(新教材)人教A版(2019)高中数学必修第一册知识点总结.doc
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1、1高中数学新教材必修第一册知识点总结第一章第一章集合与常用逻辑用语集合与常用逻辑用语1.11.1 集合的概念集合的概念1.集合的描述集合的描述:一般地,我们把研究对象统称为元素元素,把一些元素组成的总体叫做集合集合,简称为集集.2.集合的三个特性:集合的三个特性:(1)描述性描述性: “集合”是一个原始的不加定义的概念,它同平面几何中的“点” 、 “线” 、 “面”等概念一样,都只是描述性地说明.(2)整体性:)整体性:集合是一个整体,暗含“所有” 、 “全部” 、 “全体”的含义,因此一些对象一旦组成了集合,这个集合就是这些对象的总体.(3)广泛性:)广泛性:组成集合的对象可以是数、点、图形
2、、多项式、方程,也可以是人或物等.3.集合中元素的三个特性:集合中元素的三个特性:(1)确定性确定性:对于给定的集合,它的元素必须是确定的.即按照明确的判断标准(不能是模棱两可的)判断给定的元素,或者在这个集合里,或者不在这个集合里,二者必居其一.(2)互异性互异性:一个给定的集合中的元素是互不相同的.也就是说集合中的元素是不能重复出现的.(3)无序性:)无序性:集合中的元素排列无先后顺序,任意调换集合中的元素位置,集合不变.4.集合的符号表示集合的符号表示通常用大写的字母A,B,C,表示集合,用小写的字母a,b,c表示集合中的元素.5.集合的相等集合的相等当两个集合的元素是一样时,就说这两个
3、集合相等.集合A与集合B相等记作AB.6.元素与集合之间的关系元素与集合之间的关系(1)属于:)属于:如果a是集合A中的元素,就说a属于集合A,记作aA,读作a属于A.(2)不属于不属于:如果a不是集合A中的元素,就说a不属于集合A,记作aA,读作a不属于A.7.集合的分类集合的分类(1)有限集:)有限集:含有有限个元素的集合叫做有限集.如方程21x 的实数根组成的集合.(2)无限集:)无限集:含有无限个元素的集合叫做无限集.如不等式10 x 的解组成的集合.8.常用数集及其记法常用数集及其记法(1)正整数集:)正整数集:全体正整数组成的集合叫做正整数集,记作*N或N.(2)自然数集:)自然数
4、集:全体非负整数组成的集合叫做自然数集,记作N.(3)整数集:)整数集:全体整数组成的集合叫做整数集,记作Z.(4)有理数集:)有理数集:全体有理数组成的集合叫做有理数集,记作Q.(5)实数集:)实数集:全体实数组成的集合叫做实数集,记作R.9.集合表示的方法集合表示的方法(1)自然语言自然语言:用文字叙述的形式描述集合的方法.如所有正方形组成的集合,所有实数组成的集合.例如,三角形的集合.(2)列举法列举法:把集合的元素一一列举出来表示集合的方法叫做列举法.其格式是把集合的元2素一一列举出来并用逗号隔开,然后用花括号括起来.例如,我们可以吧“地球上的四大洋”组成的集合表示为太平洋,大西洋,印
5、度洋,北冰洋,把“方程(1)(2)0 xx的所有实数根”组成的集合表示为1, 2.(3)描述法:)描述法:通过描述集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.一般格式为( )x p x,其中x是集合中的元素代表,( )p x则表示集合中的元素所具有的共同特征.例如,不等式73x的解集可以表示为7310 xR xxR x.1.21.2 集合间的基本关系集合间的基本关系1.1. 子集子集一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集,记为AB或(BA)读作集合A包含于集合B(或集合B包含集合A).集合A是集合B的子集
6、可用Venn图表示如下:或关于子集有下面的两个性质:(1)反身性:)反身性:AA;(2)传递性:)传递性:如果AB,且BC,那么AC.2.真子集真子集如果集合AB,但存在元素xB,且xA,我们称集合A是集合B的真子集,记为AB(或BA) ,读作集合A真包含于集合B(或集合B真包含集合A).集合A是集合B的真子集可用Venn图表示如右.3.3.集合的相等集合的相等如果集合AB,且BA,此时集合A与集合B的元素是一样的,我们就称集合A与集合B相等,记为AB.集合A与集合B相等可用Venn图表示如右.4.空集空集我们把不含任何元素的集合叫做空集,记为.我们规定空集是任何一3个集合的子集,空集是任何一
7、个非空集合的真子集,即(1)A(A是任意一个集合) ;(2)A(A ).1.31.3 集合的运算集合的运算1.1.并集并集自然语言自然语言:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的并集,记作AB(读作“A并B”).符号语言:符号语言:,ABx xAxB或.图形语言:图形语言:理解:理解:xA或xB包括三种情况:xA且xB;xB且xA;xA且xB.并集的性质:并集的性质:(1)ABBA;(2)AAA;(3)AA ;(4)()()ABCABC;(5)AAB,BAB;(6)ABBAB.2.2.交集交集自然语言自然语言:一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合
8、,称为A与B的交集,记作AB(读作“A交B”).符号语言:符号语言:,ABx xAxB且.图形语言:图形语言:4理解:理解:当A与B没有公共元素时,不能说A与B没有交集,只能说A与B的交集是.交集的性质:交集的性质:(1)ABBA;(2)AAA;(3)A ;(4)()()ABCABC;(5)ABA,ABB;(6)ABAAB.3.3.补集补集(1)全集的概念:)全集的概念:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作U.(2)补集的概念)补集的概念自然语言自然语言:对于一个集合A,由属于全集U且不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补
9、集,记为UA.符号语言:符号语言:,UAx xUxA且图形语言:图形语言:5补集的性质补集的性质(1)()UAA ;(2)()UAAU;(3)()()()UUUABAB痧;(4)()()()UUUABAB痧.1.41.4 充分条件与必要条件充分条件与必要条件1.充分条件与必要条件充分条件与必要条件一般地, “若p,则q”为真命题,是指由p通过推理可以得出q.这时,我们就说,由p可推出q,记作pq,并且说p是q的充分条件充分条件,q是p的必要条件必要条件.在生活中,q是p成立的必要条件也可以说成是:qp(q表示q不成立) , 其实,这与pq是等价的.但是,在数学中,我们宁愿采用第一种说法.如果“
10、若p,则q”为假命题,那么由p推不出q,记作/pq.此时,我们就说p不是q的充分条件,q不是p的必要条件.2.2.充要条件充要条件如果“若p,则q”和它的逆命题“若q则p”均是真命题,即既有pq,又有qp就记作pq.此时,我们就说p是q的充分必要条件,简称为充要条件充要条件.显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.概括地说,如果pq,那么p与q互为充要条件.“p是q的充要条件”,也说成“p等价于q”或“q当且仅当p”等.1.51.5 全称量词与存在量词全称量词与存在量词1.全称量词与存在量词全称量词与存在量词(1)全称量词)全称量词短语“所有的” , “任意一个”在逻辑中通常叫做全
11、称量词全称量词,并用符号“”表示.常见的全称量词还有“一切” , “每一个” , “任给” , “所有的”等.含有全称量词的命题,叫做全称量叫做全称量词命题词命题.全称量词命题“对M中的任意一个x,有( )p x成立”可用符号简记为xM,( )p x,读作“对任意x属于M,有( )p x成立”.(2)存在量词)存在量词短语“存在一个” , “至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词存在量词,并用符号“$”表示.常见的存在量词还有“有些” , “有一个” , “对某个” , “有的”等.含有存在量词的命题,叫做存在量词命题存在量词命题.6存在量词命题“存在M中的元素x,使( )p x成立”可用符号简
12、记为xM ,( )p x,读作“存在M中的元素x,使( )p x成立”.2.2.全称量词命题和存在量词命题的否定全称量词命题和存在量词命题的否定(1 1)全称量词命题的否定)全称量词命题的否定全称量词命题:xM,( )p x,它的否定:xM ,( )p x.全称量词命题的否定是存在量词命题.(2)存在量词命题的否定)存在量词命题的否定存在量词命题:xM ,( )p x,它的否定:xM,( )p x.存在量词命题的否定是全称量词命题.第二章一元二次函数、方程和不等式2.12.1 等式性质与不等式性质等式性质与不等式性质1.1.比较原理比较原理0abab;0abab;0abab.2.等式的基本性质
13、等式的基本性质性质性质 1如果ab,那么ba;性质性质 2如果ab,bc,那么ac;性质性质 3如果ab,那么acbc;性质性质 4如果ab,那么acbc;性质性质 5如果ab,0c ,那么abcc.3.不等式的基本性质不等式的基本性质性质性质 1如果ab,那么ba;如果ba,那么ab.即abba性质性质 2如果ab,bc,那么ac.即ab,bcac.性质性质 3如果ab,那么acbc.7由性质 3 可得,()()abcabbcbacb .这表明,不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边.性质性质 4如果ab,0c ,那么acbc;如果ab,0c ,那么acbc.性质性质 5如果ab,
14、cd,那么acbd.性质性质 6如果0ab,0cd,那么acbd.性质性质 7如果0ab,那么nnab(nN,2n ).2.22.2 基本不等式基本不等式1.重要不等式重要不等式,a bR,有222abab,当且仅当ab时,等号成立.2.基本不等式基本不等式如果0a ,0b ,则2abab,当且仅当ab时,等号成立.2ab叫做正数a,b的算术平均数算术平均数,ab叫做正数a,b的几何平均数几何平均数.基本不等式表明:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.3.与基本不等式相关的不等式与基本不等式相关的不等式(1)当,a bR时,有22abab,当且仅当ab时,等号成立.(2)当0a ,0b
15、 时,有211abab,当且仅当ab时,等号成立.(3)当,a bR时,有22222abab,当且仅当ab时,等号成立.4.利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值8已知0 x ,0y ,那么(1)如果积xy等于定值P,那么当xy时,和xy有最小值2 P;(2)如果和xy等于定值S,那么当xy时,积xy有最大值214S.2.32.3 二次函数与一元二次方程、不等式二次函数与一元二次方程、不等式1.一元二次不等式一元二次不等式只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的不等式,称为一元二次不等式.2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系(0
16、)a 000二次函数cbxaxy2(0a)的图象一元二次方程的根002acbxax有两相异实根)(,2121xxxx有两相等实根abxx221无实根的解集)0(02acbxax21xxxxx或abxx2R的解集)0(02acbxax21xxxx第三章函数的概念与性质3.13.1 函数的概念及其表示函数的概念及其表示1.1.函数的概念函数的概念设A,B是非空的实数集, 如果对于集合A中的任意一个数x, 按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的的数y和它对应,那么就称:fAB为从集合A到集合B的一个函数,记作( )yf x,xA.9其中,x叫做自变量自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域
17、定义域,与x的值相对应的y值叫做函数函数值值,函数值的集合|()f xxA叫做函数的值域值域,显然,值域是集合B的子集.2 2. .区间:区间:设a,b是两个实数,而且ab,我们规定:(1 1)满足不等式axb的实数x的集合叫做闭区间闭区间,表示为 , a b;(2 2)满足不等式axb的实数x的集合叫做开区间开区间,表示为( , )a b;(3 3)满足不等式axb或axb的实数x的集合叫做半开半闭区间半开半闭区间,分别表示为: , )a b,( , a b.这里的实数a,b都叫做相应区间的端点区间的端点.这些区间的几何表示如下表所示.定义名称符号数轴表示x axb闭 区 间 , a bx
18、axb开 区 间( , )a bx axb半开半闭区间 , )a bx axb半开半闭区间( , a b(4 4) 实数集R可以表示为(,) , “” 读作 “无穷大” ,“” 读作 “负无穷大” ,“”读作“正无穷大”.满足xa,xa,xb,xb的实数x的集合,用区间分别表示为 ,)a ,( ,)a (, b,(, )b.这些区间的几何表示如下表所示.定义符号数轴表示xx (,) x xa ,)a x xa( ,)a x xb(, b10 x xb(, )b注意:注意:(1 1)“”是一个趋向符号,表示无限接近,却永远达不到,不是一个数.(2 2)以“”或“”为区间的一端时,这一端点必须用小
19、括号.3.3.函数的三要素函数的三要素(1 1)定义域;(2 2)对应关系;(3 3)值域.值域随定义域和对应关系的确定而确定.4.4.函数的相等函数的相等如果两个函数的定义域和对应关系分别相同,那么就说这两个函数是同一个函数.5 5. .函数的表示方法函数的表示方法(1 1)解析法)解析法用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法叫做解析法.解析法是表示函数的一种重要的方法,这种表示法从“数”的方面简明、全面地概括了变量之间的数量关系.(2 2)图象法)图象法用图象表示两个变量之间的对应关系的方法叫做图象法.图象法直观地表示了函数值随自变量值改变的变化趋势,从“形”的方面刻画了变量之间的数
20、量关系.说明:说明:将自变量的一个值0 x作为横坐标,相应的函数值0()f x作为纵坐标,就得到坐标平面上的一个点00(,()xf x.当自变量取遍函数的定义域A中的每一个值时, 就得到一系列这样的点,所有这些点组成的图形就是函数( )yf x的图象.函数( )yf x的图象在x轴上的射影构成的集合就是函数的定义域,在y轴上的射影构成的集合就是函数的值域.函数的图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点,等等.(3 3)列表法)列表法通过列表来表示两个变量之间的对应关系的方法叫做列表法.例如,初中学习过的平方表、立方表都是表示函数关系的.6.6.分段函数分段函数(1 1)分段函数的概
21、念)分段函数的概念有些函数在其定义域内,对于自变量x的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数称为分段函数.如(1),0,( ),0 x xf xxxx,(2)22,0,( ),0 xxf xxx.说明:说明:分段函数是一个函数,而不是几个函数.处理分段函数问题时,要先确定自变量的取值在哪个区间,从而选取相应的对应关系.分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式.并且必须指明各段函数自变量的取值范围.11分段函数的定义域是自变量所有取值区间的并集, 分段函数的定义域只能写成一个集合的形式,不能分开写成几个集合的形式.分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集.
22、(2 2)分段函数的图象)分段函数的图象分段函数有几段,它的图象就由几条曲线组成.在同一坐标系中,根据每段的定义区间和表达式依次画出图象, 要注意每段图象的端点是空心点还是实心点, 组合到一起就得到整个分段函数的图象.3.23.2 函数的基本性质函数的基本性质函数的性质是指在函数变化过程中的不变性和规律性.1.1.单调性与最大(小)值单调性与最大(小)值(1 1)增函数)增函数设函数( )f x的定义域为 I,区间 DI.如果1x,2xD, 当12xx时, 都有12()()f xf x,那么就称函数( )f x在区间 D 上单调递增单调递增.特别地,当函数( )f x在它的定义域上单调递增时,
23、我们就称它是增函数增函数.(2)减函数)减函数设函数( )f x的定义域为 I, 区间 DI.如果1x,2xD, 当12xx时, 都有12()()f xf x,那么就称函数( )f x在区间 D 上单调递增单调递增.特别地,当函数( )f x在它的定义域上单调递减时,我们就称它是减函数减函数.(3 3)单调性、单调区间、单调函数)单调性、单调区间、单调函数如果函数( )yf x在区间 D 上单调递增或单调递减,那么就说函数( )yf x在区间 D 上具有(严格的)单调性,区间 D 叫做( )yf x的单调区间.如果函数在某个区间上具有单调性,那么就称此函数在这个区间上是单调函数.(4)证明函数
24、)证明函数( )f x在区间在区间 D 上单调递增或单调递减,基本步骤如下:上单调递增或单调递减,基本步骤如下:设值:设值:设12,x xD,且12xx;12作差:作差:12()()f xf x;变形:变形:对12()()f xf x变形,一般是通分,分解因式,配方等.这一步是核心 ,要注意变形到底;判断符号,得出函数的单调性.(5)函数的最大值与最小值)函数的最大值与最小值最大值:最大值:设函数( )yf x的定义域为I,如果存在实数M满足:(1)对于任意的xI,都有( )f xM;(2)存在0 xI,使得0()f xM.那么我们称M是函数( )yf x的最大值最大值.最小值:最小值:设函数
25、( )yf x的定义域为I,如果存在实数m满足:(1)对于任意的xI,都有( )f xm;(2)存在0 xI,使得0()f xm.那么我们称m是函数( )yf x的最小值最小值.2.奇偶性奇偶性(1)偶函数)偶函数设函数( )f x的定义域为I,如果xI ,都有xI ,且()( )fxf x,那么函数( )f x就叫做偶函数偶函数.关于偶函数有下面的结论:偶函数的定义域一定关于原点对称.也就是说定义域关于原点对称是函数为偶函数的一个必要条件;偶函数的图象关于y轴对称.反之也成立;偶函数在关于原点对称的两个区间上的增减性相反.(2)奇函数)奇函数设函数( )f x的定义域为I, 如果xI , 都
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