（数学）山东高中名校2019级高三12月联考.rar

1山山东东中中学学联联盟盟高高中中名名校校 2019 级级高高三三 12 月月大大联联考考一、单选题（每题 5 分）1-4. CDAD5-8. CBAC二、多选题（每题 5 分）9.AD10.BD11.AD12.ABD三、填空题（ （每题 5 分，16 题第一空 2 分、第二空 3 分）13.4 31114.415.( )sinf xx，或( )(3)f xx x （答案不唯一）16.64 2511 24四、解答题17、 （10 分） 【解】删： （1）设ADCDxBAy，在ABD中，227xyxy，.2 分在ABC中，22427xyxy，.4 分1,3xy，3,2BAAC；.6 分（2）由ABEACEABCSSS可得1113sin302sin303 2 sin60222AEAE 6 35AE .10 分删： （1）设ADCDx，在ABD中，279cos2 7xADBx，在CBD中，277cos2 72 7xxCDBx，.2 分coscosADBCDB .4 分2792 72 7xxx ，1x ，2AC ，.6 分（2）由ABEACEABCSSS可得1113sin302sin303 2 sin60222AEAE 6 35AE .10 分18、（12 分）解：(1)因为21 ,nnSnn a所以211(1)(1)1nnSnna，两式相减得12 ,nnnanan所以12.nnaa.3 分又11,a 所以数列 na是首项为1,公差为 2 的等差数列，所以12(1)23.nann .5 分数学答案数学答案及评分标准及评分标准2(2)由2co2snnnba得，当*2 -1nkkN时,0nb .6 分当*4nk kN时，2nnba，.7 分当*4 -2nkkN时，2nnba ，.8 分所以 428222612221009800TaaaaaaL 424286861001009898aaaaaaaaaaaaL2461004 aaaaL2100450100(1 197)198002aa.12 分19、 （12 分） 【解】 （1）由题意，知FH 平面ABCD，因为HM 平面ABCD，所以FHHM在RtFHM中，5HM ，FMH，所以5cosFM所以FBC的面积为1525102coscos.2 分所以屋顶面积252516022222.2coscoscosFBCBFESSS梯形A所以S关于的函数关系式为1600cos4S.4 分（2）在RtFHM，5tanFH，所以下部主体高度为65tanh.5 分所以别墅总造价为1601665tan16cosyS khkkk16080sin2sin968096coscoscoskkkkk.8 分设 2sincosf，04，则 22sin1cosf，令 0f，得1sin2，又04，所以6.9 分 f与 f随的变化情况如下表：0,66 ,6 4 f0 f3所以当6时， f在0,4上有最小值所以当为6时，该别墅总造价最低.12 分20、 （12 分）证明： （1）因为直线MF 平面ABFE，故点 O 在平面ABFE内，也在平面ADE内，所以点 O 在平面ABFE与平面ADE的交线（即直线AE）上，.延长EA，FM交于点 O，连接OD，如图所示.3因为/ /AOBF，M 为AB的中点，所以OAMFBM，所以OMMF，即 M 是 OF 的中点，2AOBF，故点 O 在EA的延长线上且与点 A 间的距离为 2，.2 分连接DF交EC于点 N，因为四边形CDEF为矩形，所以 N 是DF的中点.在矩形 ABFE 中，点 M 是 AB 的中点，易证AOMBFM，所以 OM=FM，则 M 是 OF 的中点，.3 分连接MN，则MN为DOF的中位线，所以/ /MNOD，又MN 平面EMC，OD 平面EMC，所以直线/ /OD平EMC. .5 分（2）如图，由已知可得EFAE，EFDE，又EADEE，所以EF 平面ADE，且60DEA所以平面ABFE 平面ADE，因为60DEA，DEAE，所以ADE为等边三角形，取AE的中点 H，连接DH，则DHAE，所以DH 平面ABFE.7 分过点 H 作直线/ /HTEF，以为坐标原点，以,HA HT HD分别为, ,x y z轴建立如图所示的空间直角坐标系，( 1,0,0)E ，(0,0, 3)D，(0,4, 3)C，( 1,4,0)F ，所以(1,0, 3)ED，(1,4, 3)EC设(1, ,0)(04)Mtt ，则(2, ,0)EMt设平面EMC的法向量为( , , )mx y z，00m EMm EC 即20430 xtyxyz，取2y ，则,xt，83tz，所以平面EMC的一个法向量为8, 2,3tmt，.9 分要使直线DE与平面EMC所成的角为60，则2283|cos,|sin6028243DE mtt，即22 332419tt，整理得2430tt，解得1t 或3t .11 分所以存在点 M，即为线段 AB 上靠近 A 或 B 的一个四等分点，使得直线DE与平面EMC所成的角为60.12 分21、 （12 分） 【解】 （1）设机器鼠位置为点P，()5 0A ，、(5 0)B ，由题意可得0008PAPBvvv，即810PAPB，可得P的轨迹为以()5 0A ，、(5 0)B ，为焦点的双曲线的右支，4设其方程为C：22221xyab（0a ，0b ） ，则5c 、4a 、3b ，则P的轨迹方程为C：221169xy（4x ） ，.4 分时刻0t时，| 4OP ，即()4 0，P，可得机器鼠所在位置的坐标为(4 0)，；.5 分（2）由题意，直线: l yx，设直线l的平行线1l的方程为yxm，平移直线1l与双曲线右支只有一个公共点，联立229161444yxmxyx，可得：22732161440 xmxm，22(32 )4 7 (16144)07,mmm 2，解得7 分因为直线1l与双曲线右支相切，所以7m 即1l：7yx与双曲线的右支相切，切点即为双曲线右支上距离l最近的点，.9 分此时l与1l的距离为71422d，即机器鼠距离l最小的距离为141.52，则机器鼠保持目前运动轨迹不变，没有“被抓”的风险.12 分22、 （12 分） 【解】 （）因为 2123ln2fxxxx，所以定义域为0（ ，）所以 32fxxx， 14f ，3(1)2f ，所以切线方程为8250 xy；.2 分（） （1）证明：2( )lnF xxax，若 a0，则函数2( )lnF xxax在其定义域内为单调函数，不可能有两个零点，所以 a0.3 分由( 2)( 2)( )20axaxaF xxxx得02ax ，当(0,)2ax，( )0F x；(,)2ax，( )0F x；所以( )F x在(0,)2a上单调递减，(,)2a上单调递增，5 分因为当 x+时，F(x)+；当 x0 时 F(x)+，要使( )F x有两个零点，只要满足0()0F x，即2()()ln02222aaaFaae；.7 分21ln1( )（）的证明也可采用数形结合的方法证明，转化为直线和有两个交点的条件，可酌情赋分）xyg xax（2）因为102ax，22ax ，令21xtx(1)t ，由12()()g xg x，所以221122lnlnxaxxax，即2221111lnlnxaxt xatx，因此212ln1atxt，5而要证12034xxx，只需证1(31)2 2txa，即证221(31)8txa，即证22ln(31)81attat，9 分由0,1at，只需证22(31) ln880ttt，令22( )(31) ln88p tttt，则1( )(186)ln76p ttttt ，令1( )(186)ln76n ttttt，则261( )18ln110tn ttt(1)t 11 分故( )n t在1（，）上递增，( )(1)0n tn，故( )p t在1（，）上递增，( )(1)0p tp，所以12034xxx.12 分山山东东中中学学联联盟盟高高中中名名校校 2019 级级高高三三 12 月月大大联联考考数数学学试试题题解解析析1.解析：2230 (3)(1)0Ax xxx xx， 15Bxx 15ABxx，故选 C.2.解析：1(1)(1)211111(1)(1)2iiiiziiii 1zi 故选 D3.解析：22log 5log 31，521log 2log 5，321log 2log 3530log 2log 21，又0.21e，bac故选 A4.解析：圆台的上底面半径是 14 寸，下底面半径是 6 寸，圆台高 18 寸，水深 9 寸，水面半径14+6=102寸，故水的体积是1+=3（36 100 60） 9 196 3设平地降雨量的水深是h，则214196 3h，3h 寸.故选 D5.解析：由函数图象知上部分的函数是偶函数，排除选项 B,D；由图象知1x 时，1y ，排除选项 A；故选 C6.解析：由( )yf x的图象知( )f x在R上单调递增，(1)2f，( ( )(1)f f xf，( )1f x ，121xe，1 ln2x 故选 B7.解析：如图所示，OP是12AFF中位线，1/ /OPAF，点P在y轴上，112AFFF即12ABFF，22AFBF20BP AF ，2BPAF，又点P是2AF的中点，2BABF，2ABF是等边三角形，20121121tantan3023bAFaAF FFFc，整理得232bac，222bac223()2acac，方程两边同除以2a得23230ee，解得33e 或3e （舍） ，故选 A8解析：由题意知( )f x在(,0)单调递增，函数( )f x是定义在R上的奇函数，( )f x在R单调递增，第1页,共7页8( 2)9f ，8(2)9f，(3)(2)xxf eef，32xxee，2()230 xxee，(3)(1)0 xxee，30 xe ，ln3x 故选 C9.解析：选项 A：2ba ，/ /ab，a与b不能作为平面内的一组基底，故 A 错误；选项 B：2 1 10a b ， ab，lm故 B 正确选项 C： abab，22()()abab，0a b ， a，b是非零向量 ， ab故 C 正确选项 D：由题意知( 3, 1)BA ，(1, 2)BC ，3210BA BC ，BAC是钝角故 D 错误故选 AD10.解析：选项 A：法 1：1121但是21 故 A 错误法 2：1( )f xx在(0,)单调递减故 A 错误选项 B：( )lnf xx在(0,)单调递增故 B 正确选项 C：ln( )xf xx，令21 ln( )0 xfxx得xe，( )f x在(0, ) e单调递增，在( ,)e 单调递减，即( )f x在(0,)不单调故 C 错误选项 D：( )xf xex，( )1xfxe，当0 x 时，( )0fx ，( )f x在(0,)单调递增故 D 正确故选 BD11.解析：( )2sin()6f xx，( )f x在0, 上有且仅有 3 个零点， 236，131966，262x，224133313236x，故 C 错误，D 正确；3 个零点之间必有一个最大值和一个最小值，所以maxmin( )( )4f xf x，故 A 正确，B 错误故选 AD12.解析：取DC中点N，连接BN，MN，点M是线段1AC的中点，1/ /MNAD，MN 平面1ADE且1AD 平面1ADE，/ /MN平面1ADE同理/ /BN平面1ADE， BNMNN，平面/ /BMN平面1ADE，第2页,共7页/ /BM平面1ADE，故 D 正确；由上述过程知0145MNBADE ，12MN ，2BN ，由余弦定理知211252224224BM ，52BM 是定值， 故 A 正确； 由选项 A 知选项 B 正确；2DEEC，2DC , DEEC,假设1DEAC，1ECACC, DE 平面1AEC，1DEAE，这与0190DAE矛盾，故 C 错误.故选 ABD13.解析：由已知得1331sincos3(cossin )2222，sin2 3cos， tan2 3 ，22tan4 3tan21tan1114.解析：()aab，()0a ab ，即212cos,0aa ba b ，2cos,2a b ， 0, a b ,4a b 15.解析：( )sinf xx，或( )(3)f xx x 16.解析：设1A的宽是a dm，则长是2a dm；有如下表格复印纸1A2A3A4A5A长2aa22a12a24a宽a22a12a24a14a124a ， 即8a ，164 2S 2dm；39212812SSSSSS， nS是 等 比 数 列，912911 ( )511264 221412SSS2dm.四、解答题17、 【解】删： （1）设ADCDxBAy，在ABD中，227xyxy，.2 分在ABC中，22427xyxy，.4 分1,3xy，3,2BAAC；.6 分第3页,共7页（2）由ABEACEABCSSS可得1113sin302sin303 2 sin60222AEAE 6 35AE .10 分删： （1）设ADCDx，在ABD中，279cos2 7xADBx，在CBD中，277cos2 72 7xxCDBx，.2 分coscosADBCDB .4 分2792 72 7xxx ，1x ，2AC ，.6 分（2）由ABEACEABCSSS可得1113sin302sin303 2 sin60222AEAE 6 35AE .10 分18、解：(1)因为21 ,nnSnn a所以211(1)(1)1nnSnna，两式相减得12 ,nnnanan所以12.nnaa.3 分又11,a 所以数列 na是首项为1,公差为 2 的等差数列，所以12(1)23.nann .5 分(2)由2co2snnnba得，当*2 -1nkkN时,0nb .6 分当*4nk kN时，2nnba，.7 分当*4 -2nkkN时，2nnba ，.8 分所以 428222612221009800TaaaaaaL 424286861001009898aaaaaaaaaaaaL2461004 aaaaL2100450100(1 197)198002aa.12 分19、 【解】 （1）由题意，知FH 平面ABCD，因为HM 平面ABCD，所以FHHM在RtFHM中，5HM ，FMH，所以5cosFM所以FBC的面积为1525102coscos.2 分所以屋顶面积252516022222.2coscoscosFBCBFESSS梯形A所以S关于的函数关系式为1600cos4S.4 分（2）在RtFHM，5tanFH，所以下部主体高度为65tanh.5 分所以别墅总造价为1601665tan16cosyS khkkk第4页,共7页16080sin2sin968096coscoscoskkkkk.8 分设 2sincosf，04，则 22sin1cosf，令 0f，得1sin2，又04，所以6.9 分 f与 f随的变化情况如下表：0,66 ,6 4 f0 f3所以当6时， f在0,4上有最小值所以当为6时，该别墅总造价最低.12 分20、证明： （1）因为直线MF 平面ABFE，故点 O 在平面ABFE内，也在平面ADE内，所以点 O 在平面ABFE与平面ADE的交线（即直线AE）上，.延长EA，FM交于点 O，连接OD，如图所示.因为/ /AOBF，M 为AB的中点，所以OAMFBM，所以OMMF，即 M 是 OF 的中点，2AOBF，故点 O 在EA的延长线上且与点 A 间的距离为 2，.2 分连接DF交EC于点 N，因为四边形CDEF为矩形，所以 N 是DF的中点.在矩形 ABFE 中，点 M 是 AB 的中点，易证AOMBFM，所以 OM=FM，则 M 是 OF 的中点，.3 分连接MN，则MN为DOF的中位线，所以/ /MNOD，又MN 平面EMC，OD 平面EMC，所以直线/ /OD平EMC. .5 分（2）如图，由已知可得EFAE，EFDE，又EADEE，所以EF 平面ADE，且60DEA所以平面ABFE 平面ADE，因为60DEA，DEAE，所以ADE为等边三角形，取AE的中点 H，连接DH，则DHAE，所以DH 平面ABFE.7 分过点 H 作直线/ /HTEF，以为坐标原点，以,HA HT HD分别为, ,x y z轴建立如图所示的空间直角坐标系，( 1,0,0)E ，(0,0, 3)D，(0,4, 3)C，( 1,4,0)F ，所以(1,0, 3)ED，(1,4, 3)EC第5页,共7页设(1, ,0)(04)Mtt ，则(2, ,0)EMt设平面EMC的法向量为( , , )mx y z，00m EMm EC 即20430 xtyxyz，取2y ，则,xt，83tz，所以平面EMC的一个法向量为8, 2,3tmt，.9 分要使直线DE与平面EMC所成的角为60，则2283|cos,|sin6028243DE mtt，即22 332419tt，整理得2430tt，解得1t 或3t .11 分所以存在点 M，即为线段 AB 上靠近 A 或 B 的一个四等分点，使得直线DE与平面EMC所成的角为60.12 分21、 【解】 （1）设机器鼠位置为点P，()5 0A ，、(5 0)B ，由题意可得0008PAPBvvv，即810PAPB，可得P的轨迹为以()5 0A ，、(5 0)B ，为焦点的双曲线的右支，设其方程为C：22221xyab（0a ，0b ） ，则5c 、4a 、3b ，则P的轨迹方程为C：221169xy（4x ） ，.4 分时刻0t时，| 4OP ，即()4 0，P，可得机器鼠所在位置的坐标为(4 0)，；.5 分（2）由题意，直线: l yx，设直线l的平行线1l的方程为yxm，平移直线1l与双曲线右支只有一个公共点，联立229161444yxmxyx，可得：22732161440 xmxm，22(32 )4 7 (16144)07,mmm 2，解得7 分因为直线1l与双曲线右支相切，所以7m 即1l：7yx与双曲线的右支相切，切点即为双曲线右支上距离l最近的点，.9 分此时l与1l的距离为71422d，即机器鼠距离l最小的距离为141.52，则机器鼠保持目前运动轨迹不变，没有“被抓”的风险.12 分22、 【解】 （）因为 2123ln2fxxxx，所以定义域为0（ ，）所以 32fxxx， 14f ，3(1)2f ，所以切线方程为8250 xy；.2 分（） （1）证明：2( )lnF xxax，若 a0，则函数2( )lnF xxax在其定义域内为单调函数，不可能有两个零点，第6页,共7页所以 a0.3 分由( 2)( 2)( )20axaxaF xxxx得02ax ，当(0,)2ax，( )0F x；(,)2ax，( )0F x；所以( )F x在(0,)2a上单调递减，(,)2a上单调递增，5 分因为当 x+时，F(x)+；当 x0 时 F(x)+，要使( )F x有两个零点，只要满足0()0F x，即2()()ln02222aaaFaae；.7 分21ln1( )（）的证明也可采用数形结合的方法证明，转化为直线和有两个交点的条件，可酌情赋分）xyg xax（2）因为102ax，22ax ，令21xtx(1)t ，由12()()g xg x，所以221122lnlnxaxxax，即2221111lnlnxaxt xatx，因此212ln1atxt，而要证12034xxx，只需证1(31)2 2txa，即证221(31)8txa，即证22ln(31)81attat，9 分由0,1at，只需证22(31) ln880ttt，令22( )(31) ln88p tttt，则1( )(186)ln76p ttttt ，令1( )(186)ln76n ttttt，则261( )18ln110tn ttt(1)t 11 分故( )n t在1（，）上递增，( )(1)0n tn，故( )p t在1（，）上递增，( )(1)0p tp，所以12034xxx.12 分第7页,共7页