第22章 一元二次方程-22.3 实践与探索-面积问题-教案、教学设计-市级公开课-华东师大版九年级上册数学(配套课件编号:f2841).doc
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1、22.1 一元二次方程一元二次方程教学目标教学目标:1、 知道一元二次方程的定义, 能熟练地把一元二次方程整理成一般形式02cbxax(a0)2、在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型(一元二次方程)的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具,增加对一元二次方程的感性认识。3、会用试验的方法估计一元二次方程的解。重点难点重点难点:1一元二次方程的意义及一般形式,会正确识别一般式中的“项”及“系数” 。2 理解用试验的方法估计一元二次方程的解的合理性。教学过程教学过程:一 做一做:1问题一绿苑小区住宅设计,准备在每两幢楼房之间,开辟面积为 900 平方米的一块长方形绿地
2、,并且长比宽多 10 米,那么绿地的长和宽各为多少?分析:设长方形绿地的宽为 x 米,不难列出方程x(x10)900整理可得x210 x900=0.(1)2问题 2学校图书馆去年年底有图书 5 万册,预计到明年年底增加到 7.2 万册.求这两年的年平均增长率.解:设这两年的年平均增长率为 x,我们知道,去年年底的图书数是 5 万册,则今年年底的图书数是 5(1x)万册;同样,明年年底的图书数又是今年年底的(1x)倍,即 5(1x)(1x)5(1x)2万册.可列得方程5(1x)2=7.2,整理可得5x210 x2.2=0.(2)3思考、讨论这样,问题 1 和问题 2 分别归结为解方程(1)和(2
3、).显然,这两个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里?它们有什么共同特点呢?( 学生分组讨论,然后各组交流 )共同特点: (1) 都是整式方程(2) 只含有一个未知数(3) 未知数的最高次数是 2二、一元二次方程的概念上述两个整式方程中都只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2,这样的方程叫做一元二次方程).通常可写成如下的一般形式:ax2bxc0(a、b、c 是已知数,a0)。 其中2ax叫做二次项,a叫做二次项系数;bx叫做一次项,b叫做一次项系数,c叫做常数项。.三、 例题讲解与练习巩固1例 1 下列方程中哪些是一元二次方程?试说明理由。(1)3523xx
4、(2)42x(3)2112xxx(4)22)2(4xx2例 2将下列方程化为一般形式,并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项:1)yy262) (x-2)(x+3)=83)2)2()43)(3(xxx说明:一元二次方程的一般形式02cbxax(a0)具有两个特征:一是方程的右边为 0;二是左边的二次项系数不能为 0。此外要使学生意识到:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的。3例 3 方程(2a4)x22bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程?在什么条件下此方程为一元一次方程?本题先由同学讨论,再由教师归纳。解:当a2 时是一元二次方程;当a2,b0 时
5、是一元一次方程;4例 4 已知关于 x 的一元二次方程(m-1)x2+3x-5m+4=0 有一根为 2,求 m。分析:一根为 2 即 x=2,只需把 x=2 代入原方程。5练习一 将下列方程化为一般形式,并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项xx32222x(x-1)=3(x-5)-42311222yyyy练习二关于x的方程0)3(2mnxxm,在什么条件下是一元二次方程?在什么条件下是一元一次方程?本课小结:本课小结:1、只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的整式方程,叫做一元二次方程。2、一元二次方程的一般形式为02cbxax(a0) ,一元二次方程的项及系数都是根据一般
6、式定义的,这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的。3、在实际问题转化为数学模型( 一元二次方程 ) 的过程中,体会学习一元二次方程的必要性和重要性。布置作业布置作业:课本第 27 页习题 1、2、322.2.2 一元二次方程的解法一元二次方程的解法教学目标:教学目标:1、会用直接开平方法解形如bkxa2)((a0,ab0)的方程;2、灵活应用因式分解法解一元二次方程。3、使学生了解转化的思想在解方程中的应用,渗透换远方法。重点难点重点难点:合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程,理解一元二次方程无实根的解题过程。教学过程教学过程:问:怎样解方程21256x的?让学生说出作
7、业中的解法,教师板书。解:1、直接开平方,得 x+1=16所以原方程的解是 x115,x2172、原方程可变形为212560 x方程左边分解因式,得(x+1+16)(x+116)=0即可(x+17)(x15)=0所以 x17=0,x15=0原方程的蟹 x115,x217二、例题讲解与练习巩固1、例 1解下列方程(1) (x1)240;(2)12(2x)290.分析两个方程都可以转化为bkxa2)((a0,ab0)的形式,从而用直接开平方法求解.解(1)原方程可以变形为(x1)24,直接开平方,得x12.所以原方程的解是x11,x23.原方程可以变形为_,有_.所以原方程的解是x1_,x2_.2
8、、说明: (1)这时,只要把) 1( x看作一个整体,就可以转化为bx 2(b0)型的方法去解决,这里体现了整体思想。3、练习一 解下列方程:(1) (x2)2160;(2)(x1)2180;(3)(13x)21;(4)(2x3)2250.三、读一读四、讨论、探索:解下列方程(1)(x+2)2=3(x+2)(2)2y(y-3)=9-3y(3)( x-2)2 x+2 =0(4)(2x+1)2=(x-1)2(5)49122 xx。本课小结本课小结:1、对于形如bkxa2)((a0,ab0)的方程,只要把)(kx 看作一个整体,就可转化为nx 2(n0)的形式用直接开平方法解。2、当方程出现相同因式
9、(单项式或多项式)时,切不可约去相同因式,而应用因式分解法解。布置作业布置作业:课本第 37 页习题 1(5、6) 、P38 页习题 2(1、2)22.2.3 一元二次方程的解法一元二次方程的解法教学目标教学目标:1、掌握用配方法解数字系数的一元二次方程2、使学生掌握配方法的推导过程,熟练地用配方法解一元二次方程。3在配方法的应用过程中体会 “转化”的思想,掌握一些转化的技能。重点难点重点难点:使学生掌握配方法,解一元二次方程。把一元二次方程转化为qpx2)(教学过程教学过程:一、复习提问解下列方程,并说明解法的依据:(1)2321x(2)2160 x(3)2210 x 通过复习提问,指出这三
10、个方程都可以转化为以下两个类型:2200 xb bxab b和根据平方根的意义,均可用“直接开平方法”来解,如果 b 0,方程就没有实数解。如212x 请说出完全平方公式。22222222xaxaxaxaxaxa。二、引入新课我们知道,形如02 Ax的方程,可变形为)0(2AAx,再根据平方根的意义,用直接开平方法求解那么,我们能否将形如20 xbxc的一类方程,化为上述形式求解呢?这正是我们这节课要解决的问题三、探索:1、例 1、解下列方程:2x2x5;(2)2x4x30.思考能否经过适当变形,将它们转化为2= a的形式,应用直接开方法求解?解(1)原方程化为2x2x16,(方程两边同时加上
11、 1)_,_,_.(2)原方程化为2x4x434(方程两边同时加上 4)_,_,_.三、归纳上面,我们把方程2x4x30 变形为22x1,它的左边是一个含有未知数的完全平方式,右边是一个非负常数.这样,就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.注意到第一步在方程两边同时加上了一个数后,左边可以用完全平方公式从而转化为用直接开平方法求解。那么,在方程两边同时加上的这个数有什么规律呢?四、试一试:对下列各式进行配方:22_)(_8xxx;2210 _(_)xxx22_)(_5xxx;229_(_)xxx22_)(_23xxx;22_(_)xbxx通过练习,使学生认识到;配方
12、的关键是在方程两边同时添加的常数项等于一次项系数一半的平方。五、例题讲解与练习巩固1、例 2、用配方法解下列方程:(1)2x6x70;(2)2x3x10.2、练习:.填空:(1) 226xx(2)2x8x()(x- )2(3)2xx()(x)2;(4)42x6x()4(x)2用配方法解方程:(1)2x8x20(2)2x5 x60.(3)276xx 六、试一试用配方法解方程 x2pxq0(p24q0).先由学生讨论探索,教师再板书讲解。解:移项,得x2pxq,配方,得 x22x2p(2p)2(2p)2q,即(x2p)2442qp .因为p24q0 时,直接开平方,得x2p242qp .所以x-2
13、p242qp ,即x242qpp.思考:这里为什么要规定 p24q0?七、讨论1、如何用配方法解下列方程?4x212x10;请你和同学讨论一下:当二次项系数不为 1 时,如何应用配方法?2、 关键是把当二次项系数不为 1 的一元二次方程转化为二次项系数为 1 的一元二次方程。先由学生讨论探索,再教师板书讲解。解: (1)将方程两边同时除以 4,得x23x410移项,得x23x41配方,得x23x+(23)241+(23)2即(x23) 225直接开平方,得x23210所以x23210所以 x12103,x2=21033,练习:用配方法解方程:(1)02722 xx(2)3x22x30.(3)0
14、5422 xx(原方程无实数解)本课小结本课小结:让学生反思本节课的解题过程,归纳小结出配方法解一元二次方程的步骤:1、把常数项移到方程右边,用二次项系数除方程的两边使新方程的二次项系数为 1;2、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方,使左边成为完全平方;如果方程的右边整理后是非负数,用直接开平方法解之,如果右边是个负数,则指出原方程无实根。布置作业布置作业:P38 页习题 2 .(3) 、 (4) 、 (5) 、 (6) ,3,4 .(1) 、 (2)22.2 .4 一元二次方程的解法一元二次方程的解法教学目标教学目标:1、使学生熟练地应用求根公式解一元二次方程。2、使学生经历探索求根公
15、式的过程,培养学生抽象思维能力。3、在探索和应用求根公式中,使学生进一步认识特殊与一般的关系,渗透辩证唯物广义观点。重点难点重点难点:1、难点:掌握一元二次方程的求根公式,并应用它熟练地解一元二次方程;2、重点:对文字系数二次三项式进行配方;求根公式的结构比较复杂,不易记忆;系数和常数为负数时,代入求根公式常出符号错误。教学过程教学过程:一、复习旧知,提出问题1、用配方法解下列方程:(1)xx10152(2)2131203xx2、用配方解一元二次方程的步骤是什么?3、用直接开平方法和配方法解一元二次方程,计算比较麻烦,能否研究出一种更好的方法,迅速求得一元二次方程的实数根呢?二、探索同底数幂除
16、法法则问题 1:能否用配方法把一般形式的一元二次方程20 (0)axbxca转化为2224()4bbacxaa呢?教师引导学生回顾用配方法解数字系数的一元二次方程的过程,让学生分组讨论交流,达成共识:因为0a ,方程两边都除以a,得20bcxxaa移项,得2bcxxaa 配方,得2222()()222bbbcxxaaaa 即2224()24bbacxaa问题 2:当240bac,且0a 时,2244baca大于等于零吗?让学生思考、分析,发表意见,得出结论:当240bac时,因为0a ,所以240a ,从而22404baca。问题 3:在研究问题 1 和问题 2 中,你能得出什么结论?让学生讨
17、论、交流,从中得出结论,当240bac时,一般形式的一元二次方程20 (0)axbxca的根为2422bbacxaa ,即242bbacxa 。由以上研究的结果,得到了一元二次方程20 (0)axbxca的求根公式:242bbacxa (240bac)这个公式说明方程的根是由方程的系数a、b、c所确定的,利用这个公式,我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值,直接求得方程的解,这种解方程的方法叫做公式法。思考:当240bac时,方程有实数根吗?三、例题例 1、解下列方程:1、2260 xx;2、242xx;3、254120 xx;4、244101 8xxx 教学要点: (1)对于方程(2)和
18、(4) ,首先要把方程化为一般形式;(2)强调确定a、b、c值时,不要把它们的符号弄错;(3)先计算24bac的值,再代入公式。例 2、 (补充)解方程210 xx 解:这里1a ,1b ,1c ,224( 1)4 1 130bac 因为负数不能开平方,所以原方程无实数根。让学生反思以上解题过程,归纳得出:当240bac时,方程有两个不相等的实数根;当240bac时,方程有两个相等的实数根;当240bac时,方程没有实数根。四、课堂练习1、35 练习。2、阅读39“阅读材料” 。小结小结:根据你学习的体会,小结一下解一元二次方程一般有哪几种方法?通常你是如何选择的?和同学交流一下。作业作业:3
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