北京市首师大附中2020-2021学年高一上学期开学分班考试数学试题 Word版含解析.doc

1、首师大附中首师大附中 2020-2021 学年度第一学期入学分班考试试题学年度第一学期入学分班考试试题高一数学高一数学一一 选择题选择题1. 已知全集0,1,2,3,4 ,0,1,2 ,2,3UMN则UC MN()A. 2B. 3C.2,3,4D.0,1,2,3,4【答案】B【解析】【分析】先求 M 的补集，再与 N 求交集【详解】全集 U0，1，2，3，4，M0，1，2，UM3，4N2，3，（UM）N3故选 B【点睛】本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础题2. 已知aR，集合21,Ma，, 1Na，若MN有三个元素，则MN （）A.0,1B.0, 1C. 0D. 1【答案】C【解析】【分

2、析】由MN有三个元素可判断2aa，结合集合的互异性排除不合理数值，再求MN即可【详解】因为集合21,Ma，, 1Na，若MN有三个元素，则2aa且1a ，解得0a .此时 0MN ，故选 C.【点睛】本题考查根据集合的并集求解参数，进而求解两集合交集问题，解题易错点为忽略集合的互异性3. 命题“对任意的xR，2220 xx”的否定是（）A. 不存在xR，2220 xxB. 存在xR，2220 xxC. 存在xR，2220 xxD. 对任意的xR，2220 xx【答案】B【解析】命题“2,220 xxx R”是一个全称命题，其否定是一个特称命题，即命题“2,220 xxx R”的否定是“存在2,

3、220 xR xx”，故选 B.4. 若集合1,2,3,4P ，05|Qx xx或，则“xP”是“RxQ”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先求解出RQ，然后根据集合P与RQ的关系判断出对应的是何种条件.【详解】因为0Qx x或5x ，所以05RQxx，所以QRQ，所以“xP”是“RxQ”的充分不必要条件，故选：A.【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，其中涉及到根据集合间的关系判断充分、必要条件，难度较易.若有集合,A B，当AB时，则“xA”是“xB”的充分不必要条件；当BA时，则“xA”是“xB”的必要不充

4、分条件.5. 已知集合2560Ax xx，06,BxxxN， 则满足ACB的集合C的个数为（）A. 4B. 8C. 7D. 16【答案】B【解析】【分析】先分别用列举法表示出,A B，然后根据ACB确定出C中一定有的元素和可能有的元素，从而求解出满足的C的个数.【详解】因为2560 xx的解为2x 或3x ，所以2,3A ；又因为1,2,3,4,5B ，且ACB，所以C中一定含有元素2,3，可能含有元素1,4,5，所以C的个数即为集合1,4,5的子集个数：328，故选：B.【点睛】本题考查根据集合的子集关系求解符合条件的集合个数，解答问题的关键是确定出集合中一定包含的元素和可能包含的元素，难度

5、一般.6. 不等式x22x的解集是()A. x|x2B. x|x2C. x|0 x2D. x|x0 或x2【答案】D【解析】由x22x解得：x(x2)0，所以x0 或x2.选 D.7. 设2 (2)7Ma a，(2)(3)Naa，则M与N的大小关系是（）A.MNB.MNC.MND.MN【答案】A【解析】【分析】利用作差法求解出MN的结果，将所求结果与0作比较，然后可得,M N的大小关系.【详解】因为2213227231024MNa aaaaaa ，所以MN，故选：A.【点睛】本题考查利用作差法比较大小，难度较易.常见的比较大小的方法还有作商法，使用作商法时注意分析好式子的正负.8. 已知实数0

6、1a，则（）A.21aaaa B.21aaaa C.21aaaa D.21aaaa 【答案】C【解析】【分析】采用“0,1分段法”，结合不等式的性质确定正确选项.【详解】01a，201a ，11a，10a ，由于01a，在不等式上同时乘以a得20aa，即2110aaaa ，因此，21aaaa .故选：C【点睛】本小题主要考查不等式的性质，属于基础题.9. “0a ”是“一元二次不等式20axbxc恒成立”的()A. 充分且不必要条件B. 必要且不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由题意求得一元二次不等式20axbxc恒成立的充要条件， 可得 a0 且0，

7、 即可得答案【详解】由一元二次不等式20axbxc恒成立，则0a 且240bac，反之，0a 时，如：2320 xx不恒成立，故选 B.【点睛】本题考查了一元二次不等式与二次项系数及的关系，考查充分条件、必要条件的含义，属于基础题10. 已知0 x ,0y ,且11132xy,则xy的最小值为()A.5B.6C.7D.8【答案】A【解析】【分析】因为11(3)3(3) 233xyxyxyxy,利用基本不等式,注意等号成立的条件,即可求得答案.【详解】(3)3xyxy(3) 1 3xy 11(3) 233xyxy32 233yxxy3141453yxxy 当且仅当33yxxy,取等号,即3yx=

8、 =+ +,结合11132xy,可得1,4xy时,取得最小值5故选:A.【点睛】 本题主要考查了根据均值不等式最值,解题关键是灵活使用均值不等式,注意等号验证,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.11. 下列各组函数中表示同一函数的是（）A.1yx和211xyxB.0yx和1yxRC.2yx=和21yxD.2()xyx和2()xyx【答案】D【解析】【分析】根据函数的定义域和解析式是否相同判断.【详解】A.1yx的定义域为 R，211xyx的定义域为|1x x ，故错误；B.0yx和定义域为|0 x x ，y=1 定义域为 R,故错误；C.2yx=和21yx解析式不同，故错误；D.2()(

9、)1xf xx，定义域为0 x x ，2( )1()xg xx，定义域为0 x x ，故正确；故选：D【点睛】本题主要考查相等函数的判断，属于基础题.12. 函数22( )xxg xx的定义域为（）A.( 2,0)(0,1)B. 2,0)(0,1C.( 1,0)(0,1D. 1,0)(0,2【答案】B【解析】【分析】首先根据题中所给的函数解析式，结合偶次根式和分式的要求列出不等式组求得结果.【详解】由题意得2200 xxx，即2200 xxx，解得21x 且0 x ，所以函数22( )xxg xx的定义域为 2,0)(0,1，故选：B.【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有求函数

10、的定义域，在求解的过程中，关键在于列全限制条件，并准确求解不等式（组） ，属于简单题目.13. 已知函数21( )1xf xx，其定义域是 8，4)，则下列说法正确的是()A.( )f x有最大值53，无最小值B.( )f x有最大值53，最小值75C.( )f x有最大值75，无最小值D.( )f x有最大值 2，最小值75【答案】A【解析】【分析】将( )f x化为 321fxx，判断在 8，4)的单调性，即可得到最值【详解】解：函数213( )211xf xxx即有( )f x在 8，4)递减，则8x 处取得最大值，且为53，由4x 取不到，即最小值取不到故选：A【点睛】本题考查函数的最

11、值的求法，注意运用单调性，考查运算能力，属于基础题14. 已知( )f x为一次函数，且 ( )43,f f xx则(1)f的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】设( )f xkxb，代入 ( )43,f f xx得到( )21f xx或( )23f xx ，计算得到答案.【详解】设( )f xkxb则2 ( )()()43f f xf kxbk kxbbk xkbbx24,3kkbb 2,1,( )21,(1)1kbf xxf 或2,3,( )23,(1)1kbf xxf 综上：(1)1f故答案选 B【点睛】本题考查了一次函数的计算，待定系数法是常规方法，需要灵

12、活掌握和应用.15. 定义在R上的偶函数( )f x，对任意的12,0 x x ，都有12120 xxf xf x，( 1)0f ，则不等式( )0 xf x 的解集是（）A.( 1,1)B.(, 1)(1,) C.( 1,0)(1,)-+D.(, 1)(0,1) 【答案】D【解析】【分析】根据题目所给条件判断出函数的单调区间和零点，画出函数的大致图像，由此判断出正确选项.【详解】由于对任意的12,0 x x ，都有12120 xxf xf x，所以函数在,0上 为 减 函 数 ， 由 于 函 数 是R上 的 偶 函 数 ， 故 函 数 在0,上 递 增 ， 且 110ff，由此画出函数大致图

13、像如下图所示，由图可知，不等式( )0 xf x 的解集是(, 1)(0,1) .故选 D.【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.16. 电流强度 I A随时间 t s变化的关系式是5sin 1003It， 则当1200ts时， 电流强度I为（）A. 5AB. 2.5AC. 2AD. 5A【答案】B【解析】【分析】由已知直接把1200t 代入5sin 1003It，利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可求出I.【详解】解：当1200t 时， 155sin 1005sin5cos2.520032332IA.故选：B.【点睛】本题考查三角函数的简单应用，

14、属于基础题.17. 函数12sin24yx的周期，振幅，初相分别是（）A.,2,44B.4 , 2,4C.4 ,2,4D.2 ,2,4【答案】C【解析】【分析】根据函数解析式求解出函数的周期和初相，振幅可以直接由解析式得到.【详解】因为12sin24yx，所以2412T，当0 x ，初相为4；由解析式可知振幅为2，故选：C.【点睛】 本题考查对函数sinyAx中各个量的理解， 难度容易.注意周期的计算公式：2T.18. 已知为第二象限角，3sin5，则sin6的值等于A.43 310B.43 310C.3 3410D.43 310 【答案】A【解析】为第二象限角，sin ，所以 cos ，则

15、sin ，故选 A.19. 要得到函数sin 26yx的图象,需要把函数sin2yx的图象A. 向左平移6个单位B. 向右平移6个单位C. 向左平移12个单位D. 向右平移12个单位【答案】C【解析】要得到函数sin212yx的图象,需要把函数sin2yx的图象向左平移12个单位.故选 C20. 函数2 2sin()yx其中0,0，的图象的一部分如图所示，则（）A3,84B.,84C.,42D.3,44【答案】B【解析】【分析】先利用图象中的 2 和 6，求得函数的周期，求得，最后根据x2 时取最大值，求得，即可得解【详解】如图根据函数的图象可得：函数的周期为（62）416，又0，28T，当x

16、2 时取最大值，即 22sin（28）22，可得：282k2，kZ Z，2k4，kZ Z，0，4，故选B【点睛】本题主要考查了由yAsin（x+）的部分图象确定其解析式，考查了五点作图的应用和图象观察能力，属于基本知识的考查二二 解答题解答题21. （1）计算：25log9323310422log 2log5279；（2）已知角的终边经过点(1, 2)M，求5sincos22cos()的值【答案】 （1）716； （2）2 55【解析】【分析】（1）根据指数幂运算和对数运算公式，即可求出结果；（2）根据角的终边经过点( , )M x y，2222sin=cos=yxyxxy，即可求出2 5si

17、n5 ，然后再根据诱导公式即可求出结果.【详解】 （1）原式5223log 333642372log 22log523273416 （2）角的终边经过点(1, 2)M，22 5sin514 ，5sincos22cos()cossin2 5sincos5 【点睛】本题主要考出了指数幂运算和对数运算公式，三角函数的诱导公式和终边上一点的三角函数值的运算，熟练掌握公式是解决本题的关键.22. 已知函数 22sin cos2 3cos3f xxxx 1求函数 f x的单调减区间； 2将函数 yf x的图象向左平移6个单位，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数 yg x的

18、图象，求 yg x在,12 8上的值域【答案】 （1）7,12 12kkkZ； （2）1,2【解析】【分析】 1利用二倍角的正弦公式、 二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数 f x化为2sin 23x，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数 f x的递减区间； 2利用函数sinyAx的图象变换规律，求得 g x的解析式，由,12 8x 可得274,336x结合正弦函数的单调性，求得 g x的值域【详解】 1函数 22sin cos2 3cos3sin23cos22sin 23f xxxxxxx，当3222,232kxkkZ时,解得：7,1212kxkkZ，因此，函数 f x的单调减

19、区间为7,12 12kkkZ 2将函数 yf x的图象向左平移6个单位，可得2sin 233yx的图象，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数 22sin 43yg xx的图象，,12 8x ，274,336x， 21sin 4,1 ,32xyg x 的值域为1,2【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，函数sinyAx的图象变换规律，正弦函数的值域，属于中档题函数sinyAx的单调区间的求法：若0,0A,把x看作是一个整体，由22kx322kkZ求得函数的减区间，2222kxk求得增区间.23. 已知定义在R上的函数( )22xxf xaaR.(1)

20、 当0a 时,试判断( )f x在区间(1,)上的单调性,并给予证明.(2) 当1a 时,试求2 ( )4( )( )f xg xf x12x的最小值.【答案】(1)( )f x在区间(1,)上单调递增，证明见解析； (2)4.【解析】【分析】（1）用定义法严格证明即可（2）用换元法设( ),(12)f xtx，4( )g xtt ，由（1）可得3 15 ,24t ，再根据对勾函数增减性求出 g x的最小值即可【详解】(1) 用定义法证明如下:设121xx,则112212()()(22)(22)xxxxf xf xaa1221(22 )(22)xxxxa12121222(22 )2xxxxxx

21、a1212(22 )(1)2xxxxa，121xx,0a ，12220 xx,12102xxa，1212(22 )(1)02xxxxa, 即12()0(f xf x，( )f x在区间(1,)上单调递增；(2)设( ),(12)f xtx,则4( )g xtt ，由(1)知, 当1a 时( )f x在区间(1,)上单调递增3 15 ,24t ，4ytt 在区间3 ,22上单调递减,在区间152,4上单调递增 ，当2t , 即1222xx,解得2log ( 21)x 时,min( )4g x.【点睛】本题考查函数增减性的证明，复合函数值域的求法，换元法的应用，换元法的核心在于新元的取值范围必须明确，复合函数的增减性遵循同增异减