综合与实践-猜想、证明与拓广-ppt课件-(含教案)-市级公开课-北师大版九年级上册数学(编号：35362).zip
知识与能力 探索“任意给定一个正方形、矩形，是否存在另一个正方形、矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的 2 倍”的议题.过程与方法经历猜想、证明、拓广的过程，增强问题意识和自主探索的意识。 在问题解决的过程中综合运用所学知识，体会知识之间的内在联系，形成对数学的整体性认识。 在探究过程中，感受由特殊到一般、形数结合的思想方法，体会证明的必要性。教学目标情感态度与价值观在合作交流中扩展思路，发展学生的推理能力。 积极参与数学活动，积极思考并与同学合作交流.。重点探索倍增正方形和倍增矩形难点启发学生综合运用一元二次方程、方程组、不等式、函数、相似等知识发现具有一般性的结论，寻求一般性的解决方法方法探究、猜想、讨论教具多媒体课件教学过程教师活动学生活动设计意图一、新课引入：世界三大几何难题：1.化圆为方求作一正方形使其面积等于一已知圆？圆与正方形都是常见的几何图形，但如何作一个正方形和已知圆等面积呢？2.三等分任意角。对于某些角如 900、1800 三等分并不难,但是否所有角都可以三等分呢？例如 600,若能三等分则可以做出200 的角,那么正 18 边形及正九边形也都可以做出来了（注：圆内接一正十八边形每一边所对的圆周角为 3600/18=200）。3.倍立方求作一立方体使其体积是一已知立方体的二倍。二、讲授新课：（一）活动探究一：任意给定一个正方形,是否存在另一个正方形,它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的 2 倍?1.教师给出特例表格：已知正方形所求正方形所求正方形边长周长面积2.通过表格得到特殊结论。3.得出猜想：不存在一个正方形它的周长和面积是已知正方形周长和面积的 2 倍。3.同学们分组，用不同方法证明结论，并展示成果。4.鼓励学生大胆猜想、对研究的问题发表见解，进行探索、合作与交流，对学生涌现出多样化的解题思路，及时予以引导、归纳和总结得出结论后鼓励学生合理发散思维，提出新的问题5.鼓励同学们对相应结论进行拓广，如推广到其他图形正三角形、正五边形课后留作思考。（二）活动探究二：任意给定一个矩形,是否存在另一个矩形,它的周长和面积是已知矩形周长和面积的 2 倍?学生观看问题，可以进行适当讨论。学生根据问题进行回答。同学们根据老师布置任务，进行反馈回答。同学们自由发挥，自由畅想可能情况。引发同学们学习兴趣。用示范的例子，引导同学们进行本节学习。发散同学思维，感受本节知识内容。不让同学们思维模式固定，知道学习数学是思维的体验。1.鼓励同学们按照上诉研究方法进行研究，教师和同学一起给出表格：已知矩形所求矩形所求矩形长2宽1周长6面积22. 教师可以进行一些方法的介绍，如：从周长是 12出发,看面积是否是 4;如果设所求矩形的长为 x,那么它宽为 6-x,其面积为 x(6-x).根据题意,得 x(6-x)=4.如果这个方程有解,则说明这样的矩形存在，同学们分组进行探究，得到猜想：存在一个矩形它的周长和面积是已知矩形周长和面积的二倍。3.同学们分组进行猜想的证明.并进行展示。4.教师可以进行一般性证明，如：如果矩形的长和宽分别为 m 和 n,那么其周长和面积分别为 2(m+n)和 mn,所求矩形的周长和面积应分别为 4(m+n)和 2mn.得到方程，进行证明5.鼓励同学们再次充分讨论，得到不同证明方法。6.发散同学思维，进行拓广。（三）本节小结：1. 方程、函数、相似这些都是帮助我们解决问题的好方法，我们要学会综合选择和处理。2.函数来自现实生活,函数是描述现实世界变化规律的重要数学模型.3. 生活中我们能够发现很多问题都能用数学方法或者数学思想来解决，我们经历猜想验证拓广，能够更好地解决问题和体验数学的魅力。同学们根据上面所学，得到学习方法，进行学习。同学们进行充分的讨论、验证。同学进行学习成果展示。同学进行小结。分组学习研究成果，让学生充分参与课堂，体验学习的乐趣。让同学们从单一的知识层面，升华、拓展到让同学们真正感受探索一些问题的方法。回顾全节内容，深思自己所学。板书设计 课题学习：猜想 证明 拓广（一）活动探究一 （二）活动探究二 附录：关于本节课的一些说明猜想、证明与拓广是义务教育课程标准实验教科书数学北师大版九年级（上）“课题学习”的内容，课堂围绕着中心课题图形“倍增” ，通过一系列具体问题逐渐展开，其主要意图是引导学生通过自主探索活动，综合运用已学的知识，体验处理问题的策略和方法，从而使自身解决问题的能力得到提升。主体体现：猜想主体体现：猜想证明证明拓广的思路，在不同层面鼓励同学综合运用多种数学模型解决拓广的思路，在不同层面鼓励同学综合运用多种数学模型解决问题。问题。（1）内容设计方面：补充了“引例问题”和“正方形到矩形的倍增问题” ，使学生的猜想、探索进程更易入手，更加自然；具体倍增问题，使学生不断经历猜想、判断、证实或修正，由特殊到一般地探索与发现的过程，体验以数学的方式来“做数学” ，感悟处理问题的策略和方法；（2）知识储备方面:：以本学期学习的一元二次方程、反比例函数、相似等为基本素材，从学生的认知水平出发，层层设问、留白，引导学生逐步解决一个个看似简单又具有开放性、研究性的问题；（3）课堂组织形式方面：本课题学习是一个开放性、研究性且具有挑战性的课题，为学生提供了一个思考、探究的平台，这样的活动显然不能通过讲解、告知的方法，只能让学生在解决问题的过程中去体验、领悟，获得解决问题的方法和途径，所以我选择了以“自主探索，正方形是否存在“倍增”正方形正方形不存在“倍增”正方形. 相似形是否存在“倍增”图形小组讨论：1.一元二次方程；2.分式方程；3.二元一次方程组；4.函数图像解法教师引导，给出示范多种证明方法.类似方法得出结论其他图形（如菱形）是否存在“倍增”问题？长方形是否存在“减半”问题， “三倍”问题？矩形是否存在“倍增”矩形（由特殊长方形开始）大胆猜想启发诱导，数学证明分组讨论，合理拓广”为主的教学方法为学生提供充分思考和交流的空间，鼓励学生在自主探索和猜测的基础上及时交流自己的想法和做法；（4）学法指导方面：注意问题的连贯性和前后内容的一致性，引导学生猜测、迁移、举一反三、由特殊到一般，启发学生发现更一般性的结论，寻找一般性的解决方法，鼓励主动参与、积极思考、探究方式多样化；（5）评价方面：于问题解决需要综合运用有关知识和方法，教师在教学中应更多地关注学生参与活动的情况，包括是否积极思考，及时总结和主动交流，关注学生活动过程中思考了多少，包括能否发现并提出新的问题，能否从数学的角度考虑问题并尝试从不同角度分析和解决问题，是否善于进行归纳总结，不宜以是否获得最终答案为唯一标准对不同学生有不同要求，让每位学生都获得成功的体验，让同学在战士的过程中更有收获！课题学习：猜想 证明 拓广数学很神奇 世界三大几何难题平面几何作图限制只能用直尺、圆规,而这里所谓的直尺是指没有刻度只能画直线的尺.用直尺与圆规当然可以做出许多种图形,但有些图形如正七边形、正九边形就做不出来.有些问题看起来好像很简单,但真正做出来却很困难,这些问题之中最有名的就是所谓的三大问题. 世界三大几何难题化圆为方化圆为方求作一正方形使其面积等于一已知求作一正方形使其面积等于一已知圆圆圆与正方形都是常见的几何图形，但如何作一个圆与正方形都是常见的几何图形，但如何作一个正方形和已知圆等面积呢？正方形和已知圆等面积呢？若已知圆的半径为若已知圆的半径为1 1则其面积为则其面积为(1)(1)2 2=，所以化所以化圆为方的问题等于去求一正方形其面积为圆为方的问题等于去求一正方形其面积为化圆为方世界三大几何难题 对于某些角如对于某些角如90900 0、1801800 0三等分并不难三等分并不难, ,但是否所但是否所有角都可以三等分呢？例如有角都可以三等分呢？例如60600 0, ,若能三等分则可若能三等分则可以做出以做出20200 0的角的角, ,那么正那么正1818边形及正九边形也都可边形及正九边形也都可以做出来了（注：圆内接一正十八边形每一边所以做出来了（注：圆内接一正十八边形每一边所对的圆周角为对的圆周角为3603600 0/18=20/18=200 0）. . 其实三等分角的问题是由求作正多边形这一类问其实三等分角的问题是由求作正多边形这一类问题所引起来的题所引起来的. . 三等分任意角三等分任意角 世界三大几何难题倍立方倍立方倍立方-求作一立方体使其体积是一已知立求作一立方体使其体积是一已知立方体的二倍方体的二倍 世界三大几何难题世界三大几何难题解答 反馈这这些些问问题题困困扰扰数数学学家家一一千千多多年年都都不不得得其其解解, ,而而实实际际上上这这三三大大问问题题都都不不可可能能用用直直尺尺圆圆规规经经有有限限步步骤骤可可解决的解决的. .16371637年笛卡儿创建解析几何以后年笛卡儿创建解析几何以后, ,许多几何问题都许多几何问题都可以转化为代数问题来研究。可以转化为代数问题来研究。18371837年旺策尔年旺策尔( (WantzelWantzel) )给出三等分任一角及倍立方不可能用给出三等分任一角及倍立方不可能用尺规作图的证明。尺规作图的证明。18821882年林得曼（年林得曼（LindermanLinderman）也证明了也证明了的超越性（即的超越性（即不为任何整数系数多不为任何整数系数多次式的根）次式的根）, ,化圆为方的不可能性也得以确立化圆为方的不可能性也得以确立 . .活动探究一：任意给定一个正方形任意给定一个正方形, ,是否存在另一个正方形是否存在另一个正方形, ,它它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2 2倍倍? ?解解: :设给定的正方形边长设给定的正方形边长为为a,a,则其面积是则其面积是a a2 2. . 若周长倍增若周长倍增, ,即边长变为即边长变为2a,2a,则面积应为则面积应为4a4a2 2; ; 若面积倍增若面积倍增, ,即面积变为即面积变为2a2a2 2, ,则其边长应为则其边长应为 a.a.无论从哪个角度考虑无论从哪个角度考虑, ,都说明不存在这样的正方形都说明不存在这样的正方形aa22a4a22a2a任意给定一个矩形任意给定一个矩形, ,是否存在另一个矩形是否存在另一个矩形, ,它的周它的周长和面积是已知矩形周长和面积的长和面积是已知矩形周长和面积的2 2倍倍? ?探究活动二：由特殊到一般解解: :如果矩形的长和宽分别为如果矩形的长和宽分别为2 2和和1,1,那么其周长和那么其周长和面积分别为面积分别为6 6和和2.2. 所求矩形的周长和面积应分别为所求矩形的周长和面积应分别为1212和和4 4212412 接下来该怎么做接下来该怎么做? ?你有何想法你有何想法? ?由特殊到一般 解解: :如果矩形的长和宽分别为如果矩形的长和宽分别为2 2和和1,1,那么其周长和那么其周长和面积分别为面积分别为6 6和和2.2.212412 有有两种思路可供选择两种思路可供选择: : 先从周长是先从周长是1212出发出发, ,看面积是否是看面积是否是4;4; 或先从面积是或先从面积是4 4出发出发, ,看周长是否是看周长是否是12.12.(1)(1)从周长是从周长是1212出发出发, ,看面积是否是看面积是否是4;4;如果设所求矩形的长为如果设所求矩形的长为x,x,那么它宽为那么它宽为6-x,6-x,其面积其面积为为x(6-x).x(6-x).根据题意根据题意, ,得得 x(6-x)=4.x(6-x)=4.即即 x x2 2-6x+4=0.-6x+4=0.如果这个方程有解如果这个方程有解, ,则说明这样的矩形存在则说明这样的矩形存在解这个方程得解这个方程得: :结论结论: :如果矩形的长和宽分别为如果矩形的长和宽分别为2 2和和1,1,那那么存在另一个矩形么存在另一个矩形, ,它的周长和面积是已它的周长和面积是已知矩形周长和面积的知矩形周长和面积的2 2倍倍. .(2)(2)从面积是从面积是4 4出发出发, ,看周长是否是看周长是否是12.12.解解: :如果设所求矩形的长为如果设所求矩形的长为x,x,那么宽为那么宽为4/x,4/x,其周长其周长为为x+4/x).x+4/x).根据题意根据题意, ,得得 x+4/x=6.x+4/x=6.即即 x x2 2-6x+4=0.-6x+4=0.显然这个方程有解显然这个方程有解, ,由此说明这样的矩形存在由此说明这样的矩形存在. .解这个方程得解这个方程得: :猜想猜想: :如果矩形的长和宽分别为如果矩形的长和宽分别为2 2和和1,1,那那么存在另一个矩形么存在另一个矩形, ,它的周长和面积是已它的周长和面积是已知矩形周长和面积的知矩形周长和面积的2 2倍倍. .如果矩形的长和宽分别为如果矩形的长和宽分别为m m和和n,n,那么其周长和面积那么其周长和面积分别为分别为2(m+n)2(m+n)和和mnmn, ,所求矩形的周长和面积应分所求矩形的周长和面积应分别为别为4(m+n)4(m+n)和和2mn.2mn. 从周长是从周长是4(m+n)4(m+n)出发出发, ,看面积是否是看面积是否是2mn;2mn;解解: :如果设所求矩形的长为如果设所求矩形的长为x,x,那么它宽为那么它宽为2(m+n)-2(m+n)-x,x,其面积为其面积为x2(m+n)-x.x2(m+n)-x. 根据题意根据题意, ,得得x2(m+n)x2(m+n)-x=2mn.-x=2mn. 即即 x x2 2-2(m+n)x+2mn=0.-2(m+n)x+2mn=0.解这个方程得解这个方程得: : 若从面积是若从面积是2mn2mn出发出发, ,可得同样的结论可得同样的结论. .结论结论: :任意给定一个矩形任意给定一个矩形, ,必然存在另一必然存在另一个矩形个矩形, ,它的周长和面积是已知矩形周它的周长和面积是已知矩形周长和面积的长和面积的2 2倍倍. .猜想,证明与拓广猜想,证明与拓广 老师提示老师提示: : 在探索结论在探索结论:“:“任意给定一个矩形任意给定一个矩形, ,必必然存在另一个矩形然存在另一个矩形, ,它的周长和面积是已它的周长和面积是已知矩形周长和面积的知矩形周长和面积的2 2倍倍. .”的过程中的过程中, ,我我们经历了猜想们经历了猜想, ,由特殊到一般的尝试由特殊到一般的尝试, ,证证明明, ,拓广的全过程拓广的全过程, ,从而得到了一般性的从而得到了一般性的结论结论. .结束寄语 生活中我们能够发现很多问题都能用数学方法或者数学思想来解决，我们经历猜想验证拓广，能够更好地解决问题和体验数学的魅力。 方程、函数、相似这些都是帮助我们解决问题的好方法，我们要学会综合选择和处理。 数学是最宝贵的研究精神之一华罗庚.
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知识与能力 探索“任意给定一个正方形、矩形，是否存在另一个正方形、矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的 2 倍”的议题.过程与方法经历猜想、证明、拓广的过程，增强问题意识和自主探索的意识。 在问题解决的过程中综合运用所学知识，体会知识之间的内在联系，形成对数学的整体性认识。 在探究过程中，感受由特殊到一般、形数结合的思想方法，体会证明的必要性。教学目标情感态度与价值观在合作交流中扩展思路，发展学生的推理能力。 积极参与数学活动，积极思考并与同学合作交流.。重点探索倍增正方形和倍增矩形难点启发学生综合运用一元二次方程、方程组、不等式、函数、相似等知识发现具有一般性的结论，寻求一般性的解决方法方法探究、猜想、讨论教具多媒体课件教学过程教师活动学生活动设计意图一、新课引入：世界三大几何难题：1.化圆为方求作一正方形使其面积等于一已知圆？圆与正方形都是常见的几何图形，但如何作一个正方形和已知圆等面积呢？2.三等分任意角。对于某些角如 900、1800 三等分并不难,但是否所有角都可以三等分呢？例如 600,若能三等分则可以做出200 的角,那么正 18 边形及正九边形也都可以做出来了（注：圆内接一正十八边形每一边所对的圆周角为 3600/18=200）。3.倍立方求作一立方体使其体积是一已知立方体的二倍。二、讲授新课：（一）活动探究一：任意给定一个正方形,是否存在另一个正方形,它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的 2 倍?1.教师给出特例表格：已知正方形所求正方形所求正方形边长周长面积2.通过表格得到特殊结论。3.得出猜想：不存在一个正方形它的周长和面积是已知正方形周长和面积的 2 倍。3.同学们分组，用不同方法证明结论，并展示成果。4.鼓励学生大胆猜想、对研究的问题发表见解，进行探索、合作与交流，对学生涌现出多样化的解题思路，及时予以引导、归纳和总结得出结论后鼓励学生合理发散思维，提出新的问题5.鼓励同学们对相应结论进行拓广，如推广到其他图形正三角形、正五边形课后留作思考。（二）活动探究二：任意给定一个矩形,是否存在另一个矩形,它的周长和面积是已知矩形周长和面积的 2 倍?学生观看问题，可以进行适当讨论。学生根据问题进行回答。同学们根据老师布置任务，进行反馈回答。同学们自由发挥，自由畅想可能情况。引发同学们学习兴趣。用示范的例子，引导同学们进行本节学习。发散同学思维，感受本节知识内容。不让同学们思维模式固定，知道学习数学是思维的体验。1.鼓励同学们按照上诉研究方法进行研究，教师和同学一起给出表格：已知矩形所求矩形所求矩形长2宽1周长6面积22. 教师可以进行一些方法的介绍，如：从周长是 12出发,看面积是否是 4;如果设所求矩形的长为 x,那么它宽为 6-x,其面积为 x(6-x).根据题意,得 x(6-x)=4.如果这个方程有解,则说明这样的矩形存在，同学们分组进行探究，得到猜想：存在一个矩形它的周长和面积是已知矩形周长和面积的二倍。3.同学们分组进行猜想的证明.并进行展示。4.教师可以进行一般性证明，如：如果矩形的长和宽分别为 m 和 n,那么其周长和面积分别为 2(m+n)和 mn,所求矩形的周长和面积应分别为 4(m+n)和 2mn.得到方程，进行证明5.鼓励同学们再次充分讨论，得到不同证明方法。6.发散同学思维，进行拓广。（三）本节小结：1. 方程、函数、相似这些都是帮助我们解决问题的好方法，我们要学会综合选择和处理。2.函数来自现实生活,函数是描述现实世界变化规律的重要数学模型.3. 生活中我们能够发现很多问题都能用数学方法或者数学思想来解决，我们经历猜想验证拓广，能够更好地解决问题和体验数学的魅力。同学们根据上面所学，得到学习方法，进行学习。同学们进行充分的讨论、验证。同学进行学习成果展示。同学进行小结。分组学习研究成果，让学生充分参与课堂，体验学习的乐趣。让同学们从单一的知识层面，升华、拓展到让同学们真正感受探索一些问题的方法。回顾全节内容，深思自己所学。板书设计 课题学习：猜想 证明 拓广（一）活动探究一 （二）活动探究二 附录：关于本节课的一些说明猜想、证明与拓广是义务教育课程标准实验教科书数学北师大版九年级（上）“课题学习”的内容，课堂围绕着中心课题图形“倍增” ，通过一系列具体问题逐渐展开，其主要意图是引导学生通过自主探索活动，综合运用已学的知识，体验处理问题的策略和方法，从而使自身解决问题的能力得到提升。主体体现：猜想主体体现：猜想证明证明拓广的思路，在不同层面鼓励同学综合运用多种数学模型解决拓广的思路，在不同层面鼓励同学综合运用多种数学模型解决问题。问题。（1）内容设计方面：补充了“引例问题”和“正方形到矩形的倍增问题” ，使学生的猜想、探索进程更易入手，更加自然；具体倍增问题，使学生不断经历猜想、判断、证实或修正，由特殊到一般地探索与发现的过程，体验以数学的方式来“做数学” ，感悟处理问题的策略和方法；（2）知识储备方面:：以本学期学习的一元二次方程、反比例函数、相似等为基本素材，从学生的认知水平出发，层层设问、留白，引导学生逐步解决一个个看似简单又具有开放性、研究性的问题；（3）课堂组织形式方面：本课题学习是一个开放性、研究性且具有挑战性的课题，为学生提供了一个思考、探究的平台，这样的活动显然不能通过讲解、告知的方法，只能让学生在解决问题的过程中去体验、领悟，获得解决问题的方法和途径，所以我选择了以“自主探索，正方形是否存在“倍增”正方形正方形不存在“倍增”正方形. 相似形是否存在“倍增”图形小组讨论：1.一元二次方程；2.分式方程；3.二元一次方程组；4.函数图像解法教师引导，给出示范多种证明方法.类似方法得出结论其他图形（如菱形）是否存在“倍增”问题？长方形是否存在“减半”问题， “三倍”问题？矩形是否存在“倍增”矩形（由特殊长方形开始）大胆猜想启发诱导，数学证明分组讨论，合理拓广”为主的教学方法为学生提供充分思考和交流的空间，鼓励学生在自主探索和猜测的基础上及时交流自己的想法和做法；（4）学法指导方面：注意问题的连贯性和前后内容的一致性，引导学生猜测、迁移、举一反三、由特殊到一般，启发学生发现更一般性的结论，寻找一般性的解决方法，鼓励主动参与、积极思考、探究方式多样化；（5）评价方面：于问题解决需要综合运用有关知识和方法，教师在教学中应更多地关注学生参与活动的情况，包括是否积极思考，及时总结和主动交流，关注学生活动过程中思考了多少，包括能否发现并提出新的问题，能否从数学的角度考虑问题并尝试从不同角度分析和解决问题，是否善于进行归纳总结，不宜以是否获得最终答案为唯一标准对不同学生有不同要求，让每位学生都获得成功的体验，让同学在战士的过程中更有收获！课题学习：猜想 证明 拓广数学很神奇 世界三大几何难题平面几何作图限制只能用直尺、圆规,而这里所谓的直尺是指没有刻度只能画直线的尺.用直尺与圆规当然可以做出许多种图形,但有些图形如正七边形、正九边形就做不出来.有些问题看起来好像很简单,但真正做出来却很困难,这些问题之中最有名的就是所谓的三大问题. 世界三大几何难题化圆为方化圆为方求作一正方形使其面积等于一已知求作一正方形使其面积等于一已知圆圆圆与正方形都是常见的几何图形，但如何作一个圆与正方形都是常见的几何图形，但如何作一个正方形和已知圆等面积呢？正方形和已知圆等面积呢？若已知圆的半径为若已知圆的半径为1 1则其面积为则其面积为(1)(1)2 2=，所以化所以化圆为方的问题等于去求一正方形其面积为圆为方的问题等于去求一正方形其面积为化圆为方世界三大几何难题 对于某些角如对于某些角如90900 0、1801800 0三等分并不难三等分并不难, ,但是否所但是否所有角都可以三等分呢？例如有角都可以三等分呢？例如60600 0, ,若能三等分则可若能三等分则可以做出以做出20200 0的角的角, ,那么正那么正1818边形及正九边形也都可边形及正九边形也都可以做出来了（注：圆内接一正十八边形每一边所以做出来了（注：圆内接一正十八边形每一边所对的圆周角为对的圆周角为3603600 0/18=20/18=200 0）. . 其实三等分角的问题是由求作正多边形这一类问其实三等分角的问题是由求作正多边形这一类问题所引起来的题所引起来的. . 三等分任意角三等分任意角 世界三大几何难题倍立方倍立方倍立方-求作一立方体使其体积是一已知立求作一立方体使其体积是一已知立方体的二倍方体的二倍 世界三大几何难题世界三大几何难题解答 反馈这这些些问问题题困困扰扰数数学学家家一一千千多多年年都都不不得得其其解解, ,而而实实际际上上这这三三大大问问题题都都不不可可能能用用直直尺尺圆圆规规经经有有限限步步骤骤可可解决的解决的. .16371637年笛卡儿创建解析几何以后年笛卡儿创建解析几何以后, ,许多几何问题都许多几何问题都可以转化为代数问题来研究。可以转化为代数问题来研究。18371837年旺策尔年旺策尔( (WantzelWantzel) )给出三等分任一角及倍立方不可能用给出三等分任一角及倍立方不可能用尺规作图的证明。尺规作图的证明。18821882年林得曼（年林得曼（LindermanLinderman）也证明了也证明了的超越性（即的超越性（即不为任何整数系数多不为任何整数系数多次式的根）次式的根）, ,化圆为方的不可能性也得以确立化圆为方的不可能性也得以确立 . .活动探究一：任意给定一个正方形任意给定一个正方形, ,是否存在另一个正方形是否存在另一个正方形, ,它它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2 2倍倍? ?解解: :设给定的正方形边长设给定的正方形边长为为a,a,则其面积是则其面积是a a2 2. . 若周长倍增若周长倍增, ,即边长变为即边长变为2a,2a,则面积应为则面积应为4a4a2 2; ; 若面积倍增若面积倍增, ,即面积变为即面积变为2a2a2 2, ,则其边长应为则其边长应为 a.a.无论从哪个角度考虑无论从哪个角度考虑, ,都说明不存在这样的正方形都说明不存在这样的正方形aa22a4a22a2a任意给定一个矩形任意给定一个矩形, ,是否存在另一个矩形是否存在另一个矩形, ,它的周它的周长和面积是已知矩形周长和面积的长和面积是已知矩形周长和面积的2 2倍倍? ?探究活动二：由特殊到一般解解: :如果矩形的长和宽分别为如果矩形的长和宽分别为2 2和和1,1,那么其周长和那么其周长和面积分别为面积分别为6 6和和2.2. 所求矩形的周长和面积应分别为所求矩形的周长和面积应分别为1212和和4 4212412 接下来该怎么做接下来该怎么做? ?你有何想法你有何想法? ?由特殊到一般 解解: :如果矩形的长和宽分别为如果矩形的长和宽分别为2 2和和1,1,那么其周长和那么其周长和面积分别为面积分别为6 6和和2.2.212412 有有两种思路可供选择两种思路可供选择: : 先从周长是先从周长是1212出发出发, ,看面积是否是看面积是否是4;4; 或先从面积是或先从面积是4 4出发出发, ,看周长是否是看周长是否是12.12.(1)(1)从周长是从周长是1212出发出发, ,看面积是否是看面积是否是4;4;如果设所求矩形的长为如果设所求矩形的长为x,x,那么它宽为那么它宽为6-x,6-x,其面积其面积为为x(6-x).x(6-x).根据题意根据题意, ,得得 x(6-x)=4.x(6-x)=4.即即 x x2 2-6x+4=0.-6x+4=0.如果这个方程有解如果这个方程有解, ,则说明这样的矩形存在则说明这样的矩形存在解这个方程得解这个方程得: :结论结论: :如果矩形的长和宽分别为如果矩形的长和宽分别为2 2和和1,1,那那么存在另一个矩形么存在另一个矩形, ,它的周长和面积是已它的周长和面积是已知矩形周长和面积的知矩形周长和面积的2 2倍倍. .(2)(2)从面积是从面积是4 4出发出发, ,看周长是否是看周长是否是12.12.解解: :如果设所求矩形的长为如果设所求矩形的长为x,x,那么宽为那么宽为4/x,4/x,其周长其周长为为x+4/x).x+4/x).根据题意根据题意, ,得得 x+4/x=6.x+4/x=6.即即 x x2 2-6x+4=0.-6x+4=0.显然这个方程有解显然这个方程有解, ,由此说明这样的矩形存在由此说明这样的矩形存在. .解这个方程得解这个方程得: :猜想猜想: :如果矩形的长和宽分别为如果矩形的长和宽分别为2 2和和1,1,那那么存在另一个矩形么存在另一个矩形, ,它的周长和面积是已它的周长和面积是已知矩形周长和面积的知矩形周长和面积的2 2倍倍. .如果矩形的长和宽分别为如果矩形的长和宽分别为m m和和n,n,那么其周长和面积那么其周长和面积分别为分别为2(m+n)2(m+n)和和mnmn, ,所求矩形的周长和面积应分所求矩形的周长和面积应分别为别为4(m+n)4(m+n)和和2mn.2mn. 从周长是从周长是4(m+n)4(m+n)出发出发, ,看面积是否是看面积是否是2mn;2mn;解解: :如果设所求矩形的长为如果设所求矩形的长为x,x,那么它宽为那么它宽为2(m+n)-2(m+n)-x,x,其面积为其面积为x2(m+n)-x.x2(m+n)-x. 根据题意根据题意, ,得得x2(m+n)x2(m+n)-x=2mn.-x=2mn. 即即 x x2 2-2(m+n)x+2mn=0.-2(m+n)x+2mn=0.解这个方程得解这个方程得: : 若从面积是若从面积是2mn2mn出发出发, ,可得同样的结论可得同样的结论. .结论结论: :任意给定一个矩形任意给定一个矩形, ,必然存在另一必然存在另一个矩形个矩形, ,它的周长和面积是已知矩形周它的周长和面积是已知矩形周长和面积的长和面积的2 2倍倍. .猜想,证明与拓广猜想,证明与拓广 老师提示老师提示: : 在探索结论在探索结论:“:“任意给定一个矩形任意给定一个矩形, ,必必然存在另一个矩形然存在另一个矩形, ,它的周长和面积是已它的周长和面积是已知矩形周长和面积的知矩形周长和面积的2 2倍倍. .”的过程中的过程中, ,我我们经历了猜想们经历了猜想, ,由特殊到一般的尝试由特殊到一般的尝试, ,证证明明, ,拓广的全过程拓广的全过程, ,从而得到了一般性的从而得到了一般性的结论结论. .结束寄语 生活中我们能够发现很多问题都能用数学方法或者数学思想来解决，我们经历猜想验证拓广，能够更好地解决问题和体验数学的魅力。 方程、函数、相似这些都是帮助我们解决问题的好方法，我们要学会综合选择和处理。 数学是最宝贵的研究精神之一华罗庚.
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