第六章 反比例函数-复习题-教案、教学设计-市级公开课-北师大版九年级上册数学(配套课件编号：d051f).doc

1、1一、给合课标与考纲阐述设置为总复习关键教学点的理由一、给合课标与考纲阐述设置为总复习关键教学点的理由本节课教学的主要内容是探索反比例函数基本图形面积的不变性， 让学生从 “形” 与 “数”两个角度理解反比例函数比例系数 K 的几何意义，其中蕴含了化归与转化、数形结合思想，是培养学生抽象概括能力、推理能力和应用意识的良好载体。所以依托本节专题课的复习，让学生掌握转化的基本技巧， 学会构造法和坐标法两种重要的解题方法， 渗透从特殊到一般、数形结合思想，也为学生自主进行数学探究活动积累经验，体会从感性认识到理性认识，发展理性的数学思考的思维品质，为高中阶段后续学习提供重要的活动经验和策略方法。二、

2、学情分析二、学情分析1、知识基础在本节课的复习前， 学生已经复习了一次函数、 二次函数及反比例函数基础知识的积累，学习了相交线、平行线、三角形、四边形、圆等空间与图形的相关知识，对于简单的反比例函数的图象与性质掌握较好， 但学生对反比例函数 K 的几何意义的理解只停于表面， 不能很好地从“形”与“数”两个角度进一步认识，用函数观点思考问题。2、学习方法学生已经积累了探索函数问题的基本方法，如画函数图象，观察图象归纳函数性质，了解函数变化规律和函数的变化趋势等，积累了基本几何模型的特征、构造及应用，学生喜欢用探究式的学习方式，通过自已的分享来体验知识间的内在联系。3、能力水平学生对于图形的空间想

3、象力相对比较薄弱， 知识整合能力不足， 特别是对复杂图形问题、动点问题、图形变换问题不知所措。本节通过几何画板演示，力求使学生更直观认识反比例函数基本图形面积的不变性。三、复习目标及重、难点分析三、复习目标及重、难点分析（一）复习目标（一）复习目标1经历梳理知识的过程，结合图象理解反比例函数 K 的几何意义。2掌握反比例函数基本图形面积不变性及常见的结论和方法，并会利用这些结论和方法解决复杂图形的面积问题。3经历问题的探究过程，学会从“形”与“数”两个角度思考问题，体会特殊到一般的研究方法，渗透转化、数形结合等思想方法。（二）重点（二）重点（1）借助问题串梳理知识，理解反比例函数 K 的几何意

4、义。2（2）利用反比例函数中的基本图形面积不变性来解决复杂图形的面积问题，归纳总结求复杂图形面积问题的策略与方法。（三）难点（三）难点（1）通过模型变式、典例分析，使学生知识内化、能力得到提升。（2）培养学生的模型意识，并学会用运动变化的观点思考问题，在复杂的问题情境中能将复杂问题转化为基本模型，从而顺利解决问题。四、复习策略四、复习策略根据复习目标、内容，结合学生实际，精心设计问题串与操作活动，引导学生思考，梳理知识；通过基本模型、模型变式、经典例题、变式提升、课堂小结等活动，提炼方法，积累活动经验，体会反比例函数基本图形面积不变性，掌握构造法、坐标法，学会从形与数两个角度思考问题，感悟数学

5、思想。五、教学准备五、教学准备学生：三角尺、导学案教师：PPT 课件、几何画板、微课视频六、教学过程六、教学过程（一）梳理知识（一）梳理知识活动一：从特殊到一般，重构活动一：从特殊到一般，重构 K 的几何意义的几何意义引例：点 P 是反比例函数xky 图象上一点，PAx 轴，PBy 轴，（1）当4OAPBS矩形时，K（2）通过（1）的解决，请填空：OAPBS矩形（用含 K 的代数式表式）问题 1：请你根据题意，画出示意图（注意分类讨论哦）？问题 2：围成的矩形的面积与点 P 的坐标有何关系？分析：设点 P 坐标为（x,y） ，则 PB=|x|，PA=|y|，|xyyxPBPASOAPB矩形3问

6、题 3：反比例函数的比例系数 K 如何确定？分析：从函数表达式上看，反比例函数比例系数xyk ；从函数图象上看，4|kxySOAPB矩形，k4设计意图设计意图本题从特殊到一般地复习反比例函数 K 的几何意义，学生通过动手画图、主动思考，重构反比例函数图象与性质等相关知识，同时，训练学生的画图能力，渗透分类讨论思想。从特殊到一般，师生共同归纳，加深学生对 K 的几何意义的理解，和对基本模型的认识。活动二：呈现基本模型、模型应用活动二：呈现基本模型、模型应用结论：过双曲线xky 上任意一点作 x 轴、y 轴的垂线，所得矩形 OAPB 的面积为|k知识总结：知识总结：1 1从函数表达式上看，反比例函

7、数比例系数从函数表达式上看，反比例函数比例系数 K K 的代数意义：的代数意义：xyk 2 2常用辅助线：过双曲线上的点作两坐标轴的垂线，构造的矩形常用辅助线：过双曲线上的点作两坐标轴的垂线，构造的矩形面积为面积为|k（反比例函数基本图形面积的不变性）（反比例函数基本图形面积的不变性）练习 1：如图，点 A 在双曲线xy1上，点 B 在双曲线xy3上，ABx 轴，C、D 在 x轴上，若四边形 ABCD 为矩形，则ABCDS矩形问题 1：对于“点 A 在双曲线xy1上”这个条件，你有什么想法？分析：点 A 是双曲线上任意一点，学生可能会想到特殊点，采用特殊值法。问题 2：若设点 A 的横坐标为

8、m，则点 A、B 如何表示？线段 AB、BC 如何表示？矩形 ABCD4的面积如何表示？分析：则)1(mmA，、)13(mmB，mBCmmmAB1,23212mmBCABSABCD矩形问题 3：若延长 BA，交 y 轴于点 E，构造出的矩形与 K 有何关系？分析：1ADOES矩形，3BCOES矩形，2OEADOEBCABCDSSS矩形矩形矩形解题策略：解题策略：1 1、涉及的点是任意点，可用特殊值法、涉及的点是任意点，可用特殊值法 2 2、坐标法、坐标法 3 3、构造法、构造法设计意图设计意图在教师问题串的引导下，以题代讲，引导学生从数和形两个角度理解反比例函数 K 的几何意义， 感受反比例函

9、数基本图形面积的不变性， 并由此归纳反比例函数有关面积问题常用的辅助线，提高学生解题能力，渗透数形结合思想。（二）模型变式，变化中的不变量（二）模型变式，变化中的不变量模型变式模型变式 1：kS阴影结合几何画板动态演示：操作 1：如图 1，PA 边不变，让 OB 在 y 轴上移动。问题：如图 1-1，在 OB 的移动过程中，PACB 的面积是否为定值？为什么？分析：由于平行线间的距离处处相等，PA 不变，因此，PACB 的面积为定值，|kS阴影操作 1-1：如图 1，PB 边不变，让 OA 在 x 轴上移动。问题：如图 1-2，在 OA 的移动过程中，PACB 的面积是否为定值？为什么？知识总

10、结：通过等积变形，把矩形转化为平行四边形，面积均为知识总结：通过等积变形，把矩形转化为平行四边形，面积均为| |k k | |练习 2：如图，点 A 在双曲线xy1上，点 B 在双曲线xy2上，ABx 轴，C、D 在 x轴上，若四边形 ABCD 为平行四边形，ABCD 面积为5问题 1：通过刚才的操作活动，对于本题的解决，你有什么想法？分析：学生可能会想到把平行四边形分割出两个平行四边形。问题 2：点 A 在双曲线xy1上，你能过点 A 构造出相应的平行四边形吗？分析： 设 AB 交 y 轴于点 E， 过点 E 作 EFBC， 则BEFC 面积为 2， AEFD 面积为 1， ABCD面积为

11、3。问题 3：结合 K 的几何意义及基本模型，你还可以怎样构造图形？分析：设 AB 交 y 轴于点 E，过点 A 作 AFx 轴，过点 B 作 BGy 轴，则矩形 AEOG 面积为 1，矩形 BEOF 面积为 2，矩形 ABGF 面积为 3，ABCD 面积为 3。问题 4：点 A 在双曲线xy1上，若设点 A 的横坐标为 m，则点 A、B 如何表示？线段 AB如何表示？ABCD 的面积如何表示？分析：则)1(mmA，、)12(mmB，mmmAB3)2(313mmSABCD矩形解题策略：解题策略：1 1、分割为两个平行四边形、分割为两个平行四边形 2 2、改斜归正，转化为矩形、改斜归正，转化为矩

12、形 3 3、坐标法、坐标法设计意图设计意图从几何画板演示到辅助线的添加，学生经历观察、抽象、推理、计算的过程，在逐渐抽象的过程中紧扣反比例函数面积的不变性， 体会变化中的不变量， 体会数学模型是联系数学与实际问题的桥梁， 培养学生的模型意识， 培养学生敏锐的洞察力、 持久的创造力。模型变式模型变式 2：2|kS阴影结合几何画板动态演示：操作 2：如图 2，连接 OP，把矩形 OAPB 分割成两个三角形。问题 1：OAP、OBP 的面积分别是多少？你是如何求的？与同伴交流并大胆分享。分析：1、从图形上看，三角形面积是矩形面积的一半； （从形的角度）2、设点 P 坐标可得三角形面积等于2| k（从

13、数的角度）6操作 2-1：如图 2-1，PA 边不变，让点 O 在 y 轴上移动。问题：在运动过程中，PAC 的面积是否为定值？为什么？操作 2-2：如图 2-2，PB 边不变，让点 O 在 x 轴上移动。问题：在运动过程中，PBC 的面积是否为定值？为什么？知识总结：通过等积变形，发现三角形面积的不变性。知识总结：通过等积变形，发现三角形面积的不变性。练习 3：如图，点 A 在双曲线xy1上，点 B 在双曲线xy3上，ABx 轴，C 在 x 轴上，ABCS问题：根据刚才的操作活动经验，请类比练习 1、2 的解决过程解决本题。预设生成：1、坐标法：设)1(mmA，则)13(mmB，mmmAB2

14、311221mmSABC2、构造法：向坐标轴作垂线，构造三角形。3、特殊值法。练习 4：如图，点 A 是 x 轴正半轴上的一个定点，点 P 是双曲线)0(3xxy上的一个7动点，PBy 轴于点 B，当点 P 的横坐标逐渐增大时，四边形 OAPB 的面积将会（）A逐渐增大B不变C逐渐减小D先增大后减小问题 1：在点 P 运动过程中，哪些点是定点，哪些点是动点？学生：在点 P 运动过程中，点 O、A 是定点，点 B、P 是动点。问题 2：点 P 在双曲线)0(3xxy上，如何过点 P 构造出基本图形？学生：连接 OP,则OBP 为基本图形。问题 3：在点 P 运动过程中，OBP 的面积与OAP 的

15、面积有变化吗？怎样变化？。学生：OBP 的面积不变，OAP 的面积改变，逐渐变小。问题 4：在点 P 运动过程中，四边形 OAPB 的面积如何变化？学生：四边形 OAPB 的面积逐渐变小。设计意图设计意图通过几何画板的演示，对基本模型进行变式，让学生直观感受等积变形，感受反比例函数基本图形面积的不变性；通过模型应用，提高学生对图形的敏感性，发现并快速构造基本模型使问题得以解决，渗透从特殊到一般、转化的数学思想方法，为辅助线的添加提供思路。模型变式模型变式 3：kS阴影结合几何画板动态演示：操作 3：（1）如图 2-3，取点 A 关于原点的对称点 A，则APAS（2）如图 2-4，取点 B 关于

16、原点的对称点 B，则BPBS（3）如图 2-5，取点 P 关于原点的对称点 P，则PPAS（4）如图 2-6，取点 P 关于原点的对称点 P，则PPBS8模型变式模型变式 4：|2 kS阴影结合几何画板动态演示：操作 4：（1）如图 2-7，取点 A 关于原点的对称点 A，取点 P 关于原点的对称点 P，则BPPAS平行四边形（2）如图 2-8，作 PDx 轴、PDy 轴，两垂线交于点 D，则PPDS设计意图设计意图 1、本环节的设计，通过对称变换，揭示反比例函数基本图形的等积变形，让学生直观感受，发展几何直观。2、最特殊的情况往往蕴含着最本质的规律和方法，让学生从图形变换中寻找不变量。3、从

17、形的角度，探究阴影部分面积与 K 关系的三种类型，加深学生对比例系数 K 的几何意义的理解。（三）经典例题、品味经典（三）经典例题、品味经典如图，点 A、B 分别在反比例函数)0(2xxy，)0( xxky图象上，OAOB 若 OB2OA，则 K9问题 1：对于“点 A 在双曲线)0(2xxy上”这个条件，你有什么想法？分析：过点 A 作 x 轴的垂线，构造的 RtAOC 面积为 1。问题 2： “点 B 在双曲线)0( xxky上” ，我们该如何思考？分析：过点 B 作 x 轴的垂线，构造的 RtBOD 面积为2| k。问题 3：所构造的两个直角三角形有何关系？与同伴交流。分析：由 OAOB

18、，联想到三垂直模型，利用三角形相似可得面积关系：相似三角形面积比等于相似比的平方。问题 4： “点 A 在双曲线)0(2xxy上” ，若设点 A 的横坐标为 m，（1）点 A 如何表示？线段 OC、AC 如何表示？分析：可得)2(mmA，（m0） ，OCm，ACm2（2）线段 BD、OD 如何表示？点 B 如何表示？分析：利用三角形相似可得：BD2m，ODm4，结合点 B 的象限，得：)4(mmB，（3）如何求 K 值？分析：44mmk10解题策略：利用面积关系的不变性解题解题策略：利用面积关系的不变性解题解题方法：解题方法：1 1、构造法：构造三垂直模型探究面积的不变关系：、构造法：构造三垂

19、直模型探究面积的不变关系：2 2、坐标法（设元消参、算证结合）、坐标法（设元消参、算证结合）函数题型的常用方法函数题型的常用方法割补法：向坐标轴作垂线，构造矩形、直角三角形或梯形割补法：向坐标轴作垂线，构造矩形、直角三角形或梯形. .设计意图设计意图在学习几何知识时，我们可以通过分离和构造基本图形，将几何“模块”化，由常规辅助线用法及对直角的思考， 学生不难发现三垂直模型， 利用相似三角形的面积关系或线段关系解题，在解题过程中，感受构造法与坐标法，通过解法多样化，培养了学生的空间观念和思维，发展学生的推理能力，渗透转化、数形结合等思想。（四）变式提升、形成能力（四）变式提升、形成能力例 1 变

20、式：如图，等边ABC 的顶点 A、B 分别在反比例函数xy2图象上，AB 经过原点O，且顶点 C 在双曲线xky 上，则 K问题 1：观察图形，与例 1 图形有何相同之处？不同之处？分析： 相同之处为点 A、 C 在不同的双曲线上， 不同之处为少了垂直和 OB2OA 这两个条件，多了等边三角形这个条件。问题 2：对于“等边三角形”这个条件，你有什么想法？分析： 连接 OC， 根据三线合一可得： OCOA； 根据等边三角形高与边长关系可得：33OCOA。问题 3：请你类比例 1，写出解题过程。设计意图设计意图变式的设计是例题的延续，通过图形变式、条件的置换，让学生在解题过程11中理解基本图形面积

21、关系的不变性及构造法、 坐标法在解题中的作用， 感受反比例函数中的基本图形面积不变性在解决复杂图形的面积问题中的作用， 辅助线的添加、 图形的转化是学生的难点，难点的突破使学生的基本技能和解题能力得以提升。（五）课堂小结（五）课堂小结理论依据是根本，基本模型记清楚，解题关键要抓紧，解题策略常归纳，思想方法多感悟。问题清单：（1）今天学习了什么数学模型？它的本质特征是什么？（2）本节课你学会了哪些添加辅助线的方法？（3）在本节课的探索过程中，你学会哪些解题的方法？你的思路是什么？（4）你在学习过程中有哪些新的体验？感受到了哪些数学思想方法？（5）你还有哪些困惑？请在解决问题中总结出来，并与同伴交

22、流提升。七、作业布置七、作业布置作业 1（必做题） ：如图，已知双曲线)0( kxky的一支经过 RtOAB 斜边 OB 的中点 D，与直角边 AB 相交于点 C， OA 在 x 轴上， DEx 轴于点 E， 若OBC 的面积为 3， 则k作业 2（选做题） ：如图，已知矩形 OABC 中，OA2，AB4，双曲线)0(kxky的一支与矩形两边 AB、BC 分别交于点 D、E，若将BDE 沿直线 DE 对折，B 点落在 x 轴上的点 F处，作 DGOC，垂足为 G，求 K 的值。八、检测反馈八、检测反馈（1）如图，点 A 在双曲线xy2上，点 B 在双曲线xy5上，且 ABy 轴，C、D 在 y

23、 轴上，若四边形为平行四边形，则它的面积为（2）如图，点 A、B 分别在反比例函数)0(2xxy，)0( xxky图象上，OAOB若 OAOB，则 K12（3）如图，等腰ABC 的顶点 A、B 分别在反比例函数xy2图象上，AB 经过原点 O，且顶点 C 在双曲线xky 上，若CAB30，则 K（4）如图，平行四边形 AOBC 中，对角线交于点 E，双曲线)0(kxky经过 A、E 两点，若平行四边形 AOBC 的面积为 18，则 K（5）如图，点)(baA，在双曲线)0(8xxy上，ADx 轴，AEy 轴，交双曲线)0( xxky于点 B、C，AC3CD（1）求 K 的值；（2）在点 A 运

24、动过程中，设ABC 面积为 S，则 S 是否变化，若不变，请求出 S 的值；若变化，请写出 S 关于 a 的函数关系式。设计意图设计意图讲练结合，通过题组训练，掌握基本模型，思考解题策略，提高解题能力，培养数学思考能力，培养解决问题的能力，渗透从特殊到一般、转化、数形结合、分类讨论思想，发散思维，加大知识的整合，形成能力，培养数学素养。九、板书设计九、板书设计十、教学反思十、教学反思（一）成功之处（一）成功之处本节课给学生创造了自主探究、合作交流的平台，开发了学生的智力，挖掘了学生的潜能；让学生在现实情境中体验和理解数学，激发学生学习数学的兴趣。在活动中自主探究以及与同伴交流,有条理地进行思考

25、和表达思考的过程，获得分析问题的经验和解决问题的能13力。老师充分做好活动的策划者、引导者的角色.活动中师生互动、生生互动，形成了一个立体信息交流网络。重视数学知识的生活化、应用化。通过对本节学习， 学生对反比例函数面积的不变性有了进一步的认识， 利用呈现基本模型、模型变式（体会变化中的不变量） 、典例分析（一题多解、多解归一；一题多变、拓展思路，提高解题能力） 、变式训练、回顾总结、作业布置等几个环节，把实际问题通过反比例函数模型转化为数学问题加以解决，体现了转化、特殊到一般、一般到特殊、数形结合、分类讨论等数学思想。（二）不足之处（二）不足之处对教材的处理和教学过程中学生的学法一定注意灵活选取， 让不同层次的学生要采用不同的方法，获得不同的数学体验和不同的收获。学生对说理过程的书写不够条理与规范，教师在课下应加强训练指导。（三）再教设计（三）再教设计从学生的实际出发，引导他们学知识、用知识，给学生提供一个展示所学的舞台。培养学生应用数学知识解决实际问题的能力，激发学生持续学习的动力。