上海市2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题含解析.doc

1、试卷主标题试卷主标题姓名：_ 班级：_考号：_一、选择题（共一、选择题（共 1212 题）题）1、 在 中，已知，则 的形状为（ ）A 等腰三角形 B 直角三角形C 正三角形 D 等腰或直角三角形2、 赵爽是我国古代数学家、天文学家约公元 222 年，赵爽为周髀算经一书作序时，介绍了 “ 勾股圆方程 ” ，亦称 “ 赵爽弦图 ” ，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形如图是一张弦图，已知大正方形的面积为 25 ，小正方形的面积为 1 ，若直角三角形较小的锐角为，则的值为（ ）A 7 B C 4 D 93、 在中，已知，设以下说法错误的是（ ）A 若有两解，B 若有唯一解，

2、C 若无解，D 当，外接圆半径为 104、 已知，则 “” 是 “” 的（）A 充分非必要条件 B 必要非充分条件C 充要条件 D 既非充分也非必要条件5、 一个扇形的面积是 1 平方厘米，它的周长是 4 厘米，则它的中心角是A 2 弧度 B 3 弧度 C 4 弧度 D 5 弧度6、 方程的解集为（ ）A B C D 7、 角的终边属于第一象限，那么的终边不可能属于的象限是（ ）A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限8、 已知定义域是全体实数的函数满足，且，现定义函数，为：， 其中， 那么下列关于，叙述正确的是（ ）A 都是偶函数且周期为B 都是奇函数且周期为C 都是周期函数但

3、既不是奇函数又不是偶函数D 都不是周期函数9、 已知函数，则 “” 是 “为偶函数 ” 的（）条件A 充分非必要条件 B 必要非充分条件C 充要条件 D 既非充分也非必要条件10、 在中，则的形状为（ ）A 正三角形 B 直角三角形 C 等腰直角三角形 D 等腰三角形11、 设定义在上的函数，则（ ）A 在区间上是增函数 B 在区间上是减函数C 在区间上是增函数 D 在区间上是减函数12、 设函数，若对于任意实数，在区间上至少有2 个零点，至多有 3 个零点，则的取值范围是（）A B C D 二、填空题（共二、填空题（共 3636 题）题）1、 已知角的终边经过点，则的值是 _ 2、 函数的最

4、小正周期是 _ 3、 已知，且是第二象限角，则的值是 _ 4、 已知，则_ 5、 若为锐角，且，则_ 6、 方程在上的解组成的集合为 _ 7、已知中， 角A，B，C的对边分别为a，b，c， 且，则_ 8、 函数，的严格递增区间是 _ 9、 函数的图像向右平移个单位长度后与函数的图像重合，则的最小值为 _ 10、 在等腰直角三角形中，M是中点，点D是AC上一点，若，则_ 11、设的内角A、B、C满足， 则的最小值为 _ 12、 在平面直角坐标系中，已知点，若对于y轴上的任意 5 个不同的点，总存在两个不同的点，使得，则的最小值为 _ 13、 已知平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴

5、的正半轴重合，其终边上有一点，则_ 14、 计算：_ 15、 若，且，则_ 16、 已知，则_ 17、把化为（其中，的形式：_ 18、 函数的最小正周期为 _ 19、 已知：，则_20、 若，则_ 21、 小瑗在解试题： “ 已知锐角与的值，求的正弦值 ” 时，误将两角和的正弦公式错记成了 “” ，解得的结果为，发现与标准答案一致，那么原题中的锐角的值为 _ （写出所有的可能值）22、 如图， 平面上有一条走廊宽为 3 米， 夹角为 120 ， 地面是水平的， 走廊两端足够长 那么能够通过走廊的钢筋（看作线段，不考虑粗细）的最大长度为 _ 米23、 设，使不等式成立的实数取值范围是_ .24、

6、 如图，已知等腰三角形ABC的顶角，D是腰AB上一点若，则_ 25、 函数的最小正周期为 _.26、为第三象限的角，且，则是第 _ 象限的角27、 已知扇形的周长为， 面积为， 则扇形的圆心角的弧度数为 _.28、 函数的定义域为 _.29、 方程在内的解为_ （用反三角函数表示）30、 已知奇函数的一个周期为 2 ，当时，则_.31、 已知角满足，则_32、 函数的单调递增区间为 _.33、 函数在上的值域是 _.34、 已知向右平移个单位后为奇函数，则_.35、 我们知道函数的性质中，以下两个结论是正确的： 偶函数在区间上的取值范围与在区间上的取值范围是相同的； 周期函数在一个周期内的取值

7、范围也就是在定义域上的值域，由此可求函数的值域为_.36、 已知定义在R上的奇函数，满足，当时，若函数， 在区间上有 2021 个零点， 则m的取值范围是 _三、解答题（共三、解答题（共 1515 题）题）1、 （ 1 ）证明：；（ 2 ）的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 若，求的面积S2、 已知，且是锐角（ 1 ）求的值；（ 2 ）求的值3、 某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的先进单位，制作了一批奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，其中扇形的半径为 10 ，交于M，交于C，且，设，（ 1 ）用表示的长度；（ 2 ）若按此方案设计，工艺制造厂发现，当最长时，该奖杯比较美观的长度以及的

8、大小4、 已知函数，其中，（ 1 ）若，求函数的最小正周期以及函数图像的对称中心；（ 2 ）若函数在上严格递增，求的取值范围；（ 3 ）若函数在（且）满足：方程在上至少存在2021 个根，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于 2021 ，求的取值范围5、 如图，在平面直角坐标系中锐角的终边分别与单位圆交于A、B两点，角的终边与单位圆交丁C点，过点A、B、C分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N、P（ 1 ）如果，求的值；（ 2 ）求证：线段能构成一个三角形；（ 3 ）探究第（ 2 ）小题中的三角形的外接圆面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由6、 设，且 ， 满足（ 1 ）求的值

9、（ 2 ）求 cos （ + ）的值7、 如图，一条河的两岸相互平行两岸边各有一个小镇A与B，它们的直线距离为 2 千米，河宽AC为 1 千米根据规划需在线段BC上选择一个点D，沿AD铺设水下电缆，沿BD铺设地下电缆建立数学模型寻找如何铺设电缆费用最低（ 1 ）模型建立：我们假设： B、D之间的地下电缆沿 _ 铺设，每干米地下电缆的铺设费用不变，不妨设为 1 ； A、D之间的水下电缆沿 _ 铺设，每千米水下电缆的铺设费用不变，根据调查为每千米地下电缆铺设费用的两倍；如果设；则的取值范围为 _ 可以将该项工程的总费用y表示为的函数，这个函数的解析式为 _ 因此，原实际问题的数学模型为：求 _ ，

10、使该项工程的总费用y最低（ 2 ）模型求解：请求解上述模型8、 已知三角形ABC中，、是方程的两个实数根（ 1 ）若，求的值；（ 2 ）求的最小值，并指出此时对应的实数a的值9、 某校同学设计一个如图所示的 “ 蝴蝶形图案（阴影区域） ” ，其中A，B，C，D是抛物线上的四个不同的点，且（点A、B在第二象限，且点A在点B的左上方） AC、BD交于点 点为y轴上一点， 记， 其中为锐角 设线段AF的长为m（ 1 ）用m与表示点A的横坐标；（ 2 ）将m表示为的函数；（ 3 ）求 “ 蝴蝶形图案 ” 面积的最小值，并指出取最小值时的大小？10、设是定义在上的函数， 若对任何实数以及中的任意两数、，

11、恒有，则称为定义域上的函数（ 1 ）判断函数，是否为定义域上的函数，请说明理由；（ 2 ）函数，是定义域上的函数，求实数的最小值；（ 3 ）若是定义域为的周期函数，且最小正周期为试判断是否可能为定义域上的函数 如果可能， 请给出至少一个符合条件的函数； 如果不可能，请说明理由11、 如图，在平面直角坐标系中，角的终边在第二象限与单位圆交于点（ 1 ）若点的横坐标为，求的值（ 2 ）若将绕点逆时针旋转，得到角（即），若，求的值12、 已知函数的部分图像如图所示 .（ 1 ）求函数的解析式；（ 2 ）若，求的取值范围 .13、 如图某公园有一块直角三角形的空地，其中，长千米， 现要在空地上围出一块

12、正三角形区域建文化景观区， 其中、分别在、上设（ 1 ）若，求的边长；（ 2 ）当多大时，的边长最小？并求出最小值14、 已知数的相邻两对称轴间的距离为.（ 1 ）求的解析式；（ 2 ）将函数的图像向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图像，当时，求函数的值域 .（ 3 ）对于第（ 2 ）问中的函数，记方程在，上的根从小到依次为，试确定n的值，并求的值 .15、 在非直角三角形中，角的对边分别为.（ 1 ）若，且，判断三角形的形状；（ 2 ）若，（ i ）证明：；（可能运用的公式有）（ ii ）是否存在函数，使得对于一切满足条件的m，代数式恒为定值？若存在，请给出

13、一个满足条件的，并证明之；若不存在，请给出一个理由 .=参考答案参考答案=一、选择题一、选择题1、 D【分析】由、，结合已知及两角和差正弦公式可得，根据三角形内角的性质即可判断 的形状 .【详解】由题意，或，或.故选： D2、 A【分析】根据题意求出一个直角三角形的直角边，即可求出锐角的正切值，从而利用两角和的正切公式即可求出结果【详解】解：根据图形的特点，设四个全等的直角三角形的一条直角边为，另一条为，所以，解得，所以，所以，故故选： A 3、 B【分析】首先计算，再根据正弦定理判断三角形解的个数的公式，即可判断选项 .【详解】，若有两解，则，即，故 A 正确；若有唯一解，则，或，即或，故

14、B 错误；若无解，则，即，故 C 正确；当时，根据正弦定理，得，故 D 正确 .故选： B4、 C【分析】根据两角和的正弦公式以及半角公式，简单的三角方程以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】，则 “” 是 “，” 的充要条件，故选：5、 A【分析】设出扇形的半径与弧长，根据面积与周长列出方程组，求解出半径与弧长，根据弧长公式求出圆心角即为中心角 .【详解】设半径为，弧长为，圆心角为，因为，所以，所以.故选： A.【点睛】本题考查运用扇形的弧长和面积公式求扇形的圆心角， 难度较易 . 已知扇形的半径为， 圆心角为，则扇形弧长为，面积为.6、 C【分析】利用反三角函数的定义以及正切函数

15、的周期为，即可得到原方程的解 .【详解】由，根据正切函数图像以及周期可知：，故选： C【点睛】本题考查了反三角函数的定义以及正切函数的性质，需熟记正切函数的图像与性质，属于基础题 .7、 D【分析】由题意知， 即可得的范围， 讨论、对应的终边位置即可 .【详解】 角的终边在第一象限，则，当时，此时的终边落在第一象限，当时，此时的终边落在第二象限，当时，此时的终边落在第三象限，综上，角的终边不可能落在第四象限，故选： D.8、 A【分析】根据函数的新定义和奇偶性定义，周期的定义分析判断即可【详解】因为，所以，且，即的一个周期为，当时，且，当时，所以是偶函数且周期为；同理，所以，且，即的一个周期为

16、，当时，且，当时，所以是偶函数且周期为；综上所述，选A 故选： A9、 A【分析】当时，根据奇偶性的定义判断为偶函数，反之当为偶函数时，从而可得结果 .【详解】当时， 为偶函数 .当为偶函数时，综上所述是为偶函数的充分不必要条件，故选： A.10、 B【详解】，即由余弦定理可得可得：故三角形是直角三角形故选点睛：本题主要考查的知识点是三角形的形状判断，余弦定理的应用直接利用二倍角的余弦函数以及余弦定理化简可得，通过边长之间的关系即可判断出三角形的形状11、 A【分析】根据每个选项中的范围，得到的范围，利用正弦函数的图象得到函数的单调性，再根据函数的符号去绝对值可得的单调性 .【详解】对于 A

17、，当时，函数为减函数，所以为增函数，故 A 正确；对于 B ，当时，函数先递减后递增，所以先递增后递减，故 B 不正确；对于 C ，当时，函数先递增后递减 ，所以先递增后递减，故 C 不正确；对于 D ，当时，函数为递减函数，所以为递减函数，当时，函数为递减函数，所以为增函数，故 D 不正确 .故选： A【点睛】关键点点睛：熟练掌握正弦函数的单调性是本题解题关键 .12、 B【分析】，只需要研究的根的情况，借助于和的图像，根据交点情况，列不等式组，解出的取值范围 .【详解】令，则令，则则问题转化为在区间上至少有两个， 至少有三个t，使得，求的取值范围 .作出和的图像，观察交点个数，可知使得的最

18、短区间长度为 2，最长长度为，由题意列不等式的：解得：.故选： B【点睛】研究y=Asin(x+)+B的性质通常用换元法（令），转化为研究的图像和性质较为方便 .二、填空题二、填空题1、【分析】直接利用三角函数的坐标定义求解 .【详解】由题意，得，所以；故答案为：.2、【分析】由三角函数的周期性及其求法直接求值【详解】解：因为，所以由三角函数的周期性及其求法可得最小正周期故答案为：3、【分析】先用平方关系解出余弦，再根据商数关系得到答案 .【详解】因为，且是第二象限角，所以，所以.故答案为：.4、【分析】由已知利用诱导公式化简，再利用同角三角函数基本关系式即可求解【详解】因为，所以故答案为：5

19、、【分析】根据两角和的余弦公式，即可求解 .【详解】为锐角，且，.故答案为：6、【分析】利用两角和与差的三角函数化简方程为求解即可【详解】，可得，所以，解得或故答案为：，7、【分析】先利用正弦定理求出再用余弦定理即可求出.【详解】因为由正弦定理得：代入，解得：由余弦定理得：，因为, 所以.故答案为：8、【分析】直接利用余弦型函数性质的应用求出函数的单调递增区间【详解】解：函数，令，整理得，由于，当时，所以函数的单调递增区间为：故答案为：9、【分析】直接利用函数的图象的平移变换的应用，结合简单三角方程的解法求出结果【详解】函数的图象向右平移个单位长度后得到由于与函数的图象重合，所以，整理得：，当

20、时，当时，所以的最小值为故答案为：10、【分析】设，根据勾股定理和正弦定理建立方程，解之可得答案 .【详解】设，则，故在中，即故答案为：.11、【分析】首先利用基本不等式求得，再根据余弦定理变形得，将余切转化为正余弦，再利用正弦定理边角互化，转化为，最后利用角的范围求最值 .【详解】由题意得，另一方面，当且仅当时取到最小值故答案为：12、【分析】先确定的范围， 再根据已知条件将区间等分成这 4 个区间，可得，从而得到的取值范围，即可得到答案【详解】由于，因此，因为对于y轴上的任意 5 个不同的点，总存在两个不同的点，使得，所以把区间等分成这 4 个区间，则中必有两个点使得落在同一区间中，故，所

21、以的最小值为.故答案为：.13、【分析】由任意角的三角函数的定义直接求解即可【详解】解： 因为角的顶点与坐标原点重合， 始边与轴的正半轴重合， 其终边上有一点，所以，故答案为：14、 1【分析】直接利用两角和的正切公式化简即可【详解】故答案为： 115、【分析】由的值及，可得的值，计算可得的值 .【详解】解：由，且，由，所以，故，故答案为：.16、 2【分析】将化为，然后代值求解即可【详解】故答案为： 217、【分析】利用辅助角公式将转化为即可 .【详解】因为，所以形式即为.故答案为：.18、【分析】直接根据正弦函数的周期性计算可得；【详解】解：因为，所以函数的最小正周期故答案为：19、【分析

22、】先根据诱导公式和同角三角函数的基本关系化简原式，然后再根据已知条件求解出原式的值 .【详解】因为原式，且即，所以原式.故答案为：.【点睛】本题考查三角函数的化简求值，着重考查了诱导公式以及同角三角函数的基本关系，难度一般 .20、 31【分析】先对，化简，然后解出的值，两个式子相除化简可求得答案【详解】解：由题意得，解得，所以故答案为： 3121、【分析】根据得到满足的条件式，根据对应条件分析出的可能取值 .【详解】因为，所以，所以，又因为与为锐角，所以或，当时，此时，所以或满足，当时，此时，所以或，综上可知：锐角的可能值为、.故答案为：、.【点睛】本题考查三角恒等变换中的两角和的正、余弦公

23、式的运用，对于推理和运算的要求较高，难度一般 .22、 12【分析】如图，设能通过走廊的钢筋的长度为AB，设，则求得，然后相加，利用基本不等式可得基本最小值【详解】如图，设能通过走廊的钢筋的长度为AB，设，则，当且仅当时取等号，故能够通过走廊的钢筋（看作线段，不考虑粗细）的最大长度为 12 米故答案为： 1223、【详解】不等式化为对一切成立，故应大于的最大值 .易知，故，即.24、 1【分析】设，则，且，即，则，设， 则， 然后在中利用余弦定理可得， 在等腰三角形ABC中，有，几个式子结合化简可得答案【详解】设，则中，按计算器得证明：因为，设，则，且，即，所以，（ 1 ）设，则，在中由余弦定

24、理得（ 2 ）在等腰三角形ABC中，（ 3 ）将（ 1 ）整理为，展开得，所以，将（ 2 ），（ 3 ）代入上式得，即故答案为： 125、【分析】直接应用正弦型最小正周期公式进行求解即可 .【详解】函数的最小正周期.故答案为：26、 二【分析】根据为第三象限的角， 写出的范围， 再根据题意得， 即可判断所在象限【详解】因为为第三象限的角，有，所以，又，所以；当为偶数时，是第二象限角，满足；当为奇数时，是第四象限角，不满足；故答案为二【点睛】本题主要考查象限角的范围以及三角函数值在各象限的符号27、【分析】设圆心角和半径，根据周长和面积建立方程组，即可得解 .【详解】扇形的周长为，面积为，设扇形

25、圆心角，半径r，则，解得或 8 （舍去），所以.故答案为：.28、【分析】根据对数的定义，结合正切函数的性质进行求解即可 .【详解】根据题意得，即，所以，所以函数的定义域.故答案为：29、【分析】根据正弦函数的性质，结合反正弦函数的性质进行求解即可 .【详解】因为，所以，故答案为：30、【分析】依题意根据函数的奇偶性与周期性计算可得；【详解】解：根据题意得，故答案为：31、【分析】根据诱导公式，结合余弦的二倍角公式进行求解即可 .【详解】因为，所以有：故答案为：.32、【分析】先对函数变形，然后由可求出函数的递增区间【详解】，所以，解得，所以单调递增区间为故答案为：33、【分析】化简解析式后，

26、利用正弦函数与二次函数的性质求解 .【详解】令，则，因为的对称轴方程为，所以所以，所以，所以函数在上的值域是，故答案为：34、【分析】根据辅助角公式化简函数，其中，根据平移公式得，再结合奇函数性质即可求解【详解】由根据题意可得，函数，其中因为向右平移个单位后，可得，又由为奇函数，所以，即，又因为，所以，所以故答案为：35、【分析】判断函数的奇偶性、 周期， 然后根据辅助角公式， 结合题中所给的函数的性质进行求解即可 .【详解】因为，所以函数是偶函数，因为，所以函数的周期为.当时，因为，所以，因此，所以，当时，因为，所以，因此，所以，因此当时，由题中所给的性质可知：值域为.故答案为：36、【分析

27、】首先由条件判断函数是周期函数，周期为 2 ，利用性质画出函数的图象，并将函数的零点转化为函数与的交点，利用一个周期的零点个数，结合图象判断的取值范围 .【详解】由题意，函数为R上奇函数，所以，且，又，可得，可得函数的图象关于点对称，联立可得，所以是以 2 为周期的周期函数，又由函数的周期为 2 ，且关于点对称，因为当时，由图象可知，函数和的图象在上存在四个零点，即一个周期内有 4 个零点，要使得函数，在区间上有 2021 个零点，其中都是函数的零点 , 即函数在上有2017 个零点，如果是第 2017 个零点，则，如果是第 2018 个零点，则，即.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的一个关

28、键是不要忽略，再利用函数性质画出函数图象以后，关键是分析图象，列出不等式 .三、解答题三、解答题1、 （ 1 ）证明见解析 ；（ 2 ） 18.【分析】（ 1 ）根据同角三角函数关系以及二倍角的正弦公式证明即可；（ 2 ）根据正弦定理以及三角形的面积公式即可求解【详解】（ 1 ）证明：，故原命题成立；（ 2 ），又，则，且，故，的面积2、 （ 1 ）；（ 2 ）.【分析】(1) 根据，再利用两角差的正切公式即可；(2)，再利用两角和的正切公式化简求值，结合角的范围即可【详解】由题意知，（ 1 ）；（ 2 ）因为均为锐角，所以，所以，又，所以，则，所以3、 （ 1 ）；（ 2 ），.【分析】（

29、1 ） 利用直角三角形的性质求出，的长度， 设， 作交于，交于，利用图形求出，进而可以求解；（ 2 ）利用（ 1 ）的结论以及三角函数的性质即可求解【详解】解：（ 1 ），设，作交于E，交于F， ， ，则，即，；（ 2 ），其中，当，因此，当时，最长为4、 （ 1 ），；（ 2 ）；（ 3 ）.【分析】（ 1 ）由题意利用正切函数的周期性和对称性，得出结论（ 2 ）由题意利用正切函数的单调性，求得的范围（ 3 ）由题意利用正切函数的周期性和零点，正切函数的图象，求得的范围【详解】解：（ 1 ）由于，的最小正周期为，令，求得，故的图象的对称中心为，（ 2 ）若函数在，上严格递增，则，求得，即的范

30、围为（ 3 ）方程在，上至少存在 2021 个根，故当，时，至少有 2021 个根，即，至少有 2021 个根，即当，时，至少有 2021 个根且在所有满足上述条件的，中，的最小值不小于 2021 ，故至少包含 2020 个周期，即，所以5、 （ 1 ）；（ 2 ）证明见解析；（ 3 ）是，.【分析】（ 1 ）运用同角的平方关系和任意角的三角函数的定义，结合两角差的余弦公式，计算即可得到所求；（ 2 ）要证明，能构成一个三角形，只需证明两边之和大于第三边即可；（ 3 ）设线段，构成的三角形为 ，利用余弦定理求出，从而求出，再利用正弦定理求出三角形的外接圆的半径，即可判断【详解】解：（ 1 ）由

31、题意得，由于均为锐角，所以，（ 2 ）证明：，而，所以，所以，同理，所以线段能构成一个三角形（ 3 ）三角形的外接圆的面积是定值，证明如下：设（ 2 ）中的三角形为中，角，所对的边长为由余弦定理可得， ， ，设外接圆的半径为R，则由正弦定理可得， ， 外接圆的面积6、 （ 1 ）；（ 2 ）【分析】（ 1 ）将等式 5sin+5cos 8 左边提取 10 ，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值求出 sin （ ）的值，由 的范围求出 的范围，利用同角三角函数间的基本关系化简即可求出 cos （ ）的值；（ 2 ）利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，求出 sin （

32、 ）的值，由 的范围求出 的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出 cos （ ）的值，将所求式子利用诱导公式 sin （ ） cos 变形，其中的角+ 变形为（ ） + （ ），利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值【详解】（ 1 ） 5sin+5cos 8 ，10 （sincos ） 8 ，即 sin （ ）， （ 0 ，）， （，），cos （ ）；（ 2 ）又 sincos 2 ，2（sincos ） 2 ，即 sin （ ）， （，）， （，），cos （ ），cos （ + ） sin（ + ） sin （ ） + （ ） sin （ ） cos （ ） +c

33、os （ ） sin （ ）（）【点睛】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式，灵活变换角度是解本题的关键，同时注意角度的范围本题中灵活运用角的变换的技巧达到了用已知表示未知，是中档题7、 （ 1 ）BD（直线）；AD（直线）；（ 2 ）答案见解析【分析】（ 1 ）根据题意可得B、D之间的地下电缆沿线段BD（直线）铺设，A、D之间的水下电缆沿线段AD（直线）铺设，结合图示，可得的范围，由题意可得、的长，即可得y的表达式，即可得答案（ 2 ）设，可得，代入（ 1 ）中方程，可得y关于t的方程，结合基本不等式即可求得答案 .【详解】（ 1 ）由题设，所

34、以 B、D之间的地下电缆沿线段BD（直线） 铺设，每千米地下电缆的铺设费用不变，不妨设为 1 ； A、D之间的水下电缆沿线段AD（直线） 铺设，每千米水下电缆的铺设费用不变，根据调查为每干米地下电缆铺设费用的两倍；如果设；则的取值范围为，可以将该项工程的总费用y表示为的函数，这个函数的解析式为因此，原实际问题的数学模型为：求，使该项工程的总费用y最低（ 2 ）设，则，代入（ 1 ）的结论，得当且仅当时取等号，即时，再由得答：当时，工程总费用最低为8、 （ 1 ）；（ 2 ），最小值为【分析】（ 1 ）根据韦达定理，可得，的值，根据诱导公式及两角和的正切公式，化简整理，即可得答案 .（ 2 ）

35、根据题意及韦达定理， 分析可得， 根据诱导公式及两角和的正切公式， 可得的表达式，根据a的范围，即可得答案 .【详解】（ 1 ）根据韦达定理可得：，所以（ 2 ）因为方程有两个实数根，所以，解得或，又因为，所以与同号，而三角形中不可能有两个钝角所以与都大于 0 ，所以解得所以当且仅当，即时，取到最小值为9、 （ 1 ）；（ 2 ）；（ 3 ）时， “ 蝴蝶形图案 ”的面积取最小值为【分析】（ 1 ）作AH垂直y轴于H，直接利用正弦即可求出答案；（ 2 ）求出 A 点的坐标，代入整理即可得出答案；（ 3 ）分别求出，则，令，整理即可求出答案 .【详解】（ 1 ）作AH垂直y轴于H，则，所以点A的

36、纵坐标为（ 2 ）点所以，即，解得，由于，所以（ 3 ）同理，“ 蝴蝶形图案 ” 的面积：令，所以则， 所以， 即时，“ 蝴蝶形图案 ” 的面积取最小值为10、 （ 1 ）不是函数，理由见解析；（ 2 ）；（ 3 ）不是上的函数，理由见解析【分析】（ 1 ）取，验证，即可得出结论；（ 2 ）设，由化简得出，可得出，可求得的取值范围，即可得出实数的最小值；（ 3 ）假设是上的函数，若存在且、，使得，分别论证、不成立，即可得出结论 .【详解】（ 1 ）不是函数，说明如下（举反例）：取，则，即，所以不是函数；（ 2 ）对任意的，由可得，所以，所以，不妨设，可得，即，所以，因为，只需，即，解得.因此，

37、实数的最小值为；（ 3 ）假设是上的函数，若存在且、，使得（ ）若，记，则，且，那么，这与矛盾；（ ）若，记，同理也可得到矛盾；所以在上是常数函数，又因为是周期为的函数，所以在上是常数函数，这与的最小正周期为矛盾所以不是上的函数【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义问题，解决本题的关键在于充分利用题中 “函数 ”的定义，利用作差法、不等式的基本性质来求解，在判断 “函数 ” 的定义不满足时，可充分利用特殊值、反例来进行否定 .11、 （ 1 ）；（ 2 ）.【分析】（ 1 ）利用点的坐标，得出三角函数值，由齐次式求值即可；（ 2 ）利用两角差的正切公式求值即可【详解】（ 1 ） 在单位圆上，

38、且点的横坐标为，可求得纵坐标为，所以，（ 2 ）由题知，则则12、 （ 1 ）；（ 2 ）.【分析】（ 1 ）根据函数零点与函数周期的关系，结合正弦型函数的最小正周期公式、特殊值法进行求解即可；（ 2 ）根据两角和的正弦公式、降幂公式，结合辅助角公式和正弦型函数的单调性进行求解即可 .【详解】（ 1 ）由图可得， ，则，又，解得， ， ；（ 3 ）.， ，则当时，取得最小值为 0 ，当时，取得最大值为，的取值范围为.13、 （ 1 ）千米；（ 2 ）当时，的边长取得最小值为千米 .【分析】（ 1 ）由题意易得为等边三角形，从而可求；（ 2 ）由已知结合正弦定理及辅助角公式进行化简即可求解【详解

39、】解：（ 1 ）设的边长为千米，由得，中，为等边三角形，故，即的边长为；（ 2 ）设的边长为千米，所以，中，由正弦定理得，故，当时取得最小值，即的边长最小值【点睛】方法点睛：解三角形应用题的一般步骤(1) 阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系(2) 根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型(3) 根据题意选择正弦定理或余弦定理求解(4) 将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等 .14、 （ 1 ）；（ 2 ）；（ 3 ），.【分析】（ 1 ）利用降幂公式与辅助角公式化简，再根据相邻两对称轴间的距离为，所以求解即

40、可；（ 2 ）根据三角函数的图象变换得到，再结合正弦函数的图象性质求解值域即可；（ 3 ）结合三角函数图象，画图分析的位置，再根据对称性的性质结论求解即可【详解】（ 1 ）由题意，函数因为函数图像的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得.故（ 2 ）将函数的图像向右平移个单位长度，可得的图像 .再把橫坐标缩小为原来的，得到函数的图像 .当时，当时，函数取得最小值，最小值为，当时，函数取得最大值，最大值为，故函数的值域.（ 3 ）由方程，即，即，因为，可得，设，其中，即，结合正弦函数的图像，可得方程在区间有 5 个解，即，其中，即解得所以.15、 （ 1 ）等边三角形；（ 2 ）（ i ）证明见解析；（ ii ）存在，证明见解析 .【分析】（ 1 ）利用余弦定理即可求解；（ 2 ）（ i ）由正弦定理及三角形的性质、诱导公式可得，再由三角恒等变换即可求证；（ ii ）根据三角恒等变换代数式可化为，比较可知存在 .【详解】（ 1 ）由余弦定理得，将代入得到，所以为等边三角形 .（ 2 ）（ i ）由及正弦定理得，所以，因为，所以，有，由两角和差的余弦公式可得，整理得，故.（ ii ）由及半角正切公式可得，展开整理得，即，即，即，与原三角式比较可知存在且.