综合与实践-猜想、证明与拓广-ppt课件-(含教案+视频+素材)-部级公开课-北师大版九年级上册数学(编号：20a19).zip

“综合与实践：猜想、证明与拓广”教学设计一、学情分析一、学情分析学生在经历了证明一证明二以及特殊的四边形的学习后，积累了一定的证明的经验思想和方法，具备了几何证明及探究的能力，在九上的第二章学习了一元二次方程后，会利用根的判别式判断根的情况，并且积累了列一元二次方程解决几何问题的实际经验。二、教材分析二、教材分析猜想、证明与拓广，通过一系列具体的问题逐渐展开，引导学生分类研究，先考察一些简单的，特殊的情形，发现一些规律后再讨论一般情况，在此过程中让学生不断的体会由特殊到一般的探究问题的思想，寻求一般性的解决方法。培养学生直观“判断”和正确“猜想” ，并配合一定的形式说理，在交流个人想法中拓展思维。猜想要“检验是否存在” ，再由“特殊到一般”给出一般性的证明.由“倍增”再到“减半”的“拓广” ，总结获得的数学知识和策略性的经验，发展学生的推理能力和探究能力。教学突出学生自主探索，合作交流，协助学生自行找到解决问题的方法。三、学习目标三、学习目标1、经历猜想、证明、拓广的过程，增强问题意识和自主探索意识，获得探索和发现的体验。2、在探究过程中，感受由特殊到一般、数形结合的思想方法，体会知识之间的内在联系以及证明的必要性。3、在合作交流中，扩展思路，发展推理能力。重点：重点：经历猜想、证明、拓广的“数学化”的过程。难点：难点：在问题解决过程中综合运用所学知识4 4、教学流程：教学流程：五、教学过程五、教学过程教学程序教学设计设计意图正方形是否存在“倍增”正方形正方形不存在“倍增”正方形.相似形是否存在“倍增”图形正方形是否存在“倍增”矩形相似形不存在“倍增”图形.小组讨论：1.一元二次方程；2.分式方程；3.二元一次方程组；4.函数图像解法具体长方形存在“倍增”图形.探究长为 m，宽为 n 的长方形.类似方法任何长方形存在“倍增”图形其他图形（如菱形）是否存在“倍增”问题？长方形是否存在“减半”问题， “三倍”问题？矩形是否存在“倍增”矩形教学程序教学设计设计意图导入导入播放视频：四色猜想看完视频后补充其它数学史上有名的猜想，导入新课内容。通过视频介绍四色猜想，激发学生的学习兴趣，补充数学史上的著名猜想，引发学生的好奇心，自然过渡到新课内容。探究一：探究一：正方形倍正方形倍增问题增问题问题提出：问题提出：任意给定一个正方形，是否存在另任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的知正方形周长和面积的 2 倍？倍？你是怎么做的？都有哪些解决方法？（同桌交流）提出猜想：提出猜想：已知正方形所求正方形所求正方形边长1？周长48（周长固定为 2 倍）？面积1？2（面积固定为 2 倍）我们由一些特例得到一个猜想得到一个猜想：对于一个正方形，不存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的 2 倍。但这一猜想对任意正方形一定成立吗？怎样验证猜想的正确性？（随机提问）引导学生由特殊转入一般，由验证转入证明。抛出问题，引发学生思考，鼓励学生大胆猜想，并尝试用多种方法解决问题，并及时给予点评和鼓励。从特例入手，引导学生大胆提出猜想。教学程序教学设计设计意图已知正方形所求正方形所求正方形边长a？周长4a8a（周长固定为 2 倍）？面积a2？2a2（面积固定为 2 倍）验证猜想：验证猜想：用字母表示边长，得到一般性的结论，或利用相似的知识解释。任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的 2 倍。（1）你能试着总结一下我们刚才解决）你能试着总结一下我们刚才解决问题的过程和方法吗？（随机提问）问题的过程和方法吗？（随机提问）（2）你还能提出哪些新的问题？）你还能提出哪些新的问题？圆、等边三角形、正多边形、等腰三角形、矩形、菱形等倍增问题。追问：有哪些问题是你现在可以解追问：有哪些问题是你现在可以解决的？决的？引导学生由特殊回归一般，感受证明的必要性，得出正确结论。让学生对所学新内容进行及时梳理。刚才研究的是正方形的倍增问题。我们学过的其他图形是否也有这样的性质呢？大胆提出你的猜想？让学生感知到我们不仅解决了问题,而且学会多种方式多种途径思考问题,发散思维。教学程序教学设计设计意图探究二：探究二：矩形倍增矩形倍增问题问题我们不妨先研究矩形的“倍增”问题？问题提出：问题提出：任意给定一个矩形，是否存在另一任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的形周长和面积的 2 2 倍？倍？对于这个问题，你能参照前面的探对于这个问题，你能参照前面的探究方法，说说探究的一般步骤吗？（随究方法，说说探究的一般步骤吗？（随机提问）机提问）矩形的形状太多了，我们不妨先来研究几个特例。小组合作：从所给矩形中三选一进行研小组合作：从所给矩形中三选一进行研究，记录研究过程。究，记录研究过程。给学生充分的自由度，方法自选。合作结束后，小组代表展示。提出猜想：提出猜想：任意给定一个矩形，存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的 2 倍。那么这个结论正确吗？是否具有一般性？验证猜想：验证猜想：对于长和宽分别为 m 和 n 这样一般的矩形，是否仍然存在倍增矩形？我们借助刚才的方法继续完成探究。带领学生共同完成。通过证明，我们得到了一个一般性的结论：任意给定一个矩形，一定存在另一长233宽112 让学生类比正方形倍增问题研究思路，试着说出矩形倍增问题的研究思路。引导学生从特例入手研究问题，教师深入学生中间，适当给予指导。对学生的方法进行总结评价，凸现类比、转化的数学思想方法，以类比引起新的认识冲突，促使学生重新审视，认真探究前面将问题特殊化后，在解决时积累了不少宝贵经验和方法，此时再将一般问题作为研究对象，符合一般认知规律，由于此问题涉及到解含有字母系数的一元二次方程还要讨论是否大于 0 的22mnmn教学程序教学设计设计意图个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的 2 倍。你能再次对我们的研究过程作出总你能再次对我们的研究过程作出总结吗？结吗？问题，对于多数学生来说会产生一定的困难，采用师生共析或告知的方式，使学生理解新内容及时梳理总结提升总结提升通过本节课的学习，你都有哪些收获？学生自己说收获，也是对知识的一种提炼升华。作业布置作业布置本节课我们先后研究了正方形和矩形的倍增问题，你还能再提出哪些问题？这是我们下一节要研究的问题。类比本节课的探究方法，请大家尝试解决矩形减半问题，下节课小组进行展示交流。学生根据结论进一步猜想，提出新的问题；教师引导、鼓励学生生成新的猜想，为下节课的学习埋下伏笔。5、板书设计：板书设计：猜想、证明与拓广猜想、证明与拓广从特殊到一般从特殊到一般类比、转化、数形结合类比、转化、数形结合四色四色猜想猜想数学史上的著名猜想数学史上的著名猜想:四色猜想四色猜想一个已经被证明一个已经被证明的著名猜想的著名猜想哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想一个未被否定或一个未被否定或证明的猜想证明的猜想蜂窝猜想蜂窝猜想费马猜想费马猜想又称又称费马大定理费马大定理或费马问题或费马问题角谷猜想角谷猜想黎曼猜想黎曼猜想综合与实践综合与实践猜想、证明与拓广猜想、证明与拓广北师大版数学教材北师大版数学教材 九年级（上九年级（上） 在问题探索中，为了寻求一般规律，在问题探索中，为了寻求一般规律，往往先考察一些特例，通过对这些特例往往先考察一些特例，通过对这些特例的不完全归纳形成猜想，然后再试图去的不完全归纳形成猜想，然后再试图去证明或否定这种猜想，这是发现数学规证明或否定这种猜想，这是发现数学规律的一种重要手段律的一种重要手段问题问题1 1：任意给定一个：任意给定一个正方形正方形，是，是否存在另一个正方形，它的周长否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和和面积分别是已知正方形周长和面积的面积的2 2倍？你是怎么想的？说出倍？你是怎么想的？说出你的想法？你的想法？周长变大为周长变大为 2 2倍倍面积变大为面积变大为 2 2倍倍猜想、证明与拓广猜想、证明与拓广猜想、证明与拓广猜想、证明与拓广已知正方已知正方形形所求正方所求正方形形所求正方所求正方形形边长边长1 1？周长周长？面积面积？周长变大为周长变大为 2 2倍倍面积变大为面积变大为 2 2倍倍4 41 18 8（周长（周长固定为固定为 2 2倍）倍）24 42 2（面积（面积固定为固定为 2 2倍）倍）大胆说出你的猜想？大胆说出你的猜想？猜想：对于一个猜想：对于一个正方形正方形，不存在，不存在另一个正方形，它的周长和面积另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的分别是已知正方形周长和面积的2 2倍。倍。猜想、证明与拓广猜想、证明与拓广（1 1）这一猜想对任意正方形都成立吗）这一猜想对任意正方形都成立吗？（2 2）怎样验证这一猜想的正确性？）怎样验证这一猜想的正确性？ 特殊特殊一一般般猜想、证明与拓广猜想、证明与拓广已知正方已知正方形形所求正方所求正方形形所求正方所求正方形形边长边长a a？周长周长？面积面积？周长变大为周长变大为 2 2倍倍面积变大为面积变大为 2 2倍倍4 4a aa28 8a a（周长（周长固定为固定为 2 2倍）倍）2a4 4a a2 22 2a a2 2（面（面积固定为积固定为2 2倍）倍）a猜想正确！猜想正确！结论：任意给定一个结论：任意给定一个正方形正方形，不不存在存在另一个正方形，其周长和面另一个正方形，其周长和面积都为已知正方形周长和面积的积都为已知正方形周长和面积的2 2倍倍. .猜想、证明与拓广猜想、证明与拓广（1 1）你能试着总结一下我们刚才解）你能试着总结一下我们刚才解决问题的过程和方法吗？决问题的过程和方法吗？（2 2）你还能提出哪些新的问题？）你还能提出哪些新的问题？问题问题2 2：任意给定一个：任意给定一个矩形矩形，是否，是否存在另一个存在另一个矩形矩形，其周长和面积，其周长和面积都为已知矩形周长和面积的都为已知矩形周长和面积的2 2倍倍？矩形倍增能实现吗？矩形倍增能实现吗？猜想、证明与拓广猜想、证明与拓广周长周长 22面积面积 22 类比类比 前面正方形倍增问题的研究方法，前面正方形倍增问题的研究方法，你能试着说出你的研究思路吗？你能试着说出你的研究思路吗？矩形倍增能实现吗？矩形倍增能实现吗？313221猜想、证明与拓广猜想、证明与拓广小组活动说明小组活动说明 解决问题解决问题：已知矩形的已知矩形的 “ “倍增倍增 ” ”矩形是矩形是否存在？（三选一）否存在？（三选一） 合作方式合作方式：以六人小组为单位进行以六人小组为单位进行, ,组员之间充分交流、协组员之间充分交流、协作；作； 探究过程探究过程：鼓励多样思维鼓励多样思维 , ,不拘一法不拘一法；有明确的探究结论；有明确的探究结论. .解决方案解决方案小组合作小组合作方程方程函数函数转化、数形转化、数形结合的思想结合的思想几何问题几何问题矩形倍增能实现吗？矩形倍增能实现吗？313221猜想、证明与拓广猜想、证明与拓广 猜想猜想 ：给定一个矩形，给定一个矩形，存在存在另一个另一个矩形，其矩形，其周长和面积周长和面积都为已都为已知矩形周长和面积的知矩形周长和面积的2 2倍倍. .mn 当已知矩形的长和宽分别为当已知矩形的长和宽分别为m m和和n n时时, ,是否仍然有相同的结论是否仍然有相同的结论? ?mn猜想、证明与拓广猜想、证明与拓广解：设已知矩形的长为解：设已知矩形的长为mm, ,宽为宽为n,(mn,(mn0),n0),倍增之后的矩形的长为倍增之后的矩形的长为x x, ,则则宽为宽为(2m+2n-x),(2m+2n-x),根据题意，得根据题意，得长长宽宽结论：任意给定一个结论：任意给定一个矩形矩形，一定，一定存在另一个存在另一个矩形矩形，其周长和面积，其周长和面积都为已知矩形周长和面积的都为已知矩形周长和面积的2 2倍倍猜想、证明与拓广猜想、证明与拓广意犹未尽的你意犹未尽的你还能萌发什么还能萌发什么进一步的猜想进一步的猜想 ?猜想、证明与拓广猜想、证明与拓广你收获了什么吗？你收获了什么吗？猜想、证明与拓广猜想、证明与拓广伟大的数学猜想：伟大的数学猜想：数学猜想往往成为数学发展水平的一项重要标志，它的探数学猜想往往成为数学发展水平的一项重要标志，它的探究会带来新的数学内容，也会诱导出一些新的猜想。究会带来新的数学内容，也会诱导出一些新的猜想。例如例如：费马猜想产生了代数数论中的核心概念费马猜想产生了代数数论中的核心概念“理想数理想数”；庞加；庞加莱猜想有助于人们更好地研究三维空间；莱猜想有助于人们更好地研究三维空间；哥德巴赫猜想促哥德巴赫猜想促进了筛法和圆法的发展，尤其是发现了殆素数、例外集合进了筛法和圆法的发展，尤其是发现了殆素数、例外集合、小变量的三素数定理等；、小变量的三素数定理等；四色问题通过电子计算机得以四色问题通过电子计算机得以解决，从而开辟了机器证明的新时代；黎曼假设不仅使素解决，从而开辟了机器证明的新时代；黎曼假设不仅使素数定理得以证明，还使数定理得以证明，还使1000多个数学命题多个数学命题(以黎曼假设成以黎曼假设成立为前提立为前提)得以提出；瑞典著名学者哈拉尔德得以提出；瑞典著名学者哈拉尔德克拉梅尔在克拉梅尔在1936年探究杰波夫猜想时，进一步提出了更为深刻的猜年探究杰波夫猜想时，进一步提出了更为深刻的猜想。从这个意义上讲，想。从这个意义上讲，数学猜想不仅是一颗颗数学猜想不仅是一颗颗“璀璨艳丽璀璨艳丽的宝石的宝石”，而且是一只只，而且是一只只“能生金蛋的母鸡能生金蛋的母鸡”。我们必须知道，我们必将知道。我们必须知道，我们必将知道。( 德德)大卫大卫希尔伯特希尔伯特课堂学习记录单 班级_ 姓名_问题：任意给定一个_形，是否存在另一个_形，它的周长和面积是已知图形周长和面积的_？猜想：任意给定一个矩形，一定存在另一个矩形，它的周长和面积是已知矩形周长和面积的 2 倍。探索过程：（合作完成）结论是：已知矩形所求矩形长宽周长面积验证过程：你有哪些新的猜想？收获与发现：自我评价：