黑龙江省2021-2022学年高二上学期开学考试数学试题含解析.doc

1、试卷主标题试卷主标题姓名：_ 班级：_考号：_一、选择题（共一、选择题（共 1212 题）题）1、 若复数，则= （）A 0 B 2 C 4 D 62、 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，则A B C D 3、 下列结论错误的是（ ） .A 三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面B 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线C 若是两个不共线的向量，且(且) ，则构成空间的一个基底D 若不能构成空间的一个基底，则四点共面4、 平面的一个法向量，在内， 则到的距离为 （ ）A 10 B 3 C D 5、 已知，是两条不同的直线，是三个不同的平面，（ ）A

2、 若，则B 若，则C 若，则D 若，则6、 已知向量，若共面，则等于（ ）A B 1 C 1 或D 1 或 07、 进入 8 月份后，我市持续高温，气象局一般会提前发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为 24 小时内最高气温将升至 37 摄氏度以上），在今后的 3 天中，每一天最高气温在 37 摄氏度以上的概率是. 用计算机生成了 20 组随机数，结果如下，若用 0 ， 1 ，2 ， 3 ， 4 ， 5 表示高温橙色预警，用 6 ， 7 ， 8 ， 9 表示非高温橙色预警，则今后的 3 天中恰有 2 天发布高温橙色预警信号的概率估计是（）116785812730134452125689024

3、169334217109361908284044147318027A B C D 8、 设，向量且，则（ ）A B C 3 D 49、 下面两个图是 2020 年 6 月 25 日由国家卫健委发布的全国疫情累计趋势图，每图下面横向标注日期，纵向标注累计数量 . 现存确诊为存量数据，计算方法为：累计确诊数 - 累计死亡数 - 累计治愈数 .则下列对新冠肺炎叙述 错误 的是（ ）A 自 1 月 20 日以来一个月内，全国累计确诊病例属于快速增长时期B 自 4 月份以来，全国累计确诊病例增速缓慢，疫情扩散势头基本控制C 自 6 月 16 日至 24 日以来，全国每日现存确诊病例平缓增加D 自 6 月

4、 16 日至 24 日以来，全国每日现存确诊病例逐步减少10、 在正方体中，为棱的中点，是为棱上的点，且，则异面直线与所成角的正弦值为（ ）A B C D 11、 如图，已知正方体的棱长为 1 ，分别是棱上的中点 . 若点为侧面正方形内（含边）动点，且存在使成立，则点的轨迹长度为（ ）A B C D 12、 在中，角所对的边分别为，为的外接圆，给出下列四个结论：正确的选项是（ ） 若，则； 若P在上，则； 若P在上，则的最大值为 2 ； 若，则点P的轨迹所对应图形的面积为.A B C D 二、填空题（共二、填空题（共 4 4 题）题）1、 若，则以，为邻边的平行四边形的面积为 _ 2、 已知向

5、量，若，则的最小值为_.3、 若满足，的有且只有一个， 则边的取值范围是 _.4、 在四棱锥中， 平面平面， 且为矩形，则四棱锥的外接球的体积为 _.三、解答题（共三、解答题（共 6 6 题）题）1、 在中，分别为角的对边，且.（ 1 ）求；（ 2 ）若为锐角三角形，求的取值范围 .2、 在平行六面体中，点为与的交点，点在线段上，且.（ 1 ）求的长；（ 2 ）设，求的值 .3、 已知的面积为（ 1 ）求的大小；（ 2 ）若，求三角形内切圆半径.4、 如图所示，在四棱锥中，四边形是平行四边形，是的中点，在上取一点，过和作平面交于点.（ 1 ）求证：；（ 2 ）已知是边长为 4 的等边三角形，且

6、平面平面，求四棱锥的体积 .5、 用分层随机抽样从某校高一年级学生的数学期末成绩（满分为 100 分，成绩都是整数）中抽取一个样本量为 100 的样本， 其中男生成绩数据 40 个， 女生成绩数据 60 个， 再将 40个男生成绩样本数据分为 6 组：，绘制得到如图所示的频率分布直方图 .（ 1 ）估计男生成绩样本数据的第 80 百分位数；（ 2 ）在区间和内的两组男生成绩样本数据中，随机抽取两个进调查，求调查对象来自不同分组的概率；（ 3 ）已知男生成绩样本数据的平均数和方差分别为 71 和 187.75 ，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为 73.5 和 119 ，求总样本的平均数和方差

7、 .6、 如图，已知三棱柱，平面平面，分别是的中点 .（ 1 ）证明：；（ 2 ）求直线与平面所成角的余弦值；（ 3 ）求平面与平面夹角的正弦值 .=参考答案参考答案=一、选择题一、选择题1、 B【分析】根据复数的乘方运算以及减法运算求出，然后利用模长公式即可求出结果 .【详解】由题意可得：， 则， 所以故选： B2、 D【分析】由题意，根据点关于平面的对称点，求得的坐标，利用向量的数量积的坐标运算，即求解 .【详解】由题意，空间直角坐标系中，点关于平面的对称点，所以, 则，故选 D.【点睛】本题主要考查了空间直角坐标系的应用，以及空间向量的数量积的坐标运算，其中解答中熟记空间向量数量积的坐标

8、运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题 .3、 C【分析】根据空间向量基本定理：空间中任意三个不共面的非零向量，都可以作为空间的一个基底，根据此定理判断即可 .【详解】A 选项，三个非零向量能构成空间的一个基底，则三个非零向量不共面，故 A 正确；B 选项，三个非零向量不共面，则此三个向量可以构成空间的一个基底，若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这三个向量共面，则已知的两个向量共线，如图，故 B 正确；C 选项， 满足， ，共面，不能构成基底，故 C 错误，D 选项，因为共起点，若，四点不共面，则必能作为空间的一个基底，故 D 正确，故选C.

9、4、 D【分析】利用点到平面的距离的向量公式求解 .【详解】，则点到平面的距离.故选： D5、 C【分析】根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解 .【详解】对于 A 中，若，则或，所以 A 不正确；对于 B 中，若，则与可能为相交平面，所以 B 不正确；对于 C 中，假设，在平面内任取一定，分别作，因为，根据面面垂直的性质定理，可得,又由，所以，且，所以，所以 C 正确 .对于 D 中，若，只有当与相交时，才能得到，所以 D 不正确 .故选： C.6、 C【分析】根据向量共面的条件求解【详解】因为共面，所以存在不全为 0 的实数，使得，即，解得故选： C 7、 B【分析】从

10、20 个随机数中观察随机数的三个数中恰有 2 个在 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 中的个数，然后可得概率【详解】观察 20 个随机数， 其中有 116 ，812 ，730 ，217 ，109 ，361 ，284 ，147 ，318 ，027 共 10 个表示 3 天中恰有 2 天发布高温橙色预警信号，因此所求概率为故选： B 【点睛】本题考查随机数表，解题关键是正确理解题意，从随机数中求得表示 3 天中恰有 2 天发布高温橙色预警信号的个数，从而得出概率8、 C【分析】根据可求得，根据可求得，再根据空间向量的加法运算和模长公式可求得结果 .【详解】因为，所以存在使得，所以，解得，

11、所以，因为，所以，得，所以，所以，所以.故选： C9、 D【分析】根据图象逐项分析即可 .【详解】由图一可知A，B均正确 .由图二数据计算得 16 的现存确诊病例为，同理可计算 18 、 20 、 22 、 24 日现存确诊分别为 346 ， 383 ， 441 ， 473 ，故选：D【点睛】本题考查学生合情推理的能力，数形结合思想，属于基础题 .10、 B【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求出异面直线与所成角的余弦值，即可求解异面直线与所成角的正弦值【详解】解：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体中棱长为 4 ，则， 0 ， 1 ， 4 ， 4 ， 1 ，

12、0 ，设异面直线与所成角为，则，所以，异面直线与所成角的正弦值为，故选： B 11、 C【分析】根据向量共面判断出平面， 由面面平行得到P点的轨迹， 在直角三角形中求出边长即可 .【详解】因为成立，所以共面，即平面，如图，取中点，连接、，根据正方体的性质得，且，所以平面平面，所以点在上运动，点的轨迹为线段，因为，由勾股定理得，故选： C.【点睛】本题考查了平面与平面平行的判断及性质，求点的轨迹的问题，考查了推理能力 .12、 B【分析】根据向量的线性运算以及向量的求模公式可判断 ，根据向量的线性运算，结合点与圆的位置关系可判断 ，根据 结合基本工资可判断 ，根据向量的线性运算，结合点的轨迹及三

13、角形的面积公式可判断 .【详解】，为的外接圆 若，则, 故 正确 由若P在上，则故 正确 由 知（当且仅当时取等号）故 错误 若，则点P的轨迹：当时 , 此时点在线段;当时 , 此时点在线段;当时，构造平行四边形, 此时点在线段上；当时，构造平行四边形, 此时点在线段上；当时，此时点在菱形内部，综上点的轨迹为菱形组成的图形区域，则故 正确故选： B二、填空题二、填空题1、 6【分析】设向量的夹角为 ，利用空间向量的模的公式和夹角公式，分别算出，cos再用同角三角函数的关系算出 sin，最后由正弦定理的面积公式即可算出所求平行四边形的面积【详解】设向量的夹角为 ，cos由同角三角函数的关系，得

14、sin 以为邻边的平行四边形面积为Ssin6.故答案为 6.【点睛】本题主要考查了空间向量的夹角公式、同角三角函数基本关系和正弦定理面积公式等知识，属于基础题2、 2【分析】根据，得，结合 “1” 的巧用即可求解 .【详解】由，得，即，因此，故当且仅当 “” 时，取最小值 2.故答案为： 2.3、【分析】画图分析，当或.【详解】满足，的有且只有一个，如图，或.或边的取值范围是故答案为：4、【分析】由矩形的边长可得底面外接圆的半径，再由为等腰直角三角形可得其外接圆的半径，又平面平面可得底面外接圆的圆心即为外接球的球心， 由题意可得外接球的半径，进而求出外接球的体积【详解】设，取的中点，连接，因为

15、底面为矩形，所以为矩形的外接圆的圆心，而，则，因为平面平面，平面平面，面，所以面，因为面，所以，所以，因为，所以为外接球的球心，外接球的半径为，所以外接球的体积，故答案为：三、解答题三、解答题1、 （ 1 ）；（ 2 ）.【分析】（ 1 ）根据正弦定理即可解决 .（ 2 ）利用正弦定理表示出，再根据是锐角三角形求出角 C 的范围即可得到的取值范围 .【详解】（ 1 ）由正弦定理得：，整理可得：，又，；（ 2 ）为锐角三角形，即，解得：；由正弦定理可得：，则，即的取值范围为.2、 （ 1 ）；（ 2 ）.【分析】（ 1 ），利用数量积的运算性质即可得解；（ 2 ），再利用空间向量基本定理即可得出

16、答案 .【详解】接：（ 1 ） 因为，即；（ 2 ）.3、 （ 1 ）；（ 2 ）.【分析】（ 1 ）根据三角形面积公式，以及正弦定理化简，结合进行求解；（ 2 ） 三角形面积公式为， 其中为内切圆半径， 故需求， 则需要求，结合余弦定理，三角形面积，完全平方公式即可得到.【详解】（ 1 ）由面积公式可知，即，由正弦定理可知.（ 2 ）面积，设三角形内切圆半径为，则，得.4、 （ 1 ）证明见解析；（ 2 ）.【分析】（ 1 ）先根据直线与平面平行的判定定理证明：平面，再根据直线与平面平行的性质定理可证明：； 2 ）延长与交于，根据计算可得结果 .【详解】（ 1 ）证明：如图所示，连接交于点，

17、连接， 四边形是平行四边形， 是的中点，又是的中点，又平面，平面，所以平面，又平面平面，所以.（ 2 ）由（ 1 ）知，且，所以为的中点，为的中点，延长与交于，则在上，如图：因为为的中点，所以，所以，取的中点，则，又平面平面，所以平面，所以到平面的距离为，.【点睛】本题考查了线线平行的判定，考查了线面平行的性质定理，考查了几何体体积的求解 .5、 （ 1 ） 84 ；（ 2 ）；（ 3 ）平均数和方差分别为和 148.【分析】（ 1 ）在内的成绩占比为 70% ，在内的成绩占比为 95% ，由，可得答案；（ 2 ） 得出在区间和内的男生成绩样本数据，并列出数据中随机抽取两个的样本空间包含的样本

18、点和调查对象来自不同分组的样本点， 由古典概型的概率计算公式可得答案； .（ 3 ）设男生成绩样本数据为， ，平均数为，方差为；女生成绩样本数据为， ，平均数为，方差为；总样本的平均数为，方差为，由按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，得，可得答案 .【详解】（ 1 ）由频率分布直方图可知，在内的成绩占比为 70% ，在内的成绩占比为 95% ，因此第 80 百分位数一定位于内 .因为，所以估计男生成绩样本数据的第 80 百分位数约是 84 ；（ 2 ）在区间和内的男生成绩样本数据分别有 4 个和 2 个，分别用和表示，则在这 6 个数据中随机抽取两个的样本空间包含的样本点

19、有，个数为，记事件“ 调查对象来自不同分组 ” ，则事件包含的样本点有，个数为，所以；（ 3 ）设男生成绩样本数据为， ，其平均数为，方差为女生成绩样本数据为， ，其平均数为，方差为；总样本的平均数为，方差为.由按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，得.因为又，同理，所以.所以总样本的平均数和方差分别为和 148.6、 （ 1 ）证明见解析；（ 2 ）；（ 3 ）.【分析】(1) 由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义即可证得线线垂直；(2) 建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后结合线面角的正弦值和同角三角函数基本关系可得线面角的余弦值 .

20、(3) 由（ 2 ）知，得到平面的一个法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解 .【详解】（ 1 ）如图所示，连结，等边中，则，平面ABC 平面，且平面ABC 平面，由面面垂直的性质定理可得：平面，故，由三棱柱的性质可知，而，故，且，由线面垂直的判定定理可得：平面，结合平面，故.(2) 在底面ABC内作EHAC，以点E为坐标原点，EH,EC,方向分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系.设，则，,，据此可得：，由可得点的坐标为，利用中点坐标公式可得：，由于，故直线EF的方向向量为：设平面的法向量为，则：，据此可得平面的一个法向量为，此时，设直线EF与平面所成角为，则.（ 3 ）由（ 2 ）知，平面的一个法向量为，可得，可得，即二面角的正弦值为【点睛】关键点睛：解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解 .