第二章 一元二次方程- 5 一元二次方程的根与系数的关系-ppt课件-(含教案)-市级公开课-北师大版九年级上册数学(编号：e0756).zip

数学家韦达的故事韦达是法国的数学家，他是第一个有意识地和系统地使用字母表示数的人，并且对数学符号进行了很多改进，确定了符号代数的原理与方法，使当时的代数学系统化。因此，他被尊称为“代数学之父”。他早年学习法律，以律师身份在法国议会里工作，根本不是专职数学家，但他非常喜欢数学，喜欢在工作之余研究数学，并做出了很多重要贡献。在法国和西班牙的战争中，他利用数学方法成功破译了西班牙的军事密码，为他祖国的战争赢取了主动权。韦达还发现了一元二次方程中根与系数关系。韦达的故事告诉我们：兴趣是最好的老师！兴趣是最好的老师！活动1：复习导入1、一元二次方程的一般形式？ 2、一元二次方程有实数根的条件是什么？ 3、一元二次方程的求根公式是什么？ 4 、通过前面的学习我们发现，一元二次方程的根完全由它的系数确定，求根公式就是根与系数关系的一种形式。除此之外，一元二次方程的根与系数之间还有什么形式的关系呢？活动2：做一做，想一想根据上述三个方程，若两根分别为x1、x2，请写出如下结果：x1+x2=，x1x2=； x1+x2=，x1x2=；x1+x2=，x1x2=；(1)结合上题，思考一元二次方程的两根之和、两根之(2)积与系数之间有什么关系呢？(3)猜想：.想一想：此结论是否应用所有一元二次方程？为什么？怎样才能作为普遍的结论来应用？活动3：证明猜想如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数且a0）的两根为x1、x2，当b24ac0时，由求根公式得：活动4：归纳结论方程方程ax2+bx+c=0（a0）有两个实数根）有两个实数根x1、x2，那么，那么x1+x2=，x1x2=.这一结论习惯上称为这一结论习惯上称为“韦达定理韦达定理”.活动活动5：牛刀小试：牛刀小试根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积（方程两根为x1，x2）（1）2x x2 2-3x-1=0-3x-1=0 （2）3x2+5x=0 （3）x2+7x=-6例例1、已知方程、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是的一个根是2,求它的另一个根及求它的另一个根及k的值。的值。活动活动 6：会当凌绝顶：会当凌绝顶1：方程：方程2x2-3x-1=0的两根记作的两根记作x1,x2.不解方程，求代数式的值不解方程，求代数式的值活动活动8：一览众山小：一览众山小通过本节课的学习，你学到了那些知通过本节课的学习，你学到了那些知识？你学会了哪些数学方法？识？你学会了哪些数学方法？P51P51 A A 知识技能1 B 数学理解3C、已知方程x2+(2k+1)+k2-2=0 的一个根为2，求另一个根及k的值。 活动10：布置作业1第二章第二章 一元二次方程一元二次方程5 5一元二次方程的一元二次方程的根与系数的关系根与系数的关系一、学生知识状况分析一、学生知识状况分析“一元二次方程根与系数的关系”是一元二次方程中继“一元二次方程的解法”之后的一个学习内容，学生已学习的用公式法解一元二次方程中的求根公式是本节课的基础。基于初中三年级学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征，所以在教学初始，出示一些学生所熟悉和感兴趣的东西，结合一元二次方程求根公式使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系。二、教学任务分析二、教学任务分析本节是从相关知识的复习入手，目的是在巩固旧知的基础上为后续学习打铺垫，再通过计算、比较、分析、归纳发现根与系数的关系，发展学生的感性认识，合作意识，让学生体会由特殊到一般的认知过程。根与系数的关系也称为韦达定理（韦达是法国数学家） ，韦达定理是初中代数中的一个重要定理。这是因为通过韦达定理的学习，把一元二次方程的研究推向了高级阶段，运用韦达定理可以进一步研究数学中的许多问题，如二次三项式的因式分解，解二元二次方程组；韦达定理对后面函数的学习研究也是作用非凡。同时通过韦达定理的教学，可以培养学生的创新意识、探究精神和综合分析数学问题的能力，也为学生今后学习方程理论打下基础。为此，确定本节课的教学目标为：1、理解掌握一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0)的两根x1，x2与系数a、b、c 之间的关系。2、能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知数。23、会求已知方程的两根的倒数和与平方和、两根的差。4、在推导过程中，培养学生“观察发现猜想证明”的研究问题的思想与方法。三、教学过程分析三、教学过程分析本节课设计了七个教学环节：第一环节：复习回顾；第二环节：情境引入；第三环节：探究新知；第四环节：尝试发展；第五环节：拓展创新；第六环节：感悟与收获；第七环节：布置作业。第一环节：复习回顾第一环节：复习回顾内容：1、一元二次方程的一般形式？ ax2+bx+c=0 (a0)（板书） 2、一元二次方程有实数根的条件是什么？ (=b2-4ac0)3、当0，=0，0 根的情况如何？4、一元二次方程的求根公式是什么？ 目的：以问题串的形式引导学生思考，回忆公式法解一元二次方程的相关知识，有利于学生衔接前后知识，形成清晰的知识脉络，为后面的学习作好铺垫。效果：第一问题学生先动笔写在练习本上，有个别同学少了条件“a0” 。后面的问题由于较简单，学生很快回答出来，提高了学生自信心。第三环节：探究新知第三环节：探究新知31.做一做：2.根据上述三个方程，若两根分别为 x1、x2，请 写出如下结果：(1)x1+x2= ，x1x2= ； (2) x1+x2= ，x1x2= ； (3)x1+x2= ，x1x2= ； 3.想一想：刚才我们列举了部分方程发现两根和、两根积与系数的关系，那么是不是所有的一元二次方程根与系数都有这样的关系呢？请根据以上的观察发现进一步猜想：方程ax2+bx+c=0 (a0)的根x1，x2与 a、b、c 之间的关系：_。4.你能证明上面的猜想吗？请证明，并用文字语言叙述说明。（分小组讨论以上的问题，并作出推理证明。 ）5.归纳：如果方程 ax2+bx+c=0（a0）有两个实数根 x1、x2，那么 x1+x2= ，x1x2= 。这一结论习惯上称为“韦达定理”. 目的：本环节采用“实践观察发现猜想证明”的过程，使学生既动手、动脑，又动口，教师引导启发，避免注入式地讲授一元二次方程根与系数的关系，体现学生的主体学习特性，培养了学生的创新意识和创新精神。abac0.13（3）20；132（2）0；12（1）解下列方程：222xxxxxx4效果：在复习旧知的基础上，学生很快口完成了表格，为解决后面的问题做好了准备。问题串让学生合作解决，在探究的过程中体现了特殊到一般，从实践到理论的认知规律。第四环节：应用新知第四环节：应用新知例 1：根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积（方程两根为x1，x2、k 是常数）（1）2x2-3x-1=0 x1+x2= _ x1x2= _ （2）3x2+5x=0 x1+x2= _ x1x2= _ （3）x2+7x=-6 x1+x2= _ x1x2= _ （学生迅速演算或口算）例 2、已知方程 x2-(k+1)x+3k=0 的一个根是 2 ,求它的另一个根及 k 的值。 例 3方程 2x2-3x-1=0 的两根记作 x1,x2.不解方程，求代数式的值 第六环节第六环节 感悟与收获感悟与收获通过这节课学习你有什么收获？学生交流，谈谈自己收获，教师归纳小结。2221. 1xx221).(2xx2111. 3xx1221. 4xxxx) 1)(1.(521xx21. 6xx5第七环节第七环节 布置作业布置作业P52 A 知识技能 1 B 数学理解 3教后反思教后反思本节课充分以学生为主体进行教学，采用“实践观察发现猜想证明”的过程教学。让学生多实践，从实践中反思过程，经历韦达定理的发生发展过程，并从中体验成功的乐趣。引导学生发现问题，师生共同解决问题。指导学生掌握思考问题的方法及解决问题的途径，并将应用问题和规律归类。