吉林省2020-2021学年高二下学期期末考试数学（文科）试题含解析.doc

1、试卷主标题试卷主标题姓名：_ 班级：_考号：_一、选择题（共一、选择题（共 2424 题）题）1、 设集合，则集合（ ）A B C D 2、 已知复数（为虚数单位），则的虚部为（）A B C D 3、 “，” 的否定是（）A ，B ，C ，D ，4、 已知函数，则的最大值为（ ）A 1 B 2 C 0 D 5、 设是非零实数，若，则一定有A B C D 6、 余弦函数是偶函数，是余弦函数，因此是偶函数，以上推理A 结论不正确 B 大前提不正确 C 小前提不正确 D 全不正确7、 设圆与，则圆与的位置关系是（ ）A 外离 B 外切 C 相交 D 内含8、 若样本的平均数是，方差是，则对样本，下列

2、结论正确的是A 平均数为 14 ，方差为 5 B 平均数为 13 ，方差为 25C 平均数为 13 ，方差为 5 D 平均数为 14 ，方差为 29、 下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的 “ 更相减损术 ”. 执行该程序框图，若输入，的值分别为，则输出的的值为A B C D 10、 已知，则 “” 是 “在内单调递增 ” 的（）A 充分不必要条件 B 必要不充分条件C 充要条件 D 既不充分也不必要条件11、 圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母表示，早在公元 480 年左右，南北朝时期的数学家祖冲之就得出精确到小数点后 7 位的结果， 他是世界上第一个把圆周率的数

3、值计算到小数点后第七位的人，这比欧洲早了约 1000 年，在生活中，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值；从区间内随机抽取 200 个数，构成 100 个数对，其中满足不等式的数对共有 11 个，则用随机模拟的方法得到的的近似值为A B C D 12、 已知定义在上的偶函数的导函数为，函数满足：当时，且则不等式的解集是（ ）A B C D 13、 设集合，则= （）A B C D 14、 不等式 “” 是不等式 “” 的（）A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件C 充要条件 D 既不充分也不必要条件15、 下列 4 个函数中，定义域为的是（ ）A B C D 16、 函数的图象大致为A

4、B C D 17、 下列函数是同一个函数的是（ ）A 与B 与C 与D 与18、 已知函数，则等于（ ）A B C D 19、 若函数的两个零点一个大于，一个小于，则实数的取值范围是（ ）A B C D 20、 下列函数中，既是奇函数，又在上单调递减的函数是（ ）A B C D 21、 某种杂志原来以每本 2.5 元的价格销售，可以售出 8 万本，据市场调查，杂志的单价每提高 0.1 元，销售量就可能减少 2000 本 . 若使提价后的销售总收入不低于 20 万元，应该确定的价格元的取值范围为（ ）A B C D 或22、 方程的非零实数解为（ ）A B C D 23、 已知是定义域为的偶函数

5、，且满足，则下面给出的等式中不恒成立的是（ ）A B C D 24、 若关于的方程有且只有 2 个零点，则a的取值范围是（ ）A B C D 二、填空题（共二、填空题（共 8 8 题）题）1、 设函数. 若，则的最大值为 _ ； 若有且只有 1 个零点，则实数的取值范围是 _.2、 已知数列 的前 n 项和，则=_ 3、 已知向量，向量，若，则_ ；4、 已知函数，则_.5、 设有下列四个命题：，；：，；：方程有两个不相等实根；：函数的最小值是 2 则下述命题中所有真命题的序号是 _ ； ； ； 6、 曲线在点处的切线的斜率为 _ 7、 若函数是定义域为的奇函数，则实数_ 8、 若函数存在 极

6、值点，则实数的取值范围是 _ 三、解答题（共三、解答题（共 1212 题）题）1、 在中，、分别是角、的对边，（ 1 ）求角的大小；（ 2 ）若，的周长为，求的面积2、 在等比数列中，且、成等差数列（ 1 ）求数列的通项公式；（ 2 ）若、为等差数列的连续三项，其中，设数列的前项和为，若，求的值3、 如图，在三棱柱中，平面，是的中点 .（ 1 ）求证：平面；（ 2 ）求证：平面平面.4、 已知圆C的圆心在直线上，且圆C与x轴相切，点在圆C上，点在圆C外（ 1 ）求圆C的方程；（ 2 ）若过点的直线l交圆C于A，B两点，且，求直线l的方程5、 天津市某中学高三年级有 1000 名学生参加学情调研

7、测试，用简单随机抽样的方法抽取了一个容量为 50 的样本，得到数学成绩的频率分布直方图如图所示：（ 1 ）求第四个小矩形的高，并估计本校在这次统测中数学成绩不低于 120 分的人数和这1000 名学生的数学平均分（ 2 ）已知样本中成绩在 140 ， 150 内的学生中有两名女生，现从成绩在这个分数段的学生中随机抽取 2 人做学习交流， 写出这个试验的样本空间； ( 用恰当的符号表达 ) 设事件A：” 选取的两人中至少有一名女生 ” ， 写出事件A的样本点， 并求事件A发生的概率6、 已知函数（ 1 ）若函数的图像与直线相切，求的值；（ 2 ）若恒成立，求整数的最大值7、 在直角坐标系中，曲线

8、的参数方程为（是参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（ 1 ）求的普通方程和的直角坐标方程；（ 2 ）判断与公共点的个数，并说明理由8、 某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本 2 万元，每生产万件，需另投入流动成本万元，当年产量小于万件时，（万元）；当年产量不小于万件时，（万元） . 已知每件产品售价为元，假若该同学生产的商品当年能全部售完 .（ 1 ）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润 = 年销售收入 - 固定成本 - 流动成本）（ 2 ）当年产量约为多少万件时，该同

9、学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？（取） .9、 已知斜率为的直线过点，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线和曲线的交点为（ 1 ）求直线的参数方程；（ 2 ）求.10、 已知函数的定义域为.（ 1 ）求的取值范围；（ 2 ）若，函数在 -2 ， 1 上的最大值与最小值互为相反数，求实数的值11、 定义在上的函数满足且当时，（ 1 ）求在上的解析式；（ 2 ）若关于的方程在区间上有实数解，求实数的取值范围12、 已知函数.（ 1 ）求函数的单调区间；（ 2 ）若，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围 .=参考答案参考答案=一、选择题一、选择题1、

10、B【分析】利用并集的概念及运算即可得到结果 .【详解】，故选： B.2、 A【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再得复数，进而可得答案 .【详解】，故的虚部为.故选： A.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题3、 A【分析】直接利用特称命题的否定求解 .【详解】“，” 是特称命题，特称命题的否定是全称命题，所以 “，” 的否定是 “，”.故选： A4、 D【分析】将函数化为三角函数的标准形式，即可得到函数的最大值【详解】由辅助角公式可得：，所以的最大值为，当，时取到故选： D5、 C【分析】根据不等式的基本性质依次判断即可得到答案【详解】对于：当，不成立对

11、于：当时，不成立对于，是非零实数， 当， 恒成立， 当时， 则，当时，则对对于：当，时不成立，故选：6、 C【详解】大前提： 余弦函数是偶函数 ，正确；小前提：是余弦函数 ，因为该函数为复合函数，故错误；结论：是偶函数 ，正确故选： C7、 A【分析】根据两圆心距离与两半径关系确定两圆位置关系 .【详解】因为, 所以圆与外离，选 A.【点睛】利用两圆心距离与两半径关系判断圆与圆的位置关系：两圆外离；两圆外切；两圆相交；两圆内切；两圆内含 .8、 C【分析】根据平均数和方差的定义和性质进行求解即可【详解】 样本 1+x1， 1+x2， 1+x3， ， 1+xn的平均数是 12 ，方差为 5 ，1

12、+x1+1+x2+1+x3+1+xn=12n ，即 x1+x2+x3+xn=12n n=11n ，方差 S2= （ 1+x1 12 ）2+ （ 1+x2 12 ）2+ （ 1+xn 12 ）2= （ x1 11 ）2+ （ x2 11 ）2+ （ xn 11 ）2=5 ，则（ 2+x1+2+x2+2+xn） =13 ，样本 2+x1， 2+x2， ， 2+xn的方差 S2= （ 2+x1 13 ）2+ （ 2+x2 13 ）2+ （ 2+xn 13 ）2= （ x1 11 ）2+ （ x2 11 ）2+ （ xn 11 ）2=5 ，故选 C 【点睛】本题主要考查样本数据的方差和平均数的计算，

13、根据相应的公式进行计算是解决本题的关键9、 B【详解】由算法流程图中提供的算法程序可以看出：第一步，则，第二步则令；第三步再令，再令，这时运算程序结束，输出，应选答案 B 10、 A【分析】根据函数在内单调递增求出实数的取值范围， 再利用集合的包含关系判断可得出结论 .【详解】因为在内单调递增，则对任意的恒成立，即，当时，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，所以，.因为，因此， “” 是 “在内单调递增 ” 的充分不必要条件 .故选： A.11、 A【分析】由可得出数对在平面直角坐标系内的位置，结合几何概型中的面积型进行求解即可 .【详解】，在平面坐标系中作出边长为 1 的正方形和单位圆，

14、则符合条件的数对表示的点在轴上方、正方形内且在圆外的区域，区域面积为，由几何概型概率公式可得，解得.故选： A.【点睛】本题考查了通过随机模拟求圆周率的近似值，考查了几何概型的计算公式，考查了数学运算能力 .12、 C【分析】由已知条件构造函数，则，在R上为奇函数，且单调递增，而由，可得，然后分和对化简，再利用的单调性可解得不等式【详解】当时， ，令，为上的偶函数， 则，在R上为奇函数，且单调递增，且，则 当时，即，即， ； 当时，即， 综上，不等式的解集为故选： C 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数判断函数的单调性，再利用函数的单调性解不等式，解题的关键是由构造函数，可得

15、，从而可得在R上为奇函数，且单调递增，然后利用其单调性解不等式，属于中档题13、 A【分析】根据补集的定义计算可得；【详解】解：因为，所以故选： A14、 B【分析】运用充要条件知识判断命题之间的逻辑关系得出答案 .【详解】由不等式得：，由不等式得，所以不等式是不等式必要不充分条件，选项 B 正确，选项 ACD 错误故选： B.15、 D【分析】指出每个选项中函数的定义域，即可得出合适的选项 .【详解】对于 A 选项，函数的定义域为；对于 B 选项，函数的定义域为；对于 C 选项，函数的定义域为；对于 D 选项，函数的定义域为.故选： D.16、 C【分析】由可排除 A 、 D ；再利用导函数

16、判断在上的单调性，即可得出结论 .【详解】因为，故排除 A 、 D ；，令，在是减函数，在是增函数，存在，使得，单调递减，单调递增，所以选项 B 错误，选项 C 正确 .故选： C【点睛】本题考查由解析式选择函数图象的问题，利用导数研究函数单调性是解题的关键，考查学生逻辑推理能力，是一道中档题 .17、 C【分析】根据定义域和对应关系相同的函数是同一个函数依次讨论各选项即可 .【详解】对于 A 选项，的定义域为，定义域为，故不满足；对于 B 选项，与对应关系不同，故不满足；对于 C 选项，与定义域均为，且，故是同一函数，满足；对于 D 选项，的定义域为，的定义域为，故不满足 .故选： C18、

17、 B【分析】求得，进而可得.【详解】因为，所以.故选： B.19、 A【分析】根据函数有两个零点，得，再由两个零点的分布，列条件求解 .【详解】因为函数有两个零点，所以，由两个零点一个大于，一个小于，得或，解得.故选： A.20、 A【分析】对于 A 选项，结合函数奇偶性的定义与复合函数单调性法则判断，对于 B 选项，函数不是奇函数；对于 C 选项，在上单调递减不满足；对于 D 选项，函数为非奇非偶函数，不满足 .【详解】解：对于 A 选项，定义域为，所以函数为奇函数，设，由于，故，即，所以函数在上单调递减，故函数在上单调递减，进而由奇函数性质得函数在上单调递减，故 A 选项正确；对于 B 选

18、项，故函数不是奇函数，错误；对于 C 选项，显然当时，函数在上单调递增，在上单调递减，故不满足；对于 D 选项，函数为非奇非偶函数，故不满足 .故选： A21、 C【分析】提价后杂志的定价设为元，则提价后的销售量为：万本，解不等式即得解 .【详解】提价后杂志的定价设为元，则提价后的销售量为：（万本），销售的总收入仍不低于 20 万元，列不等式为：解之得故选： C22、 D【分析】由题知，进而令得，再计算即可 .【详解】解：因为，令，则，解得：或，所以或，解得或.所以方程的非零实数解为.故选： D23、 B【分析】根据函数的奇偶性和对称性证明函数是周期函数，进而判断出结果 .【详解】是R上的偶函

19、数，又，即，所以 2 是的一个周期，同时 4 ， 6 也是的周期所以选项 ACD 正确，选项 B 错误 .故选： B.24、 D【分析】由，得（），令，所以关于的方程有且只有 2 个零点， 等价于函数的图像与直线有两个交点， 然后利用导数求出的单调区间的最值，结合图像可得答案【详解】由，得（），令，所以关于的方程有且只有 2 个零点， 等价于函数的图像与直线有两个交点，由，得，当时，当，所以在上递增，在上递减，所以，当时，所以当时，函数的图像与直线有两个交点，所以a的取值范围是，故选： D二、填空题二、填空题1、【分析】 根据确定的表达式，再求出各段函数表达式的最大值，作比较可得结果； 作出函

20、数和的图象，根据两函数图象与轴的交点情况，可得结果 .【详解】 当时，当时，；当时，由得，；由得，所以在上单调递增，在上单调递减，当时，有极大值 2 ，又，故当时，的最大值为 2. 作出和的图象，由图象，可知函数与轴三个交点，从左到右依次为，；函数与轴只有一个交点，为.若有且只有 1 个零点，则实数的取值范围是.故答案为： 2 ； .2、 100【详解】试题分析：考点：数列求和3、【分析】由题意利用两个向量平行的性质，求得的值，即可求得【详解】解：向量，向量，若，则，则，故答案为：4、 1【分析】利用求值【详解】由题故答案为： 15、 【分析】命题：构造函数，利用导数、结合任意的定义进行判断本

21、命题的真假，命题：利用特殊值法，结合存在的定义进行判断本命题的真假，命题：利用一元二次方程根的判别式进行判断本命题的真假，命题：利用特殊值法进行判断本命题的真假 .然后利用或、且、非命题的真假命题的判断方法进行判断即可 .【详解】，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，所以为真当时成立，所以为真，方程有两个不相等实根，所以为真当时，所以为假所以，为真，故答案为： 【点睛】关键点睛：本题的关键一是构造函数利用导数判断命题的真假；二是正确掌握且、或、非命题的真假判断方法 .6、【分析】先求导，再利用导数的几何意义求值 .【详解】因为，所以.当时，.所以曲线在点处的切线的斜率为 1.故答案为： 1.

22、7、【分析】先根据定义域关于原点对称所以在定义域内任取，利用奇函数性质，列出等式即可求解【详解】定义域关于原点对称，任取, 则，由奇函数知，因为，所以，化简得对恒成立，即，故答案为 :8、【分析】函数存在极值点，则可知在上有零点，且零点左右两侧的函数值异号，从而可由判别式求解即可【详解】解：由，得，因为函数存在极值点，所以在上有变号零点，当时，无零点，当时，只需，即，解得或，所以实数的取值范围是，故答案为：三、解答题三、解答题1、 （ 1 ）；（ 2 ）【分析】（ 1 ）利用正弦定理边化角，结合诱导公式以及两角和的正弦公式化简即可得出（ 2 ）利用余弦定理可得，再利用三角形面积公式即可得出【详

23、解】（ 1 ），由正弦定理可得，即又角为内角，不等于 0 ，又，（ 2 ），由余弦定理，得，的面积为2、 （ 1 ）；（ 2 ）【分析】（ 1 ）设等比数列的公比为，则，根据已知条件可得出关于的方程，解出的值，利用等比数列的通项公式可求得；（ 2 ）设等差数列的公差为，求出的值，可求得，然后解方程，即可求得正整数的值 .【详解】（ 1 ）设等比数列的公比为依题意，、成等差数列，即，等比数列的通项公式为；（ 2 ）设等差数列的公差为，由，得，即，解得，或（舍去）故3、 （ 1 ）证明见解析；（ 2 ）证明见解析；【分析】（ 1 ）连接交于，连接，证明利用线面平行判定定理证明； （ 2 ）证明平面

24、，再利用面面垂直判定定理证明【详解】解：（ 1 ）如图，连接交于，连接，是的中点，又是的中点，是的中位线， 平面，平面平面（ 2 ） ，是的中点， ， 三棱柱中，平面， 平面平面， ，又是平面内的两条相交直线平面， 平面， 平面平面.4、 （ 1 ）；（ 2 ）或【分析】（ 1 ）由题意设圆的方程为，再将点的坐标代入方程中可求出的值，众而可求出圆的方程；（ 2 ）利用圆心距、弦和半径的关系求出圆心距的长，然后分直线的斜率存在和不存在两种情况，利用点到直线的距离公式列方程求解即可【详解】（ 1 ）设圆心，半径，则圆C的方程可设为，因为点在圆C上，所以，解得或因为点在圆C外，经检验不符，舍去所以圆

25、C的方程为（ 2 ）由（ 1 ）可知圆C的半径，所以圆心到直线的距离当k不存在时，直线方程，符合题意；当k存在时，设直线方程为，整理得所以圆心C到直线l的距离，即，解得，所以，所以直线l的方程为 综上，直线方程为或5、 （ 1 ）；人；（ 2 ） 见解析； 见解析；【分析】（ 1 ）由频率分布直方图，能求出第四个矩形的高；求出成绩不低于 120 分的频率，由此可估计高三年级不低于 120 分的人数；利用同一组中的数据用该区间的中点值，即可求出1000 名学生的数学平均分；（ 2 ） 由直方图知，成绩在 140 ， 150 的人数是 6 人，其中女生为 A ， B ，男生为 c ， d ， e

26、， f ，利用列举法能求出这 6 人中抽取 2 人； 根据 即可求出事件A的样本点和事件A发生的概率 .【详解】（ 1 ）由频率分布直方图可知，第四个矩形的高为：，成绩不低于 120 分的频率为：；所以高三年级不低于 120 分的人数为：人（ 2 ）由频率分布直方图知，成绩在 140 ， 150 的人数是 6 ，记女生为，B，男生为，从这 6 人中抽取 2 人的情况有，共 15 种其中至少有一名女生的情况有 9 种，故至少有一名女生的概率为6、 （ 1 ） 1 （ 2 ） 2【分析】（ 1 ）由导数几何意义得，即得，再由，解得. （ 2 ）先分离：，再利用结论，可得，所以，即得整数的最大值为

27、2.【详解】（ 1 ）由题意可知，和相切，则，即，解得.（ 2 ）现证明，设，令，即，因此，即恒成立，即，同理可证.由题意，当时，即时，成立 .当时，存在使，即不恒成立 .因此整数的最大值为 2.7、 （ 1 ），；（ 2 ）有且只有 1 个公共点，理由见解析 .【分析】（ 1 ）把曲线的参数方程平方相加化简即得的普通方程，利用极坐标的公式求出的直角坐标方程；（ 2 ）联立与，求出即得解 .【详解】解：（ 1 ）曲线的参数方程为（是参数），的普通方程是.曲线的极坐标方程为，由，得的直角坐标方程为.（ 2 ）与有且只有 1 个公共点，由（ 1 ）联立与，得，整理得，与有且只有 1 个公共点 .8

28、、 （ 1 ）；（ 2 ）当年产量万件时，年利润最大，最大年利润为万元 .【分析】（ 1 ）根据题中条件，分和两种情况，分别求出对应的解析式，即可得出结果；（ 2 ）根据（ 1 ）中解析式，分别求出和两种情况下，的最大值，即可得出结果 .【详解】（ 1 ）因为每件产品售价为元，则万件商品销售收入为万元，由题意可得，当时，；当时，；所以；（ 2 ）由（ 1 ）可得，当，当且仅当时，等号成立；当时，则，所以， 当时， 即函数单调递增； 当时，即函数单调递减；所以当时，取得最大值；综上，当时，取得最大值万元；即当年产量为时，该同学的这一产品所获年利润最大，最大年利润是万元 .【点睛】思路点睛：导数的

29、方法求函数最值的一般步骤：（ 1 ）先对函数求导，根据导数的方法判定函数在给定区间的单调性；（ 2 ）根据函数单调性，即可求出函数的最值 .9、 （ 1 ）（是参数）；（ 2 ）.【分析】（ 1 ）由题知直线的倾斜角，故直接根据直线的参数方程公式求解即可；（ 2 ）曲线的直角坐标方程为，在根据直线参数方程几何意义求解即可 .【详解】解： （ 1 ）因为直线的斜率为，所以倾斜角，所以.又因为直线过点所以直线的参数方程为（是参数）（ 2 ）由可得，即所以，曲线的直角坐标方程为，由此，得，即.设为此方程的两个根，因为和的交点为，所以分别是点所对应的参数，由韦达定理得，所以，10、 （ 1 ）；（ 2

30、 ）.【分析】（ 1 ）等价于对任意的上恒成立，对分两种情况讨论得解；（ 2 ）利用函数的单调性求出函数在 -2 ， 1 上的最大值与最小值，解方程即得解 .【详解】解：（ 1 ）因为的定义域为对任意的上恒成立 当时，符合题意 当时，解得，综上所述：，即（ 2 ）令开口向上的二次函数的对称轴为，当时，递减，也递减；当时，递增，也递增 .而，解得（舍）或，.11、 （ 1 ）；（ 2 ）.【分析】（ 1 ）根据函数为奇函数可得，再由得到，两式结合得到周期为 2 ，再结合奇偶性求出，当时，则，将 -x代入到中化简即可求出时的解析式 .（ 2 ）先判断函数再 0,1 上的单调性，并求出值域，通过直观想象即可求得m的范围 .【详解】（ 1 ）由，得，所以，又，所以，所以，所以，又因为，所以设，则，综上，（ 2 ）由（ 1 ）知当时，当时，为增函数，所以，所以，若关于方程在上有实数解，则，所以12、 （ 1 ）的增区间是，减区间是和；（ 2 ）.【分析】（ 1 ）求导函数，结合定义域由得递增区间，由得递减区间；（ 2 ）问题转化为对恒成立，对分类讨论进而可得结果 .【详解】（ 1 ）显然的定义域为，当时， 当时，或，所以，函数的增区间是，减区间是和.（ 2 ）关于的不等式恒成立等价于不等式对恒成立，当时，不恒成立，所以不满足条件；当时，只需即，解得，所以，实数的取值范围是.