第14章 勾股定理-14.2 勾股定理的应用-ppt课件-(含教案+素材)-省级公开课-华东师大版八年级上册数学(编号：d306a).zip

华东师大版八年级上册- 立体图形 中最短路程问题345华东师大版八年级上册- 立体图形 中最短路程问题 4、 体会转化的数学思想和勾股定理的文化价值 1、 通过动手研究能把立体图形中的问题转化为平面图形的问题2、找出并理解最短路线及依据3、能够运用勾股定理进行解题 如图所示，一个圆柱体的底面周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底面的直径.一只蚂蚁从A点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程.(精确到0.01cm)圆柱中的最短路径圆柱中的最短路径ABC分析：蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬动，如果将这半个侧面展开，得到长方形ABCD，根据“两点之间，线段最短”，所求的最短路程就是这一展开图长方形ABCD的对角线AC之长.ABCACBD解：如图，在RtABC中，BC=底面周长的 一半=10cm.由勾股定理，可得答:爬行的最短路程约为10.77cm.思路小结：思路小结： 圆柱体圆柱体（立体图形）（立体图形） 矩形矩形( (平面图形平面图形) ) 直角直角三角形三角形展开展开构建构建转化转化应用勾股定理应用勾股定理A AB BD DC C202B BA AC CD DB BA A4 4把几何体适当展开成平面图形，再利用“两点之间，线段最短”性质来解决问题.想一想想一想 如果我如果我题 将例将例题 中的中的题 柱体柱体题 成成正方体正方体或者或者题 方体方体，情况又情况又题 怎么怎么题 呢？呢？如果圆柱换成如图的棱长为1cm的正方体盒子，蚂蚁从点A出发，沿着表面经过3个面爬行到点B的最短路程又是多少呢？正方体中的最短路径一 正方体中的最短路径一如果盒子换成如图长为3cm，宽为2cm，高为1cm的长方体，蚂蚁沿着表面由A爬到C1需要爬行的最短路程又是多少呢？ABCDB1C1D1A1正正长方体中的最短路径一分析：蚂蚁由A爬到C1过程中较短的路线有多少种情况？(1)经过前面和上底面;(2)经过前面和右面;(3)经过左面和上底面.ABCDB1C1D1A123A1BB1C1D1A1321ABCB1C1A1321ADD1A1B1C1 (1)当蚂蚁经过前面和上底面时，如图，最短路程为解:AAB4.24（cm）.BCDB1C1D1A123A1BB1C1D1A1(2)当蚂蚁经过前面和右面时，如图，最短路程为当蚂蚁经过前面和右面时，如图，最短路程为AAB5.10（cm）.BCDB1C1D1A1321ABCB1C1A1(3)当蚂蚁经过左面和上底面时，如图，最短路程为AAC14.47（cm）.BCDB1C1D1A1321ADD1A1B1C1最短路程约为4.24cm.4.244.475.10，如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是多少？2032AB32323 AB2=AC2+BC2=625, AB=25 dm阶梯上的最短路径阶梯上的最短路径2、注意：注意：运用勾股定理解决实际问题时，运用勾股定理解决实际问题时， 、没有图的要按题意画好图并标上字母；没有图的要按题意画好图并标上字母； 、有时必须设好未知数，并根据勾股定理列有时必须设好未知数，并根据勾股定理列出相应的方程式才能做出答案。出相应的方程式才能做出答案。归纳总结归纳总结1、 、数学数学 思想：思想：数学数学 题题题 化化题题题题立体立体题 形形题 化化平面平面题 形形曲曲题 或折或折题题 化化直直 题归纳总结归纳总结归纳总结归纳总结你能用上述方法快速计算下面这只蚂蚁要爬你能用上述方法快速计算下面这只蚂蚁要爬行的距离吗？行的距离吗？1.如图，正方体的所有而是由3x3个边长为1cm的小正方形组成蚂蚁从底而A出沿着表而爬到右侧点B处，至少要爬行 cm.扩展选作扩展选作 4.现有现有 一棵树直立在地上，树高一棵树直立在地上，树高2.8丈，粗丈，粗3尺，有一葛藤从树根处缠绕而上，缠绕尺，有一葛藤从树根处缠绕而上，缠绕7周到达周到达树顶，请问这根葛藤条有多长？（树顶，请问这根葛藤条有多长？（1丈等于丈等于10尺尺）ABC28尺37=21（尺）聪明的葛藤例3 一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图所示的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?说明理由. ABCD2米2.3米阳城四中学校平面图阳城四中学校平面图办办公公楼楼A A教学教学B B教教学学D D教研教研C C教研教研田田径径场场篮球场篮球场 从从B B幢到办幢到办公楼，怎么公楼，怎么走最近？请走最近？请说明理由？说明理由？两点之间两点之间, ,线段最短。线段最短。课前提问（1分钟）CDCH0.62.32.9(米)2.5(米).答：卡车能通过厂门解：在RtOCD中，CDO=90,由勾股定理，得ABMNOCDH2米米2.3米米 1.如图，已知CD6cm，AD8cm， ADC90o，BC24cm，AB26cm，求阴影部分面积.当堂练习当堂练习解：在RtADC中，AC2=AD2+CD2（勾股定理） =82+62=100，AC=10.AC2+BC2=102+242=676=262，ACB为直角三角形(勾股定理的逆定理).S阴影部分=SACB-SACD =120-24 =96. 2.如图，在ABC中，AB=AC，D点在CB 延长线上，求证：AD2-AB2=BDCDABCDE AD2-AB2=(AE2+DE2)-(AE2+BE2)证明：过A作AEBC于E.AB=AC，BE=CE.在Rt ADE中，AD2=AE2+DE2.在Rt ABE中，AB2=AE2+BE2.= DE2- BE2= (DE+BE)( DE- BE)= (DE+CE)( DE- BE)=BDCD.勾股定理的应用最短路程问题课堂小结课堂小结勾股定理与其逆定理的应用自主型高效学习导学设计方案自主型高效学习导学设计方案课题 勾股定理的应用（一） 课型：新课【学习目标】1、通过动手研究能把立体图形中的问题转化为平面上的问题2、找出并理解最短路线及依据3、能够运用勾股定理解决实际问题，将实际问题转化为数学问题，进行数学建模【探究学习】 问题一：圆柱中的最短路径 1、如图所示，一个圆柱体的底面周长为 20cm，高 AB 为 4cm，BC 是上底面的直径.一只蚂蚁从 A 点出发，沿着圆柱的侧面侧面 爬行到点 C，试求出爬行的最短路程.(精确到 0.01cm) 注意蚂蚁的起点和终点以及爬行的范围，尝试画出爬行路线 你所画的路线是直线吗？如果不是，怎样能将其转化为直线？将你的想法画出来，并在图中标示数据，然后组内交流 2、变式练习:主题干不变，改变部分条件，求爬行的最短路线变 式如果将点 A 沿着 AB 向上移动 1cm, 沿着圆柱的侧面侧面 爬行到点 C，试求出爬行的最短路程.如果把问题改成:蚂蚁从点 A 出发绕圆柱测面一周到达点 B,此时它需要爬行的最短路程又是多少? 画出展开图（在图中标示数据） 列 式ABCA问题二：正方体中的最短路径1、如果圆柱换成如图的棱长为 1cm 的正方体盒子，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少呢？画图并标示数据： 列 式：2、如图，一只蚂蚁沿着边长为 1 的正方体表面从点 A 出发，经过 3 个面爬行到 B，如果它运动的路径最短，求 AB 的长 画图并标示数据： 列 式： 问题三:长方体中的最短路径如果盒子换成如图长为 3cm，宽为 2cm，高为 1cm 的长方体，蚂蚁沿着表面由 A 爬到 C1 需要爬行的最短路程又是多少呢？画图并标示数据： 列 式： ABCDB1A1A 问题四：阶梯中的最短路径如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为 20dm、3dm、2dm，A 和 B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到 B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到 B 点最短路程是多少？BAC11D1 勾股定理的应用勾股定理的应用 教学目标：教学目标：1、让学生通过动手研究能把立体图形中的问题转化为平面上的问题2、使学生能够找出并理解立体图形中的最短路线及依据3、能够运用勾股定理解决实际问题，将实际问题转化为数学问题，进行数学建模4、培养严谨的推理能力，以及自主合作的精神，体会逻辑推理的思维价值教学重、难点：教学重、难点：找出并理解立体图形中的最短路线及依据教学过程：教学过程：第一环节：情境引入第一环节：情境引入内容：内容：情景 1：多媒体展示：提出问题：从二教楼到综合楼怎样走最近？情景 2：导学案问题一：如图：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？第二环节：合作探究第二环节：合作探究内容：内容：学生分为人活动小组，合作探究蚂蚁爬行的最短路线，充分讨论后，汇总各小组的方案，在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法，通过具体计算，总结出最短路线让学生发现：沿圆柱体母线剪开后展开得到矩形，研究“蚂蚁怎么走最近”就是研究两点连线最短问题，引导学生体会利用数学解决实际问题的方法效果：效果：学生汇总了四种方案： （1） （2） （3） （4）学生很容易算出：情形（1）中AB的路线长为：，AAd情形（2）中AB的路线长为： 2dAA所以情形（1）的路线比情形（2）要短学生在情形（3）和（4）的比较中出现困难，但还是有学生提出用剪刀沿母线AA剪开圆柱得到矩形，情形（3）AB是折线，而情形（4）是线段，故根据两点之间线段最短可判断（4）较短，最后通过计算比较（1）和（4）即可网如图：（1）中AB的路线长为：AAdAAA（2）中AB的路线长为：ABAAA B（3）中AB的路线长为：AO+OBAB（4）中AB的路线长为：AB得出结论：利用展开图中两点之间，线段最短解决问题在这个环节中，可让学生沿母线剪开圆柱体，具体观察接下来后提问：怎样计算AB？在RtAAB中，利用勾股定理可得，若已知222BAAAAB圆柱体高为 12cm，底面半径为 3cm，取 3，则22212(3 3) ,15ABAB注意事项：注意事项：本环节的探究把圆柱侧面寻最短路径拓展到了圆柱表面，目的仅仅是让学生感知最短路径的不同存在可能但这一拓展使学生无法去论证最短路径究竟是哪条因此教学时因该在学生在圆柱表面感知后，把探究集中到对圆柱侧面最短路径的探究上方法提炼：方法提炼：解决实际问题的关键是根据实际问题建立相应的数学模型，解决这一类几何型问题的具体步骤大致可以归纳如下：1审题分析实际问题；2建模建立相应的数学模型；3求解运用勾股定理计算；4检验是否符合实际问题的真实性第三环节：变式拓展第三环节：变式拓展内容：内容：变式练习:主题干不变，改变部分条件，求爬行的最短路线变 式如果将点 A 沿着 AB 向上移动1cm, 沿着圆柱的侧面侧面 爬行到点 C，试求出爬行的最短路程.如果把问题改成:蚂蚁从点 A 出发绕圆柱测面一周到达点 B,此时它需要爬行的最短路程又是多少? 画出展开图（在图中标示数据） 列 式学生独立思考，抽生讲解第四环节：小试牛刀第四环节：小试牛刀内容：内容：导学案问题二正方体中的最短路径 要求学生画出几何图形的侧面展开图，并在图中标出数据，并列出求最短距离的式子，抽生板演，并讲解自己的思路和想法。1、如果圆柱换成如图的棱长为 1cm 的正方体盒子，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少呢？画图并标示数据： 列 式：2、如图，一只蚂蚁沿着边长为 1 的正方体表面从点 A 出发，经过 3 个面爬行到 B，如果它运动的路径最短，求 AB 的长 画图并标示数据： 列 式：BA问题三:长方体中的最短路径如果盒子换成如图长为 3cm，宽为 2cm，高为 1cm 的长方体，蚂蚁沿着表面由 A 爬到 C1 需要爬行的最短路程又是多少呢？画图并标示数据： 列 式： ABCDB1A1A问题四：阶梯中的最短路径如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm、3dm、2dm，A 和 B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到 B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到 B 点最短路程是多少？效果效果：学生能将立体图形转化为平面图形，确定出最短路径，并正确列式计算学生能画出示意图，找等量关系，设适当的未知数建立方程注意事项：注意事项：对于普通班级而言，学生完成“小试牛刀” ，已经基本完成课堂教学任务因此本环节可以作为教学中的一个备选环节，共老师们根据学生状况选用第六环节：交流小结第六环节：交流小结内容内容：师生相互交流总结：C11D11解决实际问题的方法是建立数学模型求解2在寻求最短路径时，往往把空间问题平面化，利用勾股定理及其逆定理解决实际问题效果效果：学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获，总结出在寻求曲面最短路径时，往往考虑其展开图，利用两点之间，线段最短进行求解并赞叹我国古代数学的成就第七环节：布置作业第七环节：布置作业1课本习题 14 第 1，2，3 题2如图是学校的旗杆，旗杆上的绳子垂到了地面，并多出了一段，现在老师想知道旗杆的高度，你能帮老师想个办法吗?请你与同伴交流设计方案?注意事项：注意事项：作业 2 作为学有余力的学生的思考题