江苏省江阴市二中、要塞中学等四校2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含解析.doc

1、2019-20202019-2020 学年第二学期高一期中考试数学学科试题学年第二学期高一期中考试数学学科试题一、单项选择题（本大题共一、单项选择题（本大题共 8 8 小题，共小题，共 4040 分，每道题仅有一个正确选项）分，每道题仅有一个正确选项）1. 直线12lyk x ：必过定点（）A.21 ，B.0 0，C.12，D.21，【答案】A【解析】【分析】解方程组2010 xy 即可.【详解】由2010 xy ，得21xy ，所以直线l必过定点21 ，.故选：A【点睛】本题考查直线恒过定点的问题，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.2. 已知直线l的方程为1yx，则该直线l的倾斜角为（

2、）A.30B.45C.60D.135【答案】B【解析】试题分析：直线的斜率，其倾斜角为考点：直线的倾斜角3. 已知直线31axy与直线320 xy互相垂直，则a （）A. -3B. -1C. 3D. 1【答案】D【解析】【分析】分别求出两条直线的斜率，利用斜率乘积为1即可得到答案.【详解】直线31axy的斜率为3a，直线320 xy的斜率为 3，由题意，()313a ，解得1a .故选：D【点睛】本题考查已知直线的位置关系求参数，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.4. 在ABC中，若2 sinbaB，则角A为（）A. 30或 60B. 45或 60C. 120或 60D. 30或 150【

3、答案】D【解析】【分析】由正弦定理和题设条件，求得1sin2A ，进而求得角A的值，得到答案.【详解】在ABC中，因为2 sinbaB，由正弦定理可得sin2sinsinBAB，又由(0, )B，则sin0B ，所以1sin2A ，又因为(0, )A，所以30A 或150A.故选：D.【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，以及特殊角的三角三角函数的应用，着重考查运算与求解能力.5. 如图所示,为测一棵树的高度,在地面上选取A,B两点,从A,B两点分别测得树尖P的仰角为 30,45,且A,B两点之间的距离为 60m,则树的高度h为()A.(3030 3)mB.(30+15 3)mC.(1530

4、3)mD.(15 15 3)m【答案】A【解析】【分析】先利用正弦定理求出30( 62)PB ，再求出 h 得解.【详解】45BAPAPB,4530APB.由已知及正弦定理,得60sin30sin 4530PB,303030( 62)sin 4530624PB.sin45hPB230( 62)(3030 3)m2.故选：A【点睛】本题主要考查正弦定理的实际应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6. 如图，正方体1111ABCDABC D中，异面直线1AB与1AD所成的角是（）A.30B.45C.60D.90【答案】C【解析】【分析】将1AD平移至1BC，易知11ABC为异面直线1AB与1

5、AD所成的角，再结合11ABCV为等边三角形即可得到答案.【详解】平移1AD至1BC，易知11ABC为异面直线1AB与1AD所成的角，又11ABCV为等边三角形，所以1160ABC.故选：C【点睛】本题考查求异面直线所成的角，考查学生数形结合的思想，转化与化归的思想，是一道容易题.7. 直线l过点(1,2)P，且(2,3)M、(4, 5)N到l的距离相等，则直线l的方程是()A.460 xyB.460 xyC.3270 xy或460 xyD.2370 xy或460 xy【答案】C【解析】【分析】由条件可知直线平行于直线AB或过线段AB的中点,当直线/ /lAB时， 利用点斜式求出直线方程；当直

6、线经过线段AB的中点2,3时，利用点斜式可得直线方程.【详解】设所求直线为l由条件可知直线l平行于直线AB或过线段AB的中点，（1）AB的斜率为35424 ，当直线/ /lAB时，l的方程是241yx ，即460 xy；(2)当直线l经过线段AB的中点3, 1时，l的斜率为2 131 32 ，l的方程是3212yx ，即3270 xy，故所求直线的方程为3270 xy或460 xy，故选 C.【点睛】本题主要考查直线的点斜式方程的应用，以及斜率公式、直线平行的充要条件，分类讨论思想的应用，意在考查综合应用所学知识解决问题的能力.8. 如图，已知4 0A ，4 0B，0 4，C，2 0E ，2

7、0F，一束光线从F点出发射到BC上的D点，经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上（不含端点） ，则直线FD的斜率的取值范围为（）A., 2 B.4,C.2,D.1,【答案】B【解析】【分析】设F关于直线BC对称的点为H，H关于直线AC对称的点为G，连接,GA GE与直线AC分别交于,A N，连接,HA HN，分别与直线BC交于, I J，由题意，D在线段IJ之间即可，算出, I J两点的坐标结合斜率公式即可得到答案.【详解】设F关于直线BC对称的点为H，H关于直线AC对称的点为G，连接,GA GE与直线AC分别交于,A N，连接,HA HN，分别与直线BC交于, I J，由题意，D在线段I

8、J之间即可，又(2,0)F，直线BC的方程为4xy，设,()H x y，则122422yxxy，解得42xy，所以(4,2)H，同理可得H关于直线AC对称的点( 2,8)G ，所以直线GE：2x ，又直线AC方程为：40 xy，所以( 2,2)N ，所以直线HA方程为：21(4)(4)4( 4)4yxx ，即440 xy，由4404xyxy，得12585xy，所以12 8(, )5 5I，又易得HN方程为：2y ，所以(2,2)J，所以80541225FDFIkk.故选：B【点睛】本题考查求点关于直线对称的点、两直线的交点的问题，涉及到入射光线、反射光线，考查学生的数学计算能力，是一道有一定难

9、度的题.二、多选题（本大题共二、多选题（本大题共 4 4 小题，共小题，共 2020 分，每道题有两个或两个以上正确选项）分，每道题有两个或两个以上正确选项）9. 若两条平行直线1l：20 xym与2l：260 xny之间的距离是2 5，则mn的可能值为（）A.3B.17C.3D.17【答案】AB【解析】【分析】由两直线平行可得n，再利用平行直线间的距离公式计算可得m，相加即可得到答案.【详解】 由题意，0n ，212n， 所以4n ， 所以2l：2460 xy， 即230 xy，由两平行直线间的距离公式得22|3|2 51( 2)m ，解得7m或13m ，所以3mn或17mn .故选：AB【

10、点睛】本题考查两直线的位置关系以及平行直线间的距离公式，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.10. 在ABC中，3AB ，1AC ，6B，则角A的可能取值为（）A.6B.3C.23D.2【答案】AD【解析】【分析】由余弦定理得2222cosACBCBABC BAB， 解得1BC 或2BC ， 分别讨论即可.【详解】由余弦定理，得2222cosACBCBABC BAB，即2313232BCBC，解得1BC 或2BC .当1BC 时，此时ABC为等腰三角形，BCAC，所以6AB；当2BC 时，222ABACBC，此时ABC为直角三角形，所以A 2.故选：AD【点睛】本题考查余弦定理解三角形，考查

11、学生分类讨论思想，数学运算能力，是一道容易题.11. 已知直线: 310lxy ，则下列结论正确的是（）A. 直线l的倾斜角是6B. 若直线:310,m xy 则lmC. 点( 3,0)到直线l的距离是2D. 过(2 3,2)与直线l平行的直线方程是340 xy【答案】CD【解析】【分析】对于A求得直线310lxy ：的斜率k即可知直线l的倾斜角，即可判断A的正误；对于B求得直线310mxy ：的斜率k，计算kk是否为1，即可判断B的正误；对于C利用点到直线的距离公式，求得点3 0，到直线l的距离d，即可判断C的正误；对于D利用直线的点斜式可求得过2 3 2，与直线l平行的直线方程，即可判断D

12、的正误【详解】对于A直线310lxy ：的斜率ktan3，故直线l的倾斜角是3，故A错误；对于B因为直线310mxy ：的斜率k33，kk11，故直线l与直线m不垂直，故B错误；对于C点3 0，到直线l的距离d22330 131 2，故C正确；对于D过2 3 2，与直线l平行的直线方程是y23（x23） ，整理得：340 xy，故D正确综上所述，正确的选项为CD故选：CD【点睛】本题考查命题的真假判定，着重考查直线的方程的应用，涉及直线的倾斜角与斜率，直线的平行与垂直的应用，属于基础题12. （多选题）如图，设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，3coscos2 sinaCcAbB

13、，且3CAB若点D是ABC外一点，1DC ，3DA，下列说法中，正确的命题是（）A.ABC的内角3BB.ABC的内角3CC. 四边形ABCD面积的最大值为5 332D. 四边形ABCD面积无最大值【答案】ABC【解析】【分析】先根据正弦定理化简条件得B，再结合3CAB得C，最后根据三角形面积公式表示四边形ABCD面积，利用余弦定理以及辅助角公式化为基本三角函数形式，根据三角函数性质求最值.【详解】23coscos2 sin3 sincossincos2sinaCcAbBACCABQ2233sin()2sin3sin2sinsin2ACBBBB2(0,)3333CABBBCAB，,因此 A,B

14、正确；四边形ABCD面积等于231sin42ABCACDSSACAD DCADC2231(2cos)sin42ADDCAD DCADCAD DCADC315 35 3(9 1 6 cos)3sin3sin()342232ADCADCADC 因此 C 正确，D 错误，故选：ABC【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、辅助角公式、三角形面积公式以及正弦函数性质，考查综合分析求解能力，属中档题.三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 4 小题，共小题，共 2020 分，将答案填在答题卡相应位置）分，将答案填在答题卡相应位置）13.ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 已知coscos

15、aBbA， 则ABC的形状是_三角形【答案】等腰【解析】【分析】由coscosaBbA结合正弦定理可得sincossincosABBA，即in0()sAB，结合A、B范围即可得到答案.【详解】 因为coscosaBbA， 由正弦定理， 得sincossincosABBA， 即in0()sAB，又(0, )A，(0, )B，所以(, )AB ，所以0AB，即AB，所以ABC是等腰三角形.故答案为：等腰【点睛】本题考查正弦定理判断三角形形状，涉及到两角差的正弦公式，考查学生的逻辑推理能力，数学运算能力，是一道容易题.14. 已知球O的表面积为16,则球O的体积为_.【答案】323【解析】【分析】由

16、已知结合球的表面积公式求得半径，再由球的体积公式得答案【详解】设球 O 的半径为 r，则 4r2=16，得 r2=4，即 r=2球 O 的体积为3344322333r故答案为323.【点睛】本题考查球的表面积与体积的求法，是基础题15. 已知直线l过点(2,3)， 且在x轴上的截距是在y轴上截距的两倍， 则直线l的方程为_【答案】320 xy或280 xy【解析】【分析】讨论截距为零和不为零两种情况，为零时根据斜率直接得到直线；不为零时，假设直线的截距式方程，代入点求得结果.【详解】若l在坐标轴的截距均为0，即l过原点，满足题意此时l方程为：32yx，即320 xy当l在坐标轴截距不为0时，设

17、其在y轴截距为b则l方程为：12xybb，代入2,3，解得：4b l方程为：280 xy综上，直线l方程为：320 xy或280 xy本题正确结果：320 xy或280 xy【点睛】本题考查直线方程的求解问题，主要考察直线截距式方程的应用，易错点是忽略了截距为零的情况.16.ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知3 sin4 cosaCcA，3 2a M为AC上一点，MCMB，2ABM，则ABC的面积为_【答案】278【解析】【分析】由已知，可得4tan3A ，进一步可得34cos,sin55AA，设4MCMBx，则3 ,5BAx AMx，由余弦定理可得x 54，22127454

18、sin2255ABCSACABAxx，代入x的值即可.【详解】 由3 sin4 cosaCcA及正弦定理， 得3sinsin4sincosACCA， 因为(0, )C，sin0C ，所以3sin4cosAA，即4tan3A ，所以34cos,sin55AA，设4MCMBx，则3 ,5BAx AMx，由余弦定理，得2222cosBCACBAAC BAA，即223188192935xxxx，解得x 54，所以21274545sin225516ABCSACABAx278.故答案为：278【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，涉及到三角形的面积公式，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.四四、解答题

19、解答题（本大题共本大题共 6 6 小题小题，共共 7070 分分，解答题应写出必要的文字说明解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步证明过程或演算步骤，并把答案写在答题卡的指定区域内）骤，并把答案写在答题卡的指定区域内）17. 在平面直角坐标系xOy中，已知ABC三个顶点坐标为A(7，8)，B(10，4)，C(2，4)(1)求BC边上的中线所在直线的方程；(2)求BC边上的高所在直线的方程【答案】 （1）8480 xy； （2）150 xy【解析】【详解】试题分析： （1）根据中点坐标公式求出BC中点D的坐标，根据斜率公式可求得AD的斜率，利用点斜式可求BC边上的中线所在直线的方程； （2

20、）先根据斜率公式求出BC的斜率，从而求出BC边上的高所在直线的斜率为1，利用点斜式可求BC边上的高所在直线的方程.试题解析： （1）由B(10，4)，C(2，4)，得BC中点D的坐标为（6，0） ，所以AD的斜率为k8，所以BC边上的中线AD所在直线的方程为y08(x6)，即 8xy480（2）由B(10，4)，C(2，4)，得BC所在直线的斜率为k1，所以BC边上的高所在直线的斜率为1，所以BC边上的高所在直线的方程为y8(x7)，即xy15018. 已知直线1:10laxya 与22(:1)30lxay.（1）当0a 时，求直线1l与2l的交点坐标；（2）若12ll，求 a 的值.【答案】

21、 （1）( 2, 1)； （2）1.【解析】【分析】（1）当0a 时，直线1:10ly 与2:230lxy联立即可 （2）两直线平行表示斜率相同且截距不同，联立方程求解即可【详解】 （1）当0a 时，直线1:10ly 与2:230lxy，联立10230yxy ，解得21xy ，故直线1l与2l的交点坐标为( 2, 1).（2）因为12ll，所以(1)203(1)(1)0a aaa，即2(2)(1)040aaa解得1a .【点睛】此题考察直线斜率，两直线平行表示斜率相等且截距不同（如果斜率和截距都相同则是同一条直线） ，属于基础简单题目19. 在ABC中，角, ,A B C的对边分别为, ,a

22、b c，且2224 23bcabc.（1）求sin A的值；（2）若ABC的面积为2，且2sin3sinBC，求ABC的周长.【答案】 （1）13； （2）263 2【解析】【分析】（1）由已知条件结合余弦定理可求 cosA的值，进而根据同角三角函数基本关系式可求 sinA的值（2）利用三角形的面积公式可求bc的值，由正弦定理化简已知等式可得2b3c，解得b，c的值，根据余弦定理可求a的值，即可求解三角形的周长【详解】（1） 2224 23bcabc， 由余弦定理可得 2bccosA4 23bc， cosA2 23，在ABC中，sinA21 cos A13（2）ABC的面积为2，即12bcsi

23、nA16bc2，bc62，又2sinB3sinC，由正弦定理可得2b3c，b32，c2，则a2b2+c22bccosA6，6a，所以周长为263 2abc.【点睛】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题20. 如图，在三棱锥PABC中，PAPC，ABPB，,E F分别是PA，AC的中点求证：（1）EF平面PBC；（2）平面BEF平面PAB【答案】(1)证明见解析； （2）证明见解析.【解析】试题分析：（1） 由三角形中位线定理推导出/ /EFPC， 根据线面平行的判定定理可证明/ /EF平面PBC；

24、 （2）由已知条件推导出,PABE PAEF，可得平面PA BEF，由此能证明平面PAB 平面BEF.试题解析：证明：在APC中，因为,E F分别是,PA AC的中点，所以EFPC又PC平面PAC，EF 平面PAC，所以EF平面PBC； 因为ABPB，且点E是PA的中点，所以PABE；又PAPC，EFPC，所以PAEF，因为BE平面BEF，EF平面BEF，BEEFE，PA平面PAB，所以平面PAB平面BEF.21. 如图，已知射线AB，AC两边夹角为120，点M，N在AB，AC上，4AM ，4AN （1）求线段MN的长度；（2）若60MPN，求PMPN的最大值【答案】 （1）4 3； （2）8

25、 3【解析】【分析】（1）由余弦定理即可得到MN；（2）设PMN，由正弦定理，得sinsinsin 120MNPMPNMPN，所以8sin(120)PM，8sinPN，8sin 1208sinPMPN，再利用三角恒等变换运算即可.【详解】1（）在AMN中，由余弦定理得，22212cos1201616244482MNAMANAM AN ，所以4 3MN 2（ ）设PMN，因为60MPN，所以120PNM，在PMN中，由正弦定理得sinsinsin 120MNPMPNMPN，因为4 38sinsin60MNMPN，所以8sin(120)PM，8sinPN，因此318sin 1208sin8coss

26、in8sin22PMPN12sin4 3cos8 3sin30因为0120，所以3030150所以当3090，即60时，PMPN取到最大值8 3.【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查学生数学运算、数学建模的能力，是一道中档题.22. 燕山公园计划改造一块四边形区域ABCD铺设草坪，其中2AB 百米，1BC 百米，ADCD，ADCD，草坪内需要规划 4 条人行道DMDNEMEN，以及两条排水沟ACBD，其中MNE， ，分别为边BCABAC，的中点（1）若2ABC，求排水沟BD的长；（2）当ABC变化时，求4条人行道总长度的最大值【答案】 （1）3 22百米； （2）3222百米【解

27、析】【分析】（1）由已知易得BADBCD，则coscosBADBCD ，在BCD，BAD中分别由余弦定理可得2222cosBDBCCDBC CDBCD，2222cosBDABADAB ADBAD，解方程组即可；（2）设ABC，设BAC，ACB，则254cosAC，在ABC中，由正弦定理得sinsinAC，2MED，cossinMED ，由余弦定理29sincos4DM，同理23sincos2DN，令sincost ，则933422DNDMENEMtt ，求出函数的最值即可.【详解】 （1）因为2ABC，2AB ，1BC 所以5AC ，所以102CD ，因为2ABCADC，所以BADBCD，所以

28、coscosBADBCD ，在BCD中：2222cosBDBCCDBC CDBCD，即251012 1cos22BDBCD 在BAD中：2222cosBDABADAB ADBAD222cosABADAB ADBCD，即2510422cos22BDBCD 由解得：3 22BD ，即排水沟BD的长为3 22百米；2（ ）设ABC，设BAC，ACB，在ABC中，由余弦定理得：254cosAC，在ABC中，由正弦定理：sinsinACBC，得sinsinAC，连接DE，在MDE中，2MED，coscossin2MED ，在MDE中，由余弦定理：2222cosDMMEDEME DEMED291sinsincos44ACAC ，同理：23sincos2DN设sincos2sin4t，0，则12t ，所以933422DNDMENEMtt ，由复合函数的单调性知，该函数单调递增，所以2t 时，DNDMENEM最大值为93394 232 23224222222 212133222222，所以 4 条走道总长度的最大值为3222百米【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查学生的数学运算、数学建模能力，是一道有一定难度的题.