有56%的学生对于这一问题的直接想法并不准确, 认为仅需要一个条件或者需要更多的条件才可以解决这一问题。结论情况一般性结论举例: 两个条件举例: 一个条件仅仅给出数量汇总人数5137732需要条件数量1 个2 个3 个2-3 个无看法汇总人数814712323学生的解答对教学设计的启发基于前测的结果,发现有 18 位同学可以采用解答或举例的方式来解决课前问题,在教学设计时,我有了放手让学生自己自己探究的想法
15、,但是由于在以前的教学中学生并没有真正的此类经历,学生之间的差异性又很悬殊,在正式讲课时并没有完全放开。(四)我的思考(四)我的思考基于上述分析,在授课过程中,采用了开门见山的方式,直接抛出问题,让学生在独立思考的基础上,分组交流讨论,全体同学在相互交流、辨析的过程中达成共识,教师在此过程中,注意引导梳理学生的思路,使学生认识到研究问题的有序性以及分类讨论时应注意完备性(不重不漏) 。在认识满足什么条件的直角三角形是可解的直角三角形时, 学生不太容易认识到可解的直角三角形与全等三角形的判定条件之间的关系,即使有感觉,也很难把二者之间建立起关系,因为全等三角形是两个三角形之间的关系,而解直角三角
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