第四章 图形的相似-7 相似三角形的性质-相似三角形的对应线段的关系-ppt课件-(含教案+视频+素材)-部级公开课-北师大版九年级上册数学(编号：704ef).zip

第四章第四章 图形的相似图形的相似7.7.相似三角形的性质（一）相似三角形的性质（一）教学目标是：教学目标是：（一）知识目标：经历探索相似三角形中对应线段比值与相似比的关系的过程，理解相似三角形的性质。利用相似三角形的性质解决一些实际问题.（二）能力目标：培养学生的探索精神和合作意识；通过运用相似三角形的性质，增强学生的应用意识.在探索过程中发展学生类比的数学思想及全面思考的思维品质.（三）情感与价值观目标：在探索过程中发展学生积极的情感、态度、价值观，体现解决问题策略的多样性.教学过程：第一环节：探究相似三角形对应高的比教学过程：第一环节：探究相似三角形对应高的比. .引入语：引入语：在前面我们学习了相似三角形的定义和判定条件，知道相似三角形的对应角相等，对应边成比例。那么，在两个相似三角形中是否只有对应角相等、对应边成比例这个性质呢？本节课我们将研究相似三角形的其他性质.内容：内容：探究活动一：（投影片）在生活中，我们经常利用相似的知识解决建筑类问题.如图，小王依据图纸上的ABC，以 1：2 的比例建造了模型房梁A/B/C/，CD 和 C/D/分别是它们的立柱。（1）试写出ABC 与A/B/C/的对应边之间的关系，对应角之间的关系。（2）ACD 与A/C/D/相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比。（3）如果 CD=1.5cm，那么模型房的房梁立柱有多高？（4）据此，你可以发现相似三角形怎样的性质？生解：（1）= BAABCBBCCAAC21/AA /,BB /,BCAACB （2）ACDACD /,BADCABCD 0/90, CDAADC ACDACD（两个角分别相等的两个三角形相似）/AA = /CAAC/DAAD/DCCD21（3）=，CD=1.5cm C/D/=3cmDCCD21（4）相似三角形对应高的比等于相似比第二环节：类比探究相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比第二环节：类比探究相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比过渡语：过渡语：刚才我们利用相似的判定与基本性质得到了相似三角形中一种特殊线段的关系，即对应高的比等于相似比，相似三角形中除了高是特殊线段，还有哪些特殊线段？它们也具有特殊关系吗？下面让我们一起探究:内容：内容：探究活动二：（投影片）如图：已知ABCABC，相似比为 k，AD 平分BAC，A/D/平分B/A/C/；E、E/分别为 BC、B/C/的中点。试探究 AD 与 A/D/的比值关系，AE 与 A/E/呢？要求：类比探究，小组合作，至少证明其中一个结论.生 1解：ABCABC B=B=k=k/CABBAC /BAABAD 平分BAC，A/D/平分B/A/C/DABBAD BADB/A/D/（两个角分别相等的两个三角形相似）=k /BAAB/DBBD/DAAD生 2解：ABCABC B=B= =k=k /BAAB/CBBCE、E/分别为 BC、B/C/的中点ABCD EA/B/C/D/E/21,21CBEBBCBE =/EBBE/CBBC=k/BAAB/CBBC=k/BAAB/EBBEB=BBAEB/A/E/（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）=k /BAAB/EBBE/EAAE小结：由此可知相似三角形还有以下性质.相似三角形对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比.内容：内容：探究活动三：（投影片）过渡语：过渡语：我们已经得到了相似三角形中特殊线段的关系，如果把角平分线、中线变为对应角的三等分线、四等分线、n 等分线，对应边的三等分线、四等分线、n 等分线，那么它们也具有特殊关系吗？下面请同学们独立探索以下问题：（3）你能得到哪些结论？生 1 （1）解：ABCABC B=B=k=k/CABBAC /BAAB /31,31CABDABBACBAD /DABBAD BADB/A/D/（两个角分别相等的两个三角形相似）=k /BAAB/DBBD/DAAD生 2 （2）解：ABCABC B=B= =k=k /BAAB/CBBC =/31,31CBEBBCBE /EBBE/CBBC=k =k/BAAB/CBBC/BAAB/EBBEB=B BAEB/A/E/（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）= = =k=k /BAAB/EBBE/EAAE生 3 （3）相似三角形对应角的 n 等分线的比和对应边的 n 等分线的比等于相似比.第三环节：学以致用（相似三角形的性质的应用）第三环节：学以致用（相似三角形的性质的应用）练习：课本 95 页随堂练习 2两个相似三角形中一组对应角平分线的长分别是 2cm 和 5cm，求这两个三角形的相似比。在这两个三角形的一组对应中线中，如果较短的中线是 3cm，那么较长的中线多长？生 1解：根据相似三角形对应角平分线、对应中线的比等于相似比可知：相似比为；较长中线的长等于.52cm5 . 7253 目的：目的：要求学生能用相似三角形对应高的比等于相似比的性质来解决生活与生产中的实际问题。增强学生的应用意识。第四环节：课堂小结（初步升华所学内容）第四环节：课堂小结（初步升华所学内容）内容：内容：师生互相交流相似三角形的性质定理及拓展结论，在方法上的收获。目的：目的：本节课主要根据相似三角形的性质和判定推导出了相似三角形的性质：相似三角形的对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比。能够总结出运用类比数学思想方法解决问题。第五环节：布置作业第五环节：布置作业习题 1、2、3、4（再次升华所学内容）数学神童希帕蒂亚的故事数学神童希帕蒂亚的故事希帕蒂亚 （公元约约） , 西罗马帝国时期着名的女数学家、天文学家和哲学家。她全力协助父亲注释了欧几里德的几何原本。后来几何原本成为世界各国中学几何学的教材， 先后出了 多种以上的版本。希帕蒂亚由於为欧氏几何的普及做出了卓越的贡献， 在数学发展史上成为第一位最杰出的女数学家而永载史册。希帕蒂亚生在古埃及的亚历山大城， 她的父亲是托勒密王朝开始设立的文化研究院的院长， 是大数学家和知识渊博的学者。他对女儿天资聪颖又爱动脑子非常喜欢， 想方设法帮助她一步一步踏入知识的王国， 希望她长大以后也能成为一位受人尊敬的学者。 岁的希帕蒂亚已经显露出超人的才华。她用心攻读数学， 对欧几里德的几何原本已经有了初步的了解， 尤其对各种各样的数学应用题最感兴趣。有天清晨， 父女俩照例进行体育锻炼， 在林间草地上呼吸清新的空气。这时一轮红日刚刚从地平线上升起。小希帕蒂亚全身早已热汗淋漓了， 可她还是不肯停止运动。父亲说： “别练了孩子， 你该休息休息了。”女儿说： “好。咱们在草坪上散步吧。”太阳光照射在緑茵上， 花草树叶上的露珠开始消散了， 湿润空气中隐含一种淡淡的馨香。父女俩兴致勃勃地交谈着。父亲说： “你看， 草地上咱们的影子是什么？”女儿说： “一长一短， 一大一小， 一胖一瘦。我看爸爸的影子像一只大黑熊， 我的影子像一只小猴子。”两个人都乐得哈哈笑个不止。父亲说： “小东西， 也亏你想象得出来。”女儿说： “本来就像么。再说它总是影子么。”父亲说： “好吧。我问你， 这地上的影子又是怎样形成的呢？”女儿说： “那还不简单？物体把太阳光挡住了， 不就成了影子？”父亲说： “说得对。过几天我带你去参观有名的古埃及法老齐阿普斯的金字塔。到时候咱们要测量一下金字塔的高度。我要你先想一个最方便的测量方法。行吗？”女儿高兴得跳起来， 说： “太好了。我一定要想出测量的最好办法， 又简单又方便。”父亲上班去了。小希帕蒂亚把自己关在书房里学功课。花园里鸟儿的鸣叫再也惊动不了她， 要是在平时， 她早就跑出去玩了。但是父亲要她先想好测量金字塔的方法， 而她到现在还没想好， 说什么也不能出去玩。她知道父亲的脾气， 要是完不成预先指定的任务， 游金字塔就会落空。希帕蒂亚在桌子上画了许多张金字塔的图形， 聚精会神地思考着计算塔高的方法。父亲告诉过她： 金字塔的底部是一个正方形， 那么底部的边长就是能够用尺子测量出来的了。根据勾股弦定理， 很容易算出金字塔底面 （正方形） 对角线的长度， 如果再根据勾股弦定理演算， 只要知道金字塔一条棱的长度， 便很容易算出金字塔的高度了。小希帕蒂亚高兴极了。她从书桌边一跃而起， 推开房门跑进了花园。她已经找到测量金字塔高度的好办法， 完全可以让父亲满意了。兴奋不已的希帕蒂亚找来一段很长很长的测量绳 （这是父亲经常用的东西） , 打算到游金字塔的那一天， 让父亲拉住测量绳的一头， 站在金字塔塔底， 自己拉住测量绳的另一头， 顺着塔棱一直爬到塔顶。一旦量出棱长， 再用勾股弦公式计算， 金字塔的高度不用费劲便知道了。希帕蒂亚把测量绳放进自己的书桌里， 忽然听到窗扇咣当咣当直响， 原来起风了。风势一阵猛似一阵， 把窗框都震响了。希帕蒂亚嘴里嘟噜着： “真讨厌， 这该死的风。”说着便去关那些敞开着的一扇扇窗子。这时， 一股劲风直扑进来， 把她书桌上画金字塔的图纸全吹落到地上。等窗子都关好了， 她费了好大功夫才把图纸一张张收起来， 重新整理了一遍。突然一种莫名的烦恼攫住了希帕蒂亚。她望着金字塔图又发起呆来。她这是怎么了？她想： 金字塔自己也不止一次地去过， 对它们并不陌生， 这些古代埃及的伟大建筑曾吸引着全世界无数的观光者， 至今魅力不减当年。不过那里距离大海很近， 一年四季差不多都有强劲的海风吹着。自己有一次爬金字塔玩， 刚到一半高度， 头上戴着的美丽的小花帽便被吹掉了。一刮便刮得老远老远， 再也找不到了。为此她还痛惜地哭了一场。这一次去测量齐阿普斯金字塔， 自己得手拉测量绳一直爬到高高的塔顶。那里海风劲头更大更猛， 弄不好自己会被刮进大海里去呢想着想着， 小希帕蒂亚害怕起来了。说不定刚才她想的这种测量金字塔的办法， 父亲是根本不会同意的。希帕蒂亚的猜测并没有错。父亲从研究院回来， 看见女儿坐在那里不高兴， 便问明缘由。他真的不同意极为危险的爬金字塔测量高度的方法。他安慰女儿说： “更简单更方便的方法还有的， 那要看你会不会动脑筋思考了。”这一天， 父亲给希帕蒂亚讲相似三角形相对边成比例的定理后， 留下了 道应用题， 希帕蒂亚一气做完， 天色已经不早了。父亲正在花园修剪花树枝叶， 见女儿走出书房， 便丢下手里的树剪跟她一起散步。这时西下的夕阳把父女二人的身影拉得长长的。父亲突然说：“女儿， 你快看咱俩的影子呀。”希帕蒂亚看到地上两人的影子很快地由一长一短变得重合在一起了。她惊叫起来： “看，西边的太阳正好和咱们两个人的头顶位於一条直线上。”父亲说：“你说得对极了。这时咱们两人的影子长度和两人的身高还成正比例呢。”希帕蒂亚不由得心里一动， 猛的想起刚才做的几何应用题便说： “你站着别动， 我这就来测量。”她刚想跑回书房， 便被父亲的大手拉住了。父亲说： “等你拿测量绳回来， 咱们的影子还能在一条直线上吗？”希帕蒂亚一下明白过来了。她想了想说： “假如我的影子长一米， 你的影子长二米， 那么知道了我的身高， 便可以算出你的身高了。”父亲高兴地说： “对极了， 正好成正比例！ ”希帕蒂亚突然陷入了沉思。片刻之后她兴奋地叫了起来： “爸爸， 我用同样的方法可以计算出齐阿普斯金字塔的高度， 再也不用爬到塔顶了。”父亲假装不明白地说： “女儿， 别忙着高兴。我还不明白你有什么办法呢。”希帕蒂亚说： “等咱们去游齐阿普斯金字塔时， 就在那里一直等到太阳西斜。也就是今天这个时候， 金字塔的塔影和我的影子正好重叠时开始测量， 只要量出我的影子长度和金字塔影子长度， 便行了。”父亲说： “你再说清楚一点儿， 好不好？”希帕蒂亚说： “金字塔塔影长度我能测量出来。它等於我影子头部到金字塔底的距离加上金字塔底边长度的一半。我的影长也很好测量。如果已知我的身高， 那么通过正比例便可以算出金字塔的高度了。你看这个办法行不行？”父亲高兴地说： “我看行， 完全可以。我的聪明孩子， 你终於想出来一种最方便的测量方法了。”希帕蒂亚说： “您同意带我去齐阿普斯金字塔了？”她一边说着， 一边伸出了右手。父亲的大手紧紧握住女儿的小手说： “一言为定。”第四章 图形的相似第7节 相似三角形的性质（一）吉安四中 杨文婷同学们:还记得相似三角形的定义和判定条件吗?还记得相似多边形的对应边、对应角有什么关系吗？相似三角形的对应边成比例、对应角相等。 回顾与反思在两个相似三角形中是否只有对应角相等、对应边成比例这个性质呢？本节课我们将研究相似三角形的其他性质. 在生活中，我们经常利用相似的知识解决建筑类问题.如图，小王依据图纸上的ABC，以1：2的比例建造了模型房梁ABC，CD和CD分别是它们的立柱。探究活动一：探究相似三角形对应高的比.(1)试写出ABC与ABC的对应边之间的关系，对应角之间的关系。(2)ACD与ACD相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比。(3)如果CD=1.5cm，那么模型房的房梁立柱有多高？(4)据此，你可以发现相似三角形怎样的性质？如图：已知ABCABC，相似比为k，AD平分BAC，AD平分BAC；E、E分别为BC、BC的中点。试探究AD与 AD的比值关系，AE与AE呢？ 探究活动二：类比探究相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比 相似三角形性质定理： 相似三角形对应高的比,对应角平分线的比,对应中线的比都等于相似比。ABCABC变式拓展探究： 如果把角平分线、中线变为对应角的三等分线、四等分线、n等分线，对应边的三等分线、四等分线、n等分线，那么它们也具有特殊关系吗？ 探究活动二：类比探究相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比 （3）你能得到哪些结论？ 相似三角形对应角的n等分线的比,对应边的n等分线的比都等于相似比。学以致用ABCSREPDQ解：（1）四边形PQRS是正方形 RSBC ASR=B，ARS=C ASRABC.(两角分别相等的两个三角形相似)ABCSREPDQ（2） ASRABC. 设正方形PQRS的边长为xcm, 则AE=(40-x)cm,解得,x=24.所以正方形PQRS的边长为24cm.(相似三角形对应高的比等于相似比)ABCSREPDQ当堂练习1、两个相似三角形中一组对应角平分线的长分别是2cm和5cm，求这两个三角形的相似比。在这两个三角形的一组对应中线中，如果较短的中线是3cm，那么较长的中线多长？2、如图，有一块三角形铁片ABC，BC=12cm，高AM=10cm，把它加工成一块矩形铁片，使矩形的长边在BC上，其余两个顶点分别在AB,AC上，且要求矩形的长是宽的2倍，求加工成的矩形铁皮的面积。 同学们：经历了这节课的探索学习，你在知识上和方法上有什么收获呢？请说说看。相似三角形的性质: 相似三角形对应高的比,对应角平分线的比,对应中线的比都等于相似比。 课堂小结同步练习五：布置作业 只要你能勇敢地不断地攀登，你就能更接近于知识的顶峰,祝愿善于探索、善于发现的你早日到达顶峰！结束寄语