第13章 全等三角形-13.4 尺规作图-经过一已知点作已知直线的垂线-ppt课件-(含教案+素材)-省级公开课-华东师大版八年级上册数学(编号：209ac).zip

过一已知点作已知直线的垂线学案 姓名 一、课前自主探究只用 和无 的直尺(铅笔必备)作出几何图形的方法叫尺规作图。尺规作图的优势和价值: 已知：直线 a 和点 P，求作：过点 P 的 a 的垂线 (用多种方法).二、课堂合作探究练习：已知ABC，过 C 作 BC 的垂线和 AB 边上的高.已知：线段 m、n，求作：RtABC 使 AB=m,AC=n.已知：线段 m，求作：ABC 使 AB=AC,中线 AD=m,BAC=45(2 种方法).BCAmmPPmmn一块直角ABC 塑料板弄碎了, 只剩下如图一小块, 点 C 为直角顶点, EF 为斜边的一部分,已知B=60.你能用尺规作出ABC 吗？总结：解题步骤: 提问题： 三、课外巩固部分课本 P91习题 13.4 第 4 题；补充已知:, 线段 m, 求作: ABC 使C =90,AB=m,A=; AC=m,A=.求作钝角ABC 的垂心(三条高所在直线的交点).已知: 线段 m. 求作: ABC 使 AB=m,A=75,B=45.BCAmmCCEFm过一已知点作已知直线的垂线课堂实录与评析一、教学目的巩固全等三角形、等腰三角形、直角三角形的性质与判定，掌握过一已知点作已知直线的垂线的方法及步骤，进一步感受尺规作图的优势灵活方便、快捷准确；创设情境，引导学生观察发现、操作实验、联想构造，培养学生的作图能力、语言表达能力、逻辑思维和推理能 力，体验研究数学问题的思想方法，品尝探究发现成功的喜悦，通过实际问题的解决激发研究数学问题的热情，培养良好的学习习惯。渗透分类讨论思想，培养思维品质；通过一题多解，提高学生分析解决问题的能力。二、学情分析优势方面:所任教的班级学生基础较好，能力较高。在前面的学习中，已经熟悉掌握了等腰三角形、直角三角形、全等三角形及尺规作图(线段、角、角平分线、平行线等)等有关知识，具备一定的发现提出、独立思考及合作研究问题的能力，有合作交流的意识、科学探究的欲望，渴望进行更深一步的探究。 不足方面:学生的语言表达能力、自主发现提出新问题的能力、思维品质等有待加强培养和提高。三、重点难点：垂线的作法及应用。四、教学理念能力的形成不可能以学习间接知识的方式实现，只有通过对某种活动的直接体验，才能培养相应的能力。数学学习就是在教师的指导下，利用材料，主动地探究发现，而不是消极被动地接受知识，是一个以已有知识和经验为基础的主动建构过程，只有通过自身的操作活动和再现创造性的“做” ，才可能是有效的学习。教师应帮助学生在自主探索和合作交流的过程中理解和掌握基本的数学知识与技能、思想和方法，获得广泛的数学活动经验，学生是学习的主人，教师是“组织者、引导者与合作者” 。五、教学关键: 创设情景，合作激发，启导发现。六、教学方法:“启导探究发现”教学法。七、教学过程: 创设情境，激发兴趣同学们，数学来源于生活，又应用于生活， 数学不但可以解决许多实际问题， 而且还可以创造美！请欣赏一组图片。(PPT 图片展示并播放轻音乐)我们发现，能画出如此优美的图形，圆规的作用功不可没！尺规作图，不但灵活方便、快捷准确，而且在思考过程中还能提高发现、分析、解决问题和思维能力。设计说明：在轻音乐中，让学生欣赏用尺规作出的优美图形，感受尺规作图的神奇，激发学习兴趣。交流研究成果今天我们来共同探究怎样用尺规作垂线的问题。已知：直线 m 和点 P，求作：过点 P 的 m 的垂线。昨天已叫大家去思考，今天我们来交流研究成果，探讨和解决存在的问题。设计说明：这个问题，学生似乎熟悉但又不太清楚，符合学生的认知基础(最近发展区)，能激发探究欲望，巩固之前所学知识，培养思维能力。题目没有指出点和直线的位置关系，需分类讨论，利于培养学生思维的严谨性。生 1：题目没有指出点和直线的位置关系，需分“点 P 在直线 m 上和点 P 在直线 m 外”两种情况：当“点 P 在直线 m 上”时，只要作以 P 为顶点的平角的平分线，所在的直线即为 m 的垂线。(屏幕显示)；当“点 P 在直线 m 外”时，我还没想好。师：叙述准确，不错！还有其他方法吗？生 2：我是画出三边为 3，4，5 的三角形，由勾股定理，可得最大角为 90(屏幕显示)备注：在尺规作图之前，本班已先学完勾股定理及其逆定理。师：此法有新意，你们有何评价？生 3：不是根据“勾股定理” ，而是根据“勾股定理的逆定理”！这种把位置关系转化为数量关系的方法体现形数结合形数结合的思想！但较麻烦。我是根据“等腰三角形三线合一” ，作一个以 P 为底边中点的等腰三角形，再作顶角的平分线，得 m 的垂线(屏幕显示)师：具体说一下你的作法。生 3：以 P 为圆心，以适当长为半径画弧交直线 m 于 A、B；分别以 A、B 为圆心，以大于 PA 的长为半径画弧交于 C；作直线 CP 即为所求作的垂线。师：很好！其实作平角的平分线也是构造以 P 为底边中点的等腰三角形，两种方法一样，请大家动手做一下,一个同学上来展示。师(讲评)：作图要求保留痕迹，写出结论，辅助线可省略。设计说明：让学生交流不同想法,产生联想,孕育创新。启导学生发现解题思路下面我们来研究当“点 P 在直线 m 外”时如何过 P 作 m 的垂线。此问题与哪些知识有关？哪一种适用？(让学生思考 2 分钟)m534BAPmbbaaPABC生 4：与“等腰三角形三线合一”有关。因为 P 点在直线外，所以适用构造“等腰三角形” 。师：有道理，那这个等腰三角形与 P 有何关系？生 4：P 必须在等腰三角形的“三线”上，应以 P 为顶点构造等腰三角形；师：那腰长为多少？底边呢？生 4：要保证底边在直线 m 上！即以 P 为圆心，以适当的长为半径，画弧交 m 于A、B，得等腰PAB，再作APB 的平分线 PQ，直线 PQ 即为过 P 的 m 的垂线。师：“适当长”具体要求是什么？生 4：保证弧和直线 m 交于两点，所以半径应大于 P 到直线的距离！师：好！请大家动手完成，一个同学上来展示。师(评析)：作图的基本要求是：保留痕迹，写出结论。有不同的想法吗？生 5：作顶角平分线可进行简化:以 A、B 为圆心，以 PA 为半径画弧交于 Q。师：你是说这四条线段可以相等(屏幕显示 PA=PB=QA=QB)！生 5：是！师：好！请坐。还有新的方法吗？生 6(先作图后讲解)：以 P 为圆心，画弧交 m 于 A、B，以 P 为圆心，以小于PA 的长为半径画弧交 PA、PB 于 D、E，连结 AE、BD 交于 O，作直线 PO。师：的确是一种新方法，但较复杂！一般应选择第一种方法。下面请一位同学来总结一下作垂线的思路。 生 7：若点 P 在直线上，则构造以 P 为底边中点的等腰三角形；若点 P 在直线外，则构造以 P 为顶点的等腰三角形，再作顶角的平分线。生 8：若点 P 在直线外，也可以说是构造有公共底边的两个等腰三角形！师：有道理！这种说法更直观、简明！其实这条垂线就是有公共底边的两个等腰三角形的公共对称轴！设计说明：教师创设情境，先启导学生联想到等腰三角形，再引导学生如何构造等腰三角形，积累活动经验，并组织学生展开讨论，实现思维交锋，智力杂交，促进学生高效的思维和课堂高质的生成，让学生感受到成功的喜悦。数学思维能力在这一环节得到了有效的提高和发展。巩固应用下面我们通过练习巩固一下作垂线的步骤和应用。请看练习第 1 题。已知：钝角ABC,过 C 作 BC 的垂线和 AB 边上的高.一同学上来展示。师(评析)：过 C 作 BC 的垂线应先延长 BC 再作垂线；钝角三角形的高在三角形外，也应先延长 BA 再作垂线；要特别注意：垂线是直线，而高是线段！下面请思考第 2 题。已知：线段 m、n。求作：RtABC 使 AB=m,AC=n。你们有何想法？生 9：本题没指出哪个角是直角,须分类讨论,因为 nm，所以有两种情况:A=90或B=90,应先作直角再画两边.师：怎样作直角？生 9：画一条直线，在直线上取一点，过这点作直线的垂线。师：好！请大家动手完成，一个同学上来展示。师(评析)：分类讨论是数学的重要方法，解题一定要周密！设计说明：这两题较简单,让学生熟悉作垂线的步骤与方法,渗透分类讨论思想,提高思维品质，培养良好的学习习惯.下面请看第 3 题。已知：线段 m.求作：ABC 使 AB=AC,中线 AD=m,BAC=45.怎样做?生 10：本题作图思路不清，应先画草图进行分析。师：对，请大家画草图分析(教师巡视与学生交流 3 分钟)。请看屏幕，交流你们的想法。生 11：根据等腰三角形底边上的中线 AD 也是底边上的高和顶角平分线,所以1=2=22.5,又 AD=m,可先作出直角ABD.maabbaaQBPAmOEBPADmmn m21DBCA DMBCAmnmn B=90 A=90ACBBCA作垂线作垂线9090作角平分线作角平分线BAC=45BAC=45作作BACBAC 的平分线的平分线 AMAM在在 AMAM 上截取上截取 AD=mAD=m过过 D D 作作 ADAD 的垂线的垂线作作图图步步骤骤师：你是怎样作 22.5角的？ 生 11：先作一个直角再把它四等分。师：好！请坐。有其它方法吗？生 12：先作一个直角,再作其平分线得BAC=45,再作BAC 的平分线 AM,在 AM 上截取 AD=m，过 D 作 AD 的垂线交BAC 两边于 B、C.(屏幕显示解题思路)师：非常好！思路清晰、简洁！请大家做一下，一个同学上来展示。师(评析)：屏幕显示作法和结果。设计说明：此题有一定难度,一方面让学生进一步熟悉尺规作垂线的应用;另一方面培养分析、解决问题的能力和逻辑推理能力,养成良好的解题习惯。下面请思考第 4 题.一块直角ABC 塑料板弄碎了,只剩下如图一小块,已知 C 为直角顶点,线段 EF 为斜边的一部分,B=60.你能用尺规作出ABC 吗？请大家先画草图进行分析。(教师巡视与学生交流 3 分钟)。下面交流解题思路。生 13(先画图再讲解)：题目的条件有C=90,B=60,斜边 AB 在直线 EF 上.应先作B=60,但点 B 未知,画不出,可先在 EF 上任作NMF=60,再把 MN 平移使它过点 C.生 14：为什么不先作C=90呢？生 13：因为C 两边的位置都不确定！师：怎样作NMF=60? 怎样平移？生 13：作一个正三角形使一边在直线 EF 上,过 C 作 CBMN。师：不错,利用平移把角的位置进行转化(屏幕显示)！还有其他方法吗？生 15(先画图再讲解)：根据两直线平行内错角相等,先作直线 CPEF,再画PCB=60交直线 EF 于 B.再过 C 作 CB 的垂线交直线 EF 于 A.师：好！利用平行线把B=60转化到PCB=60。还有更简单的方法吗？刚才两位同学都是利用平行线把角的位置进行转化,在直角三角形中除了平行线还有什么特殊的线可把角转化?生 16：还有垂线！即斜边上的高！(屏幕显示)师：若作高 CD，可发现什么? 生 16：ACD=60，只要作ACD=60即可！师：好！这个思路较简洁，请大家动手完成，一个同学上来展示。设计说明：此问题是笔者独创的，具有:探究性和应用性,让学生有广阔的思维空间,提供一个有利于群体交流的活动环境,使师生思维双向暴露,让学生再次体验研究数学的思想方法，达到举一反三、触类旁通的效果，使学生核心数学素养在探究问题的过程中螺旋式发展；通过解决简单实际问题,让学生感受到数学与生活的联系和应用,提高学习数学的兴趣,增强对数学的情感。下面总结一下作垂线的思路(屏幕显示):当点在直线上时，构造以 P 为底边中点的等腰三角形;当点 P在直线外时，构造有公共底边的两个等腰三角形！你们有什么感受和想法?生 17：尺规作图不但灵活方便、快捷准确，还能提高发现、分析、解决问题的能力和思维能力；解题时应先画草图，进行分析，选择方法，设计步骤，保留痕迹，写出结论。师：很好！还有吗？生 18：用尺规作角相等、角平分线、三角形全等时方便、快捷、准确，但作垂线不如用三角板！请问以后能用三角板作垂线吗？师：应根据题目要求选择用什么工具， 若题目要求用尺规， 就不能用三角板等工具， 若没要求， 就可灵活选择。生 19：用尺规是怎样作出“正 17 边形”的，能作出“任意正多边形”吗？师：请看屏幕，追寻故事，欣赏风采用尺规能作出“任意正多边形”吗？ 。早在古希腊时代，人们就能用尺规作出了正 3、正 4、正 5、正 15 边形以及它们的 2n 倍正多边形，但对正 7、正 9、正 11、正 13、正 17 边形应当如何作图的问题，却长期困扰着数学家们。两千年来，虽有很多数学家在为之不懈努力，却未能得到解决。直到 1796 年，正在大学读书的 19 岁的高斯不但成22n+16060ACEF BMN6060ACEF BP6060DACEF BmCBADFEC功地给出了正 17 边形的尺规作图法，还证明了单用圆规和直尺根本作不出正 7、正 9、正 11、正 14 边形。他深入研究了多边形的规律，得出一个公式：当且仅当其边数是形如 的费尔玛质数时，才能用尺规作图，彻底解决了困扰人们两千多年的几何大难题，震撼了全世界。这位杰出的青年学生，后来成为世界最著名的数学家之一。因为 7、9、11、13 不是费尔玛质数，所以正 7、正 9、正 11、正 13 边形是不可能用尺规作出的，但能作出正 17 边形。17 以后的费尔玛质数是 257 和 65537。后来有人给出了正 257 边形的尺规作图法，长达 80 多页！另一位用尺规作出了正 65537 边形，其手稿有一提箱，现在还保存在哥廷根大学。 生 20：像研究正 17 边形等的尺规作图，要浪费很多时间和精力，有什么价值？师：对尺规作图的研究，一方面锻炼了人的思维，提高探究能力，另一方面推动了科学的发展发现了许多新成果。从历史上看，好些数学结果是为解决三大问题而得出的副产品，特别是开创了对圆锥曲线的研究，发现了一批著名的曲线，不仅如此，三大问题还和近代的方程论、群论等数学分支发生了关系。设计说明：从培养学生创新能力的角度看，提出问题比解决问题更重要。学生能否发现提出高质问题是高效探究的重要特征，是衡量学生是否深度学习的重要标准。学生提出以上问题具有自主性、自然性，说出了自己的“心里话” ，体现学生是学习的主人！教师是“组织者、引导者与合作者” 。课后作业。必做题：课本 P91习题 13.4 第 4 题；补充.已知:, 线段 m, 求作: ABC 使C =90,AB=m,A=; AC=m,A=.求作钝角ABC 的垂心(三条高所在直线的交点).选做题。已知: 线段 m. 求作: ABC 使 AB=m,A=75,B=45.设计说明：作业设计遵循“少而精、开放性、多样性、发展性”原则，让各类学生灵活选择，尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需求，让不同层次的学生都得到应有的发展。八、教学设计说明与反思虽然让学生记住和应用尺规作垂线的方法并不难,但要让学生真正弄清“为什么这样作?还能怎样作？”就不容易！这将严重影响学生学习数学的积极性、形成正确的数学观和数学素养的提高。因此我根据“布鲁纳的认识发现法理论”数学学习是学生在教师的指导下的再创造过程，采用“启导探究发现”教学法，其符合：掌握知识与发展智力相统一、智力因素与非智力因素相统一、教师主导作用与学生主体作用相结合的规律，同时也教给了学生一种科学的学习方法学会自己探索知识、发现思路和方法，逐步掌握自己主动获取知识的本领，符合从“感性到理性”的认识规律。本节课有以下几个特点：重组教材，编印探究性学案。对教材进行剖析，找准探究性思维训练与教材内容之间的结合点，使某些数学思想方法螎入情境之中，将枯燥、抽象的教学内容设计成有趣、诱人且易于接受的探究性问题，使学生在对这些问题的积极思维中去品尝探究的乐趣。精心创设问题情境，为学生提供丰富的感性材料，感受数学与生活的联系，使学生在探究问题的活动中提高分析解决问题的能力；让学生运用有关知识，借助直尺和圆规，在作图的学习活动中不断思考问题，寻找问题解决的方法，这是一个观察、操作、验证的过程，对于学生加深对知识的理解和培养严密的逻辑思维能力大有裨益。创设思维情境，师生合作激发，促进学生自主发现。启导学生联想到学过的有关知识和方法，把新问题转化为旧问题，发现多种作图思路，激发学生高效的思维。知识与策略的共享与相容，会影响群体问题解决的过程，使得对信息的加工更深入，从而使群体的知识表征发生一些结构性的转移，形成了一个新的、更复杂的知识结构，达到讲授或独立学习所达不到的效果。通过一题多解，为学生提供自主探索与创新的空间，引导学生探索问题的解决过程，揭示问题的本质。方法的多样性意味着考虑问题的出发点的不同，所涉及的知识也就不同，方法的不同需要学生自己动手操作，观察发现、大胆猜想、构思出不同于已有解决问题的画法通过对尺规作图问题方法的多样化，可使学生充分联系前后所学知识，并使知识得以“内化” ，理解更全面和深入。尊重学生的话语权，关注他们提出的意料之外的问题，为学生营造一个敢于发表自己见解、勇于创新并欣赏他人的创新性想法的平台，为学生展示创新意识和能力创造机会。BCA渗透数学思想，有助于学生养成严谨的学习习惯，培养严密的逻辑思维能力；重视数学文化(让学生追寻数学故事、欣赏数学美、体验数学应用)，熏陶学生心灵，提高数学素养。总之，本节课科学处理基础与创新、启导与独立、过程与简约的关系。提出的问题具有探究性，教师的引导具有启发性，学生的学习具有自主性，师生的交流具有激发性。关于三等分角的由来众所周知,三等分角是著名的几何作图三大问题之一(另外两个问题是化圆为方,倍立方体)。近两千年来,几十代人为这三大问题绞尽脑汁。希腊人的巧思,阿拉伯人的学识,文艺复兴时期大师们的睿智都曾倾注于此,却均以失败告终。1837 年范兹尔首先证明了三等分角与倍立方体不能有限次使用尺规作出。1895 年克莱因给出三大问题有限次使用尺规作图不可能的简单而清晰的证明。阿基米德在几何学上的造诣是很深的,从他的著作里可以看到他对三等分角问题的研究,他先采用在直尺上标注一个点的方法,然后把一个角三等分。显然,这一方法取消了直尺上无刻度的限制。此外,喜庇亚斯借助于割圆曲线、尼科曼得斯借助于蚌线、巴普士借助于双曲线、帕斯卡借助于蚶线解决了三等分角的问题。但所有这些曲线都不能仅用尺规来完成。综上所述,尺规作图三等分任意角尚无先例。本人自 1971 年参加工作后,任初中数学教师,由于专业的需要、兴趣及其爱好,使我涉猎了大量数学方面的资料和相关知识。下定决心来研究三等分角的问题。36 年来苦心钻研,终于研究出一种尺规作图的方法,并给出了科学、严谨的证明。恳请同行教师予以验证,并提出宝贵经验和意见。(本文所举资料请详见陕西中学数学1991 年第 2 期。)古代三大几何难题：古代三大几何难题：尺规作图三等分角尺规作图三等分角尺规作图三等分角是在公元前五世纪由古希腊人提出来的难题，该命题已经被数学家伽罗瓦用近世代数和群论证明是不可能的。尺规作图三等分角的历史。三等分角大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，它和“立方倍积问题”、“化圆为方问题”一起被称为“古代三大几何难题”。两千多年来，从初学几何的青少年到经验丰富的学者，数以万计的人都曾经研究过“三等分角问题”，希腊数学家阿基米德(Archimedes，前 287-前 212 年)曾用线条作图法宣称解决了“三等分角问题”；帕普斯(Pappus，约公元 300 年)在它有独创性的名著中曾证明用一固定双曲线也能解“三等分角问题”：希腊数学家尼科梅达斯(Nicomedes公元前二世纪)称他的“蚌线法”也可三等分一个角，直至 1837 年，法国数学家旺策尔(Wantzel，pierrela urene，1814-1848)才用代数的方法证明了尺规作图不可能(任意角三等分)，但由于该问题历史长久，流传广泛，仍不断有人为之耗费精力，1936 年 8 月 18 日北京晨报曾经发表一条消息说：郑州铁路站站长汪君，耗费了 14 年的精力，终于解决了“三等分角问题”，并将其尺规作法寄往各国，一时间引起国内外数学界的注意，可是不久，就有许多人陆续来信，指出他的作法是错误的。直到 1966 年以前，中国科学院数学研究所每年都要接到不少研究“三等分角问题”的稿件，后来，研究所只好在国家权威杂志数学通报上发表通告：三等分任意角用尺规作图是不可能的。该命题也已经被数学家伽罗瓦用近世代数和群论证明是不可能的。现在三等分角个人研究的爱好者数量还是不少的，网页上陆陆续续地出现很多我能尺规作图三等分角的观点，一经发表几乎在最短的时间内被评论为是错误的，或者是违背了尺规作图的原理。 尺规作图三等分角也许已经找到解决的办求尺规作图三大不能问题证明.三等分角问题：三等分一个任意角；倍立方问题：作一个立方体,使它的体积是已知立方体的体积的两倍；化圆为方问题：作一个正方形,使它的面积等于已知圆的面积.求这三大不能问题的证明.假设已知立方体的棱长为 a,所求立方体的棱长为 x,按立方倍积的要求应有 x3=2a3 的关系.所以立方倍积实际是求作满足方程 x32a30 的线 段 X,但些方程无有理根,若令 a=1,则要作长度为 2 的立方根的线段,但 2 的立方根超出了有理数加、减、乘、除、开方的运算范围,超出了尺规作图准则中所说的数量范围,所以它是不可能解的问题. 用类似地想法,他证明了三等分角也是不可能解的问题.实际上万芝尔还证明了一个被称为高斯万芝尔定理：如果边数 N 可以写成如下形式 N2tP1P2Pn,其中 P1、P2、Pn 都是各不相同的形如22k1 的素数,则可用尺规等分圆周 N 份,且只有当 N 可以表成这种形式时,才可用尺规等分圆周 N 份.根据这一定理,任意角的三等分就不可能了.华东师大版华东师大版 数学数学 八年级上册八年级上册授课教师简介授课教师简介 致力于致力于数学数学 探究式教探究式教学学及培育及培育数学数学 优生的研究优生的研究，成效卓著：任教班成效卓著：任教班级学级学 生参生参加加数学数学 竞赛竞赛3 30 0多人次获福建赛区多人次获福建赛区一一等奖等奖，获奖等获奖等级级与人与人数数位居全省前茅位居全省前茅，多次多次创造了创造了“山区薄弱校超重点名校、普通实验班超山区薄弱校超重点名校、普通实验班超对对照特快班照特快班”的奇迹的奇迹。 承担省市承担省市级级课题课题8 8个个，1313次荣获全国、省、市优秀成果奖次荣获全国、省、市优秀成果奖，撰写论文撰写论文3 30 0多篇在多篇在省省级级以以上上获奖或发表获奖或发表，其中其中5 5篇全国篇全国一一二三等奖二三等奖，2 20 0多篇省多篇省一一等奖等奖，2 2篇被中国篇被中国人人大大全文转载全文转载，参加业务评比多次获省参加业务评比多次获省一一等奖等奖，连续三次获连续三次获部级优课部级优课。 曾获省特曾获省特级级教教师师、国家、国家级级骨干教骨干教师师、省、省学学科带头人、省优秀教科带头人、省优秀教师师、省优秀教、省优秀教研组长、省研组长、省数学数学 教育奖、市教教育奖、市教学学名名师师、全国教研先进工、全国教研先进工作作者等者等称称号号，2 20 01 18 8年年晋晋升为正高升为正高级级教教师，师， 事迹载入事迹载入中国当代中国当代数学数学 家与家与数学数学 英才英才大大辞典辞典。 一堂优质高效的数学课，既是学生回一堂优质高效的数学课，既是学生回顾并应用所学知识，又是学生对数学知识顾并应用所学知识，又是学生对数学知识认知的深化，更是方法的提炼与总结、数认知的深化，更是方法的提炼与总结、数学思想的升华、思维能力的发展、数学素学思想的升华、思维能力的发展、数学素养的提高。养的提高。教学理念教学理念请欣赏数学探究式示范课请欣赏数学探究式示范课过一已知点作已知直线的垂线过一已知点作已知直线的垂线 欣赏图片欣赏图片感受数学美感受数学美数学的价值数学的价值解解决实际问题决实际问题创造美创造美提高思维能力提高思维能力【读一读】 我们把只能使用我们把只能使用圆规圆规和和没有刻度的直尺没有刻度的直尺这两种工具这两种工具作几何图形的方法称为尺规作图作几何图形的方法称为尺规作图.利用尺规可以作出许多利用尺规可以作出许多优美的图案优美的图案. “数学王子数学王子”高斯，他幼年时就表高斯，他幼年时就表现出超人的数学天才现出超人的数学天才.1795年进入德国年进入德国哥根廷大学学习，第二年就发现正十哥根廷大学学习，第二年就发现正十七边形的尺规作图法，并给出可用尺七边形的尺规作图法，并给出可用尺规作出的正多边形的条件，解决了欧规作出的正多边形的条件，解决了欧几里得以来悬而未决的问题几里得以来悬而未决的问题.正五边形正五边形尺规三等分尺规三等分 169169角角高斯：正十七边形高斯：正十七边形三弧式尺规多等分法三弧式尺规多等分法尺规十一等分尺规十一等分 已知：直线已知：直线m m和点和点P P，求作：过点，求作：过点P P的的m m的垂线的垂线. . 总总 结结点点P在直线上在直线上点点P在直线外在直线外经过经过一一点点作作已知直线的垂线的方法已知直线的垂线的方法尺规作图的优势尺规作图的优势尺规作图灵活方便、快捷准确尺规作图灵活方便、快捷准确解题步骤与注意事项解题步骤与注意事项 先画草图，进行分析，选择方法先画草图，进行分析，选择方法，设计作图步骤，保留作图痕迹，设计作图步骤，保留作图痕迹，写出作图结论写出作图结论. .总总 结结问：用尺规作角相等、角平分线、三角形全等时方问：用尺规作角相等、角平分线、三角形全等时方便、快捷、准确，但作垂线不如用三角板！请问以便、快捷、准确，但作垂线不如用三角板！请问以后能用三角板作垂线吗？后能用三角板作垂线吗？ 答：应根据题目要求选择用什么工具。答：应根据题目要求选择用什么工具。若题目要求用尺规若题目要求用尺规, , 就不能用三角板等工具；就不能用三角板等工具；若没要求若没要求, , 就可灵活选择就可灵活选择. . 早在古希腊时代，人们就能用尺规作出了正早在古希腊时代，人们就能用尺规作出了正3 3、正、正4 4、正、正5 5、正、正1515边形以及边形以及它们的它们的2n2n倍的正多边形，但对正倍的正多边形，但对正7 7、正、正9 9、正、正1111、正、正1313、正、正1717边形应当如何作边形应当如何作图的问题，却长期困扰着数学家们。两千年来，虽有很多数学家在为之不懈图的问题，却长期困扰着数学家们。两千年来，虽有很多数学家在为之不懈努力，却都未能得到解决。直到努力，却都未能得到解决。直到17961796年，正在大学读书的年，正在大学读书的1919岁的高斯不但成岁的高斯不但成功地给出了正功地给出了正1717边形的尺规作图法，还证明了单用圆规和直尺根本作不出正边形的尺规作图法，还证明了单用圆规和直尺根本作不出正7 7、正、正9 9、正、正1111、正、正1414边形。他深入研究了多边形的规律，得出一个公式：当边形。他深入研究了多边形的规律，得出一个公式：当且仅当其边数是形如且仅当其边数是形如 的费尔玛质数时，才能用尺规作图，彻底解决了的费尔玛质数时，才能用尺规作图，彻底解决了困扰人们两千多年的几何大难题，震撼了全世界。这位杰出的青年学生，后困扰人们两千多年的几何大难题，震撼了全世界。这位杰出的青年学生，后来成为世界最著名的数学家之一。来成为世界最著名的数学家之一。 因为因为7 7、9 9、1111、1313不是费尔玛质数，所以正不是费尔玛质数，所以正7 7、正、正9 9、正、正1111、正、正1313边形边形是不可能用尺规作出的，但能作出正是不可能用尺规作出的，但能作出正1717边形，边形，1717以后的费尔玛质数是以后的费尔玛质数是257257和和6553765537。后来有人给出了正。后来有人给出了正257257边形尺规作图法，长达边形尺规作图法，长达8080多页！另一位用尺规多页！另一位用尺规作出了正作出了正6553765537边形，其手稿有一提箱，现在还保存在哥廷根大学。边形，其手稿有一提箱，现在还保存在哥廷根大学。 用尺规能作出用尺规能作出“任意正多边形任意正多边形”吗？吗？ 锻炼了人的思维锻炼了人的思维, ,提高探究能力提高探究能力 推动了科学的发展推动了科学的发展发现了许多新成果发现了许多新成果 从历史从历史上上看看，好些好些数学数学 结果是为结果是为解解决三决三大大问题而得问题而得出出的副产品的副产品，特别是开创了特别是开创了对对圆锥曲圆锥曲线线的研究的研究，发现了发现了一一批著名的批著名的曲线曲线，不仅如此不仅如此，三三大大问题还和近代的问题还和近代的方程论、群论方程论、群论等等数学数学 分分支发生了关系支发生了关系. . 尺规作图的价值尺规作图的价值解题思路解题思路即即 90=1802直角直角 平角的一半平角的一半转化为转化为解题思路解题思路利用勾股数利用勾股数构造三边为构造三边为3 3、4 4、5 5的三角形，的三角形，得最大角为直角得最大角为直角作图基本要求作图基本要求保留作图痕迹，写出作图结论，辅助线应去掉保留作图痕迹，写出作图结论，辅助线应去掉直线直线PCPC即为所求即为所求作作的的m m的垂线的垂线若点若点P P在直线外在直线外思路思路：根据等腰三角形根据等腰三角形“三线合一三线合一”构造以构造以P P为顶点的等腰三角形，再作顶角的平分线为顶点的等腰三角形，再作顶角的平分线PA=PB,PA=PB, QA=QBQA=QBPA=PB=QA=QBPA=PB=QA=QB经过一点作已知直线的垂线的经过一点作已知直线的垂线的思路与方法思路与方法若点若点P P在直线上，在直线上，则构造以则构造以P P为底边中点的等腰为底边中点的等腰；若点若点P P在直线外，在直线外，则构造以则构造以P P为顶点的等腰为顶点的等腰，再作顶角的平分线。再作顶角的平分线。 若点若点P P在直线外，也可以说是构造有公共底边的两个等腰在直线外，也可以说是构造有公共底边的两个等腰这条垂线就是有公共底边不重合的两个等腰这条垂线就是有公共底边不重合的两个等腰的公共对称轴的公共对称轴 新新观观点点直线直线CMCM即为即为BCBC的垂线；的垂线；垂线段垂线段CDCD即为即为ABCABC的高的高已知：线段已知：线段 m m 和和 n n ，求作：求作：RtABCRtABC使使AB=mAB=m，AC=n.AC=n.分类讨论分类讨论数学的重要方法，解题数学的重要方法，解题周密周密已知：线段已知：线段 m m，求作：求作：ABCABC，使，使 BAC=45BAC=45， 中线中线 AD=m.AD=m.先作先作ABDABD作作22.522.5角的方法：把一个直角四等分角的方法：把一个直角四等分作垂线作垂线9090 作角平分线作角平分线BAC=45BAC=45作作BACBAC的平分线的平分线AMAM在在AMAM上截取上截取AD=mAD=m 过过D D作作ADAD的垂线的垂线解题步骤解题步骤草图草图画直线画直线AC,AC, 过过A A作作APACAPAC，作作PACPAC的平分线的平分线AB,AB,作作BACBAC的平分线的平分线AM,AM,在在AMAM上截取上截取AD=mAD=m 过过D D作作ADAD的垂线交的垂线交ABAB、ACAC于于B B、C.C.作法作法PM一块直角一块直角ABCABC塑料板弄碎了塑料板弄碎了, ,只剩下如图一小块只剩下如图一小块,C,C为直角顶点为直角顶点,EF,EF为斜边的一部分为斜边的一部分, ,已知已知B=60.B=60. 你能用尺规作出你能用尺规作出ABCABC吗？吗？问问: :为什么不先作为什么不先作C=90C=90呢呢? ?答答: :因为因为 CC 两边的位置都不确定两边的位置都不确定问问: :怎样平移？怎样平移？答答: :过过 C C 作作 CBCB 平行平行 MNMN思思 考考除了平行线，除了平行线，还有什么特殊的线还有什么特殊的线可把角转化？可把角转化？平行线与垂线平行线与垂线都是重要辅助线都是重要辅助线都可把角转化！都可把角转化！发现：发现：ACD=CBD=60ACD=CBD=60步骤：步骤：作直线作直线EFEF，过过C C作作CDEFCDEF于于D,D,作作ACD=60,ACD=60,过过C C作作CBACCBAC交直线交直线EFEF于于B.B.