(新教材)人教A版(2019)高中数学必修第二册期末考试知识清单-第六章平面向量及其应用.doc
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1、第六章平面向量及其应用第六章平面向量及其应用6.16.1 平面向量的概念平面向量的概念【基础知识梳理】1 向量:既有大小又有方向的量叫向量 .2 有向线段:具有方向的线段叫有向线段.3 长度:向量AB 的大小称为向量AB 的长度(或称模) ,记作AB .4 零向量:长度为 0 的向量叫做零向量,记作0.5 单位向量:长度等于 1 个单位长度的向量,叫做单位向量.6 平行向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,规定零向量与任意向量平行.7 相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.8 共线向量:平行向量也叫共线向量.【重难点探究】1 相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量,用有
2、向线段表示的向量a与b相等,记作a=b.2 共线向量: 任一祖平行向量都可以平移到同一条直线上, 因此, 平行向量也叫做共线向量.6.26.2 平面向量的运算平面向量的运算【基础知识梳理】1 向量的加法:求两个向量和的运算,叫做向量的加法.2 相反向量: 我们规定, 与向量a长度相等, 方向相反的向量, 叫做a的相反向量, 记作-a,a和-a互为相反向量.3 向量的减法:求两个向量差的运算叫做向量的减法.4 向量的数乘:我们规定实数与向量a的积是 一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作a,它的长度与方向规定如下: (1)a =a,(2)当0 时,a的方向与a的方向相同;当0 时,a的方向与a的
3、方向相反,由(1)可知,当=0 时,a=0 ,由(1) (2)可知,a=a(-1).5 运算律:(1)a =a ()()(2)a= aa ( + )(3)a b = ab ( + )(4)121ab =ab ().6 线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算,向量线性运算的结果仍是向量.7 向量a a0 ()与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数,使b= a.8 夹角:已知两个非零向量a,b,O 是平面上的任意一点,作aOA ,bOB ,则=AOB(0),叫做向量a与b的夹角.9 垂直:如果a与b的夹角是2,我们说a与b垂直,记作ab.10 数量积:已知两个非零向量a与b,它们的夹
4、角为,我们把数量a b cos 叫做向量a与b的数量积(或內积) ,记作ab,即a b= a b cos .规定:零向量与任意向量的数量积为 0.11 投影:设a,b是两个非零向量,=aAB ,=bCD ,我们考虑如下的变换,过AB 的起点 A 和终点 B,分别做CD 所在直线的垂线,垂足分别为1A,1B,得到11AB ,我们称上述变换为向量a向向量b投影,11AB 叫做向量a在向量b上的投影向量.【重难点探究】1 向量加法的三角形法则: 已知非零向量a,b, 在平面内取任意一点 A, 做aAB ,bBC ,则 向 量AC叫 做a与b的 和 , 记 作ab, 即ab=ABBCAC ,这种求向量
5、和的方法,称为向量加法的三角形法则.2 向量加法的平行四边形法则:以同一点 O 为起点的两个已知向量a,b,以 OA,OB 为邻边作OACB, 则以 O 为起点的向量OC(OC 是OACB的对角线)就是向量a与b的和,这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.3 向量的减法:向量的减法可以转化为向量的加法来进行,减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.4 数量积的性质:设a,b是非零向量,它们的夹角是,e是与b方向相同的单位向量,则(1)a e=e a= a cos .(2)abab=0.(3)当a与b同向时,a b= a b ; 当a与b反向时,a b=- a b .特别地,2a
6、 a= a或a = a a.此外,由cos1还可得到:(4)a ba b .5 数量积的运算律:(1)a b=b a ;(2)ab=ab =ab()() ();(3)a bc=a cb c ( + ).6.36.3 平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示【基础知识梳理】1 平面向量基本定理:如果1e,2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数1,2,使1122a=ee .2 基底:若1e,2e 不共线,我们把12e e ,叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.3 正交分解:把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解.4 向量
7、的坐标表示:平面内的任一向量a都可由 x,y 唯一确定,我们把有序数对xy( , )叫做向量a的坐标,记作a=xy( , ).其中,x 叫做a在 x 轴上的坐标,y 叫做a在 y 轴上的坐标,叫做向量a的坐标表示.5 两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).6 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.7 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.【重难点探究】1 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.由此可得(1)若a=xy( , ),则222a =xy,或22a = xy.如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为11x
8、y( , ),22xy( , ),那么2121a=xxyy(- ,- ),222121a =xxyy(- ) (- ).(2)设11a=xy( , ),22b=xy(, ),则1212abx xy y =0.2 设a,b都是非零向量,11a=xy( , ),22b=xy(, ),是a与b的夹角,根据向量数量积的定义及坐标表示可得121222221122cos|x xy ya ba bxyxy .6.46.4 平面向量的应用平面向量的应用【基础知识梳理】1 向量方法解决平面几何问题的“三步曲” :(1)建立平面几何与向量的联系, 用向量表示问题中涉及的几何元素, 将平面几何问题转化为向量问题;(
9、2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;(3)把运算结果“翻译”成几何关系.2 解三角形:三角形的三个角 A,B,C 和它们的对边 a,b,c 叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.【重难点探究】1 余弦定理:三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的二倍.即 a2=b2+c22bccosA,b2=c2+a22accosB,c2=a2+b22abcosC.由余弦定理,可以得到如下推论:.2 正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即abc=sinsinsinABC.第七章复数第七章复数7.17
10、.1 复数的概念复数的概念【基础知识梳理】【基础知识梳理】1 1 复数:我们把形如的数叫做复数,其中复数:我们把形如的数叫做复数,其中 i i 叫做虚数单位叫做虚数单位. .2 2 复数集:全体复数所构成的集合叫做复数集复数集:全体复数所构成的集合叫做复数集. .3 3 实部、虚部:复数通常用字母实部、虚部:复数通常用字母 z z 表示,即,其中的表示,即,其中的 a a 与与 b b 分别叫做复数分别叫做复数 z z 的实部与虚部的实部与虚部. .4 4 虚数虚数、纯虚数纯虚数:对于复数对于复数,当且仅当当且仅当 b=0b=0 时时,它是实数它是实数;当且仅当当且仅当 a=b=0a=b=0
11、时时,它是实数它是实数 0 0;当当 b b0 0 时,它叫做虚数;当时,它叫做虚数;当 a=0a=0 且且 b b0 0 时,它叫做纯虚数时,它叫做纯虚数. .5 5 复平面复平面:建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x x 轴叫做实轴轴叫做实轴,y y 轴叫做虚轴轴叫做虚轴. .6 6 模:向量的模叫做复数的模或绝对值,记作或模:向量的模叫做复数的模或绝对值,记作或. .即,其中即,其中. .7 7 共轭复数共轭复数:一般地一般地。当两个复数的实部相等当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共这两个复数叫做
12、互为共轭复数轭复数. .【重难点探究】【重难点探究】1 1 复数的几何意义:复数复平面内的点复数的几何意义:复数复平面内的点复数平面向量复数平面向量. .7.27.2 复数的四则运算复数的四则运算【基础知识梳理】【基础知识梳理】1 1 复数的加法法则:设,复数的加法法则:设, 是任意两个复数,那么它们的和是任意两个复数,那么它们的和. .2 2 复数加法交换律、结合律:对任意,有复数加法交换律、结合律:对任意,有,. .3 3 复数的乘法法则:设是任意两个复数,那么它们的积复数的乘法法则:设是任意两个复数,那么它们的积. .第八章立体几何初步第八章立体几何初步8.18.1 基本立体图形基本立体
13、图形【基础知识梳理】【基础知识梳理】1 1 空间几何体空间几何体:如果只考虑这些物体的形状和大小如果只考虑这些物体的形状和大小,而不考虑其他元素而不考虑其他元素,那么由这些物体抽那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体象出来的空间图形就叫做空间几何体. .2 2 多面体:一般地,由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体多面体:一般地,由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体. .3 3 面:围成多面体的各个多边形叫做多面体的面面:围成多面体的各个多边形叫做多面体的面. .4 4 棱:两个面的公共边叫做多面体的棱棱:两个面的公共边叫做多面体的棱. .5 5 顶点:棱与棱的公共点叫做多面体
14、的顶点顶点:棱与棱的公共点叫做多面体的顶点. .6 6 旋转体旋转体:一条平面曲线一条平面曲线(包括直线包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面,封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体旋转面,封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体. .7 7 轴:这条定直线叫做旋转体的轴轴:这条定直线叫做旋转体的轴. .8 8 棱柱棱柱:一般地一般地,有两个面互相平行有两个面互相平行,其余各面都是四边形其余各面都是四边形,并且相邻两个四边形的公共边并且相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱都互相平行,由这些面所围成的多面体叫
15、做棱柱. .9 9 棱柱的底面棱柱的底面、侧面侧面: 在棱柱中在棱柱中,两个互相平行的面叫做棱柱的底面两个互相平行的面叫做棱柱的底面,它们是全等的多边形它们是全等的多边形;其余各面叫棱柱的侧面,它们都是平行四边形其余各面叫棱柱的侧面,它们都是平行四边形. .1010 棱柱的侧棱:相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱棱柱的侧棱:相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱. .1111 棱柱的顶点:侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点棱柱的顶点:侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点. .1212 直棱柱、斜棱柱:一般地,我们把侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱;侧棱不垂直与底直棱柱、斜棱柱:一般地,我们把侧棱垂直于底面的棱
16、柱叫做直棱柱;侧棱不垂直与底面的棱柱叫做斜棱柱面的棱柱叫做斜棱柱. .1313 正棱柱:底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱正棱柱:底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱. .1414 平行六面体:底面是平行四边形的四棱柱也叫平行六面体平行六面体:底面是平行四边形的四棱柱也叫平行六面体. .1515 棱锥:一般地,有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形由这些面所棱锥:一般地,有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形由这些面所围成的多面体叫做棱锥围成的多面体叫做棱锥. .1616 棱锥的底面:这个多边形面叫做棱锥的底面棱锥的底面:这个多边形面叫做棱锥的底面. .1717 棱锥的侧
17、面:有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面棱锥的侧面:有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面. .1818 棱锥的侧棱:相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱棱锥的侧棱:相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱. .1919 棱锥的顶点:各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点棱锥的顶点:各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点. .2020 正棱锥:底面是正多边形,并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥正棱锥:底面是正多边形,并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥. .2121 棱台:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,我们把底面和截面之间那部分多面体叫棱台:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,我们把底面
18、和截面之间那部分多面体叫做棱台做棱台. .2222 棱台的下底面、上底面:在棱台中,原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底棱台的下底面、上底面:在棱台中,原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面面. .2323 圆柱:以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫圆柱:以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱做圆柱. .2424 圆柱的轴:旋转轴叫做圆柱的轴圆柱的轴:旋转轴叫做圆柱的轴. .2525 圆柱的底面:垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面圆柱的底面:垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面. .2626 圆柱
19、的侧面:平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面圆柱的侧面:平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面. .2727 圆柱侧面的母线:无论旋转到什么位置,平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线圆柱侧面的母线:无论旋转到什么位置,平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线. .2828 圆锥:以直角三角形的一边直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转一周形成的面所围圆锥:以直角三角形的一边直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥成的旋转体叫做圆锥. .2929 圆台:与棱台类似,用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分叫做圆圆台:与棱台类似,用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底
20、面与截面之间的部分叫做圆台台. .3030 球体:半圆以它的直径所在直线为旋转轴,旋转一周形成的曲面叫做球面,球面所围成球体:半圆以它的直径所在直线为旋转轴,旋转一周形成的曲面叫做球面,球面所围成的旋转体叫做球体,简称球的旋转体叫做球体,简称球. .3131 球心:半圆的圆心叫做球的球心球心:半圆的圆心叫做球的球心. .3232 半径:连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径半径:连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径. .3333 直径:连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径直径:连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径. .8.28.2 立体图形的直观图立体图形的直观图【重
21、难点探究】【重难点探究】1 1 斜二测画法:利用平行投影,人们获得了画直观图的斜二测画法斜二测画法:利用平行投影,人们获得了画直观图的斜二测画法. .利用这种画法画水平放利用这种画法画水平放置的平面图形的直观图,其步骤是:置的平面图形的直观图,其步骤是:(1)(1)在已知图形中取互相垂直的在已知图形中取互相垂直的 x x 轴和轴和 y y 轴轴,两轴相交于点两轴相交于点 O.O.画直观图时画直观图时,把它们画成对应把它们画成对应的轴与轴,两轴相交于点,且使,它们确定的平面表示水平面的轴与轴,两轴相交于点,且使,它们确定的平面表示水平面. .(2)(2)已知图形中平行于已知图形中平行于 x x
22、轴或轴或 y y 轴的线段,在直观图中分别画成平行于轴或轴的线段轴的线段,在直观图中分别画成平行于轴或轴的线段. .(3)(3)已知图形中平行于已知图形中平行于 x x 轴的线段轴的线段,在直观图中保持原长度不变在直观图中保持原长度不变,平行于平行于 y y 轴的线段轴的线段,在直在直观图中长度为原来的一半观图中长度为原来的一半. .8.38.3 简单几何体的表面积与体积简单几何体的表面积与体积【基础知识梳理】【基础知识梳理】1 1 表面积:多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和表面积:多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和. .棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台的表面积就是
23、围成它们的各个面的面积的和就是围成它们的各个面的面积的和. .2 2 棱柱的高棱柱的高:是指两底面之间的距离是指两底面之间的距离,即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线,这点与这点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离垂足(垂线与底面的交点)之间的距离. .3 3 棱锥的高:是指从顶点向底面作垂线,顶点与垂足之间的距离棱锥的高:是指从顶点向底面作垂线,顶点与垂足之间的距离. .4 4 棱台的高棱台的高:是指两底面之间的距离是指两底面之间的距离,即从上底面上任意一点向下底面作垂线即从上底面上任意一点向下底面作垂线,这点与垂足这点与垂足之间的距离之间的距离. .
24、【重难点探究】【重难点探究】1 1 棱柱的体积:一般地,如果棱柱的底面积是棱柱的体积:一般地,如果棱柱的底面积是 S S,高是,高是 h h,那么这个棱柱的体积,那么这个棱柱的体积. .2 2 棱锥的体积:一般地,如果棱锥的底面面积为棱锥的体积:一般地,如果棱锥的底面面积为 S S,高为,高为 h h,那么该棱锥的体积,那么该棱锥的体积. .3 3 棱台的体积棱台的体积:由于棱台是由棱锥截成的由于棱台是由棱锥截成的,因此可以利用两个棱锥的体积差因此可以利用两个棱锥的体积差,得到棱台的体得到棱台的体积公式,其中,分别为棱台的上、下底面面积,积公式,其中,分别为棱台的上、下底面面积,h h 为棱台
25、的高为棱台的高. .4 4 圆柱表面积:圆柱表面积:. .5 5 圆锥表面积:圆锥表面积:. .6 6 圆台表面积:圆台表面积:. .7 7 圆柱的体积:圆柱的体积:. .8 8 圆锥的体积:圆锥的体积:. .9 9 圆台的体积:圆台的体积:. .1010 球的表面积:球的表面积:. .1111 球的体积:球的体积:. .8.48.4 空间点、直线、平面之间的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系【基础知识梳理】【基础知识梳理】1 1 平面:平面是从课桌面、黑板面、平静的水面等物体中抽象出来的平面:平面是从课桌面、黑板面、平静的水面等物体中抽象出来的. .类似于直线向两端无类似于直线向两端无
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