二 圆-圆的面积公式推导-教案、教学设计-省级公开课-西南师大版六年级上册数学(配套课件编号：502ac).doc

1、“圆的面积圆的面积”教学设计教学设计教学内容：教学内容：教学目标：教学目标：1.经历操作、观察、讨论和归纳等数学活动的过程，探索并掌握圆的面积公式，能正确计算圆的面积，并能应用公式解决相关的简单的实际问题，构建数学模型。2.进一步体会“转化：化曲为直”的数学思想方法，感悟极限思想的价值，培养运用已有知识解决新问题的能力，发展空间观念。3.进一步体验数学与生活的联系，感受用数学的方式解决实际问题的过程，提高学习数学的兴趣。教学重点和难点教学重点和难点：圆面积的计算公式推导教学准备：教学准备：圆形纸片、剪多媒体课件等教学过程：教学过程：一、提供观察情境，为建立空间观念作铺垫一、提供观察情境，为建立

2、空间观念作铺垫师： （出示动画：一只被绳子拴着的羊在草地上转一圈，如图 1)用数学的眼光观察这个画面，求羊活动的范围有多大，就是求圆的什么？生：圆的面积师：如果这只羊想要扩大它的活动范围，你能帮它想个办法吗？你能帮它想个办法吗？生：可以把绳子拉长。师： （课件演示拉长绳子，羊运动一周成一个新的圆，如图 2)圆的面积变大了，说明圆的面积和什么有关？生：圆的面积和半径有关。师：那圆的面积和半径之间会有怎样的关系呢？让我们带着这个问题开始今天让我们带着这个问题开始今天的探究之旅。的探究之旅。设计意图设计意图：创设羊吃草的情境，揭示圆形区域的大小就是圆的面积，同时还孕育圆的面积取决于绳子的长短，从而使

3、学生自己抽象出“圆面积的大小是由圆的半径决定的” 。二、创设操作情境，建构空间观念二、创设操作情境，建构空间观念1.回顾相关知识，唤起经验，铺垫探究新知之基。师：大家回顾一下，我们学过哪些平面图形的面积？生：我们学过长方形、正方形、三角形、梯形、平行四边形的面积。师：让我们一起来回顾一下是怎样推导出这些图形面积计算公式的。长方形的面积计算公式是用数方格的方法推导出来的， 平行四边形是转化成长方形推导出它的面积计算公式的。用的是割补法三角形和梯形是用两个完全一样的图形拼成一个平行四边形，简称倍拼法倍拼法，走的也是转化之路。设计意图设计意图：用方格度量图形的面积，是基于面积的意义，但用来测量平行四

4、边形等图形的面积时已感受到不精确、 不方便， 因而凸显用转化的方法更为简捷。而圆面积计算公式的推导是小学教材中实现“化曲为直”的唯一题材，在有限的教学时间里如何实现“化曲为直”才是我们应放大的视角。2. 呈现学习困境，引发矛盾，积蓄思维突破能量。师:那你们打算用什么转化方法把圆转化成我们学过的平面图形？生：我觉得应该用转化法，因为如果用数方格的方法，方格会多出来，而且还有一些方格直接露在外面，数出来的面积也不准确。师:如果用倍拼法行吗？（课件依次出示两个圆、三个圆、4 个圆进行倍拼）师：再来看看割补法能行吗？这里有两个同学，他们把圆平均分成了 4 份，然后拼成了如下两个图形：你觉得哪种拼法面积

5、没有改变？（课件呈现）生:左面的正方形不行，这个图形变大了。师：看来转化时不能增加图形的面积，也不能减少图形的面积。观察右边这个图形，它有点像我们学过的什么图形？看有什么不足？生:平行四边形。底边不平，弧线太弯了。师：如果分割的份数多一些，拼出的图形底边会不会变得平直一些？请打开信封袋，让我们拿出纸剪拼一下，看看是不是你们想象的那样。 （同桌合作把圆片分成 8 等份和 16 等份，并进行剪拼。 ）反馈学生的拼法。师：孩子们，让我们一起来观察拼出的图形，(学生分成 8 等份、16 等份后拼成的图形)你发现了什么？生：我觉得它们越来越像平行四边形.3.感悟数学思想，分割转化，实现极限思想飞跃。师：

6、 事实真的如此吗？借助电脑帮忙。 （几何画板演示分成 32 等份、 64 等份)师:观察图形的变化，你发现了什么？生：随着剪的次数增加，剪出的每一份底边变得越来越平直，拼成的图形越来越像平行四边形了。(电脑用几何画板演示继续分割）师：还想分割下去吗?我们请电脑帮忙，观察把圆分成 128 等份后，拼出的图形与分成 8 等份拼成的图形会有什么不同？(几何画板演示把圆分成 128 等份)生：我觉得有点像长方形。师：刚才我们说拼出的图形越来越像平行四边形，现在我们发现再往下分的话，拼出的图形越来越像生：长方形。师：那怎样让它更像长方形呢?生：继续往下分。师：好，咱们继续往下分。让我们闭上眼睛想象一下，

7、如果无限分割这个圆片，最后会拼出一个怎样的图形呢?(几何画板电脑演示把圆分成 256 等份，512 等份，验证学生的想象)师： 孩子们 我们把圆通过无限分割， 居然转化成了一个长方形， 实现了 “化曲为直” 。这个思想，在数学发展史上是有开创性意义的。观察一下，转化后的长方形和原来的圆的面积相等吗?长方形的长相当于圆的什么？长方形的宽相当于圆的什么？同桌交流，把讨论的结果记录在研究单研究单上。小组交流：生：我们通过观察发现长方形的面积等于圆的面积，长方形的长等于圆周长的一半，长方形的宽等于圆的半径。师：那现在能推导出圆的面积公式了吗？试着在你的作业纸上写一写。生：长方形的长相当于圆周长的一半，

8、用 C2=r 表示，宽相当于半径，用 r 表示。长方形的面积=长宽，圆的面积=rr=r2师：(边讲边板书)长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于半径，因为长方形的面积=长宽，所以圆的面积=rr=r2。现在要求圆的面积是不是很简单了？师：那现在要测算一个圆的面积，只要测量圆的什么就可以了？生：半径师：看着这个公式：S=r2，表示什么？r 是什么？r2表示什么意思？随着学生的回答，课件出示下图：师：根据公式 S=r2，谁能说说圆的面积到底是他半径平方（图中正方形面积）的多少倍？师：如果知道正方形的面积是 4 平方厘米，那么圆的面积是多少平方厘米？如果正方形的面积是 5 平方厘米，那圆的面积是多少平

9、方厘米？设计意图设计意图：发挥几何画板参数随机变化的强大功能，演示由圆逐次多分的变化，让学生真切地感受到无限分割后，小扇形的弧线最终变成一条“线段” 。从而联想到圆经过无限分割，化曲为直，转化为长方形，从而发展空间观念。三、回归生活情境，强化空间观念三、回归生活情境，强化空间观念计算羊吃到的草地最大面积。(反馈略)以下各题印在作业纸上。1.小明所在的学习小组把一个圆形纸片剪成 64 等份，然后拼成了一个近似长方形。他们测得长方形的宽是 3 厘米。你能帮他们求出圆的面积是多少平方厘米吗？2.小明所在的学习小组把一个圆形纸片剪成 64 等份，然后拼成了一个平行四边形。他们测得平行四边形的底边长 1

10、8.84 厘米。你能帮他们求出圆的面积是多少平方厘米吗？3.根据下面图形中提供的条件求圆的面积四、引入历史情境，提升空间观念四、引入历史情境，提升空间观念师：回顾一下，这节课你有哪些收获?生：我学会了圆的面积计算公式。生：我知道了圆的面积是半径平方的倍。生：我懂得了圆经过无限分割，最后实现化曲为直，转化为长方形。师：(小结)是呀，重要的不只是会算圆的面积更重要的是通过无限分割，实现化曲为直。这一思想是 17 世纪德国数学家开普勒开创的，下面我们一起来听一听他当初的想法。 （播放微课）开普勒是 17 世纪誉满欧洲的数学家。在他之前，数学家们都是通过从圆内接正多边形人手， 让边数成倍增加 用圆内接

11、正多边形的面积去逼近圆面积， (如图 8)不仅计算复杂，而且所得结果都是近似值。开普勒受切西瓜的启发，把圆分割成很多个小扇形，每个小扇形都可以看成等腰三角形。每个三角形的顶点都是圆心，当分的份数越多，这些小三角形的高都就越接近于圆的半径，所有底边连起来的长度之和就等于圆的周长。当把这些小三角形拼成拼起来就得到一个长方形(如下图所示)， 长方形的面积就是圆的面积。从而得出了圆面积计算公式。其实，在我国古代数学名著九章算术里就有圆面积计算方法的记载： “半周半径相乘得积步” ，意思是说，圆周长的一半乘半径得圆的面积。这种方法与开普勒的算法完全一致，而且比开普勒的发现早了六百多年。设计意图：设计意图

12、：开普勒的故事丰富了问题解决的方法，拓展了学生思维，使学生进一步认识到，通过无限分割，实现化曲为直，是数学发展史上具有伟大意义的创举，是人类对固有认识的一次超越。附：探究单于后面。附：探究单于后面。探究单探究单把一个圆形纸片剪拼成一个近似长方形后，长方形的长相当于圆的什么？长方形的宽相当于圆的什么？因为，长方形的面积=长宽所以，圆的面积=（）（）=（）探究单探究单把一个圆形纸片剪拼成一个近似长方形后，长方形的长相当于圆的什么？长方形的宽相当于圆的什么？因为，长方形的面积=长宽所以， 圆的面积=（）（）=（）作 业 单求出下列各圆的面积1.2、小明所在的学习小组把一个圆形纸片剪成 64 等份，然后拼成了一个近似长方形。他们测得长方形的宽是 3 厘米。你能帮他们求出圆的面积是多少平方厘米吗？3、4、小明所在的学习小组把一个圆形纸片剪成 64 等份，然后拼成了一个平行四边形。他们测得平行四边形的底边长 18.84 厘米。你能帮他们求出圆的面积是多少平方厘米吗？