第23章 图形的相似-23.4 中位线-ppt课件-(含教案+素材)-省级公开课-华东师大版九年级上册数学(编号：001f1).zip

1学案学案 23.423.4 中位线中位线一、学习目标一、学习目标掌握三角形中位线和重心的概念，探索并证明三角形中位线定理和重心定理；初步会用定理进行有关的论证和计算。二、学习重点二、学习重点掌握三角形的中位线和重心的定理。三、自主预习三、自主预习（一）.课前，阅读课本 77-78 面内容。1.填空：连接三角形两边的中点的线段叫做三角形的 。2任意画出一个三角形，并画出所有中位线。3.已知ABC 中，DEBC，点 D、E 分别是 AB、AC 的中点，DE 与 BC 的关系是？（二）.课中，思考：在前面 23.3 节中，我们曾解决过如下的问题：如图，ABC 中，DEBC,则ADEABC.由此可以进一步推知，当点 D 是 AB 的中点时，点 E 也是 AC 的中点.现在换一个角度考虑，如果点 D、E 原来就是 AB 与 AC 的中点，那么是否可以推出DEBC 呢？DE 与 BC 之间存在什么样的数量关系呢？四、合作探究四、合作探究任务一：阅读课本 77 页 78 页完成下列任务：1.如图，已知ABC 中，点 D、E 分别是 AB、AC 的中点则 DE 与 BC 之间存在什么样的位置关系和数量关系呢？写出详细过程自己的猜想是正确的。2.实验：学生画出图形，测量 DE 和 BC 的长，测量ADE 和ABC 度数,观察 DE 和 BC的位置和数量关系。3.猜想：你猜想的结论是：位置关系是：DE_ _BC，数量关系是：DE_ BC。上图中，若已知 BC8 cm，则根据猜想可得 DE_ cm。4. 证明：5.思考：本题还有其他的解法吗？2归纳：三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半。即 DEBC， DE21BC6.例题分析例 1 求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分.已知：如图，在ABC 中，AD=DB，BE=EC，AF=FC.求证：AE、DF 互相平分.任务二：探究三角形重心定理例 2.如图，ABC 中，D、E 分别是边 BC、AB 的中点，AD、CE 相交于 G求证：31ADGDCEGE。 结论：三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的 。五、巩固反馈五、巩固反馈1.如左图已知 D、E 分别是 AB、AC 的中点BC cm，则 DE_ cm。 2.如右上图 G 为三角形的重心，D3 cm，BFcm，则 DG_ _cm， BG_ _ cm。3.三角形的周长为 28 cm，则它的三条中位线组成的三角形的周长是_cm。4.如图，在ABCD 中，有 E、F 分别是 AD、BC 上的点，且 DE=CF，BE 和 AF 的交点为M，CE 和 DF 的交点为 N.求证：MNAD,MN=21AD.35.如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，E、F 分别是 AB、CD 的中点，且AC=BD.求证：OM=ON.6. 如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，AB=CD，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点，则四边形 EFGH 是（ ）（A）等腰梯形 （B）矩形 （C）菱形 （D）正方形六、小结作业六、小结作业基础作业同步练习册第 53 页 , 教材课后习题第 79 页题。拓展作业 1.填空：顺次连结矩形、平行四边形、菱形、正方形、等腰梯形的四边的中点所得的四边形分别是_。2.已知：如图 1 所示，在四边形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点。 求证：四边形 EFGH 是平行四边形。（提示：连结）3.如图 2，D、E是ABC的边AB和AC中点，延长DE到F，使EF=DE，连结CF.，四边形BCFD是平行四边形吗？为什么？图 1 图 2 华师版九年级数学上册 第23章 图形的相似 23.4 中位线学习目标1.中位线的定义2.中线与中位线的区别和联系3.中位线定理的证明4.重心的定义和性质5.应用中位线定理解决问题重点：中位线定理的证明和应用难点：中位线定理的证明、重心的定义和性质的理解一、情境导入问题：网球比赛时，发球往往是取胜的关键，如图小明在打网球时，使球恰好过网，假设球沿直线前进而且落在离网4米的位置上，求球排击球的高度？4米4米0.9米h米二、自主学习（10分钟） 思考：如图，ABC中，DEBC,则ADEABC.当点D是AB的中点时，点E也是AC的中点.如果换一个角度考虑，点D、E是AB与AC的中点，那么DEBC？DE与BC的有什么数量关系？三、合作探究（15分钟）实验步骤：1.画出如图所示图形，2.测量DE和BC的长，3.测量ADE和ABC度数,4.观察DE和BC的位置和数量关系。猜想结论：在ABC中，DEBC,且DE= BC证明猜想：（一）：探究中位线定理方法1证明：如图，ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点， A=A,ADEABC,ADE=ABC, DEBC且DE= BC.思考还有其他的证法吗？方法2：已知：如图所示，在ABC中，AD=DB，AE=EC.求证：DEBC,DE= BC.证明：可延长DE到F，使EF=DE转化为证明DF=BC，DEBC,故只要证明四边形BCFD为平行四边形.还可以作如下的辅助线. 方法3：方法4：如下图，过A、B、C三点分别作DE的垂线方法5：过点A作APBMCN证四边形BMNC是平行四边形ADPBDM; AEPCENAMPBCNDEABCDEF归纳：三角形中位线平行于第三边并且等于第三边的一半同一法，过D点作DFBC，交AC于点F，由ADFABC，得三边对应成比例，证F为中点，因为E为中点，证得F与E重合，即DF与DE重合,DEBC且DE= BC.方法6： （二）应用中位线定理例1 求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分. 已知：如图，在ABC中，AD=DB，BE=EC，AF=FC.求证：AE、DF互相平分.【分析】要证AE、DF互相平分，即要证四边形ADEF为平行四边形.证明：连结DE、EF.AD=DB,BE=EC,DEAC，同理可得EFBA.四边形ADEF是平行四边形. AE、DF互相平分.（三）探究三角形重心定理 例2 如图，在ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于点G.求证： .【分析】有两边中点易想到连接两边中点构造三角形的中位线.结论：三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的 。三、达标检测（10分钟）（1）如左图已知D、E分别是AB、AC的中点BC cm，则DE cm。（2）如右上图G为三角形的重心，D3 cm，BFcm，则DG cm， BG cm。（3）三角形的周长为28 cm，则它的三条中位线组成的三角形的周长是 cm。（4）如图1，在菱形ABCD中，有E、F分别是AD、BC上的点，且DE=CF，BE和AF的交点为M，CE和DF的交点为N.求证：MNAD,MN= AD （5）.如图2，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E、F分别是AB、CD的中点，且AC=BD.求证：OM=ON.（6）. 在梯形ABCD中，ADBC，AB=CD，E、F、G、H分别是AB、BC、C D、DA的中点，则四边形EFGH是（ ）（A）等腰梯形 （B）矩形 （C）菱形 （D）正方形【答案】（1）DE 3 cm（2）DG 1 cm，BG 4 cm。（3 ） 14 cm（4）解：连结EF，证四边形ABFE和四边形DCFE均为平行四边形，得FM=AM，FN=DN，MNAD,MN= AD（5）解：取BC的中点G，连接EG，FG，BG=CG，BE=AE，GE= AC， GF= BDOMN=GFE， AC= BD，GE=GF,GEF=GFE，ONM=OMN，OM=ON.（6）解：选C. 解题思路：因为梯形ABCD中，ADBC，AB=CD，所以梯形为等腰梯形，等腰梯形的对角线长相等，即AC=BD，而根据三角形中位线定理，可知EF与HG都平行，且等于AC的一半，同理，EH和FG都平行且等于BG的一半，所以EF=FG=GH=HE，所以四边形为菱形.本节课你有什么收获？（1）三角形中位线是三角形中重要的线段，它与三角形中线不同。 （2）三角形的中位线定理是三角形的一个重要性质定理，探究定理开阔视野、发散思维。（3）注意定理的条件、结论，结论有两个，具体应用时，可视具体情况选用其中一个关系或用两个关系。（4）熟悉三角形中位线所在图形的结构，适当地构造三角形中位线定理的条件是用好定理的关键。 四、小结作业（5分钟）.（3）发现了三角形重心定理，学会了一种很重要的探究问题的方法. (4)本节课开始提出的实际问题，通过大家学习新知识，有了解决的办法。布置作业1.基础巩固作业 同步练习册练习第53页，课文练习第79页2.能力提升作业（1）填空：顺次连结矩形、平行四边形、菱形、正方形、（2）等腰梯形的四边的中点所得的四边形分别是_。 (3) 已知：如图所示，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。求证：四边形EFGH是平行四边形。（提示：连结）1课题课题 23.423.4 中位线中位线课题23.4 中位线学段九年级上册授课教师教材分析中位线是在学习相似三角形的判定和性质，中线的概念，三角形、特殊四边形的判定和性质的基础上学习的课程，因此对该定理应用多种方法证明打下基础，中位线是掲示线与线的位置关系和数量关系的一个重要定理，为深化完善三角形的知识取到重要作用。为解决有关中点问题提供较好的依据。知识与能力理解三角形中位线定义与性质，会应用三角形中位线解决实际问题，根据课标确定。过程与方法经历探究三角形中位线定义、性质的过程，感受三角形中位线定理的应用思想，根据现代教学理念，培养学生核心素养能力，培养学生动手能力。教学目标分析情感态度与价值观培养良好的探究意识和合作交流的习惯，体会数学推理的应用价值。根据课改及数学学科特点课标确定。教学重点三角形中位线定理的证明和应用。根据课标确定重点和难点教学难点三角形中位线定理的形成过程证明和应用，重心性质的理解。根据学生实际确定。学情分析学生基础较好，前面已学习相似三角形的判定和性质，已具有自主独立思考学习的能力，具有合作交流的意识和能力，具有推理证明的逻辑推理能力。教法学法教法中位线定理证法多样性有利于培养学生发散思维能力，提高分析问题，解决问题能力，数学抽象，数学创新、数学构造能力有较大的帮助。教法应用“五四五”教学思想下“五动课堂”教学模式。学法“五动”即动眼、动耳、动口、动手、动脑，自主学习、合作交流。应用“兵教兵”和“”“训练测学”策略。教具学具PPT 、三角板、直尺、圆规项目内容教师活动学生活动设计意图一、独立思考、（一）课前，阅读课本 77-78 面内容。抛出问题，引动眼、动耳通过创设问题2自主学习（10分钟）二、合作探究、教师点播（15分钟）1.填空：连接三角形两边的中点的线段叫做三角形的 。2任意画出一个三角形，并画出所有中位线。3.已知ABC 中，DEBC，点 D、E 分别是AB、AC 的中点，DE 与 BC 的关系是？情境问题：网球比赛时，发球往往是取胜的关键，如图小明在打网球时，使球恰好过网，假设球沿直线前进而且落在离网 4 米的位置上，求球排击球的高度？440.9h课中学习如下：（二）任务一：探究中位线定理思考：在前面 23.3 节中，我们曾解决过如下的问题：如图，ABC 中，DEBC,则ADEABC.由此可以进一步推知，当点 D 是AB 的中点时，点 E 也是 AC 的中点.现在换一个角度考虑，如果点 D、E 原来就是 AB 与 AC 的中点，那么是否可以推出 DEBC 呢？DE 与 BC 之间存在什么样的数量关系呢？入新课题设计探究问题引导学生有目的、有步骤学习学生带着任务、动脑思考、动手操作。情境、激趣导入，激发学生学习动机任务导学，驱动学生学习3二、合作探究、教师点播（15 分钟2.实验：学生画出图形，测量 DE 和 BC 的长，测量ADE 和ABC 度数,观察 DE 和 BC 的位置和数量关系。3.猜想：DEBC,且 DE=21BC4.方法 1 证明：如图，ABC 中，点 D、E分别是 AB 与 AC 的中点，21ACAEABAD.A=A,ADEABC（如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似）,ADE=ABC,21BCDE（相似三角形的对应角相等，对应边成比例），DEBC 且 DE=21BC.5.思考：本题还有其他的解法吗？方法 2：已知：如图所示，在ABC 中，AD=DB，AE=EC.求证：DEBC,DE=21BC.引导学生从相似的角度思考自主动手测量线段，发现线段的特殊关系获得猜想学生独立完成证明过程学生自主探究获得猜想，为证明猜想作准备4【分析】要证 DEBC,DE=21BC,可延长 DE到 F，使 EF=DE，于是本题就转化为证明 DF=BC，DEBC,故只要证明四边形 BCFD 为平行四边形.还可以作如下的辅助线. 方法 3：方法 4：如下图，过A、B、C三点分别作DE的垂线方法 5：过点 A 作 APBMCN证四边形 BMNC 是平行四边形 ADPBDM; 引导学生深入探究问题学生在问题引导下积极思考、探究新方法动口表达证明思路动脑自主思考证明思路动手写证明过程动眼观看同伴解题过程动耳倾听同伴培养学生书写证明过程能力发散思维，培养学生思维灵活性、深刻性培养学生数学核心素养能力，逻辑推理能力，培养发散思维能力，发展学生创新思维能力。5二、合作探究、教师点播（15 分钟AEPCENAMPBCNDE方法 6：同一法过 D 点作 DFBC，交 AC 于点 ，DF=21BC.证 F 为 AC 中点，因为 E 为 AC 中点DF 与 DE 重合,DEBC 且 DE=21BC.ABCDEF6.应用中位线定理例 1 求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分.已知：如图，在ABC 中，AD=DB，BE=EC，AF=FC.求证：AE、DF 互相平分.讲解解题思路、方法学生展示方法、书写解题过程“兵教兵”动脑思考多种方法动耳倾听、提出质疑采用“兵教兵”测略促进学生自主学习能。学以致用，增强6【分析】要证 AE、DF 互相平分，即要证四边形 ADEF 为平行四边形.证明：连结 DE、EF.AD=DB,BE=EC,DEAC，同理可得 EFBA.四边形 ADEF 是平行四边形.AE、DF 互相平分.任务二：探究三角形重心定理例 2 如图，在ABC 中，D、E 分别是边BC、AB 的中点，AD、CE 相交于点 G.求证：31ADGDCEGE.【分析】有两边中点易想到连接两边中点构造三角形的中位线.结论：三角形三条边上的中线交于一点，这个学生先独立思考例题动耳倾听教师点播例题探究、学以致用采用“兵学生应用知识解决问题能力7二、合作探究、教师点播（15 分钟点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的 1 37.练习（1）如左图已知 D、E 分别是 AB、AC 的中点BC cm，则 DE_ cm。教兵”测略学生先独立思考例题动耳倾听教师点播通过例题探究发现重心性质，归纳结论、提高概括能力8三、习题巩固、达标检测（10分钟）9三、习题巩固、达标检测（10分钟） （2）如右上图 G 为三角形的重心，D3 cm，BFcm，则 DG_ _cm， BG_ _ cm。（3）三角形的周长为 28 cm，则它的三条中位线组成的三角形的周长是_cm。（4）如图，在ABCD 中，有 E、F 分别是AD、BC 上的点，且 DE=CF，BE 和 AF 的交点为M，CE 和 DF 的交点为 N.求证：MNAD,MN=21AD（5）.如图，在四边形 ABCD 中，对角线AC、BD 交于点 O，E、F 分别是 AB、CD 的中点，且 AC=BD.求证：OM=ON.（6）. 在梯形 ABCD 中，ADBC，AB=CD，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点，则四边形 EFGH 是（ ）（A）等腰梯形 （B）矩形 （C）菱形 （D）正方形引导学生取 BC的中点，构造中位线.教师引出中位线、重心概念，中位线、重心性质定理，提问中位线与中线区别并引导学生理解区别学生先独立思考习题动耳倾听教师点播学生独立做答动脑、动眼、动手学以致用，增强学生应用知识解决问题能力以学生自主探究获得答案为主，教师适时点播为训练测学，巩固新知，提高思维的深度、广度。通过练习测试10三、习题巩固、达标检测（10分钟）【答案】（1）DE_3_ cm（2）DG_ 1 cm， BG_ 4_ cm。（3）_14_cm（4）解：连结 EF，证四边形 ABFE 和四边形 DCFE 均为平行四边形，得FM=AM，FN=DN，MNAD,MN=21AD.（5）解：取 BC 的中点 G，连接 EG，FG，BG=CG，BE=AE，GE=21AC，EGACONM=GEF，同理 GF=21BD，OMN=GFE，AC=BD，GE=GF,GEF=GFE，ONM=OMN，OM=ON.（6）解：解：选 C. 解题思路：因为梯形 ABCD中，ADBC，AB=CD，所以梯形为等腰梯形，等腰梯形的对角线长相等，即 AC=BD，而根据三角形中位线定理，可知 EF 与 HG 都平行且等于AC 的一半，同理，EH 和 FG 都平行且等于 BG 的一半，所以 EF=FG=GH=HE，所以四边形为菱形.8.小结：本节课你有什么收获？教师组织学生讲解方法、适时点播，发挥主导作用动耳倾听、提出疑问学生动口、动脑学会回顾所学，并用自己的语言表述知识。反馈学生学习情况、问题。同时巩固所学11四、小结作业，能力提(1)三角形中位线是三角形中重要的线段，它与三角形中线不同 (2)三角形的中位线定理是三角形的一个重要性质定理，注意定理的条件、结论，结论有两个，具体应用时，可视具体情况选用其中一个关系或用两个关系熟悉三角形中位线所在的图形的结构，适当地构造三角形中位线定理的条件是用好定理的关键 (3)在这节课中我们一起经过试验、探索，发现了三角形中位线定理，学会了一种很重要的探究问题的方法. 开阔视野、发散思维。 (4)本节课开始提出的测量问题，通过大家今后不断地学习新知识，将会有更多的解决办法9.布置作业基础巩固作业同步练习册练习第 53 页课文练习第 79 页能力提升作业(1) 填空：顺次连结矩形、平行四边形、菱形、正方形、等腰梯形的四边的中点所得的四边形分别是_。(2). 已知：如图所示，在四边形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点。 求证：四边形 EFGH 是平行四边形。（提示：连结）3.如图 2，D、E是ABC的边AB和AC中点，延长DE到F，使EF=DE，连结CF.，四边形教师讲解点播例题教师巡视、检查学生答题基础上点播学生能拓展知识作业分层布置、有目的培养不同层次学生，解决吃得下和吃得饱问题12升（5 分钟）BCFD是平行四边形吗？为什么？23.4 中位线1.中位线和重心概念 例 1 练习2.中位线与中线区别 小结3. 中位线和重心定理 例 2 作业作辅助线方法教师组织、引导学生小结引导学生解四边形中点问题学生发现问题调整学习步调。13板书设计