第二章 一元二次方程- 5 一元二次方程的根与系数的关系-ppt课件-(含教案+素材)-市级公开课-北师大版九年级上册数学(编号：e01b7).zip

2.52.5 一元二次方程的根与系数的关系（一元二次方程的根与系数的关系（1 1）基础导练基础导练1若x1，x2是一元二次方程x24x30 的两个根，则x1x2的值是() A4 B3 C4 D32如果关于x的一元二次方程x2pxq0 的两根分别为x12，x21，那么p，q的值分别是() A3,2 B3，2 C2，3 D2,33已知一元二次方程的两根之和为 7，两根之积为 12，则这个方程为_能力提升能力提升4已知方程x23xm0 的一个根是 1，则它的另一个根是_，m的值是_5已知x1，x2是方程x23x30 的两根，不解方程可求得xx_.2 12 26.已知1x 、2x是方程2630 xx的两实数根，求2112xxxx的值.中考链接中考链接7.（2014玉林）x1，x2是关于 x 的一元二次方程 x2mx+m2=0 的两个实数根，是否存在实数 m 使+=0 成立？则正确的结论是（）Am=0 时成立 Bm=2 时成立 Cm=0 或 2 时成立 D不存在8 （2016玉林）关于 x 的一元二次方程：x24xm2=0 有两个实数根 x1、x2，则 m2（）=（）A B C4 D49.（2017玉林）已知关于 x 的一元二次方程：x2（t1）x+t2=0阿（1）求证：对于任意实数 t，方程都有实数根；（2）当 t 为何值时，方程的两个根互为相反数？请说明理由近几年玉林中考题 （2014玉林）x1，x2是关于x的一元二次方程x2 mx+m 2=0的两个实数根，是否存在实数m使 + =0成立？ 则正确的结论是（） Am=0时成立 Bm=2时成立 Cm=0或2时成立D不存在 （2016玉林）关于x的一元二次方程：x2 4x m2=0有两个实数根x1、x2， 则m2（ ）=（） A B C4D 4 （2017玉林）已知关于x的一元二次方程：x2 （t 1）x+t 2=0 （1）求证：对于任意实数t，方程都有实数根； （2）当t为何值时，方程的两个根互为相反数？请说明理由【学习目标】【学习目标】1了解一元二次方程的根与系数的关系，能运用它由已知一了解一元二次方程的根与系数的关系，能运用它由已知一元二次方程的一个根求出另一个根及未知系数元二次方程的一个根求出另一个根及未知系数2在不解一元二次方程的情况下，会求直接在不解一元二次方程的情况下，会求直接(或变形后或变形后)含有含有两根与两根积的代数式的值，并从中体会整体代换的思想两根与两根积的代数式的值，并从中体会整体代换的思想【学习重点】【学习重点】一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系【学习难点】【学习难点】让学生从具体方面的根发现一元二次方程根与系数之间的关系让学生从具体方面的根发现一元二次方程根与系数之间的关系1.1.一元二次方程的一般形式是什么？想一想：想一想：方程的两根x x1 1和x x2 2与系数a,b,ca,b,c还有其它关系吗？2.解一元二次方程有哪些解法？3.一元二次方程的求根公式是什么？复习引入复习引入（1）x2-7x+12=0(2)x2+3x-4=0(4) 2x2+3x-2=0解下列方程并完成下列表格：方程两根两根和X1+x2两根积x1x2x1x2x2-7x+12=0 x2+3x-4=03x2-4x+1=02x2+3x-2=0341271-3- 4- 4-1-2（3）3x2-4x+1=01方程两根两根和X1+x2两根积x1x2x1x2x2-7x+12=0 x2+3x-4=03x2-4x+1=02x2+3x-2=0341271-3- 4- 4-1-21 1。观察表格中所得的两根和与两根积与方程的各项系数的关系？你有什么发现？2。所有一元二次方程 都有这样的关系吗？若一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0) 的两根为x1、x2, 则 . . X1+x2=+=-X1x2=证明：证明：设ax2+bx+c=0(a0)的两根为x1、x2,则一元二次方程的根与系数的关系：一元二次方程的根与系数的关系：（韦达定理）（韦达定理）如果方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根是x1 , x2 ,那么x1+x2= , x1x2 = 注：能用公式的前提条件为=b2-4ac0在使用根与系数的关系时，应注意：在使用根与系数的关系时，应注意：不是一般式的要先化成一般式；不是一般式的要先化成一般式；在使用在使用 X1+X2= 时，时， 注意注意 “ ”不要漏写。不要漏写。韦达（韦达（15401603） 韦达是十六世纪韦达是十六世纪法国法国最有影响的数最有影响的数学家之一学家之一, ,被被尊称为尊称为“代数学之父代数学之父”。他他是是第一个引进系统的代数符号，并对方第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进的数学家。程论做了改进的数学家。 韦达韦达15401540年生于法国的普瓦图。年年生于法国的普瓦图。年青时学习法律当过律师，后从事政治活青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。韦达还争中曾为政府破译敌军的密码。韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为关系的结论称为“韦达定理韦达定理”）。）。一元二次方程的根与系数的关系的应用一元二次方程的根与系数的关系的应用例例1 1：利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积. （1）x x2 2 + + 7 7x x + + 6 6 = = 0 0;解： a a = = 1 1 , , b b = = 7 7 , ,c c = = 6 6.x x1 1 + + x x2 2 = = - - =-7=-7 , x x1 1 x x2 2 = = = = 6 6.（2）2 2x x2 2 - - 3 3x x = = 2 2 .a a = = 2 2 , , b b = = -3-3 , , c c = = -2-2.x x1 1 + + x x2 2 = = - - = = , , x x1 1 x x2 2 = = = = -1-1 .解： 2 2x x2 2 - - 3 3x x - - 2 2 = = 0 0变式变式 例例2 2 不解方程，求方程2 2x x2 2+3+3x x-1=0-1=0的两根的平方和、倒数和.解：根据根与系数的关系可知： 总结总结常见的求值常见的求值:归纳归纳 求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.中考链接中考链接 （2014玉林）x1，x2是关于x的一元二次方程x2 mx+m 2=0的两个实数根，是否存在实数m使 + =0成立？ 则正确的结论是（） Am=0时成立 Bm=2时成立 Cm=0或2时成立D不存在 （2016玉林）关于x的一元二次方程：x2 4x m2=0有两个实数根x1、x2， 则m2（ ）=（） A B C4D 4 （2017玉林）已知关于x的一元二次方程：x2 （t 1）x+t 2=0 （1）求证：对于任意实数t，方程都有实数根； （2）当t为何值时，方程的两个根互为相反数？请说明理由根与系数的关系（韦达定理）内容如果一元二次方程 axax2 2+ +bxbx+ +c c=0(=0(a a0)0)的两个根分别是x x1 1、 x x2 2，那么应用课堂小结课堂小结【学习目标】 1了解一元二次方程的根与系数的关系，能运用它由已知一元二次方程的一个根求出另一个根及未知系数2在不解一元二次方程的情况下，会求直接(或变形后)含有两根与两根积的代数式的值，并从中体会整体代换的思想【学习重点】一元二次方程的根与系数的关系【学习难点】让学生从具体方面的根发现一元二次方程根与系数之间的关系一、情景导入生成问题旧知回顾：(1)一元二次方程的一般式：ax2bxc0(a0)(2)一元二次方程的求根公式：x(b24ac0)b b24ac2a近几年中考题引入，强调本节课的重要性，激起学生学习热情近几年中考题引入，强调本节课的重要性，激起学生学习热情二、自学互研二、自学互研生成能力生成能力知识模块一探究一元二次方程根与系数的关系【自主探究】阅读教材 P15P16的部分，完成以下问题：1解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中 x1x2，x1x2的值，它们与前面的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？一元二次方程x1x2x1x2x1x2x26x16082616x22x501616252x23x1011232125x24x1011545152.利用求根公式推导根与系数的关系：ax2bxc0 的两根 x1，x2，b b24ac2ab b24ac2a得：x1x2 ， x1x2 baca【合作探究】3思考：如果把方程 ax2bxc0(a0)的二次项系数化为 1，则方程变形为x2x 0(a0)，(ba)ca则以 x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为 1)是：x2(x1x2)xx1x20(a0)知识模块二利用根与系数的关系求值【自主探究】范例：根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根之和与两根之积(1)x22x10(2)5x56x24.解：x1x2 ，x1x2解：x1x22，x1x215616【合作探究】仿例：求下列方程的两根之和与两根之积(1)2x237x2x(2)2x23x解：x1x2 ，x1x2 解：x1x2 ，x1x20153532变例：三、交流展示生成新知 知识模块一探究一元二次方程根与系数的关系知识模块二利用根与系数的关系求值四、当堂检测达成目标见导学案 2.5 一元二次方程的根与系数的关系