(新教材)人教A版(2019)高中数学选择性必修第一册知识点.docx
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1、数学选择性必修第一册- 1 -高中数学高中数学选择性必修第一册选择性必修第一册第一章 空间向量与立体几何一、知识要点1、空间向量的概念:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量。注: (1)向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。(2)向量具有平移不变性2、空间向量的运算定义:与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图) 。OBOAABab ;BAOA OBab ;()OPaR 运算律: (1)加法交换律:abba(2)加法结合律:)()(cbacba(3)数乘分配律:baba )(运算法则:三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则3、共线向量(1)如
2、果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合,那么这些向量也叫做共线向量或平行向量,a平行于b,记作ba/。(2)共线向量定理:空间任意两个向量a、b(b0) ,a/b存在实数,使ab。(3)三点共线:A、B、C 三点共线ACABOByOAxOC(其中 x+y=1)(4)与a共线的单位向量为4、共面向量(1)定义:一般地,能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明:空间任意的两向量都是共面的。(2) 共面向量定理: 如果两个向量, a b不共线,p与向量, a b共面的条件是存在实数x, y使pxayb。(3)四点共面:若 A、B、C、P 四点共面ACyABxAP) 1(zyxOCzOByOA
3、xOP其中5、空间向量基本定理:如果三个向量, ,a b c不共面,那么对空间任一向量p,存在一个唯一的有序实数组, ,x y z,使pxaybzc。若三向量, ,abc不共面,我们把 , , a b c叫做空间的一个基底,, ,a b c叫做基向量,空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论:设, , ,O A B C是不共面的四点,则对空间任一点P,都存在唯一的三个有序实数 x,y,z,使OPxOAyOBzOC 。6、空间向量的直角坐标系:(1)空间直角坐标系中的坐标:在空间直角坐标系Oxyz中, 对空间任一点A, 存在唯一的有序实数组( , , )x y z, 使zkyixi
4、OA,aa数学选择性必修第一册- 2 -有序实数组( , , )x y z叫作向量A在空间直角坐标系Oxyz中的坐标, 记作( , , )A x y z,x叫横坐标,y叫纵坐标,z叫竖坐标。注:点 A(x,y,z)关于 x 轴的的对称点为(x,-y,-z),关于 xoy 平面的对称点为(x,y,-z).即点关于什么轴/平面对称,什么坐标不变,其余的分坐标均相反。在 y 轴上的点设为(0,y,0),在平面 yOz 中的点设为(0,y,z)(2)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长为1,这个基底叫单位正交基底,用 , , i j k 表示。空间中任一向量kzjyi xa=(x,y,z)(3)
5、空间向量的直角坐标运算律:若123( ,)aa a a,123( ,)bb b b,则112233(,)abab ab ab,112233(,)abab ab ab,123(,)()aaaaR,1 12 23 3a baba ba b ,112233/,()abab ab abR,1 12 23 30ababa ba b若111( ,)A x y z,222(,)B xy z,则212121(,)ABxx yy zz 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。定比分点公式:若111( ,)A x y z,222(,)B xy z,PBAP,则点 P 坐标
6、为)1,1,1(212121zzyyxx。推导: 设 P (x, y, z) 则),(),(22211, 1zzyyxxzzyyxx,显然, 当 P 为 AB 中点时,)2,2,2(212121zzyyxxP),(),(,333222111zyxCzyxB)zy,A(xABC中, 三角形重心 P 坐标为)2,2,3(321321321zzzyyyxxxPABC 的五心:内心 P:内切圆的圆心,角平分线的交点。)(ACACABABAP(单位向量)外心 P:外接圆的圆心,中垂线的交点。PCPBPA垂心 P:高的交点:PCPBPCPAPBPA(移项,内积为 0,则垂直)重心 P:中线的交点,三等分点
7、(中位线比))(31ACABAP中心:正三角形的所有心的合一。(4)模长公式:若123(,)aa a a,123( ,)bb b b,则222123|aa aaaa ,222123|bb bbbb (5)夹角公式:1 12 23 3222222123123cos| |aba ba ba ba babaaabbb 。数学选择性必修第一册- 3 -ABC 中0 ACABA 为锐角0 ACABA 为钝角,钝角(6)两点间的距离公式:若111( ,)A x y z,222(,)B xyz,则2222212121|()()()ABABxxyyzz ,或222,212121()()()A Bdxxyyzz
8、7、空间向量的数量积。(1) 空间向量的夹角及其表示: 已知两非零向量, a b, 在空间任取一点O, 作,OAa OBb , 则AOB叫做向量a与b的夹角,记作, a b;且规定0,a b,显然有,a bb a;若,2a b,则称a与b互相垂直,记作:ab。(2)向量的模:设OAa ,则有向线段OA 的长度叫做向量a的长度或模,记作:|a。(3)向量的数量积:已知向量, a b,则| | cos,aba b叫做, a b的数量积,记作a b,即a b| | | | cos,aba b(4)空间向量数量积的性质:|cos,a eaa e 0aba b2|aa a (5)空间向量数量积运算律:(
9、)()()aba bab。a bb a(交换律) 。()abca ba c (分配律) 。不满足乘法结合律:)()(cbacba二、空间向量与立体几何1、线线平行两线的方向向量平行线面平行线的方向向量与面的法向量垂直面面平行两面的法向量平行2、线线垂直(共面与异面)两线的方向向量垂直线面垂直线与面的法向量平行面面垂直两面的法向量垂直3、 线线夹角(共面与异面)90,0OO两线的方向向量2,1nn的夹角或夹角的补角,21,coscosnn线面夹角90,0:求线面夹角的步骤:先求线的方向向量AP与面的法向量n的夹角,若为锐角角即可,若为钝角,则取其补角;再求其余角,即是线面的夹角.nAP,coss
10、in面面夹角(二面角)180,0:若两面的法向量一进一出,则二面角等于两法向量2,1nn的夹角;法向量同进同出,则二面角等于法向量的夹角的补角.21,coscosnn4、点面距离h:求点00,P xy到平面的距离: 在平面上去一点,Q x y,得向量PQ ;; 计算平面的法向量n;.nnPQh线面距离(线面平行) :转化为点面距离面面距离(面面平行) :转化为点面距离数学选择性必修第一册- 4 -第二章 直线和圆的方程一、直线方程一、直线方程1、直线的倾斜角:一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角,其中直线与x轴平行或重合时,其倾斜角为 0,故直线倾斜角的范围是)0(
11、1800.注:当90或12xx 时,直线l垂直于x轴,它的斜率不存在.每一条直线都存在惟一的倾斜角,除与x轴垂直的直线不存在斜率外,其余每一条直线都有惟一的斜率,并且当直线的斜率一定时,其倾斜角也对应确定.2、直线方程的几种形式:点斜式、截距式、两点式、斜切式.特别地,当直线经过两点), 0(),0 ,(ba,即直线在x轴,y轴上的截距分别为)0, 0(,baba时,直线方程是:1byax.注:若232xy是一直线的方程,则这条直线的方程是232xy,但若)0(232xxy则不是这条线.附:直线系:对于直线的斜截式方程bkxy,当bk,均为确定的数值时,它表示一条确定的直线,如果bk,变化时,
12、对应的直线也会变化.当b为定植,k变化时,它们表示过定点(0,b)的直线束.当k为定值,b变化时,它们表示一组平行直线.3、 (1)两条直线平行:1l212kkl两条直线平行的条件是:1l和2l是两条不重合的直线. 在1l和2l的斜率都存在的前提下得到的. 因此,应特别注意,抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.(一般的结论是: 对于两条直线21,ll, 它们在y轴上的纵截距是21,bb, 则1l212kkl, 且21bb 或21,ll的斜率均不存在,即2121ABBA是平行的必要不充分条件,且21CC )推论:如果两条直线21,ll的倾斜角为21,则1l212l.(2)两条直线垂直
13、:两条直线垂直的条件:设两条直线1l和2l的斜率分别为1k和2k,则有12121kkll这里的前提是21,ll的斜率都存在. 0121kll,且2l的斜率不存在或02k,且1l的斜率不存在. (即01221BABA是垂直的充要条件)4、直线的交角:(1)直线1l到2l的角(方向角) ;直线1l到2l的角,是指直线1l绕交点依逆时针方向旋转到与2l重合时所转动的角,它的范围是), 0(,当90时21121tankkkk.(2)两条相交直线1l与2l的夹角:两条相交直线1l与2l的夹角,是指由1l与2l相交所成的四个角中最小的正角,又称为1l和2l所成的角,它的取值范围是2, 0,当90,则有21
14、121tankkkk.5、过两直线0:0:22221111CyBxAlCyBxAl的交点的直线系方程(0)(222111CyBxACyBxA为参数,0222CyBxA不包括在内)6、点到直线的距离:(1) 点到直线的距离公式: 设点),(00yxP, 直线PCByAxl, 0:到l的距离为d, 则有2200BACByAxd.注:数学选择性必修第一册- 5 -两点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式:21221221)()(|yyxxPP.特例:点 P(x,y)到原点 O 的距离:22|OPxy定比分点坐标分式。若点 P(x,y)分有向线段1212PPPPPP 所成的比为 即,其中
15、 P1(x1,y1),P2(x2,y2).则1,12121yyyxxx特例,中点坐标公式;重要结论,三角形重心坐标公式。直线的倾斜角(0180) 、斜率:tank过两点1212222111),(),(xxyykyxPyxP的直线的斜率公式:.12()xx当2121,yyxx(即直线和 x 轴垂直)时,直线的倾斜角90,没有斜率 新疆 学案 王新敞(2)两条平行线间的距离公式:设两条平行直线)(0:, 0:212211CCCByAxlCByAxl,它们之间的距离为d,则有2221BACCd.注:直线系方程与直线:Ax+By+C= 0 平行的直线系方程是:Ax+By+m=0.( m R, Cm).
16、与直线:Ax+By+C= 0 垂直的直线系方程是:Bx-Ay+m=0.( m R)过定点(x1,y1)的直线系方程是:A(x-x1)+B(y-y1)=0(A,B 不全为 0)过直线 l1、l2交点的直线系方程: (A1x+B1y+C1)+(A2x+B2y+C2)=0 ( R)注:该直线系不含l2.7、关于点对称和关于某直线对称:(1)关于点对称的两条直线一定是平行直线,且这个点到两直线的距离相等.(2)关于某直线对称的两条直线性质:若两条直线平行,则对称直线也平行,且两直线到对称直线距离相等.若两条直线不平行,则对称直线必过两条直线的交点,且对称直线为两直线夹角的角平分线.(3)点关于某一条直
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