吉林省松原市前郭县第五中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含解析.doc

1、前郭五中前郭五中 2019-20202019-2020 学年度高一下学期期中考试学年度高一下学期期中考试数学学科试卷数学学科试卷一、选择题（每小题一、选择题（每小题 5 5 分）分）1.数列12，2，92，8，252，它的一个通项公式可以是（）A.212nnna B.2112nnna C.22nna D.1nnan 【答案】A【解析】【分析】根据数列中的项,依次代入各选项,即可判断通项公式.【详解】将1n 代入四个选项可得A为12,B 为12,C 为12,D 为12.所以排除 B、C 选项.将2n 代入 A、D,得 A为2,D 为23,所以排除 D综上可知,A 可以是一个通项公式故选：A【点睛

2、】本题考查了数列通项公式的判断,属于基础题.2.不等式3902xx的解集为（）A.,23,UB.,23,C.2,3D.2,3【答案】D【解析】【分析】根据分子是否为零进行分类讨论，利用转化法，结合一元二次不等式的解法进行求解即可.【详解】当390 x时，即3x 时，不等式成立；当390 x时，即3x 时，所以有393939000(39)(2)023222xxxxxxxxx，综上所述：不等式3902xx的解集为(2,3.故选：D【点睛】本题考查了分式不等式的解法，考查了转化思想，考查了数学运算能力.3.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，45A，60B ，10a ，则b （）A.1

3、0 63B.10 2C.5 6D.5 2【答案】C【解析】【分析】由正弦定理,代入即可求解.【详解】根据正弦定理可知sinsinabAB因为ABC中,45A,60B ,10a 代入正弦定理可得10sin45sin60b所以31010sin6025 62sin452b故选:C【点睛】本题考查了正弦定理的简单应用,属于基础题.4.已知不等式2230 xx的解集为A，不等式260 xx的解集为B，不等式20 xaxb的解集为AB，则ab（）A. 1B. 0C.1D.3【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式求出集合A、B，根据交集的定义求出AB，结合一元二次方程根与系数进行求解即可.【详解】因为2

4、23013xxx ，所以13Axx ，因为26032xxx ，所以32Bxx ，因此AB12xx ，于是有12131 22aaabbb ，故选：D【点睛】本题考查了解一元二次不等式，考查了集合交集的定义，考查了已知一元二次不等式的解集求参数问题，考查了数学运算能力.5.设等差数列 na的前n项和为nS，若25824aaa，则9S （）A. 36B. 72C. 144D. 70【答案】B【解析】【分析】根据等差数列下标性质，结合等差数列的前n项和公式进行求解即可.【详解】因为数列 na是等差数列，所以由25855243248aaaaa，因此19595() 92999 87222aaaSa .故选

5、：B【点睛】本题考查了等差数列下标的性质，考查了等差数列前n项和公式的应用，考查了数学运算能力.6.若ABC的三个内角A，B，C满足6sin4sin3sinABC，则ABC是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 以上都有可能【答案】C【解析】【分析】根据正弦定理可得三边关系，利用余弦定理可求得cos0C ，从而得到三角形为钝角三角形.【详解】由正弦定理可得：643abc，则34bc，12ac由余弦定理可知：222222191416cos01324224cccabcCabcc 又0,C,2CABC为钝角三角形本题正确选项：C【点睛】本题考查三角形形状的判断，关键是能够灵活运用

6、正余弦定理，通过最大角的余弦值的符号确定三角形形状.7.当时，不等式240 xmx恒成立，则m的取值范围是（）A.(, 4 B.(, 5) C.(, 5 D.( 5, 4)【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的性质得出参数m满足的关系【详解】时，不等式240 xmx恒成立，1404240mm，解得5m 故选 C【点睛】本题考查二次不等式恒成立问题，二次不等式在某个区间上恒成立，可结合二次函数的图象与性质求解8.已知各项均为正数的等比数列 na的前 4 项和为 15，且4236aaa，则3a （）A. 16B. 8C. 2D. 4【答案】D【解析】【分析】首先根据4236aaa得到26qq，2

7、q =，根据415S 得到11a ，再计算3a即可.【详解】因为4236aaa，所以26qq，整理得：26(3)(2)0qqqq.因为0na ，所以2q =.因为414(1 2 )151 2aS，解得11a ，2314aa q.故选：D【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和，同时考查了等比数列的性质，属于简单题.9.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若1cos2abCc，则角B等于（）A.60B.120C.45D.135【答案】A【解析】【分析】运用正弦定理实现边角转化，然后根据三角形内角和定理、两角和的正弦公式，结合特殊角的三角函数值进行求解即可.【详解】由正弦定理可知；si

8、nsinsinabcABC，所以由11cossinsincossin22abCcABCC，因为180()ABC，所以有sinsin180()sin()ABCBC，因此11sincoscossinsincossincossinsin22BCBCBCCBCC，又因为(0 ,180 )C，所以sin0C ，因此1cos2B ，而(0 ,180 )B，所以60B.故选：A【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了两角和的正弦公式的应用，考查了数学运算能力.10.设等差数列 na的前n项和为nS，若675SSS，则满足10nnS S的正整数n的值为（）A. 10B. 11C. 12D. 13【答案】C【解

9、析】675SSS，1116 57 65 4675222adadad，70a ，670aa，113137131302aaSa，112126712602aaSaa，满足10nnS S的正整数n的值为 12，故选 C.11.在等比数列 na中，5a，13a是方程2620 xx的根，则2169a aa的值为（）A.2B.2C.2D. 2【答案】B【解析】【分析】根据等比数列的下标性质，结合一元二次方程的根与系数关系进行求解即可.【详解】因为5a，13a是方程2620 xx的根，所以有51351360,20aaa a ，因此50a ，130a，由等比数列的性质可知：90a ，而29513922aa aa

10、 ，221699992a aaaaa .故选：B【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了数学运算能力.12.“斐波那契”数列是由十三世纪意大利数学家斐波那契发现的数列中的一系列数字常被人们称为神奇数具体数列为：1，1，2，3，5，8，13，即从该数列的第三项开始，每个数字都等于前两个相邻数字之和已知数列 na为“斐波那契”数列，nS为数列 na的前n项和，若2020am，则2018S（）A.2mB.212mC.1mD.1m【答案】C【解析】【分析】根据“斐波那契”数列的定义，可得312aaa，423aaa，354aaa，201920172018aaa，将以上 2017 个等式相加可得结果.【详

11、解】因为数列 na为“斐波那契”数列，所以121aa，21nnnaaa，所以312aaa，423aaa，354aaa，201920172018aaa，将以上 2017 个等式相加可得，345201912320172342018()()aaaaaaaaaaaa，即201820191220181()()aaaaSa，所以202022018aaS，所以20181mS ，所以20181Sm.故选：C.【点睛】本题考查了数列的递推关系式，属于基础题.二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 5 分）分）13.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，5cos5C ，2a ，5b ，则ABCS_【

12、答案】2【解析】【分析】利用同角的三角函数关系式中平方和关系求出sinC的值，最后利用三角形面积公式进行求解即可.【详解】因为5cos5C ，所以(, )2C,因此有2252 5sin1 cos1 ()55CC ，所以112 5sin252225ABCSabC .故答案为：2【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的应用，考查了三角形面积公式的应用，考查了数学运算能力.14.已知x，y0，且满足xy1，则19xy的最小值为_【答案】16【解析】【分析】将所求式子变为1919xyxyxy，整理为符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得结果.【详解】,0,1x yxy，1919991 910216yx

13、yxxyxyxyxyxy ,故答案为 16.【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值的问题，关键是构造出符合基本不等式的形式，从而得到结果，属于常规题型.15.数列12 5，158，18 11， 13132nn，的前 10 项和为_【答案】532【解析】【分析】由1111(31)(32)3 3132nnnn,利用裂项求和即可得答案.【详解】1111(31)(32)3 3132nnnn，1112 55 8(31)(32)nSnn1 1111113 25583132nn1 113 23264nnn，所以前 10 项和为1056 10432，故答案为：532.【点睛】本题主要考查了数列求和的裂项求和

14、方法的应用,解题中要注意1111(31)(32)3 3132nnnn右面的系数13是解题中容易漏掉的，属于中档题.16.已知台风中心位于城市A东偏北（为锐角）的 150 千米处，以v千米/时沿正西方向快速移动， 2.5 小时后到达距城市A西偏北（为锐角） 的 200 千米处， 若3coscos4，则v _千米/时【答案】100【解析】【分析】设台风中心位于B处， 台风中心 2.5 小时后到达C处,则在ABC中，.BC2 5v，150,200ABAC,CBABCA， 由 正弦 定 理 得150200sinsin， 得4sinsin3， 又3coscos4， 由22sincos1， 可解得3sin

15、5， 故4cos5，43sin,cos55，从而可得cos0，由余弦定理得2222.52001502 200 150cosv ，即可解答答案.【详解】根据题意，设台风中心位于B处， 台风中心 2.5 小时后到达C处,如图在ABC中，.BC2 5v，150,200ABAC,CBABCA由余弦定理得2222.52001502 200 150cosv 整理得2222.52001502 200 150cosv，由正弦定理得150200sinsin，得4sinsin3又3coscos4，由22sincos1，所以2243sincos134解得3sin5，故4cos5，43sin,cos55，故43431

16、212coscoscossinsin055552525，代入解得2222.5200150v，即22 50.625 0v所以2.5250v ，则100v .故答案为：100.【点睛】本小题主要考查解三角形的实际应用，考查余弦定理解三角形，考查两角和的余弦公式，考查同角三角函数关系.首先要根据题目画出图象，要对方向角熟悉，上北下南左西右东，在A点东西向和BC是平行的，内错角相等，将已知角都转移到ABC中，然后利用正弦定理和余弦定理解三角形,属于中档题.三、解答题三、解答题17.若x，y满足约束条件220100 xyxyy ，求：（1）3zyx的最大值（2）25yzx的最小值（3）2211zxy的最

17、大值【答案】 （1）9； （2）1； （3）41【解析】【分析】（1）首先画出不等式表示的可行域，并求出可行域顶点的坐标，再根据目标函数z表示直线3yxz的y轴截距，结合图形即可得到答案.（2）根据目标函数z表示可行域内的点( , )x y与点( 5, 2)D 连线的斜率，再结合图形即可得到答案.（3）根据目标函数z表示可行域内的点( , )x y与点( 5, 2)E 距离的平方，再结合图形即可得到答案.【详解】 （1）不等式组表示的可行域如图所示：(0, 1)B，(0,1)C.2204103xyxxyy ，( 4, 3)A .由3zyx得到3yxz，z表示直线3yxz的y轴截距.当直线3yx

18、z过( 4, 3)A 时，z取得最大值，max33 ( 4)9z .（2）2( 2)5( 5)yyzxx ，z表示可行域内的点( , )x y与点( 5, 2)D 连线的斜率，由图知：当点( 5, 2)D 与点( 4, 3)A 连线时，斜率最小.故min32145z .（3）因为2211zxy，z表示可行域内的点( , )x y与点( 5, 2)E 距离的平方，由图知：当点(1,1)E与点( 4, 3)A 连线时，距离最大.故22max4 13 141z .【点睛】本题主要考查线性规划问题，理解目标函数的几何意义为解题的关键，属于中档题.18.已知等差数列 na的前n项和为nS，等比数列 nb

19、的前n项和为nT，11a ，11b ，223ab.（1）若337ab，求 nb的通项公式；（2）若313T ，求nS.【答案】 （1）12nnb； （2）21322nSnn或245nSnn【解析】【分析】（1）根据题意，列出公差和公比的方程，求得基本量，即可求得数列的通项公式；（2）根据等比数列的前n项和，求得公比和公差，利用等差数列的前n项和公式，即可求得结果.【详解】 （1）设等差数列 na的公差为d，等比数列 nb的公比为q，则11nand ，1nnbq由题意可得：223337abab，则213127dqdq 即2428dqdq，解得22dq或40dq（舍去）因此 nb的通项公式为12n

20、nb.（2）由题意可得：3123Tbbb，则23111313Tbqqdq ，解得31qd或48qd ，21322nSnn或245nSnn.【点睛】本题考查等差数列和等比数列基本量的计算，涉及通项公式和前n项和公式，属综合基础题.19.在ABC中，角, ,A B C所对的边分别是, ,a b c，且25 sin2 cosacBbC.（1）求tan B；（2）若5,3ac，求b.【答案】 （1）2 5tan5B （2）2b 【解析】【分析】（1）根据正弦定理到2cos5sinBB，得到答案.（2）计算5cos3B ，再利用余弦定理计算得到答案.【详解】 （1）由25 sin2 cosacBbC，可

21、得2sin5sinsin2sincosACBBC2sin()5sinsin2sincosCBCBBC,2sincos5sinsinCBCB因为sin0C ，所以2cos5sinBB，所以2 5tan5B .（2）2cos5sin0BB，又因为22sincos1BB，所以5cos3B .因为2222cosbacacB，所以255925343b ，即2b .【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理，意在考查学生的计算能力.20.在数列na中,11a ,133nnnaa.（1）设13nnnab,证明数列 nb是等差数列；（2）求na的前n项和nS【答案】 （1）证明见解析（2）211344nnnS【解析

22、】【分析】（1）由已知133nnnaa可得11133nnnnaa,即11nnbb,11b ,即可即可证明.（2）由（1）知nbn,可得13nnan,利用错位相减法和等比等比和数列的求和公式即可得出.【详解】证明： （1）将133nnnaa两边同除以3n,得11133nnnnaa11133nnnnaa即11nnbb,11b 所以 nb是11b ,1d 的等差数列解:（2）nbn,即13nnan2112 33 33nnSn 2331 32 33 33nnSn -得02312333333nnnSn 解得211344nnnS【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与错位相减求和法,考查了推理能力

23、,属于中档题.21.已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，222sinsinsinsinsinBACAC（1）求B；（2）若2 3b ，求ac的取值范围【答案】 （1）3； （2）6,4 3ac 【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化边，再用余弦定理可得答案；（2）根据正弦定理得到4sinaA，4sincC再利用三角恒等变换公式可得6 3sin()6acA，然后根据锐角三角形可得A的范围，再根据正弦函数的图象可得结果.【详解】 （1）由正弦定理以及222sinsinsinsinsinBACAC，得222bacac，所以2221cos22acbBac，因为0B，所以3B.（

24、2）由sinsinsinbacBAC，得4sinaA，4sincC所以24 sinsi4(sinsin)n3AacACA334sincos4 3sin226AAA，因为三角形ABC为锐角三角形，所以022032AA，所以62A，所以2,633A，3sin,162A，6,4 3ac 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、锐角三角形的概念、三角恒等变换以及利用正弦函数的图象求范围，属于中档题.22.已知数列 na的前n项和为nS，且21nnSa（1）求 na的通项公式（2）当1,x时，不等式1 ln0 xx 总成立，若12nnba，对任意正整数n，12111nbbbm恒成立，求整数m的最小值【答案

25、】 （1）12nna-=； （2）3【解析】【分析】（1）根据1(2,)nnnnNanSS，结合已知的递推公式、等比数列的定义进行求解即可；（2）由（1）求出数列 nb的通项公式，对已知不等式进行变形，然后运用累加法，结合等比数列前n项和公式、指数函数的单调性进行求解即可.【详解】 （1）21(1)nnSa，1121(2)(2)nnSan，(1)(2)得：11222(2)nnnnnaaaaan，所以12(2)nnana，当1n 时1121Sa，11a ， na是以 1 为首项，以 2 为公比的等比数列111 22nnna （2）由（1）知12nna-=，102nnb ，且当1,x时，不等式1 ln0 xx 总成立，ln1xx，ln1xx，ln(1)nnbb，累加：11ln(1)222211ln(1)2211ln(1)22nn累加得：122111ln 1(1)(1)222nnbbb1211122ln 1(1)(1)112nnbbb121ln 1(1)(1)12nnbbb 112121(1)(1)nnbbbe111223neee， 121113nbbb，m的最小值为 3【点睛】本题考查了利用递推公式求等比数列的通项公式，考查了利用函数不等式解决数列不等式恒成立问题，考查了累加法的应用，考查了等比数列前n项和公式、指数函数的单调性的应用，考查了数学运算能力.