第13章 全等三角形-复习题-ppt课件-(含教案+素材)-部级公开课-华东师大版八年级上册数学(编号：70026).zip
华东师大版华东师大版 数学数学 八年级上册八年级上册 探究是数学教学的生命线！探究是数学教学的生命线！ 数学习题课，不是题型模仿课，而是思维训数学习题课，不是题型模仿课，而是思维训练课；不是题海战术课，而是应用数学知识的解练课；不是题海战术课，而是应用数学知识的解题探究课！题探究课！ 一堂优质高效的数学复习习题课，既是学生一堂优质高效的数学复习习题课，既是学生回顾并应用所学知识，又是学生对数学知识认知回顾并应用所学知识，又是学生对数学知识认知的深化，更是方法的提炼与总结、数学思想的升的深化，更是方法的提炼与总结、数学思想的升华、思维能力的发展、数学素养的提高。华、思维能力的发展、数学素养的提高。数学复习习题课教学理念数学复习习题课教学理念请欣赏谢雅礼老师的示范课请欣赏谢雅礼老师的示范课全等三角形全等三角形复习习题课复习习题课对对“SSA”的深入探究的深入探究 探究是数学教学的生命线！学习数学的一个探究是数学教学的生命线！学习数学的一个很重要的任务是探索研究很重要的任务是探索研究, ,就是要象科学家那样就是要象科学家那样, ,通过试验、观察、比较、发现、归纳、猜想通过试验、观察、比较、发现、归纳、猜想, ,然后然后进行证明进行证明 。 善于试验发现、善于观察比较、善于联想构造善于试验发现、善于观察比较、善于联想构造、善于质疑提问、善于类比猜想、善于求异创新、善于质疑提问、善于类比猜想、善于求异创新、善于分析思考、善于归纳总结。善于分析思考、善于归纳总结。 满足满足“两边和一角分别对应两边和一角分别对应( (边角位置边角位置均对应均对应) )相等相等”的两个三角形是否全等？的两个三角形是否全等？ “两边和一角分别对应相等两边和一角分别对应相等”没有指出两边和一角的位置关系，没有指出两边和一角的位置关系，可分为两种情况：可分为两种情况：“两边和夹角两边和夹角”即即“S.A.S”S.A.S”(已研究已研究)；“两边和其中一边的对角两边和其中一边的对角”即即“S.S.A”S.S.A” (待研究待研究)。 “两边和其中一边的对角两边和其中一边的对角”分别对分别对应相等的两个三角形，在什么情况下一应相等的两个三角形，在什么情况下一定全等？什么情况下不一定全等？为什定全等？什么情况下不一定全等？为什么？怎样研究？么？怎样研究？ 已知：已知：ABCABC和和AA1 1B B1 1C C1 1,A=A,A=A1 190,AB=A90,AB=A1 1B B1 1,BC=B,BC=B1 1C C1 1, , ABCABC与与AA1 1B B1 1C C1 1全等吗？全等吗？ 当这个角为直角时，根据当这个角为直角时，根据“H.L”H.L”知这两个三角形全等知这两个三角形全等 ；当这个角为钝角时，这两个三角形全等吗？当这个角为钝角时，这两个三角形全等吗？新问题新问题S.S.A旧问题旧问题S.A.S、A.S.A、A.A.S、S.S.S、H.L转化：一般转化：一般 特殊；新问题特殊；新问题 旧问题旧问题做垂线4种重合反证法线段相等线段相等 等腰三角形等腰三角形联联 想想构造等腰三角形已知：ABC和A1B1C1,A=A190,AB=A1B1,BC=B1C1, ABC与A1B1C1全等吗？ 当这个角为直角时，两个三角形全等当这个角为直角时，两个三角形全等已研究；已研究；当这个角为钝角时，这两个三角形全等当这个角为钝角时，这两个三角形全等已研究已研究; ;当这个角为锐角时，这两个三角形全等吗当这个角为锐角时，这两个三角形全等吗？待研究。待研究。解题思路解题思路画图探究发画图探究发现现 用圆规按要求画ABC：A=30, AB=4, 使BC分别为：1.5; 2; 3; 4; 5. 画ABC五种一、研究的结论一、研究的结论 已知：已知：ABC和和A1B1C1, A=A1=, AB=A1B1=m, BC=B1C1=n, B到到AC的距离为的距离为h。当当 n=hn=h 或或 nmnm 时一定全等；时一定全等；当当 hnmhnmnm ! !所以最终的结论是：所以最终的结论是：若90,则一定全等；若90,则当 n=h 或 nm 时一定全等；当 hnm 时不一定全等. 二、数学思想、方法和原则二、数学思想、方法和原则1 1、转化、转化数学的重要思想数学的重要思想 一般一般特殊；特殊；新问题新问题旧问题；旧问题；2 2、分类讨论、分类讨论严谨性，数学的重要方法；严谨性，数学的重要方法；3 3、选择与简约、选择与简约科学性，数学的重要原则科学性，数学的重要原则 。 整理本节课的研究成果，以整理本节课的研究成果，以有趣的有趣的“S.S.A”S.S.A”为题目为题目( (也可自拟题目也可自拟题目),),写一篇小论文写一篇小论文, ,一周后交上一周后交上( (可以可以2 2至至4 4人合作人合作).). 如图如图, ,已知已知:1=2,:1=2,为使为使ABCABD,ABCABD,必须补充必须补充一个条件一个条件, ,请补上这个条件请补上这个条件. .要求至少写要求至少写6 6种情况种情况, ,并给予证明并给予证明. . 全等三角形复习习题课 1对 SSA 的探究学案 班 号姓名 一、课前完成.全等三角形判定方法有：SAS、 、 、 和 ，要特别注意“两边和 分别对应相等的两个三角形( )”不一定全等。请思考：SSA 在什么情况下成立?在什么情况下不成立?思考：满足:“两边和一角分别对应相等”的两个三角形是否全等?你有何想法? 二、课堂探究. 满足:“两边和一角分别对应相等”的两个三角形是否全等?你有何想法?若相等的角为对应相等两边的 ,则这两个三角形全等,根据 若相等的角为对应相等两边其中一边的 ,则这两个三角形不一定全等.当这个角为 时这两个三角形全等,根据 ；当这个角为 时这两个三角形全等,证明如下.已知：ABC 和A1B1C1, A=A190, AB=A1B1,BC=B1C1, 求证：ABCA1B1C1.证法一:把钝角转化为 证法二:重合法证法三:构造等腰当这个角为 时这两个不一定全等!是什么原因?在什么情况下一定全等? 画图发现:A=30,AB=4cm,BC=1.5cm;BC=2cm;3cm;BC=4cm;BC=5cm.原因: 当 时,符合条件的只能画出 1 个,两个全等.三、课后作业.必做题.如图,已知:1=2,为使ABCABD,必须补充一个条件,请补上这个条件.要求至少写 6 种情况,并给予证明.选做题.整理本节课的研究成果，以有趣的“SSA” 为题目(也可自拟题目),写一篇小论文,一周后交上(可以 2 至 4 人合作).4321ABCDC1B1A1CBAC1B1A1CBAC1B1A1CBA证:作( )( )于 D, ( )( )于 D1, = =90, = =( )=( ), ,( )=( ), ( )=( ), , = , .证:( )=( ),可把A1B1C1移到如图位置,使 B1C1与 BC 重合,A 与 A1分别在 BC 的两侧,连结 ( )=( ), = = , = , ( )=( ),( )=( ), .证: = ,( )=( )可把A1B1C1移到如图位置,使 A1B1与 AB 重合,BAC 与N1A1C1重合.只要证 C 与C1重合.假设 C 与 C1不重合,不妨设 C1在 AC 的延长线上,BC=B1C1 ，C1= BAC90 + + ( )这与三角形内角和等于 矛盾！假设 C 与 C1不重合是错误的， .BA BAABABAB教 学 评 析数学复习课是重要且最难上的一种课型,目前大多是知识点的简单再现和面面俱到地讲解大量的类型题,这种题型复习法走入“对号入座、机械模仿”的误区,造成教师辛苦、学生痛苦、高分低质、厌恶数学等不良后果。谢老师采取“精心设计探究性问题、巧妙引导学生探究”的探究式复习法,打造出优质高效的数学复习课,有效改变了传统题型复习法“只为考试而复习”的教学现状,在实践中取得显著成效.也许有人认为：解决“SSA”这个问题只要直接让学生画图即可得到结论，何必绕一个大圈子？其实，本节课的目的并不是为了解决SSA，而是引导学生运用知识在解决 SSA 的过程中培养能力、提高数学素养。本节课围绕一个主题, 以问题研究和学生活动为中心, 通过:创设思维情境启导学生自然地联想到与之有关的知识, 独立发现解题的思路; 一题多解和一题多变; 师生合作交流; 鼓励学生提问题; 让学生总结和反思, 撰写小论文等把本章的有关知识 (全等三角形、等腰三角形、直角三角形)、思想方法(拼图、反证法、转化、分类讨论、选择与简约) 融入到一个探究性问题的解决过程中, 为学生的发展搭建了一个广阔的舞台, 学生善于发现提出问题, 能突破思维定势, 从不同角度进行大胆探索, 课堂换发生命活力！ 体现学生是学习的主人, 教师是引导者、合作者、激励者的理念。指导教师：张白翎 何锦鸿 张弘全等三角形复习习题课对“S.S.A”的深入探究课堂实录与评析一、教学目的一、教学目的进一步巩固全等三角形、等腰三角形的性质与判定，进一步熟悉尺规作图和反证法在解题中的应用；创设情境，引导学生观察、思考、转化发现解题的思路和方法，提高运用知识解决问题的能力；通过一题多解、一题多变,提高学生思维的严谨性、广阔性和深刻性,让学生体验研究数学的思想方法(分类、转化、选择等),品尝探究发现成功的喜悦,激发研究数学问题的热情,培养良好的学习习惯.二、学情分析二、学情分析优势优势方面方面:所任教的班级学生基础较好,能力较高。在前面的学习中,已经熟悉掌握了等腰三角形、直角三角形、全等三角形、尺规作图、反证法等有关知识,具备一定的发现提出、独立思考及合作研究问题的能力,有合作交流的意识、科学探究的欲望,渴望进行更深一步的探究. 不足方面不足方面:学生的语言表达能力、自主发现提出新问题的能力、思维品质等有待加强培养和提高.三、重点难点：三、重点难点：实验发现、联想构造、把新问题转化为旧问题.四、教学理念四、教学理念数学习题课，不是题型模仿课，而是思维训练课；不是题海战术课，而是应用知识解决问题的探究课！面向全体,巩固所学知识,建立有效的知识系统,形成良好的认知结构,提高发现、提出、分析、综合运用知识解决问题的能力和科学素养,培养交流合作和应用意识、创新精神和实践能力,发展思维能力和个性品质,激发学习兴趣,树立学习自信心,掌握科学的学习方法,养成良好的学习习惯.一堂优质高效的数学复习习题课,既是学生回顾并应用所学知识,又是学生对数学知识认知的深化,更是方法的提炼与总结、数学思想的升华、思维能力的发展、数学素养的提高.五、教学关键五、教学关键: : 创设情景,启发引导.六、教学方法六、教学方法: :“启导探究发现”教学法.七、教学过程七、教学过程: : 提出问题师：探究是数学教学的生命线！学习数学的一个重要目的是学会探索研究，就是要象科学家那样，通过试验、观察、比较、发现、归纳、猜想，然后进行证明.今天我们来共同探究一个有趣的问题：满足“两边和一角分别对应(边角位置均对应)相等”的两个三角形是否全等? 对此问题你们有何想法？设计说明设计说明：对这个问题，学生似乎熟悉但又不太清楚，虽不能立即解决，但符合学生的认知基础(最近发展区)，能激发探究欲望，巩固之前所学知识，培养推理论证能力。理解题意生生 1 1：“两边和一角分别对应相等”没有指出两边和一角的位置关系，可分为：“两边和夹角”即“S.A.S” 、 “两边和其中一边的对角”即“S.S.A”这两种情况。若相等的角为对应相等两边的夹角，根据“S.A.S”可判定这两个三角形全等；若相等的角为对应相等两边其中一边的对角，则这两个三角形不一定全等.师：“不一定全等”是什么意思？ 生生 1 1：有时全等，有时不全等，要看具体情况。设计说明设计说明：题目没有指出两边和一角的位置关系，需分类讨论，利于培养学生思维的严谨性。师：请坐。 “两边和其中一边的对角”分别对应相等的两个三角形即“S.S.A” ，在什么情况下一定全等？什么情况下不一定全等？为什么？怎样研究？解决方法：分类讨论生生 2 2：可按“这个角的大小”进行分类讨论，当这个角为直角时，根据“H.L”知这两个三角形全等，只要研究这个角为钝角和锐角的情况。师：好！下面我们先研究这个角为钝角时是否全等！已知：ABC 和A1B1C1,A=A190,AB=A1B1,BC=B1C1,ABC 与A1B1C1全等吗？屏幕显示启导学生发现解题思路一：把“钝角三角形”转化为“直角三角形”生生 3 3：通过举例:取A=120,AB=5cm,BC=7cm, 画图发现这两个三角形全等！师：画图可帮助我们发现结论,但不能作为证明！怎样证明?(让学生思考 1 分钟后)新问题一般都是转化为与之有关的旧问题来解决,本题 S.S.A 与哪个旧问题(S.A.S、A.S.A、A.A.S、S.S.S、H.L)关系较密切?设计说明设计说明：启导学生发现解题思路与方法,体会解题的基本思想新问题转化为旧问题来解决。生生 4 4：H.L.师：为什么？生生 4 4：因为 H.L 是 S.S.A 的特殊情况！师：那就要把钝角转化为直角，如何转化？ 生生 4 4：作垂线。师：好，请大家试一试，怎样作垂线！谁上来展示？生生 5 5：图 1；师：有不同作法的，请上来！生生 6 6：图 2； 生生 7 7：图 3；师：我们来分析一下他们的作法行不行？(屏幕显示).生生 8 8：作高 AD 和 A1D1虽得到两对直角,但都无法证明它们全等。师：是什么原因？生生 8 8：原来的已知的条件A=A1,BC=B1C1被高 AD 和 A1D1破坏掉，无法使用。师：是的，作辅助线应尽量避免破坏原来的已知条件，否则将会影响解题. 那第二个呢？生生 8 8：同样，已知条件被破坏，不行！师：再看第三个，行吗？ 生生 9 9：比前面两个好,辅助线没有破坏已知条件,但也无法证明全等。师：为什么？生生 9 9：1=2 和相等的边不在同一个三角形中,无法合作。师：怎办？生生 9 9：因为相等的边在左边,所以作左边的高即可(屏幕显示).师：这样，相等的角、相等的边在同一三角形中，可推出ABDA1B1D1, 显然有效！请大家写出证明过程,一个同学上来展示。设计说明设计说明：创设让学生充分展示的舞台，通过引导学生对 3 种方法的比较，体会选择辅助线的原则.师：停下来！大多数同学已经做好，我们来看一下这位同学做的,共 3 次全等，做得很好！还有其他方法吗？启导学生发现解题思路二：重合法、反证法生生 1010：重合法，把两个三角形重叠，看能否完全重合！师：这是最原始的方法, 我们来试一下看能否完全重合。几何画板动画演示发现完全重合! 这样能当作证明吗?生生 1111：不能！满足条件的两个三角形有无数多种，刚才这两个只是其中一种，再说画图、观察都会产生误差，因此不能当作证明，但可帮助我们发现结论:这两个三角形会全等！设计说明设计说明：几何画板动态演示形象直观，再次强调数学的严谨性。师：特殊不能代表一般！画图、观察可帮助我们发现结论，但不能当作证明。那应当怎样证明？会重合又不好证可想到什么方法？(1 分钟后)生生 1212：反证法！假设 BC 与 B1C1不重合，然后推出矛盾！（教师用屏幕显示“正难则反”反证法）师：因为A=A1，所以 A、C、C1三点都在射线 AC 上，但有两种情况：C1在 AC 的延长线上或 C 在AC1的延长线上，这两种完全类似。不妨设 C1在 AC 的延长线上，由 BC=B1C1可得到什么结论？能推出矛盾吗？生生 1313：可得到2=C1A90，则BCC1的内角和180，这与内角和等于 180矛盾！所以假设 C1在 AC 的延长线上是错误的，同理 C 在 AC1的延长线上也是错误的，所以 C 与 C1重合, ABCA1B1C1.D1DACBB1C1A1图 112D1DACBB1C1A1图 212D1DBCAA1C1B1图 312D1DBCAA1C1B1图 41A1B12C1BCA图 5设计说明设计说明：启导学生想到反证法并发现：若 C 与 C1 不重合就会推出矛盾,体会“正难则反”的思想.师：请大家写出解答过程，一个同学上来板演。简评：我们来看一下这位同学做的。不错,用数字表示角，简单明了！启导学生发现解题思路三：构造等腰三角形师：师：还有新的证法吗？本题的题设有两组边相等，线段相等与什么知识有关？生生 1414：除了全等三角形还有等腰三角形。师：但相等的线段不在同一个三角形中, 怎办? 生生 1414：运动,使相等线段的一个端点重合,构造等腰三角形.师：(先图片后几何画板)相等的线段只要有公共端点就可构造出等腰三角形! 比如这样(图 6)行吗? 这样(图 7)呢? 请看屏幕！生生 1515：不行！第一个图形虽然有 2 个等腰三角形，但没有效果，感觉这个图形太复杂！第二个图形结构比第一个好，成轴对称图形，但也难以证明三角形全等，感觉这个图形还是很复杂！师：简约性是数学的重要原则，数学是用最简单的方法来表示一切的，简单利于解决问题！在构造等腰时你认为应怎样使图形更简单？生生 1515：把相等的边 BC 与 B1C1重合，B 与 B1重合教师图片演示后屏幕显示。师：大家看，这个图形简单明了，请大家写出解答过程，1 人板演。设计说明设计说明：先启导学生联想到等腰三角形，再引导学生如何构造等腰三角形，积累活动经验。简评：请大家看黑板，我们来看一下这位同学做的怎样,简单规范，挺好！还有新的想法吗？生生 1616：也可把另一组相等的边 AB 与 A1B1重合构造等腰三角形.师：动手操作, 大家看(图 9), 还有吗？ 生生 1717：构造平行四边形！师：怎么构造？你来试一下！ 生生 1717：上台操作(图 10)。师：不错！还有吗？ 生生 1818：上台操作构造等腰梯形(图 11). 生生 1919：动手操作(图 12).师：很好，有创新，的确是 4 种新的思路！但这 4 种思路能证明ABCA1B1C1吗? 因时间关系, 留给大家课后去思考。设计说明设计说明：让学生充分交流，产生联想，孕育创新。解决第二种情况：这个角为锐角时是否全等？师：最后我们来研究这个角为锐角时是否全等！生生 2020：以前我们已经通过画图发现这两个不全等！师：真的不全等吗? 若不全等, 是什么原因? 我们再来探究一下。请大家用圆规按要求画ABC：使A=30,AB=4, BC 分别等于：=1.5; BC=2; 3; BC=4; BC=5. 一人上来展示.B1B1A1C1A1C1ACBBCA图 6图 7B13142A1BCAC1图 8B1A112B1C1DCAC1BCA1ABC1B1A1C1CABA1BB1AC图 9图 10图 11图 12444 2 , 2 1 , 1 , 31.532C2C1CABBABA师：根据画图，发现什么结论？(学生回答，教师用屏幕显示)生生 2121：当 BC=1.5 时,无交点,三角形不存在；当 BC=2 时 BC 刚好垂直 AC,只有一个交点,三角形只能画出一个,即满足条件的是唯一确定的；当 BC=3 时有 2 个交点,三角形可画出 2 个,即满足条件的三角形不唯一确定；当 BC=4 或 5 时只有一个交点,三角形只能画出一个,即满足条件的三角形是唯一确定的。师：我们可以把刚才的问题一般化(屏幕显示)：ABC，A=90，AB=m，BC=n，B 到 AC 的距离为 h。当 n=h 或 nm 时，三角形只能画出一个(唯一确定)，满足条件的两个三角形一定全等；当 hnm 时，三角形可画出两个(不唯一确定)，满足条件的两个三角形不一定全等！设计说明设计说明：让学生动手画图，通过数值的变化，顺利帮助学生发现规律和结论。总结研究成果师：下面来总结一下今天的研究成果.研究的结论研究的结论: 已知：ABC 和A1B1C1,A=A1=, AB=A1B1=m,BC=B1C1=n,B 到 AC 的距离为 h，ABC 与A1B1C1在什么条件下一定全等，在什么条件下不一定全等！谁来总结一下(学生回答，教师用屏幕显示).生生 2222：若 90,则一定全等；若 90,则当 n=h 或 nm 时一定全等；当 hnm 时不一定全等.师：请大家注意：若 90，则 n 必大于 m，因此不必讨论 是锐角还是钝角！所以，最终的结论是：当 n=h 或 nm 时一定全等；当 hnm 时不一定全等.数学思想、方法和原则数学思想、方法和原则(屏幕显示).转化数学的重要思想：一般特殊,新问题旧问题；分类讨论严谨性，数学的重要方法；选择与简约科学性，数学的重要原则。设计说明设计说明：通过归纳总结，让学生对研究的结论和思想方法都有更清晰的认识，课后作业整理本节课的研究成果，以有趣的“S.S.A” 为题目(也可自拟题目),写一篇小论文,一周后交上(可以 2 至 4 人合作).如图,已知:1=2,为使ABCABD,必须补充一个条件,请补上这个条件.要求写 4 至 6 种不同情况,并给予证明. 设计说明设计说明：作业设计遵循“少而精、开放性、多样性、发展性”原则，让各类学生灵活选择，尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需求，让不同层次的学生都得到应有的发展。八、教学评析数学复习课是重要且最难上的一种课型,目前大多是知识点的简单再现和面面俱到地讲解大量的类型题,这种题型复习法走入“对号入座、机械模仿”的误区,造成教师辛苦、学生痛苦、高分低质、厌恶数学等不良后果。执教者采取“精心设计探究性问题、巧妙引导学生探究”的探究式复习法,打造出优质高效的数学复习课,有效改变了传统题型复习法“只为考试而复习”的教学现状,在实践中取得显著成效.也许有人认为：解决“SSA”这个问题只要直接让学生画图即可得到结论,何必绕一个大圈子？其实,444 1 , 1 1 , 15BAABCC本节课的目的并不是为了解决“SSA”,而是引导学生运用知识在解决 SSA 的过程中培养能力、提高素养。本节课围绕一个主题,以问题研究和学生活动为中心,通过:创设思维情境启导学生自然地联想到与之有关的知识,独立发现解题的思路;一题多解和一题多变;师生合作交流;鼓励学生提问题;让学生总结和反思,撰写小论文等把本章的有关知识(全等三角形、等腰三角形、直角三角形)、思想方法(拼图、反证法、转化、分类讨论、选择与简约)融入到一个探究性问题的解决过程中,为学生的发展搭建了一个广阔的舞台,学生善于发现提出问题,能突破思维定势,从不同角度进行大胆探索,课堂换发生命活力！体现学生是学习的主人,教师是引导者、合作者、激励者的理念。
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华东师大版华东师大版 数学数学 八年级上册八年级上册 探究是数学教学的生命线！探究是数学教学的生命线！ 数学习题课，不是题型模仿课，而是思维训数学习题课，不是题型模仿课，而是思维训练课；不是题海战术课，而是应用数学知识的解练课；不是题海战术课，而是应用数学知识的解题探究课！题探究课！ 一堂优质高效的数学复习习题课，既是学生一堂优质高效的数学复习习题课，既是学生回顾并应用所学知识，又是学生对数学知识认知回顾并应用所学知识，又是学生对数学知识认知的深化，更是方法的提炼与总结、数学思想的升的深化，更是方法的提炼与总结、数学思想的升华、思维能力的发展、数学素养的提高。华、思维能力的发展、数学素养的提高。数学复习习题课教学理念数学复习习题课教学理念请欣赏谢雅礼老师的示范课请欣赏谢雅礼老师的示范课全等三角形全等三角形复习习题课复习习题课对对“SSA”的深入探究的深入探究 探究是数学教学的生命线！学习数学的一个探究是数学教学的生命线！学习数学的一个很重要的任务是探索研究很重要的任务是探索研究, ,就是要象科学家那样就是要象科学家那样, ,通过试验、观察、比较、发现、归纳、猜想通过试验、观察、比较、发现、归纳、猜想, ,然后然后进行证明进行证明 。 善于试验发现、善于观察比较、善于联想构造善于试验发现、善于观察比较、善于联想构造、善于质疑提问、善于类比猜想、善于求异创新、善于质疑提问、善于类比猜想、善于求异创新、善于分析思考、善于归纳总结。善于分析思考、善于归纳总结。 满足满足“两边和一角分别对应两边和一角分别对应( (边角位置边角位置均对应均对应) )相等相等”的两个三角形是否全等？的两个三角形是否全等？ “两边和一角分别对应相等两边和一角分别对应相等”没有指出两边和一角的位置关系，没有指出两边和一角的位置关系，可分为两种情况：可分为两种情况：“两边和夹角两边和夹角”即即“S.A.S”S.A.S”(已研究已研究)；“两边和其中一边的对角两边和其中一边的对角”即即“S.S.A”S.S.A” (待研究待研究)。 “两边和其中一边的对角两边和其中一边的对角”分别对分别对应相等的两个三角形，在什么情况下一应相等的两个三角形，在什么情况下一定全等？什么情况下不一定全等？为什定全等？什么情况下不一定全等？为什么？怎样研究？么？怎样研究？ 已知：已知：ABCABC和和AA1 1B B1 1C C1 1,A=A,A=A1 190,AB=A90,AB=A1 1B B1 1,BC=B,BC=B1 1C C1 1, , ABCABC与与AA1 1B B1 1C C1 1全等吗？全等吗？ 当这个角为直角时，根据当这个角为直角时，根据“H.L”H.L”知这两个三角形全等知这两个三角形全等 ；当这个角为钝角时，这两个三角形全等吗？当这个角为钝角时，这两个三角形全等吗？新问题新问题S.S.A旧问题旧问题S.A.S、A.S.A、A.A.S、S.S.S、H.L转化：一般转化：一般 特殊；新问题特殊；新问题 旧问题旧问题做垂线4种重合反证法线段相等线段相等 等腰三角形等腰三角形联联 想想构造等腰三角形已知：ABC和A1B1C1,A=A190,AB=A1B1,BC=B1C1, ABC与A1B1C1全等吗？ 当这个角为直角时，两个三角形全等当这个角为直角时，两个三角形全等已研究；已研究；当这个角为钝角时，这两个三角形全等当这个角为钝角时，这两个三角形全等已研究已研究; ;当这个角为锐角时，这两个三角形全等吗当这个角为锐角时，这两个三角形全等吗？待研究。待研究。解题思路解题思路画图探究发画图探究发现现 用圆规按要求画ABC：A=30, AB=4, 使BC分别为：1.5; 2; 3; 4; 5. 画ABC五种一、研究的结论一、研究的结论 已知：已知：ABC和和A1B1C1, A=A1=, AB=A1B1=m, BC=B1C1=n, B到到AC的距离为的距离为h。当当 n=hn=h 或或 nmnm 时一定全等；时一定全等；当当 hnmhnmnm ! !所以最终的结论是：所以最终的结论是：若90,则一定全等；若90,则当 n=h 或 nm 时一定全等；当 hnm 时不一定全等. 二、数学思想、方法和原则二、数学思想、方法和原则1 1、转化、转化数学的重要思想数学的重要思想 一般一般特殊；特殊；新问题新问题旧问题；旧问题；2 2、分类讨论、分类讨论严谨性，数学的重要方法；严谨性，数学的重要方法；3 3、选择与简约、选择与简约科学性，数学的重要原则科学性，数学的重要原则 。 整理本节课的研究成果，以整理本节课的研究成果，以有趣的有趣的“S.S.A”S.S.A”为题目为题目( (也可自拟题目也可自拟题目),),写一篇小论文写一篇小论文, ,一周后交上一周后交上( (可以可以2 2至至4 4人合作人合作).). 如图如图, ,已知已知:1=2,:1=2,为使为使ABCABD,ABCABD,必须补充必须补充一个条件一个条件, ,请补上这个条件请补上这个条件. .要求至少写要求至少写6 6种情况种情况, ,并给予证明并给予证明. . 全等三角形复习习题课 1对 SSA 的探究学案 班 号姓名 一、课前完成.全等三角形判定方法有：SAS、 、 、 和 ，要特别注意“两边和 分别对应相等的两个三角形( )”不一定全等。请思考：SSA 在什么情况下成立?在什么情况下不成立?思考：满足:“两边和一角分别对应相等”的两个三角形是否全等?你有何想法? 二、课堂探究. 满足:“两边和一角分别对应相等”的两个三角形是否全等?你有何想法?若相等的角为对应相等两边的 ,则这两个三角形全等,根据 若相等的角为对应相等两边其中一边的 ,则这两个三角形不一定全等.当这个角为 时这两个三角形全等,根据 ；当这个角为 时这两个三角形全等,证明如下.已知：ABC 和A1B1C1, A=A190, AB=A1B1,BC=B1C1, 求证：ABCA1B1C1.证法一:把钝角转化为 证法二:重合法证法三:构造等腰当这个角为 时这两个不一定全等!是什么原因?在什么情况下一定全等? 画图发现:A=30,AB=4cm,BC=1.5cm;BC=2cm;3cm;BC=4cm;BC=5cm.原因: 当 时,符合条件的只能画出 1 个,两个全等.三、课后作业.必做题.如图,已知:1=2,为使ABCABD,必须补充一个条件,请补上这个条件.要求至少写 6 种情况,并给予证明.选做题.整理本节课的研究成果，以有趣的“SSA” 为题目(也可自拟题目),写一篇小论文,一周后交上(可以 2 至 4 人合作).4321ABCDC1B1A1CBAC1B1A1CBAC1B1A1CBA证:作( )( )于 D, ( )( )于 D1, = =90, = =( )=( ), ,( )=( ), ( )=( ), , = , .证:( )=( ),可把A1B1C1移到如图位置,使 B1C1与 BC 重合,A 与 A1分别在 BC 的两侧,连结 ( )=( ), = = , = , ( )=( ),( )=( ), .证: = ,( )=( )可把A1B1C1移到如图位置,使 A1B1与 AB 重合,BAC 与N1A1C1重合.只要证 C 与C1重合.假设 C 与 C1不重合,不妨设 C1在 AC 的延长线上,BC=B1C1 ，C1= BAC90 + + ( )这与三角形内角和等于 矛盾！假设 C 与 C1不重合是错误的， .BA BAABABAB教 学 评 析数学复习课是重要且最难上的一种课型,目前大多是知识点的简单再现和面面俱到地讲解大量的类型题,这种题型复习法走入“对号入座、机械模仿”的误区,造成教师辛苦、学生痛苦、高分低质、厌恶数学等不良后果。谢老师采取“精心设计探究性问题、巧妙引导学生探究”的探究式复习法,打造出优质高效的数学复习课,有效改变了传统题型复习法“只为考试而复习”的教学现状,在实践中取得显著成效.也许有人认为：解决“SSA”这个问题只要直接让学生画图即可得到结论，何必绕一个大圈子？其实，本节课的目的并不是为了解决SSA，而是引导学生运用知识在解决 SSA 的过程中培养能力、提高数学素养。本节课围绕一个主题, 以问题研究和学生活动为中心, 通过:创设思维情境启导学生自然地联想到与之有关的知识, 独立发现解题的思路; 一题多解和一题多变; 师生合作交流; 鼓励学生提问题; 让学生总结和反思, 撰写小论文等把本章的有关知识 (全等三角形、等腰三角形、直角三角形)、思想方法(拼图、反证法、转化、分类讨论、选择与简约) 融入到一个探究性问题的解决过程中, 为学生的发展搭建了一个广阔的舞台, 学生善于发现提出问题, 能突破思维定势, 从不同角度进行大胆探索, 课堂换发生命活力！ 体现学生是学习的主人, 教师是引导者、合作者、激励者的理念。指导教师：张白翎 何锦鸿 张弘全等三角形复习习题课对“S.S.A”的深入探究课堂实录与评析一、教学目的一、教学目的进一步巩固全等三角形、等腰三角形的性质与判定，进一步熟悉尺规作图和反证法在解题中的应用；创设情境，引导学生观察、思考、转化发现解题的思路和方法，提高运用知识解决问题的能力；通过一题多解、一题多变,提高学生思维的严谨性、广阔性和深刻性,让学生体验研究数学的思想方法(分类、转化、选择等),品尝探究发现成功的喜悦,激发研究数学问题的热情,培养良好的学习习惯.二、学情分析二、学情分析优势优势方面方面:所任教的班级学生基础较好,能力较高。在前面的学习中,已经熟悉掌握了等腰三角形、直角三角形、全等三角形、尺规作图、反证法等有关知识,具备一定的发现提出、独立思考及合作研究问题的能力,有合作交流的意识、科学探究的欲望,渴望进行更深一步的探究. 不足方面不足方面:学生的语言表达能力、自主发现提出新问题的能力、思维品质等有待加强培养和提高.三、重点难点：三、重点难点：实验发现、联想构造、把新问题转化为旧问题.四、教学理念四、教学理念数学习题课，不是题型模仿课，而是思维训练课；不是题海战术课，而是应用知识解决问题的探究课！面向全体,巩固所学知识,建立有效的知识系统,形成良好的认知结构,提高发现、提出、分析、综合运用知识解决问题的能力和科学素养,培养交流合作和应用意识、创新精神和实践能力,发展思维能力和个性品质,激发学习兴趣,树立学习自信心,掌握科学的学习方法,养成良好的学习习惯.一堂优质高效的数学复习习题课,既是学生回顾并应用所学知识,又是学生对数学知识认知的深化,更是方法的提炼与总结、数学思想的升华、思维能力的发展、数学素养的提高.五、教学关键五、教学关键: : 创设情景,启发引导.六、教学方法六、教学方法: :“启导探究发现”教学法.七、教学过程七、教学过程: : 提出问题师：探究是数学教学的生命线！学习数学的一个重要目的是学会探索研究，就是要象科学家那样，通过试验、观察、比较、发现、归纳、猜想，然后进行证明.今天我们来共同探究一个有趣的问题：满足“两边和一角分别对应(边角位置均对应)相等”的两个三角形是否全等? 对此问题你们有何想法？设计说明设计说明：对这个问题，学生似乎熟悉但又不太清楚，虽不能立即解决，但符合学生的认知基础(最近发展区)，能激发探究欲望，巩固之前所学知识，培养推理论证能力。理解题意生生 1 1：“两边和一角分别对应相等”没有指出两边和一角的位置关系，可分为：“两边和夹角”即“S.A.S” 、 “两边和其中一边的对角”即“S.S.A”这两种情况。若相等的角为对应相等两边的夹角，根据“S.A.S”可判定这两个三角形全等；若相等的角为对应相等两边其中一边的对角，则这两个三角形不一定全等.师：“不一定全等”是什么意思？ 生生 1 1：有时全等，有时不全等，要看具体情况。设计说明设计说明：题目没有指出两边和一角的位置关系，需分类讨论，利于培养学生思维的严谨性。师：请坐。 “两边和其中一边的对角”分别对应相等的两个三角形即“S.S.A” ，在什么情况下一定全等？什么情况下不一定全等？为什么？怎样研究？解决方法：分类讨论生生 2 2：可按“这个角的大小”进行分类讨论，当这个角为直角时，根据“H.L”知这两个三角形全等，只要研究这个角为钝角和锐角的情况。师：好！下面我们先研究这个角为钝角时是否全等！已知：ABC 和A1B1C1,A=A190,AB=A1B1,BC=B1C1,ABC 与A1B1C1全等吗？屏幕显示启导学生发现解题思路一：把“钝角三角形”转化为“直角三角形”生生 3 3：通过举例:取A=120,AB=5cm,BC=7cm, 画图发现这两个三角形全等！师：画图可帮助我们发现结论,但不能作为证明！怎样证明?(让学生思考 1 分钟后)新问题一般都是转化为与之有关的旧问题来解决,本题 S.S.A 与哪个旧问题(S.A.S、A.S.A、A.A.S、S.S.S、H.L)关系较密切?设计说明设计说明：启导学生发现解题思路与方法,体会解题的基本思想新问题转化为旧问题来解决。生生 4 4：H.L.师：为什么？生生 4 4：因为 H.L 是 S.S.A 的特殊情况！师：那就要把钝角转化为直角，如何转化？ 生生 4 4：作垂线。师：好，请大家试一试，怎样作垂线！谁上来展示？生生 5 5：图 1；师：有不同作法的，请上来！生生 6 6：图 2； 生生 7 7：图 3；师：我们来分析一下他们的作法行不行？(屏幕显示).生生 8 8：作高 AD 和 A1D1虽得到两对直角,但都无法证明它们全等。师：是什么原因？生生 8 8：原来的已知的条件A=A1,BC=B1C1被高 AD 和 A1D1破坏掉，无法使用。师：是的，作辅助线应尽量避免破坏原来的已知条件，否则将会影响解题. 那第二个呢？生生 8 8：同样，已知条件被破坏，不行！师：再看第三个，行吗？ 生生 9 9：比前面两个好,辅助线没有破坏已知条件,但也无法证明全等。师：为什么？生生 9 9：1=2 和相等的边不在同一个三角形中,无法合作。师：怎办？生生 9 9：因为相等的边在左边,所以作左边的高即可(屏幕显示).师：这样，相等的角、相等的边在同一三角形中，可推出ABDA1B1D1, 显然有效！请大家写出证明过程,一个同学上来展示。设计说明设计说明：创设让学生充分展示的舞台，通过引导学生对 3 种方法的比较，体会选择辅助线的原则.师：停下来！大多数同学已经做好，我们来看一下这位同学做的,共 3 次全等，做得很好！还有其他方法吗？启导学生发现解题思路二：重合法、反证法生生 1010：重合法，把两个三角形重叠，看能否完全重合！师：这是最原始的方法, 我们来试一下看能否完全重合。几何画板动画演示发现完全重合! 这样能当作证明吗?生生 1111：不能！满足条件的两个三角形有无数多种，刚才这两个只是其中一种，再说画图、观察都会产生误差，因此不能当作证明，但可帮助我们发现结论:这两个三角形会全等！设计说明设计说明：几何画板动态演示形象直观，再次强调数学的严谨性。师：特殊不能代表一般！画图、观察可帮助我们发现结论，但不能当作证明。那应当怎样证明？会重合又不好证可想到什么方法？(1 分钟后)生生 1212：反证法！假设 BC 与 B1C1不重合，然后推出矛盾！（教师用屏幕显示“正难则反”反证法）师：因为A=A1，所以 A、C、C1三点都在射线 AC 上，但有两种情况：C1在 AC 的延长线上或 C 在AC1的延长线上，这两种完全类似。不妨设 C1在 AC 的延长线上，由 BC=B1C1可得到什么结论？能推出矛盾吗？生生 1313：可得到2=C1A90，则BCC1的内角和180，这与内角和等于 180矛盾！所以假设 C1在 AC 的延长线上是错误的，同理 C 在 AC1的延长线上也是错误的，所以 C 与 C1重合, ABCA1B1C1.D1DACBB1C1A1图 112D1DACBB1C1A1图 212D1DBCAA1C1B1图 312D1DBCAA1C1B1图 41A1B12C1BCA图 5设计说明设计说明：启导学生想到反证法并发现：若 C 与 C1 不重合就会推出矛盾,体会“正难则反”的思想.师：请大家写出解答过程，一个同学上来板演。简评：我们来看一下这位同学做的。不错,用数字表示角，简单明了！启导学生发现解题思路三：构造等腰三角形师：师：还有新的证法吗？本题的题设有两组边相等，线段相等与什么知识有关？生生 1414：除了全等三角形还有等腰三角形。师：但相等的线段不在同一个三角形中, 怎办? 生生 1414：运动,使相等线段的一个端点重合,构造等腰三角形.师：(先图片后几何画板)相等的线段只要有公共端点就可构造出等腰三角形! 比如这样(图 6)行吗? 这样(图 7)呢? 请看屏幕！生生 1515：不行！第一个图形虽然有 2 个等腰三角形，但没有效果，感觉这个图形太复杂！第二个图形结构比第一个好，成轴对称图形，但也难以证明三角形全等，感觉这个图形还是很复杂！师：简约性是数学的重要原则，数学是用最简单的方法来表示一切的，简单利于解决问题！在构造等腰时你认为应怎样使图形更简单？生生 1515：把相等的边 BC 与 B1C1重合，B 与 B1重合教师图片演示后屏幕显示。师：大家看，这个图形简单明了，请大家写出解答过程，1 人板演。设计说明设计说明：先启导学生联想到等腰三角形，再引导学生如何构造等腰三角形，积累活动经验。简评：请大家看黑板，我们来看一下这位同学做的怎样,简单规范，挺好！还有新的想法吗？生生 1616：也可把另一组相等的边 AB 与 A1B1重合构造等腰三角形.师：动手操作, 大家看(图 9), 还有吗？ 生生 1717：构造平行四边形！师：怎么构造？你来试一下！ 生生 1717：上台操作(图 10)。师：不错！还有吗？ 生生 1818：上台操作构造等腰梯形(图 11). 生生 1919：动手操作(图 12).师：很好，有创新，的确是 4 种新的思路！但这 4 种思路能证明ABCA1B1C1吗? 因时间关系, 留给大家课后去思考。设计说明设计说明：让学生充分交流，产生联想，孕育创新。解决第二种情况：这个角为锐角时是否全等？师：最后我们来研究这个角为锐角时是否全等！生生 2020：以前我们已经通过画图发现这两个不全等！师：真的不全等吗? 若不全等, 是什么原因? 我们再来探究一下。请大家用圆规按要求画ABC：使A=30,AB=4, BC 分别等于：=1.5; BC=2; 3; BC=4; BC=5. 一人上来展示.B1B1A1C1A1C1ACBBCA图 6图 7B13142A1BCAC1图 8B1A112B1C1DCAC1BCA1ABC1B1A1C1CABA1BB1AC图 9图 10图 11图 12444 2 , 2 1 , 1 , 31.532C2C1CABBABA师：根据画图，发现什么结论？(学生回答，教师用屏幕显示)生生 2121：当 BC=1.5 时,无交点,三角形不存在；当 BC=2 时 BC 刚好垂直 AC,只有一个交点,三角形只能画出一个,即满足条件的是唯一确定的；当 BC=3 时有 2 个交点,三角形可画出 2 个,即满足条件的三角形不唯一确定；当 BC=4 或 5 时只有一个交点,三角形只能画出一个,即满足条件的三角形是唯一确定的。师：我们可以把刚才的问题一般化(屏幕显示)：ABC，A=90，AB=m，BC=n，B 到 AC 的距离为 h。当 n=h 或 nm 时，三角形只能画出一个(唯一确定)，满足条件的两个三角形一定全等；当 hnm 时，三角形可画出两个(不唯一确定)，满足条件的两个三角形不一定全等！设计说明设计说明：让学生动手画图，通过数值的变化，顺利帮助学生发现规律和结论。总结研究成果师：下面来总结一下今天的研究成果.研究的结论研究的结论: 已知：ABC 和A1B1C1,A=A1=, AB=A1B1=m,BC=B1C1=n,B 到 AC 的距离为 h，ABC 与A1B1C1在什么条件下一定全等，在什么条件下不一定全等！谁来总结一下(学生回答，教师用屏幕显示).生生 2222：若 90,则一定全等；若 90,则当 n=h 或 nm 时一定全等；当 hnm 时不一定全等.师：请大家注意：若 90，则 n 必大于 m，因此不必讨论 是锐角还是钝角！所以，最终的结论是：当 n=h 或 nm 时一定全等；当 hnm 时不一定全等.数学思想、方法和原则数学思想、方法和原则(屏幕显示).转化数学的重要思想：一般特殊,新问题旧问题；分类讨论严谨性，数学的重要方法；选择与简约科学性，数学的重要原则。设计说明设计说明：通过归纳总结，让学生对研究的结论和思想方法都有更清晰的认识，课后作业整理本节课的研究成果，以有趣的“S.S.A” 为题目(也可自拟题目),写一篇小论文,一周后交上(可以 2 至 4 人合作).如图,已知:1=2,为使ABCABD,必须补充一个条件,请补上这个条件.要求写 4 至 6 种不同情况,并给予证明. 设计说明设计说明：作业设计遵循“少而精、开放性、多样性、发展性”原则，让各类学生灵活选择，尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需求，让不同层次的学生都得到应有的发展。八、教学评析数学复习课是重要且最难上的一种课型,目前大多是知识点的简单再现和面面俱到地讲解大量的类型题,这种题型复习法走入“对号入座、机械模仿”的误区,造成教师辛苦、学生痛苦、高分低质、厌恶数学等不良后果。执教者采取“精心设计探究性问题、巧妙引导学生探究”的探究式复习法,打造出优质高效的数学复习课,有效改变了传统题型复习法“只为考试而复习”的教学现状,在实践中取得显著成效.也许有人认为：解决“SSA”这个问题只要直接让学生画图即可得到结论,何必绕一个大圈子？其实,444 1 , 1 1 , 15BAABCC本节课的目的并不是为了解决“SSA”,而是引导学生运用知识在解决 SSA 的过程中培养能力、提高素养。本节课围绕一个主题,以问题研究和学生活动为中心,通过:创设思维情境启导学生自然地联想到与之有关的知识,独立发现解题的思路;一题多解和一题多变;师生合作交流;鼓励学生提问题;让学生总结和反思,撰写小论文等把本章的有关知识(全等三角形、等腰三角形、直角三角形)、思想方法(拼图、反证法、转化、分类讨论、选择与简约)融入到一个探究性问题的解决过程中,为学生的发展搭建了一个广阔的舞台,学生善于发现提出问题,能突破思维定势,从不同角度进行大胆探索,课堂换发生命活力！体现学生是学习的主人,教师是引导者、合作者、激励者的理念。
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