江苏省南京市2020-2021学年度高二上学期开学考试数学试题含详解.doc

1、试卷主标题试卷主标题姓名：_ 班级：_考号：_一、选择题（共一、选择题（共 2424 题）题）1、 圆的圆心坐标和半径分别是（ ）A (1 ， 0) ， 2 B ( 1 ， 0) ， 2 C (1 ， 0) ， 4 D ( 1 ， 0) ， 42、（ ）A B C D 3、 若直线与直线平行，则a= （）A -3 或 -1 B -1 C -3 D 4、 设是不同的直线，是不同的平面，则下列选项中正确的是（ ）A 若，则B 若，则C 若，则D 若，则5、 在中，分别为内角，的对边，若，则解此三角形的结果有（ ）A 无解 B 一解 C 两解 D 一解或两解6、 已知，则（ ）A B C D 7、

2、已知中，分别为角，所对的边，且，则的面积为（ ）A B C D 8、 已知椭圆的左，右焦点分别是，若椭圆上存在一点，使（为坐标原点），且，则实数的值为（ ）A 2 B C D 19、 已知为虚数单位，则等于（ ）A B 1 C D 10、 椭圆的焦点坐标是（ ）A B C D 11、 若函数在区间上存在极值点，则实数的取值范围是（ ）A B C D 12、 为参加校园文化节，某班推荐 2 名男生 3 名女生参加文艺技能培训，培训项目及人数分别为：乐器 1 人，舞蹈 2 人，演唱 2 人若每人只参加 1 个项目，并且舞蹈和演唱项目必须有女生参加，则不同推荐方案的种数为（）A 12 B 24 C

3、36 D 4813、 函数在下面哪个区间内是增函数A B C D 14、 某人射击一次命中目标的概率为，且每次射击相互独立，则此人射击 7 次，有 4 次命中且恰有 3 次连续命中的概率为A B C D 15、 已知函数，则不等式的解集是A B C D 16、 法国的数学家费马（ PierredeFermat ）曾在一本数学书的空白处写下一个看起来很简单的猜想：当整数时，找不到满足的正整数解该定理史称费马最后定理，也被称为费马大定理现任取，则等式成立的概率为（ ）A B C D 17、 已知直线l1： 3xy 1 0 ，l2：x 2y 5 0 ，l3：xay 3 0 不能围成三角形，则实数a的

4、取值可能为（ ）A 1 B C 2 D 118、 下列说法中正确的是（ ）A 在中，若，则一定是钝角三角形B 在中，若，则是直角三角形C 在中，若，则一定是等腰三角形D 19、 已知圆的半径为定长，是圆所在平面内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和直线相交于点 当点在圆上运动时， 下列判断正确的是 （ ）A 当点在圆内（不与圆心重合）时，点的轨迹是椭圆；B 点的轨迹可能是一个定点；C 点的轨迹可能是抛物线D 当点在圆外时，点的轨迹是双曲线的一支20、 大摆锤是一种大型游乐设备（如图），游客坐在圆形的座舱中，面向外，通常大摆锤以压肩作为安全束缚，配以安全带作为二次保险，座舱旋转的同时，悬

5、挂座舱的主轴在电机的驱动下做单摆运动假设小明坐在点处， “ 大摆锤 ” 启动后，主轴在平面内绕点左右摆动，平面与水平地面垂直，摆动的过程中，点在平面内绕点作圆周运动，并且始终保持，设，在 “ 大摆锤 ” 启动后，下列结论正确的是（）A 点在某个定球面上运动；B 与水平地面所成锐角记为，直线OB与水平地面所成角记为，则为定值；C 可能在某个时刻，；D 直线与平面所成角的正弦值的最大值为21、 在一个袋中装有质地大小一样的黑球，个白球，现从中任取个小球，设取出的个小球中白球的个数为，则下列结论正确的是（ ）A B 随机变量服从二项分布C 随机变量服从超几何分布 D 22、 已知三个数成等比数列，则

6、圆锥曲线的离心率为A B C D 23、 某校高二年级进行选课走班，已知语文、数学、英语是必选学科，另外需从物理、化学、生物、政治、历史、地理 6 门学科中任选 3 门进行学习 . 现有甲、乙、丙三人，若同学甲必选物理，则下列结论正确的是（）A 甲的不同的选法种数为 10B 甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是对立事件C 乙同学在选物理的条件下选化学的概率是D 乙、丙两名同学都选物理的概率是24、 已知函数，给出下列四个结论，其中正确的是（ ）A 曲线在处的切线方程为B 恰有 2 个零点C 既有最大值，又有最小值D 若且，则二、填空题（共二、填空题（共 8 8 题）题）1、 若方程表示焦点

7、在轴上的椭圆，则实数的取值范围为 _ 2、 在四面体中，平面，则该四面体的外接球的表面积为 _.3、 已知圆：，直线：，为上的动点过点作圆的切线，切点为，当最小时，直线的方程为 _ 4、 已知中，角、所对的边分别是、，边上的高为，且，则的取值范围是 _.5、 设曲线在点处的切线与直线垂直，则_ 6、 若且，则的取值范围为 _ 7、 若对任意实数，都有，则的值为 _ 8、 已知函数，若对于任意的，均有成立，则实数a的取值范围为 _ 三、解答题（共三、解答题（共 1212 题）题）1、 如图，三棱柱中，底面，且为正三角形，为中点（ 1 ）求证：直线平面；（ 2 ）求证：平面平面2、 设，分别是椭圆

8、的左右焦点，是上一点且与轴垂直，直线与的另一个交点为（ 1 ）若直线的斜率为，求的离心率；（ 2 ）已知（ 1 ）中椭圆上一点到左焦点的最大距离是 6 ，求该椭圆方程3、 在 是边上的高，且， 平分，且， 是边上的中线，且这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求出边的长问题：在锐角中，已知，是边上一点， _ ，求边的长注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分4、 已知圆M的方程为求过点的圆M的切线方程；若直线过点，且直线l与圆M相交于两点P、Q，使得，求直线l的方程5、 已知椭圆的右焦点为，斜率为的直线与的交点为，与轴的交点为（ 1 ）若，求的直线方程；（ 2 ）若，求直线的方程6

9、、 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，且到直线的距离为（ 1 ）求椭圆C标准的方程；（ 2 ）过的直线m交椭圆C于P，Q两点，O为坐标原点，以OP，OQ为邻边作平行四边形OPDQ，是否存在直线m，使得点D在椭圆C上？若存在，求出直线m的方程；若不存在，说明理由7、 为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队 3 人，每人回答一个问题，答对得 1 分，答错得 0 分在竞赛中，甲乙两个中学代表队狭路相逢，假设甲队每人回答问题正确的概率均为，乙队每人回答问题正确的概率分别为，且两队各人回答问题正确与否相互之间没有影响（ 1 ）分别求甲队总得分为 3 分与 1 分的概率；（ 2 ）

10、求乙队总得分为 1 分的概率8、 若的二项式展开式中前三项的系数和为 163 ，求：（ 1 ）该二项式展开式中所有的有理项；（ 2 ）该二项式展开式中系数最大的项9、 如图，在正四棱柱中，点是的中点，点在上，设二面角的大小为.（ 1 ）当时，求的长；（ 2 ）当时，求的长 .10、 高三年级某班 50 名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为：，其中，成等差数列且物理成绩统计如表（说明：数学满分 150 分，物理满分 100分），若数学成绩不低于 140 分等第为 “ 优 ” ，物理成绩不低于 90 分等第为 “ 优 ”.分组频数6920105（ 1 ）根据频率分布直方图

11、，求出实数，的值以及数学成绩为 “ 优 ” 的人数；（ 2 ）已知本班中至少有一个 “ 优 ” 同学总数为 6 人，从该 6 人中随机抽取 3 人，记为抽到两个 “ 优 ” 的学生人数，求的分布列和数学期望11、 已知函数().（ 1 ）若, 求函数的单调区间 ;（ 2 ）当时 , 若函数在上的最大值和最小值的和为 1, 求实数的值 .12、 已知函数（） .（ 1 ）若是定义域上的增函数，求a的取值范围；（ 2 ）若，若函数有两个极值点，（），求的取值范围 .=参考答案参考答案=一、选择题一、选择题1、 B【分析】根据圆的标准方程直接写出圆心和半径 .【详解】因为圆的方程为，所以圆心为，半径

12、为，故选： B【点睛】本题主要考查了圆的标准方程，圆心，半径，属于容易题 .2、 A【分析】利用两角和的正弦公式得解 .【详解】故选： A【点睛】本题考查两角和的正弦公式，属于基础题 .3、 C【分析】根据两直线平行，得到，即可求解 .【详解】由题意，直线与直线平行，则，解答.故选： C.【点睛】本题主要考查了两条直线的位置的判定及应用，其中解答中熟记两直线平行的条件是解答的关键，着重考查运算能力 .4、 C【分析】对于，或；对于，或；对于，由面面垂直的判定定理得；对于，与相交或平行【详解】解：由，是不同的直线，是不同的平面，知：对于，若，则或，故错误；对于，若，则或，故错误；对于，若，则由面

13、面垂直的判定定理得，故正确；对于，若，则与相交或平行，故错误故选：【点睛】本题考查命题真假的判断，空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题5、 C【分析】根据正弦定理即可判定三角形解的个数 .【详解】解：根据题意，在中，分别为内角，的对边，则，变形可得，又由，则有；又，即，由于为锐角，则有两解，即解此三角形有两解；选项 ABD 错误，选项 C 正确 .故选： C6、 D【分析】结合同角三角函数基本关系计算的值，再利用两角差的正弦公式进行求解即可 .【详解】由可得，又，所以所以，.故选 :D【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式与同角三角函数基本关系，解题的

14、关键是熟练运用公式 .7、 A【分析】结合正切两角和的正切公式求出，进而求得角，然后结合余弦定理解三角形即可求出边长，从而利用三角形的面积公式即可求出结果 .【详解】解：中，所以，所以；又，所以，所以；由余弦定理得，即， 又， 由 解得，所以的面积为故选：A 8、 D【分析】由， 依据向量的几何意义可得， 即为的一半， 所以 为直角三角形，结合勾股定理可求得、，即可确定的值【详解】由题意，可得如下示意图，依据向量的几何意义知： 为等腰三角形，即为的一半可知 为直角三角形，且 = 90 有，可得= 4 ，= 4又知：故选： D【点睛】本题考查了根据向量的数量积为 0 的几何含义判断三角形的形状，

15、 进而由三角形的性质求得相关线段的长度，即可确定参数值9、 A【分析】利用虚数单位的幂的周期性即可得解 .【详解】，故选 A.【点睛】本题考查虚数单位的幂的运算，一般地，.10、 C【分析】从椭圆方程确定焦点所在坐标轴，然后根据求的值 .【详解】由椭圆方程得：，所以，又椭圆的焦点在上，所以焦点坐标是.【点睛】求椭圆的焦点坐标时，要先确定椭圆是轴型还是轴型，防止坐标写错 .11、 B【分析】先求解导数，求出极值点，结合极值点和区间的关系进行求解 .【详解】函数的导数为，令，则或，当时，单调递减，当和时，单调递增，所以 0 和 2 是函数的极值点，因为函数在区间上存在极值点，所以或，解得，故选：

16、B 12、 B【分析】由题意可知不同的推荐方案的种数分为以下两种：一种方案是： 有两名女生参加舞蹈与演唱项目中的一个， 剩下的一名女生参加另一个， 再从 2名男生中选一名参加另一个项目，剩下的男生参加乐器项目 .另一种方案是：有两名女生分别参加舞蹈、演唱项目中的一个，两名男生也分别参加舞蹈、演唱项目中的一个，剩下的一名女生参加乐器项目 .再利用排列组合的有关知识即可得出 .【详解】由题意可知不同的推荐方案的种数分为以下两种：一种方案是： 有两名女生参加舞蹈与演唱项目中的一个， 剩下的一名女生参加另一个， 再从 2名男生中选一名参加另一个项目，剩下的男生参加乐器项目，共有种，即 12 种；另一种

17、方案是：有两名女生分别参加舞蹈、演唱项目中的一个，两名男生也分别参加舞蹈、演唱项目中的一个， 剩下的一名女生参加乐器项目， 共有种， 即 12种 .综上可知：满足条件的不同的推荐方案的种数 =12+12=24.故选： B.13、 B【分析】求后令可得函数的单调间区间，逐一比较可得正确选项 .【详解】令，则，令，可得或，故选 B.【点睛】一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减） 函数； 反之， 若在区间上可导且为单调增 （减） 函数， 则.14、 B【分析】由于射击一次命中目标的概率为，所以关键先求出射击 7 次有 4 次命中且恰有 3 次连续命中的所有可能数，即根据独立事件概率公式得结

18、果 .【详解】因为射击 7 次有 4 次命中且恰有 3 次连续命中有种情况，所以所求概率为. 选 B.【点睛】本题考查排列组合以及独立事件概率公式，考查基本分析求解能力，属中档题 .15、 B【详解】由题可得， 所以函数为上的奇函数， 所以可化为，又，所以函数是上的增函数，则由可得，解得，故不等式的解集为故选 B 16、 B【分析】根据分步计数原理，得到基本事件总数，再利用列举法，求得所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解 .【详解】由任取，使得，共有种不同的情形，当时，可得，可得， 共有 10 种情况，满足题意；当时，可得，可得，共有 2 种情况，满足题意；当时

19、，没有满足成立的情况，所以等式成立的概率为.故选： B.【点睛】本题主要考查了古典概型的概率的计算，其中解答中求得基本事件的总数，利用列举法求得所求事件所包含的基本事件的个数是解答的关键，着重考查推理与运算能力 .17、 BCD【分析】根据三条直线中有两条直线的斜率相等时，或者三条直线交于一点时，不能构成三角形进行求解即可 .【详解】因为直线l1的斜率为 3 ，直线l2的斜率为，所以直线一定相交，交点坐标是方程组的解，解得交点坐标为：.当时， 直线与横轴垂直， 方程为：不经过点， 所以三条直线能构成三角形；当时，直线的斜率为：.当直线l1与直线l3的斜率相等时，即，此时这两直线平行，因此这三条

20、直线不能三角形；当直线l2与直线l3的斜率相等时，即，此时这两直线平行，因此这三条直线不能三角形；当直线l3过直线交点时，三条直线不能构成三角形，即有，故选： BCD【点睛】本题考查了三条直线不构成三角形求参数取值范围问题，考查了直线平行与相交的判断，考查了分类讨论思想，考查了数学运算能力 .18、 ABD【分析】对于 A ，根据，从而判断三角形形状；对于 B ，若，化简得，从而；对于 C ，将化简得，从而根据A，B的关系判断三角形形状；对于 D ，通分化简即可求得结果 .【详解】解：在中，角，的对边分别为， 对于选项A：若，即，所以，则一定是钝角三角形，故选项A正确 在中，若，则，即，又从而

21、有，则在中，所以一定是直角三角形，故选项B正确 由于，则整理得，所以，故，所以或，故或，所以该三角形为等腰三角形或直角三角形故 C 错误； 原式，故选项D正确故选：ABD 19、 ABD【分析】根据点所在的位置分类讨论，结合椭圆、抛物线、双曲线的定义判断即可；【详解】解：对A，如图 1 ，连接，由已知得所以又因为点在圆内，所以，根据椭圆的定义，点的轨迹是以，为焦点，为长轴长的椭圆对B，如图 2 ，当点在圆上时，点与圆心重合，轨迹为定点；对C，由于当点与圆心重合时，点的轨迹为圆，综合，可知点的轨迹不可能为抛物线对D，如图 3 ，连接，由已知得所以又因为点在圆外，所以，根据双曲线的定义，点的轨迹是

22、以，为焦点，为实轴长的双曲线故选：ABD 20、 ABD【分析】根据题意建立数学模型进而求解出答案 .【详解】解：因为点在平面内绕点作圆周运动，并且始终保持，所以又因为，为定值，所以也是定值，所以点在某个定球面上运动，选项 A 正确；作出简图如下，所以，选项 B 正确；因为，所以不可能有，选项 C 错误；设，则，当时，直线与平面所成角最大；此时直线与平面所成角的正弦值为，选项 D 正确 .故选： ABD.21、 ACD【分析】利用超几何分布判断B、C的正误，求出随机变量X的概率和数学期望值判断A、D的正误即可得解 .【详解】由题意知随机变量服从超几何分布，故B错误，C正确；随机变量的所有可能为

23、，故，故A，D正确故选：ACD 【点睛】易错点睛：超几何分布和二项分布的区别：（ 1 ）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；（ 2 ）超几何分布是 “ 不放回 ” 抽取，而二项分布是 “ 有放回 ” 抽取（独立重复）；（ 3 ）当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布 .22、 BC【分析】由等比数列的性质求出，再判断曲线类型，进而求出离心率【详解】由三个数成等比数列，得，即；当，圆锥曲线为，曲线为椭圆，则；当时，曲线为，曲线为双曲线，则离心率为：或故选 BC【点睛】本题考查等比数列的性质，离心率的求解，易错点为漏解的取值，属于中档题23、 AD【分析】本题首先可以根据从剩下

24、 5 门课中选两门判断出A正确，然后根据甲、乙、丙三人至少一人选化学与全不选化学是对立事件判断出 B 错误，再然后根据条件概率的计算判断出 C 错误，最后根据乙、丙两名同学各自选物理的概率判断出 D 正确 .【详解】A 项：由于甲必选物理，故只需从剩下 5 门课中选两门即可，即种选法，故A正确；B 项：甲、乙、丙三人至少一人选化学与全不选化学是对立事件，故 B 错误；C 项：由于乙同学选了物理，乙同学选化学的概率是，故 C 错误；D 项：因为乙、丙两名同学各自选物理的概率，所以乙、丙两名同学都选物理的概率是， D 正确，故选： AD.【点睛】本题考查古典概型的概率的相关计算，考查组合的应用以及

25、组合数的运算，考查对立事件的判定以及条件概率的计算，考查运算求解能力，考查推理能力，是中档题 .24、 BD【分析】A 选项，利用导数求在处的切线斜率，进而得切线方程， A 错误； C 选项，由的导数推导函数的单调性，利用函数的单调性来判定既无最小值也无既最大值； B 选项，由函数的单调性及，可得恰有2 个零点； D 选项，根据分类讨论，利用得，再根据函数的单调性可得， D 正确 .【详解】对于 A ，当时，由于函数，所以，所以，所以曲线在处的切线方程为，即，故 A 错误；对于 B 、 C ，因为时，所以在区间上单调递减时，同理可知在区间上单调递减，所以 C 错误；又，所以恰有 2 个零点，所

26、以 B 正确；对于 D ，若，由，得，即因为在上单调递减，所以，即同理可证当，时，命题也成立故 D 正确故选 BD 二、填空题二、填空题1、【分析】根据题意，由椭圆的标准方程的特点，结合已知条件列出不等式，求解即可得出实数的取值范围 .【详解】解：由题可知，方程表示焦点在轴上的椭圆，可得，解得：，所以实数的取值范围为：.故答案为：.【点睛】本题考查椭圆的标准方程的特点，是基础知识的考查，属于基础题 .2、【分析】在中，利用正弦定理，求得外接圆直径为，再结合球的性质，求得球的半径，进而求得外接球的表面积，得到答案 .【详解】在中，因为，可得的外圆球直径为，又由球的性质，可得，所以球的表面积为.故

27、答案为：.【点睛】运用公式（为底面多边形的外接圆的半径，为几何体的外接球的半径，表示球心到底面的距离）求得球的半径，该公式是求解球的半径的常用公式，该方法的实质是通过寻找外接球的一个轴截面，把立体几何问题转化为平面几何问题来研究 .3、【分析】根据题意，只需转化为圆上的点到直线的距离最小，即转化为圆心到直线的距离，再利用四点共圆的知识求得动点的轨迹，联立两个圆的方程可得所求的直线的方程 .【详解】M：，则，圆心为，半径，如图，连接，四边形的面积为，要使最小，则需四边形的面积最小，即只需的面积最小，因为，所以只需最小，又，所以只需直线上的动点到点M的距离最小，其最小值是圆心到直线的距离，此时所以

28、直线的方程为由，解得，所以，所以点四点共圆，所以以点PM为直径的圆的方程为，即， 联立两个圆的方程得直线AB的方程为：.故答案为：.【点睛】在解决直线与圆的位置关系的相关问题时，注意运用圆的几何性质，求解圆的弦长，切线长等问题 .4、【分析】由余弦定理得出，由三角形的面积公式得出，进而可得出，利用正弦函数的有界性和基本不等式即可求得的取值范围 .【详解】如下图所示：由余弦定理得，由三角形的面积公式得，得，则，当时，即当时，取得最大值.由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，因此，的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查三角形中代数式的取值范围的求解，考查了余弦定理、三角形的面积公式、基本不等

29、式以及正弦函数有界性的应用，考查计算能力，属于中等题 .5、 1【分析】对函数求导，利用导数的几何意义可得曲线在点 (1,a) 处的切线斜率，根据两条直线垂直斜率乘积为 -1 即可得 a 值 .【详解】，所以切线的斜率，又切线与直线垂直得，解得.故答案为 1【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，属于基础题 .6、【分析】的几何意义为复平面内动点Z到定点的距离小于等于 2 的点的集合，表示复平面内动点Z到原点的距离，根据几何意义即可求解【详解】解：的几何意义为复平面内动点Z到定点的距离小于等于 2 的点的集合，表示复平面内动点Z到原点的距离，.的取值范围为故答案为：【点睛】本题考查了利用复数的几

30、何意义求模的取值范围， 考查了基本知识的掌握情况， 属于基础题 .7、 243【分析】利用赋值法可得答案 .【详解】根据系数之间的关系，令，故答案为： 243 8、【分析】求导可知函数在上为增函数，进而原问题等价于对于任意的， 均有， 构造函数， 则函数在上为减函数，求导后转化为最值问题求解即可【详解】解：，任意的，恒成立，所以单调递增，不妨设，则，又，故等价于，即，设，易知函数在上为减函数，故在上恒成立，即在上恒成立，设，则，故函数在上为减函数，则，故故答案为：【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，最值及不等式的恒成立问题，考查转化思想，属于中档题三、解答题三、解答题1、 （ 1 ）证明

31、见解析；（ 2 ）证明见解析【分析】（ 1 ）连接交于点，连接，则由三角形中位线定理可得，然后由线面平行的判定定理可证得结论，（ 2 ）由底面，得，由等边三角形的性质可得，平面，再由面面垂直的判定定理可证得结论【详解】证明：（ 1 ）连接交于点，连接，则点为的中点为中点，得为中位线，平面，平面， 直线平面；（ 2 ） 底面，平面， 底面正三角形，是的中点， ， 平面，平面， 平面平面2、 （ 1 ）；（ 2 ）【分析】（ 1 ）把代入椭圆方程可得：，取，直线与的另一个交点为，直线的斜率，且，联立解方程即可得出（ 2 ）由题得，即得解 .【详解】解：（ 1 ）把代入椭圆方程可得：，解得，取，直线

32、与的另一个交点为，直线的斜率，且，联立解得，解得（ 2 ）因为椭圆上一点到左焦点的最大距离是 6 ，所以又，所以.所以椭圆的方程为.3、.【分析】根据三角形的面积公式与余弦定理求解即可得答案 .【详解】方案一：选条件 ：由面积关系得：在中，由余弦定理得，所以方案二：选条件 ：设，则，由面积关系得：在中，由余弦定理得，所以方案三：选条件 ：设，分别在与中由余弦定理得：，【点睛】本题考查三角形面积公式与余弦定理解三角形，考查运算能力，是基础题 .4、切线方程为；直线l的方程为或【分析】易知点A在圆上，根据切线性质和，可得切线斜率，进而可得切线方程；由已知可求出圆心到直线的距离，然后分直线的斜率存在

33、与不存在求解【详解】，点A在圆上，则，则切线m的方程为，即；圆M的方程为，则圆M的圆心坐标为，半径为记圆心到直线l的距离为d，则当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，满足条件；当直线l的斜率存在时，设直线方程为，即则，解得此时直线l的方程为综上，直线l的方程为或【点睛】本题考查了圆的切线方程的求法，考查了直线与圆位置关系的应用，考查了分类讨论的数学思想方法；在解答过程中，易忽略斜率不存在时的直线 ，导致漏解 .5、 （ 1 ）；（ 2 ）【分析】（ 1 ）设直线，与椭圆方程联立消，求出、，利用两点间距离公式求出、列方程即可求解；（ 2 ）设直线，由，得，联立方程消去，可得，即可将、用表示，代

34、入，解方程即可得的值，进而可得直线的方程 .【详解】（ 1 ）设直线，由题设得，由可得，即则，同理，所以，所以，且满足，符合题意 .所以的方程为（ 2 ）设直线，由可得由可得所以从而，故，代入，得，解得：，经检验都满足，故的直线方程为6、 （ 1 ）；（ 2 ）存在，直线.【分析】(1) 由离心率用表示出，从而可用求出直线l的方程，由点到直线的距离公式可得关于的方程，进而可求出椭圆C的标准方程 .(2) 当直线PQ的斜率存在时，设直线m的方程为，与椭圆方程进行联立，结合韦达定理，求出代入椭圆方程进而可求出斜率；当直线PQ的斜率不存在时，即可求出直线方程，进而可求出的坐标，从而可验证此时是否在椭

35、圆上 .【详解】解：（ 1 ）因为椭圆C的离心率为，所以，所以，所以直线l的方程为，即由题意可得，则，解得故椭圆C的标准方程为；（ 2 ） 当直线PQ的斜率存在时，设直线m的方程为，联立，整理得，则，设，由四边形OPDQ为平行四边形，得，则，即，若点D落在椭圆C上，则，即，整理得，整理得，方程无解 当直线PQ的斜率不存在时，直线m的方程为，此时存在点在椭圆C上综上，存在直线，使得点在椭圆C上【点睛】本题考查了椭圆离心率的涵义，考查了椭圆标准方程的求解，考查了点到直线的距离公式，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了分类的思想 . 本题的难点是计算量比较大 .7、 （ 1 ）甲队总得分为 3 分的概

36、率为，甲队总得分为 1 分的概率为； （ 2 ）.【分析】（ 1 ）根据相互独立事件的乘法公式及对立事件即可得解；（ 2 ）根据相互独立事件的乘法公式及对立事件即可得出答案 .【详解】解： （ 1 ） 记 “ 甲队总得分为 3 分 ” 为事件A， 记 “ 甲队总得分为 1 分 ” 为事件B甲队得 3 分，即三人都回答正确，其概率甲队得 1 分，即三人中只有 1 人答对，其余两人都答错，其概率答：甲队总得分为 3 分的概率为，甲队总得分为 1 分的概率为（ 2 ）记 “ 乙队总得分为 1 分 ” 为事件事件即乙队 3 人中只有 1 人答对，其余 2 人答错，则答：乙队总得分为 1 分的概率为8、

37、 （ 1 ），；（ 2 ）.【分析】写出该二项式展开式的通项，根据前三项的系数求出n=9 ，（ 1 ）利用二项式展开式的通项公式即可求解 .（ 2 ）由题意设展开式中项的系数最大，可得，解不等式可得k=6 ，进而可得系数最大的项 .【详解】该二项式展开式的通项为，展开式前三项的系数为 1 ，由题意得，整理得，所以.（ 1 ）设展开式中的有理项为，由又 ， 或 6 故有理项为，（ 2 ）设展开式中项的系数最大，则，又 ， 故展开式中系数最大的项为.9、 （ 1 ）；（ 2 ）.【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，设，计算出平面、平面的法向量、.（ 1 ）由结合空间向量

38、法可得出关于的方程，求出的值，进而可求得的长；（ 2 ） 由结合空间向量法可得出关于的方程， 求出的值， 进而可求得的长 .【详解】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，设.（ 1 ）、，设平面的法向量为，由，可得，取，则，所以，设平面的法向量为，由，可得，取，可得，所以，.（ 1 ）因为，则，解得，从而点，所以，；（ 2 ），解得或.结合图形和（ 1 ）中的结论可知，从而.【点睛】思路点睛：利用空间向量法求解二面角的步骤如下：（ 1 ）建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标；（ 2 ） 设出法向量， 根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，

39、求解出平面的法向量 （注：若半平面为坐标平面，直接取法向量即可）；（ 3 ）计算（ 2 ）中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是锐角还是钝角，从而得到二面角的余弦值 .10、 （ 1 ）， 4 人；（ 2 ）分布列见解析，.【分析】（ 1 ）根据题中条件和频率分布直方图的性质列出方程，从而解得结果；（ 2 ）依题意可得抽取的 6 人中，两科均为 “ 优 ” 的同学为 3 人，写出的可能值，求出对应的概率，进而可得分布列和数学期望 .【详解】（ 1 ）由于，解得，数学成绩为 “ 优 ” 的人数：（人）（ 2 ）数学成绩为 “ 优 ” 的同学有 4 人，物理成绩为 “

40、优 ” 有 5 人，因为至少有一个 “ 优 ” 的同学总数为 6 名同学，故两科均为 “ 优 ” 的同学为 3 人，故的取值为 0 ， 1 ， 2 ， 3 ，则的分布列为012311、 （ 1 ）答案见解析 . （ 2 ）【分析】（ 1 ）利用的导函数，求得的单调区间 .（ 2 ）利用的导函数，求得的单调区间，对分成，三种情况进行分类讨论，结合在区间上最大值和最小的和为，求得实数的值 .【详解】（ 1 ）当a=3 时 ,f(x)=2x3 3x2+1,xR,f(x)=6x2 6x=6x(x 1),令f(x)0 得 ,x1; 令f(x)0 得 ,0 x0,f(x)=6x2 2ax=2x(3xa),

41、令f(x)=0 得 ,x=0 或,列表 :x( ,0)0(0,)(,+)f(x)+00+f(x)递增极大值递减极小值递增 当 0a2 时 ,0, 函数f(x) 在上单调递增 , 在上单调递减 , 在上单调递增 ,又 f( 1)= 1 a,f(0)=1,f（ 1 ） =3 a1,f()=1, 且 0f()1,f(x)max=f（ 1 ） =3 a,f(x)min=f( 1)= 1 a,(3 a)+( 1 a)=1,a, 当 2a3 时 ,0, 函数f(x) 在上单调递增 , 在上单调递减 , 在上单调递增 ,又 f( 1)= 1 a,f(0)=1,f（ 1 ） =3 a,f()=1, 且 0f(

42、)1,0f（ 1 ） 1,f(x)max=f(0)=1,f(x)min=f( 1)= 1 a,1+( 1 a)=1,a= 1, 不符合题意 , 舍去 , 当a3 时 , 函数f(x) 在上单调递增 , 在上单调递减 ,f(x)max=f(0)=1,又 f( 1)= 1 a,f（ 1 ） =3 a,f(x)min=f( 1)= 1 a,1+( 1 a)=1,a= 1, 不符合题意 , 舍去 ,综上所述 , 若函数f(x) 在上的最大值和最小值的和为 1, 实数a的值为.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间，考查利用导数研究函数的最值，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题 .12、 （ 1 ）；（ 2 ）.【分析】（ 1 ）由题得，化为恒成立，即得解；（ 2 ）先求出，再求出，令，则，得，求出即得解 .【详解】（ 1 ）的定义域为，在定义域内单调递增，即对恒成立 .则恒成立 . ， .所以，a的取值范围是.（ 2 ）设方程，即得两根为，且.由且，得， ， .，代入得，令，则，得，而且上递减，从而，即， .【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究函数的极值和双变量问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平 .