第四章 图形的相似-7 相似三角形的性质-相似三角形的对应线段的关系-ppt课件-(含教案)-市级公开课-北师大版九年级上册数学(编号：30673).zip

47相似三角形的性质相似三角形的性质第第 1 课时课时相似三角形的性质相似三角形的性质 【知识与技能】1经历探索相似三角形中对应线段比值与相似比的关系的过程，理解相似三角形的性质2利用相似三角形的性质解决一些实际问题【过程与方法】对性质定理的探究：学生经历观察猜想论证归纳的过程，培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨的学习态度【情感态度】在学习和探讨的过程中，体验从特殊到一般的认知规律【教学重点】掌握相似三角形中对应线段比值与相似比的关系，理解相似三角形的性质 【教学难点】利用相似三角形的性质解决一些实际问题一、创设情境，导入新课在前面我们学习了相似三角形的定义和判定条件，知道相似三角形的对应角相等，对应边成比例那么，在两个相似三角形中是否只有对应角相等、对应边成比例这个性质呢？本节课我们将研究相似三角形的其他性质二、合作交流，探究新知内容：探究活动一：(投影片)在生活中，我们经常利用相似的知识解决建筑类问题如图，小王依据图纸上的ABC，以 12 的比例建造了模型房梁ABC，CD和CD分别是它们的立柱(1)试写出ABC与ABC的对应边之间的关系，对应角之间的关系(2)ACD与ACD相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比(3)如果CD1.5 cm，那么模型房的房梁立柱有多高？(4)据此，你可以发现相似三角形怎样的性质？生：解：(1) .ABABBCBCACAC12AA，BB，ACBACB.(2)ACDACD.CDAB，CDAB，ADCADC90.AA，ACDACD(两个角分别相等的两个三角形相似) .ACACADADCDCD12(3) ，CD1.5 cm，CDCD12CD3 cm.(4)相似三角形对应高的比等于相似比【教学说明】通过学生熟悉的建筑模型房入手，激发学生学习兴趣，层层设问，引发学生思维层层递进，从相似三角形的最基本性质展开研究使学生明确相似比与对应高的比的关系探究活动二：(投影片)如图：已知ABCABC，相似比为k，AD平分BAC，AD平分BAC；E、E分别为BC、BC的中点试探究AD与 AD的比值关系，AE与AE呢？要求：类比探究，小组合作，至少证明其中一个结论生 1：解：ABCABC，BACBAC， BB，k.ABABAD平分BAC，AD平分BAC，BADBAD.BADBAD(两个角分别相等的两个三角形相似)k. ABABBDBDADAD生 2：解：ABCABC，BB，k. ABABBCBCE、E分别为BC、BC的中点，BEBC，BEBC.1212BEBEBCBCk，k.ABABBCBCABABBEBEBB，BAEBAE(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似)k.ABABBEBEAEAE小结：由此可知相似三角形还有以下性质相似三角形对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比【教学说明】通过学生小组合作探究，类比前面探究过程，引发学生主动探究意识、培养合作交流能力，发展学生的类比的思维能力与归纳总结能力探究活动三：(投影片)如图，已知ABCABC，ABC与ABC的相似比为k.(1)若BAD BAC，BAD BAC，则等于多少？1313ADAD(2)若BEBC，BEBC，则等于多少？1313AEAE(3)你能得到哪些结论？生 1：(1)解：ABCABC，BACBAC，BB，k.ABABBAD BAC，BAD BAC，1313BADBAD.BADBAD(两个角分别相等的两个三角形相似)k.ABABBDBDADAD生 2：(2)解：ABCABC. BB，k.ABABBCBCBEBC，BEBC，.1313BEBEBCBCk，k，ABABBCBCABABBEBEBB，BAEBAE(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似)k.ABABBEBEAEAE生 3：(3)相似三角形对应角的n等分线的比和对应边的n等分线的比等于相似比【教学说明】有了前面探索的基础，学生完全有能力独立完成“变式问题”的探索，在探索过程中，发展学生类比探究的能力与独立解决问题的能力，培养学生全面思考的思维品质三、运用新知，深化理解1如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AFDE于点O，则等于 DAODOA. B.2 5313C. D.2312分析：由题意可知DAODEA， .所以选 D.AODOAEAD122已知ABCABC，BD和BD是它们的对应中线，且 ，BD4，则BD的长为_6_ACAC323已知ABCABC，AD和AD是它们的对应角平分线，且AD8 cm, AD3 cm.则ABC与ABC对应高的比为_ _834如图，AD是ABC的高，点P、Q在BC边上，点R在AC边上，点S在AB边上，BC60 cm，AD40 cm，四边形PQRS是正方形(1)ASR与ABC相似吗？为什么？(2)求正方形PQRS的边长解：(1)ASRABC.理由是：四边形PQRS是正方形，SRBC.ASRB，ARSC.ASRABC(两角分别相等的两个三角形相似)(2)由(1)可知ASRABC.(相似三角形对应高的比等于相似比)AEADSRBC设正方形PQRS的边长为x cm，则AE(40 x) cm.，解得x24.40 x40 x60正方形PQRS的边长为 24 cm.四、课堂练习，巩固提高请同学们完成探究在线高效课堂 “互动课堂”部分五、反思小结，梳理新知本节课主要根据相似三角形的性质和判定推导出了相似三角形的性质：相似三角形的对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比六、布置作业1教材习题 4.11 第 1、2 题2请同学们完成探究在线高效课堂 “课时作业”部分第第 2 课时课时相似三角形的性质及应用相似三角形的性质及应用 【知识与技能】1相似多边形的周长比、面积比与相似比的关系2相似多边形的周长比、面积比在实际中的应用3利用相似多边形的性质解决实际问题，训练学生的运用能力【过程与方法】对性质定理的探究：学生经历观察猜想论证归纳的过程，培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨的学习态度【情感态度】在学习和探讨的过程中，体验从特殊到一般的认知规律【教学重点】理解并初步掌握相识三角形的周长比、面积比与相似比的关系 【教学难点】会运用相似三角形的性质解决简单实际问题一、创设情境，导入新课内容：让学生们拿出事先准备好的青岛市地图，根据老师给出的问题进行分组讨论：1地图的比例尺是多少？2根据地图所给的数据，你能否计算出火车站离你家大致有多远？3你能否估算出青岛市儿童公园的面积？【教学说明】在前面我们学习了相似多边形的性质，知道了相似多边形的对应角相等，对应边成比例，对应中线、对应角平分线、对于高的比等于相似比显然要解决上面的几个问题，我们将继续研究相似多边形的其他性质二、合作交流，探究新知问题 1：如果ABCABC，相似比为 2，那么ABC与ABC的周长比是多少？面积比呢？解：ABCABC，2.ABABBCBCACACABC的周长ABC的周长ABBCACABBCAC2AB2BC2ACABBCAC2.2（ABBCAC）ABBCACSABCABCD，SABCABCD.1212224.SABCSABC12ABCD12ABCDABABCDCD【教学说明】使学生建立从特殊到一般的思想问题 2：如果ABCABC，相似比为k，那么ABC与ABC的周长比和面积比分别是多少？教师引导小结：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方进一步提出问题：相似多边形是否也具有类似的性质呢？议一议：两个相似四边形的周长比等于相似比吗？面积比等于相似比的平方吗？两个相似五边形的周长比与面积比怎样呢？两个相似的n边形呢？无论是三角形、四边形，还是多边形，都有相同的结论，所以可以推导出：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方三、运用新知，深化理解出示课本 P110 例题 2，讲解分析【教学说明】本环节是在掌握相似多边形性质之后的提高，运用平移的知识得到图中相似的三角形，并运用本节学习的相似三角形的面积比等于相似比的平方的新知，再把面积比转化为对应边比的平方，考察了学生综合运用知识的能力练习：判断正误：1(1)如果把一个三角形三边的长同时扩大为原来的 10 倍，那么它的周长也扩大为原来的 10 倍； (2)如果把一个三角形的面积扩大为原来的 9 倍，那么它的三边的长都扩大为原来的 9倍 2把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的 倍，那么边长应12缩小到原来的倍22分析：根据面积比等于相似比的平方可得相似比为，所以边长应缩小到原来的22倍223. 已知ABC的三边长分别为 5、12、13，与其相似的ABC的最大边长为26，求ABC的面积S.解：设ABC的三边依次为：BC5，AC12，AB13，则AB2BC2AC2，C90.又ABCABC，CC90.BCBC ，BC10，AC24.SACBC 2410ACACABAB1326121212120.【教学说明】要求学生能用相似多边形的对应周长和对应面积比的性质来解决生活中的实际问题四、课堂练习，巩固提高请同学们完成探究在线高效课堂 “互动课堂”部分五、反思小结，梳理新知师生共同回忆、交流相似多边形的性质：对应线段(高、中线、角平分线)的比，周长比都等于相似比，面积比等于相似比的平方六、布置作业1教材习题 4.12 第 13 题2请同学们完成探究在线高效课堂 “课时作业”部分4.7相似三角形的性质相似三角形的性质相似三角形的识别相似三角形的识别问：相似三角形的识别方法有哪些？问：相似三角形的识别方法有哪些？证二组对应证二组对应角相等角相等证三组对应边证三组对应边成比例成比例证二组对应边成证二组对应边成比例，且夹角相比例，且夹角相等等相似三角形的特征相似三角形的特征问：你知道相似三角形的特征是什么吗？问：你知道相似三角形的特征是什么吗？角：对应角相等边：对应边成比例边：对应边成比例问：什么是相似比？问：什么是相似比？相似比相似比=对应边的比值对应边的比值= 如右图，如右图，A B C ABCA AB BC CA AB BC CD DD D已知：已知： ABC A B C,相似比为相似比为k,它们对应高的比是多少？对应角平分线它们对应高的比是多少？对应角平分线的比是多少？对应中线的比呢？请证明的比是多少？对应中线的比呢？请证明你的结论。你的结论。想一想想一想相似三角形相似三角形对应边上的高对应边上的高有什么关系呢？有什么关系呢？ 归纳：相似三角形对应边上的高之比等于相似比。归纳：相似三角形对应边上的高之比等于相似比。ABCDA D C ADC则则:(1)利用方格把三角形扩大利用方格把三角形扩大2倍，得倍，得ABC，并作出，并作出BC边上的高边上的高A D 。 A B C 与与ABC的相似比为多的相似比为多少？少？AD 与与A D有什么关系？有什么关系？右图右图A B C ， AD为为 BC 边上的高。边上的高。DABC(2)如右图两个相似三角形相似比为如右图两个相似三角形相似比为k，则对，则对应边上的高有什么关系呢？应边上的高有什么关系呢？_说说你判断的理由是什么？说说你判断的理由是什么？_相似三角形相似三角形对应角的角平分线对应角的角平分线有什么有什么关系呢？关系呢？归纳：相似三角形对应角的角平分线之比等于相似比。归纳：相似三角形对应角的角平分线之比等于相似比。(2)如右图两个相似三角形相似比为如右图两个相似三角形相似比为k，则对应，则对应角的角平分线比是多少？角的角平分线比是多少？说说你判断的理由是什么？说说你判断的理由是什么？_A F C AFC如右图如右图A B C ， AF为为 A 的角平分线。的角平分线。则则:(1)把三角形扩大把三角形扩大2倍后得倍后得ABC，A F 为为 A的的角平分线，角平分线， A B C 与与ABC的相似比为多少？的相似比为多少？ AF 与与A F比是多少？比是多少？ABCFABCF归纳：相似三角形对应边上的中线比等于相似比。归纳：相似三角形对应边上的中线比等于相似比。相似三角形相似三角形对应边上的中线对应边上的中线 有什么关有什么关系呢？系呢？如右图如右图A B C ， AE为为 BC 边上的中线。边上的中线。则则:(1)把三角形扩大把三角形扩大2倍后得倍后得ABC，A E为为 BC边上边上的中线。的中线。 A B C 与与ABC的相似比为多少？的相似比为多少？ AE 与与A E比是多少？比是多少？ABCE ABCEA E C AEC(2)如右图两个相似三角形相似比为如右图两个相似三角形相似比为k，则对应边，则对应边上的中线的比是多少呢？上的中线的比是多少呢？ 说说你判断的理由是什么？说说你判断的理由是什么？_课堂练习课堂练习: 填空：填空： （1）两个三角形的对应边的比为）两个三角形的对应边的比为3:4，则这两个三，则这两个三角形的对应角平分线的比为角形的对应角平分线的比为_ ，对应边上的高的，对应边上的高的比为比为_，对应边上的中线的比为，对应边上的中线的比为_ (2)相似三角形对应角平分线比为相似三角形对应角平分线比为0.2,则相似比为则相似比为_,对应中线的比等于对应中线的比等于_; 相似三角形对应高的比，对应中线的比、对应相似三角形对应高的比，对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比角平分线的比都等于相似比 3、ABCABC中，中，AEAE是角平分线，是角平分线，D D是是ABAB上的一点，上的一点，CDCD交交AEAE于于G G，ACD=B，且，且AC=2AD.则则ACDACD _.它们的相似比它们的相似比K =_,ABCEDSBCREDA例例1,1,如图，如图，ADAD是是ABCABC的高的高AD=hAD=h，点，点R R在在ACAC边边上上,SRAD,SRAD垂足为垂足为 E,E,当当SR=SR= BCBC时，求时，求DEDE的的长。如果长。如果SR=SR= BCBC呢？呢？解：解：SRADSRAD BCADBCAD即即SR/BCASR=B,ARS=C ASR ABC当当SR=SR= BCBC时时当当SR=SR= BCBC时时1.1.已知已知ABCABCABCABC ，BDBD和和BDBD是它们的对应是它们的对应中线中线, , 求求BDBD的长？的长？小试牛刀小试牛刀2、ABCABC，AD和和 AD是它们的对是它们的对应角平分线，已知应角平分线，已知AD8cm，AD3cm，求，求ABC和和ABC对应高的比对应高的比.你会应用吗？你会应用吗？3、ABCABC，BD和和BD是它们的对应中线，已是它们的对应中线，已知知 ，BD=4cm，求，求BD的长的长. 解：解： ABCABC，BD和和BD是它们的对应中线是它们的对应中线（相似三角形对应中线的比都等于相似比）（相似三角形对应中线的比都等于相似比） BD=6 4.如图是一个照相机成像的示意图，如果底片如图是一个照相机成像的示意图，如果底片XY宽宽35mm，焦距是，焦距是50mm，能拍摄，能拍摄5m外的景物有多宽外的景物有多宽？拓广应用空间：拓广应用空间：35mm50mm5mXYABL相似三角形的周长相似三角形的周长有什么关系呢？有什么关系呢？归纳：相似三角形的周长比等于相似比。归纳：相似三角形的周长比等于相似比。右图（右图（1）（）（2）（）（3）分别是边长为）分别是边长为1、2、3的等边三角形，它们都相似的等边三角形，它们都相似（2）与（）与（1）的相似比）的相似比_，（2）与（）与（1）的周长比）的周长比_;（3）与（）与（1）的相似比）的相似比_，（3）与（）与（1）的周长比）的周长比_.2:12:13:13:1从上面可以看出当相似比从上面可以看出当相似比k时，周长比时，周长比_k讲授新课讲授新课相似三角形对应周长的比等于相似比一相似三角形周长的比等于相似比.分析：ABCA1B1C1，相似比为k，问题：求证三角形对应周长的比等于相似比ABCA1B1C1 相似三角形的面积相似三角形的面积有什么关系呢？有什么关系呢？2:1归纳：相似三角形的面积比等于相似比的平方。归纳：相似三角形的面积比等于相似比的平方。右右图图（1）（2）（3）分分别别是是边边长长为为1、2、3的等边三角形，它们都相似的等边三角形，它们都相似（2）与（）与（1）的相似比）的相似比_，（2）与（）与（1）的面积比）的面积比_;（3）与（）与（1）的相似比）的相似比_，（3）与（）与（1）的面积比）的面积比_.4:13:19:1从上面可以看出当相似比从上面可以看出当相似比k时，面积比时，面积比= =_ k2 相似三角形面积的比等于相似比的平方二 问题：如图，ABCABC，相似比为k1,它们对应高的比是多少？面积比是多少？ABCABC 如图，分别作出ABC和ABC的高AD和AD.ABC和ABC都是直角三角形，并且B=B，ABDABD.DD（相似三角形对应高的比等于相似比）.ABCABC.由此可得： 相似三角形面积比等于相似比的平方.算一算：算一算：与与 的相似比是的相似比是多少？多少？与与 的周长比是多少的周长比是多少 面积比是多少？面积比是多少？44正方形网格正方形网格看一看：看一看：与与 有什么关系？有什么关系？ 为什么？为什么？想一想：想一想：你发现上面两个相似三角形的周长比与相似比你发现上面两个相似三角形的周长比与相似比有什么关系？面积比与相似比又有什么关系？有什么关系？面积比与相似比又有什么关系？（相似）（相似）22222周长比等于相似比，面积比等于相似比的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方平方101022215522ABCACB已知两个三角形相似，请完成下列表格已知两个三角形相似，请完成下列表格相似比相似比周长比周长比面积比面积比注：周长比等于相似比，已知相似比或周长比，注：周长比等于相似比，已知相似比或周长比，求面积比要求面积比要平方平方，而已知面积比，求相似比或周长比则要而已知面积比，求相似比或周长比则要开方开方。24100100100001913132例：如图所示，D、E分别是AC、AB上的点，已知ABC的面积为100cm2 ，且 求四边形BCDE的面积.ABC ADE .它们的相似比为5：3，面积比为25：9.又ABC的面积为100 cm2 ，ADE的面积为36 cm2 .四边形BCDE的面积为100-36=64（cm2） .解：BAD=DAE，且 BAEDCD DB BC C例例2：如图将：如图将 ABC沿沿BC方向平移得到方向平移得到DEF。ABC与与DEF重叠部分（图重叠部分（图中阴影部分）的面积是中阴影部分）的面积是ABC面积的一面积的一半已知半已知BC=2，求，求ABC平移的距离。平移的距离。A AE EF FGEC ABC解：根据题意，解：根据题意，EG/ABGEC=B,EGC=AG即即ABC平移的距平移的距离为离为2-BACDE如图，已知如图，已知DE/BC,AB=30m,BD=18m, ABC的周长为的周长为80m，面积为，面积为100m2,求求ADE的周长和面积的周长和面积30m18m1 1、在、在ABCABC中，中，DEDEBCBC，E E、D D分别在分别在ACAC、ABAB上，上，EC=2AEEC=2AE，则，则S S ADEADE：S S ABCABC的比为的比为_练习练习2 2、如图，、如图， ABCABC中，中，DEDEFGFGBCBC，AD=DF=FBAD=DF=FB，则，则ADEADE: :四边形四边形DFGEDFGE: :四边形四边形FBCGFBCG=_=_A AB BC CD DE ES S ADEADE：S S四边形四边形DBCEDBCE的比为的比为_1/91/81、把、把 一个三角形变成和它相似的三角形，则如一个三角形变成和它相似的三角形，则如果边长扩大为原来的果边长扩大为原来的100倍，那么面积扩大为原倍，那么面积扩大为原来的来的_倍；倍；如果面积扩大为原来的如果面积扩大为原来的100倍，那么边长扩大为倍，那么边长扩大为原来的原来的_倍。倍。课堂练习课堂练习10000102、已知、已知ABCABC，AC: A C=4:3。（1）若）若ABC的周长为的周长为24cm，则，则ABC的周长为的周长为 cm；（2）若）若ABC的面积为的面积为32 cm2 ，则，则ABC的面积的面积为为 cm2。1818课堂练习课堂练习3、已知，在、已知，在A B C 中，中，DE|BC, DE:BC=3:5 则则(1)AD:DB= (2)ADE的面积的面积:梯形梯形DECB的面积的面积= (3)A B C的面积为的面积为25，则，则A DE的面积的面积=_ 。3:29:169 3.判断： （1）一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个三角形的周长也扩大为原来的5倍.（ ） （2）一个四边形的各边长扩大为原来的9倍，这个四边形的面积也扩大为原来的9倍.（ ）4、如图，已知、如图，已知DEBC，BD=3AD，SABC =48，求：，求：ADE的面的面积。积。课堂练习课堂练习解：因为解：因为DEBC所以所以ADE=ABC,ADE=ABC, AED=ACBAED=ACB所以所以A DE ABC又因为BD=3AD可得相似比相似比k=AD:AB=1:2所以SADE =1/4 SABC =12小结小结 相似三角形的性质相似三角形的性质对应角相等、对应边成比例对应角相等、对应边成比例对应高之比、对应中线之比、对应角平分线对应高之比、对应中线之比、对应角平分线之比都等于相似比之比都等于相似比周长之比等于相似比周长之比等于相似比面积之比等于相似比的面积之比等于相似比的平方平方（你学到了什么呢？）（你学到了什么呢？）