高中数学选修2-3 第一章 计数原理.doc

1、第一章第一章计数原理计数原理测试一测试一计数原理与排列计数原理与排列学习目标学习目标1理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理2会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题基础性训练基础性训练一、选择题一、选择题1某商业大厦有东南西 3 个大门，楼内东西两侧各有 2 个楼梯，从楼外到二楼的不同走法种数是()(A)5(B)7(C)10(D)1223 科老师都布置了作业，在某一时刻 4 名学生都在做作业，则这 4 名学生做作业的可能情况有()(A)43种(B)34种(C)432 种(D)123 种3下列各式中与排列数mnA相等的是()(A)(nmn(B)n(n1)(n2)(nm

2、)(C)mnAmnn11(D)111mnnAA4数列 a1，a2a7，其中恰好有 5 个 2 和 2 个 4，调换 a1至 a7各数的位置，一共可以组成不同的数列(含原数列) ()(A)21 个(B)25 个(C)32 个(D)42 个5已知集合 M1，2，3，N4，5，6，7，从两个集合中各取一个元素作为点的横坐标或纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是()(A)18(B)17(C)16(D)10二、填空题二、填空题6把 4 张同样的参观券分给 5 个代表，每人最多分一张，参观券全部分完，则不同的分法共有_种7用 1，2，3，4 四个数字可以排成一个 4 位数

3、，其中不含重复数字的四位数有_个；必须含有重复数字的四位数有_个8从集合0，1，2，3，5，7，11中任取 3 个元素分别作为直线方程 AxByC0 中的 A、B、C，则所得的经过坐标原点的直线有_条(结果用数值表示)9圆周上有 2n 个等分点(n1)，以其中 3 个点为顶点的直角三角形的个数为_10 从 1， 2， 3， 4， 7， 9 中任取不相同的两个数， 分别作为对数的底数和真数， 可得到_个不同的对数值三、解答题三、解答题11某校高一年级 4 个班学生中的 34 人，其中一、二、三、四班分别为 7 人、8 人、9 人、10 人，他们自愿组成数学课外小组(1)选其中一人为负责人，有多少

4、种不同的选法？(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？(3)推选二人做中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？12求三边长均为整数，且最大边为 11 的三角形的个数13a，b，c，d4 人排成一行，其中 a 不排第一，b 不排第二，c 不排第三，d 不排第四的不同排法共有多少种？拓展性训练拓展性训练14用 1，2，3，4，5 这 5 个数字组成比 20000 大，且百位数不是 3 的无重复数字的五位数有多少个？测试二测试二排列与组合排列与组合学习目标学习目标1理解排列、组合的概念2能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式3能解决简单的实际问题基础性训练基础性训练一、选择题1甲、

5、乙、丙、丁 4 种不同的种子，在 3 块不同土地上试种，每块土地只试种一种，其中种子甲必须试种，那么不同的试种方法共有()(A)12 种(B)18 种(C)24 种(D)96 种2下列等式不正确的是()(A)mnnmnCC(B)mmmmmmCCC11(C)352515CCC(D)11111mnmnmnmnCCCC3若 nN 且 n20，则(27n)(28n)(34n)等于()(A)827 nA(B)nnA2734(C)734 nA(D)834 nA4从 4 个男生，3 个女生中挑选 4 人参加智力竞赛，要求至少有 1 个女生参加的选法共有()(A)12 种(B)34 种(C)35 种(D)34

6、0 种5在某班学生中，选出 4 个组长的不同选法有 m 种，选出正、副组长各一名的不同选法有n 种，若 mn132，则该班的学生人数是()(A)10(B)15(C)20(D)22二、填空题二、填空题6某天上午要排语文、数学、体育、计算机 4 节课，其中体育不排在第一节，那么这天上午课程表的不同排法共有_种7从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台， 其中至少要有甲型和乙型电视机各 1 台，则不同的取法共有_种8方程212 xA102xA的解为_9在 9 件产品中，有一级品 4 件，二级品 3 件，三级品 2 件，现抽取 4 个检查，至少有 2件一级品的抽法共有_种108 个相同的球

7、放进编号为 1，2，3 的盒子中，恰有一个空盒，则不同的放求方法有_种(以数字作答)三、解答题三、解答题11已知71nC7nC8nC，求 n 的值12从 5 位男生，4 位女生中选出 5 名代表，求其中：(1)男生甲当选且女生 A 不能当选，有几种选法？(2)至少有一个女生当选，有几种选法？(3)最多有 2 个女生当选，有几种选法？(4)若选出 5 名代表为 3 男 2 女，并进行大会发言，有多少种不同的发言顺序？13口袋中有 4 个不同的红球和 6 个不同的白球，每次取出 4 个球，取 1 个红球记 2 分，取1 个白球记 1 分，则使总分不大于 5 分的取球方法种数有多少？拓展性训练拓展性

8、训练14用红、黄、蓝、白、黑色涂在“田”字形 4 个小方格内，每格涂一种色，有公共边的两格不同色，颜色可重复使用，共有多少种不同涂色法？测试三测试三综合计数问题综合计数问题(一一)学习目标学习目标能利用计数原理和排列组合的知识解决常见的实际问题基础性训练基础性训练一、解答题一、解答题13 个女生和 5 个男生排成一排(1)如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？(2)如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？(3)如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？(4)如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？2a，b，c，d，e5 人排成一列纵队(答案只需写出计算公式)(1)a 与 b 相邻，有几

9、种排法？(2)a 与 b 不相邻，有几种排法？(3)a 在 b 前面，有几种排法？(4)a 与 b 相邻，a 在 b 前面，有几种排法？(5)c 在 a 与 b 之间，有几种排法？(6)a 不在头，b 不在尾，有几种排法？310 名班干部中，有 6 名男生，4 名女生，现要选出 5 名班干部，去听环保专家作报告，求满足下列条件的不同选法(1)男生选 3 名，女生选 2 名；(2)选出的男生少于女生；(3)选出的 5 人中，至少 1 名女生；(4)选出的 5 人中，至多 3 名女生；(5)男生选 3 名，女生选 2 名，且男甲不选在内，女乙必须选在内；(6)男生选 3 名，女生选 2 名，且男甲

10、选在内或女乙选在内4用 0，1，2，3，4，5 六个数字，排成不含重复数字的四位数(答案只需写出计算公式)(1)可排成多少个不同的数？(2)可排成多少个不同的奇数？(3)可排成多少个不同的偶数？(4)可排成多少个不同的可以被 3 整除的数？拓展性训练拓展性训练5用 0，1，2，3，4，5 六个数字组成无重复数字的五位数，分别求出下列各类数的个数(1)奇数；(2)25 的倍数；(3)比 20314 大的数；(4)百位数不是 2 或个位数不是 5 的数6有 6 件不同的礼品，按下面的分法，回答问题(用公式表达即可)：(1)分给甲、乙、丙 3 人、每人各得 2 件，有多少种分法？(2)分给 3 人，

11、甲得 1 件，乙得 2 件，丙得 3 件，有多少种分法？(3)分给 3 人，1 人得 1 件，1 人得 2 件，1 人得 3 件，有多少种分法？(4)平均分成 3 堆，有多少种分法？(5)分给 3 人，2 人各得 1 件，1 人得 4 件，有多少种分法？测试四测试四综合计数问题综合计数问题(二二)学习目标学习目标能利用计数原理和排列组合的知识解决常见的实际问题基础性训练基础性训练一、选择题一、选择题1用 1，2，3，4，5 这 5 个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有()(A)24 个(B)30 个(C)40 个(D)60 个2某电子元件，其电路有一个由 3 个电阻串联组成的回路，共有

12、 6 个焊点，若其中某一焊点脱落，电路就不通现今回路不通，焊点脱落情况的可能有()(A)5 种(B)6 种(C)63 种(D)64 种3从单词“equation”中选出 5 个不同的字母排成一排，含有“qu”(其中“qu”相连且顺序不变)的不同排法有()(A)120 种(B)480 种(C)720 种(D)840 种4某赛季足球比赛的计分规则：胜一场，得 3 分；平一场，得 1 分；负一场，得 0 分，一球队打完 15 场，积 33 分，若不考虑顺序，该队胜，负，平的情况共有()(A)3 种(B)4 种(C)5 种(D)6 种5将 a，b，c，d 排成一行，其中 a 不排在第一，b 不排在第二

13、，c 不排在第三，d 不排在第四的不同排法共有()(A)6 种(B)7 种(C)8 种(D)9 种二、填空题二、填空题65 人排队，则甲乙两人相邻的排队方法有_种7将红、黄、蓝、白、黑 5 种颜色的小球各一个，分别放入红、黄、蓝、白、黑 5 种颜色的口袋中，但红口袋不能装入红球，则有_种不同的放法8从 0，1，3，5，7，9 中任取两个数做除法，可得到不同的商共有_个9在 50 件产品中有 4 件次品，从中任意抽出 5 件，至少有 3 件是次品的抽法共有_种(用数字作答)10有 6 个座位连成一排，现有 3 人就座，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有_种三、解答题三、解答题11某电脑用户计划使用

14、不超过 500 元的资金购买单价分别为 60 元、70 元的单片软件和盒装磁盘， 根据需要， 软件至少买 3 片， 磁盘至少买 2 盒， 则不同的选购方式共有多少种？12(1)3 个孩子，4 把椅子，让孩子都坐下，有几种方法(每把椅子只坐一个孩子)？(2)3 把椅子，4 个孩子，让椅子都有人坐，有几种方法？(3)3 个孩子，4 间屋子，让孩子都进屋，有几种结果？(4)3 间屋子，4 个孩子，让孩子都进屋，有几种结果？(5)3 朵花，4 个孩子，把花发给孩子，每人至多一朵，不区分花，有几种分法？(6)3 朵花，4 个孩子，把花发给孩子，不区分花，有几种分法？拓展性训练拓展性训练134 个不同的球

15、，4 个不同的大盒子，把球全部放入盒内(1)共有几种放法？(2)恰有 1 个盒不放球，共几种放法？(3)恰有 2 个盒不放球，共几种放法？(4)恰有 1 个盒内有 2 个球，共几种放法？(5)有 1 个盒内不少于 3 个球，共几种放法？测试五测试五二项式定理二项式定理学习目标学习目标1能用计数原理证明二项式定理2会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题基础性训练基础性训练一、选择题一、选择题1(12x)6的展开式中第三项的系数为()(A)6(B)12(C)15(D)602(12x)6的展开式中第三项的二项式系数为()(A)6(B)12(C)1 5(D)603已知(x321x)n的展开式的第

16、三项与第二项系数的比为 112，则 n 的值是()(A)10(B)11(C)12(D)134nnnnnnnCCCC13213 193）（()(A)31(13)n1(B)31(13)n(C)(13)n1(D)311(13)n5若nC21与mnC同时有最大值，m 的值是()(A)5(B)4 或 5(C)5 或 6(D)6 或 7二、填空题二、填空题6在(3x)7的展开式中，5x的系数是_(结果用数值表示)7(1x)n展开式中系数的和大于 8 而小于 32，则 n_8设(12x)6a0a1xa2x2a6x6，则 a1_；a0a1a2a6_；|a0|a1|a2|a6|_9811除以 9 的余数是_10

17、在(1x3)(1x)10的展开式中，x5的系数是_三、解答题三、解答题11若(3xx2)n展开式中第八项是含有3x的项(1)求 n 的值；(2)求展开式中 x7项的系数及二项式系数12已知 f(x)(12x)m(13x)n展开式中 x 的系数为 13，求展开式中 x2的系数拓展性训练拓展性训练13设na为等差数列，1nS为数列na的前 n1 项和求证：a1onC2a1nC3a2nCa1nnnC11nsn2n(参考公式：rnCrn11rnC)14已知 n 是等差数列 4，7，10，13，中的一项求证：(xx1)n的展开式中不含常数项测试六测试六计数原理学习水平测试计数原理学习水平测试一、选择题一

18、、选择题1一个 3 层书架，分别放置语文书 12 本，数学书 14 本，英语书 11 本，从中取出语文、数学、英语各 1 本，则不同的取法共有()(A)37 种(B)1848 种(C)3 种(D)6 种24 名同学分别报名参加足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中一个运动队，不同的报名方法有()(A)81 种(B)64 种(C)24 种(D)12 种3排列数21nA与3nA的大小关系是()(A)21nA3nA(B)21nA3nA(C)21nA3nA(D)不确定4已知集合1，2，3，4，5，6，7，8，9，其中含有 5 个元素且至少有 2 个偶数的子集有()(A)275 个(B)7200 个(C

19、)105 个(D)12000 个5计划在某画廊展出 10 幅不同的画，其中 1 幅水彩画、4 幅油画、5 幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同陈列方式有()(A)44A55A种(B)33A44A55A种(C)13A44A55A种(D)22A44A55A种二、填空题二、填空题6若 C5nC8n，则 A2n_7若(x6)n的展开式的第三项系数等于 18，则 n 的值为_.83 名医生和 6 名护士被分配到 3 所学校为学生体检，每校分配 1 名医生和 2 名护士，不同的分配方法共有_种9若 S11A22A33A100100A，则 S 的个位数字是_.1

20、0 平面上有 7 个点， 除某 3 点在一直线上外， 再无其他 3 点共线， 若过其中两点作一直线，则可作成不同的直线_条三、解答题三、解答题11若5373nnC24nA，求 n 的值12一个晚会共 8 个节目，其中歌唱节目 3 个，小品节目 3 个，舞蹈节目 2 个，现要排一个节目单，分别求满足下列条件的不同排法(1)3 个小品节目的顺序固定不变，2 个舞蹈节目的顺序也固定不变；(2)3 个歌唱节目必须排在前 6 个，且小品节目不能排在第一个拓展性训练拓展性训练13把 5 件不同的商品在货架上排成一排，其中 a，b 两种必须排在一起，而 c，d 两种不能排在一起，求不同排法的个数147 个相

21、同的小球，任意放入 4 个不同的盒子中，每个盒子都不空的放法共有多少种？参考答案参考答案第一章第一章计数原理计数原理测试一测试一计数原理与排列计数原理与排列一、选择题一、选择题1D2B3D4A5B提示：提示：3.)1() 1()!1(.)!()!1(.)!(!111mnnmnAAmnnnmnnnmnnA4只需将 2 个 4 放在七个位置中的 2 个就可以构成一个数列2172C(种)不同的数列5第一象限的点有 2332 个，第二象限内的点有 32 个，共 17 个二、填空题二、填空题65724，23283092n(n1)1017提示：提示：8注意，任取的 3 个元素应不相同，并且 C0A，B 只

22、能从非零元素选取3026A(条)9任意连结两点，共有 n 条直线可形成直径，而对于每条直径，可做 2n2 个直角三角形，所以共有) 1(2)22(nnnn个10因为对数的底数不能是 1，所以底数可以是 2，3，4，7，9 中的某一个数，真数可以是1，2，3，4，7，9 中的某一个数，因此，从形式上可以组成 5630 个对数减去底数，真数相同的 5 个数；1 为真数的数有 5 个，值均为 0，应减去 4 个；此外，29log4log32；213log2log94，3log9log24，2log4log39应减去重复的 4 个所以，不同的对数值为 30(544)17(个).三、解答题三、解答题11

23、答：(1)34 种；(2)789105040 种；(3)787971089810910431 种12分析：设另两边长为 x，y，不妨设 1xy11，xy12，进行分类如下：当 y11 时，此时有 11 个三角形；当 y10 时，此时有 9 个三角形；当 y9 时，此时有 7 个三角形；当 y6 时，x6，此时有 1 个三角形故所求三角形的个数为 119753136(个)13分析：依题意，符合要求的排法可分为三类，即第一个可排 b、c、d 中的某一个，我们把第一个排 b 的不同排法逐一排出如下：b，a，d，c；b，c，d，a；b，d，a，c共有 3 种不同的排法同样的方法，可得第一个排 c、d

24、的各有 3 种不同的排法，故符合题意的不同排法共有3339(种)14分析：比 20000 大的五位数，分以下四种情况：3有44A个，百位数不是 3 的三种情况 2，4，5，各有3313AA个，共783331344AAA个测试二测试二排列与组合排列与组合一、选择题一、选择题1B2C3D4B5B提示：提示：4.341374447CCC5设该班学生人数为 x 人，依题意得. 2:13:24xxAC解得 x15二、填空题二、填空题6187708x29811021提示：提示：7.70403025141524CCCC9.81120604415342524CCCCC10有21) 1222(23C种方法三、解

25、答题三、解答题11解：由已知得.14, 817,81718771nnCCCCCnnnnn12略解：(1);3547C(2);1255559 CC(3)813524451455CCCCC(或2534154459CCCCC)(4)先组合后排列7200552435ACC种.13略解：总分不大于 5 分的取球情况是取 4 个白球或取 3 个白球 1 个红球，分别有46C种，14C36C种，所以使总分不大于 5 分的取球方法种数共有958015361446CAC种14分析：如图，对四个方格编号，以下可将涂色方法分三类：四格均不涂同色有45A种；有且仅有两格同色，它们一定是相对两格，从五种颜色中取一种涂相

26、对格，余两格须从其余四种色中取两种不同色涂入，有24152AC 种；两组对角都涂同色有25A种综上，则不同涂色方法有260225241545AACA种测试三测试三综合计数问题综合计数问题(一一)一、解答题一、解答题1略解：(1)32043366AA种(2)144003655 AA种(3)因为两端都不能排女生，所以两端只能从 5 个男生中选 2 个排在两端，有25A种排法，其余 6 人有66A种排法，共有144006625 AA种不同的排法(4)8 个人站一排共有88A种不同排法，排除掉两端都是女生的排法6623AA 种，则符合条件的排法有36000662388AAA种2答：(1)2244AA(

27、2)2433AA(3)2(553325AAC或(4)44A(5)222235AAC(6)78 或)(33444455AAAA3略解：(1)1202436CC(种)(2)6634264416CCCC(种)(3)2461644263436244614CCCCCCCC(种)，或24656510 CC(种)(4)2461644510CCC(种)；30)5(1335CC(种)(6)“男甲选在内或女乙选在内”的否定是“男甲且女乙不选在内”选法有9023352436CCCC(种)4略解：(1)3515AA(2)241413ACC(3)24141235ACCA (4)96344433AA5解：解：(1)288

28、341413ACC个(2)末两位数能被 25 整除的数是 25 的倍数，故有末位是 25 和 50 两类即25 和50 两类，共有42342313 AAC个(3)比 20314 大的五位数可分为三类：3，4，5，共453A个；21，23，24，25，共344A个；203，204，205，除去 20314，共1323A个故比 20314 大的无重复数字五位数共有4731231334144513AAAAAA(个)(4)此题正面研究比较困难，因百位不是 2 或个位不是 5 的否定为百位数是 2 且个位数是5，故58223134515ACAC个6(1);90222426CCC(2);60332516C

29、CC(3);36033332516ACCC(4);1533222426ACCC(5).903322441516AACCC测试四测试四综合计数问题综合计数问题(二二)一、选择题一、选择题1A2C3B4A5D提示：提示：2.CCCCCC636656463626163除去“qu”还剩 6 个不同字母，得4804436AC个4设该队胜 x 场，平 y 场，负(15xy)场，由题意可得 3xy33，y333x0，x11，且 xy15(x，yN)，因此有三种情况：011yx，或310yx，或69yx5通过画树图的方法解决二、填空题二、填空题648796819941861072提示：提示：7由于红口袋不能放

30、红球，故红球有14A种放法，其他有44A种放法，所以，共有964414AA种放法8注意到应在总数中去掉重复的情况(商是 3 的有 2 个，商是31的有 2 个)，所以，.192125A9.41864641401464424634CCCC10将相邻的两个空位与另一个空位作为两个元素，与三个人在一起排，只需这两个元素不相邻即可.共有722433AA种不同的坐法三、解答题三、解答题11解：解：设买 x 片软件，y 盒磁盘依题意 60 x70y500，且 x3，y2，x、yN分析：x3 时，y. 4 , 3 , 2,732yx4 时，y. 3 , 2,726yx5 时，y. 2,720yx6 时，y2

31、，y2x7 时，不合题意综上，共有 7 种购买方案12答：(1);2434A(2);2434A(3);6443(4);8134(5); 414C(6).2014122414CACC13答：(1)44256；(2)1443424AC；(3);84)2(24242434ACAC(4)1443424AC；(5)52241414ACC；测试五测试五二项式定理二项式定理一、选择题一、选择题1D2C3C4A5C提示：提示：3,2112) 1(, 2:11:12nnnCCnn解得 n125当nC21最大时，n10 或 11；mC10最大时，m5，mC11最大时，m5 或 6二、填空题二、填空题6189748

32、12；1；7299810207提示：提示：7由 80nC1nCnnC32，82n32，n48a116C（2)12；在展开式中令 x1，得 a0a1a2a61；|a0|a1|a2|a6|a0a1a2a3a6，在展开式中令 x1，得 a0a1a2a3a6367299811(91)11911111C9101011C91(911911C9101011C99)8余数为810展开式中 x5项是由（1x)10展开式中的 x2，x5项与（1x3)中的x3，1 两项相乘而得，因为(1x)10210Cx2510Cx5，所以 x5的系数是210C510C207三、解答题三、解答题11解：解：(1)根据二项式定理，.

33、)2()2()(737777737178nnnnxCxxCTT由已知,31737n解得 n29(2).)2()2()(32929293291rrrrrrrrxCxxCT由7329rr，解得 r2故 x7项系数为229C(2)2291441624x7项的二项式系数为229C40612解：解：f(x)(12x)m(13x)n展开式中含 x 的项为1mC2x1nC3x(2m3n)x，由2m3n13，m，n 为正整数，得 m2，n3 或 m5，n1当 m2，n3 时，求得 x2的系数为 31；当 m5，n1 时求得 x2的系数为 40；故 x2的系数为 31 或 4013解：解：设等差数列an的公差为

34、ndnanSdn) 1(21) 1(,11nnnnnnCaCaCaCa1231201;)()2()(1211101nnnnnCndaCdaCdaCa)32()(321101nnnnnnnnnnCCCCdCCCa .2)2(22)(2111112111011nnnnnnnnndnandanCnCnCnCda又.2)2(2) 1(21) 1(112111nnnndnandnannnS原等式成立14证明：证明：假设第 r1 项为常数，用.2321rnrnrrnrnrxCxxCT又等差数列 4，7，10，13，的第 k 项为 ak4(k1)33k1(kN)令 n3k1，Tr1为常数项，则. 02313

35、 , 023rkrn即N Nkkr,322，这与 rN 矛盾，所以nxx)1( 的展开式中没有常数项测试六测试六计数原理学习水平测试计数原理学习水平测试一、选择题一、选择题1B2A3D4C5D提示：提示：4提示：用排除法14455559CCCC二、填空题二、填空题6156738540931019提示：提示：6由85nnCC，得 n58，n131562132 AAn7.186,6)6(2222223nnnnnCxCxCT3, 32) 1(nnn8540221124122613CCCCCC9当 n5 时，nnA中必含 2 和 5，个位数字均为 0当 n5 时，44332211,AAAA的个位数字分

36、别为 1，2，6，4，它们的和为 13S 的个位数字为 3101912327CC三、解答题三、解答题11解：解：由已知得244353nnAC，即).5)(4(51234)6)(5)(4)(3(3nnnnnn(n3)(n6)40，n29n220，解得 n11，n2(舍)所以 n1112解解：(1)8 个节目的全排列有88A种不同排法，其中小品节目有33A种不同的排法，小品节目顺序不变，故只要其中一种排法； 同理 2 个舞蹈节目的全排列22A中，只要一种排法所以满足条件的排法有3360223388AAA种(2)歌唱节目排在前六位，共有5536AA种不同排法，其中不合题意的是一个小品节目排在第一位，有443513AAA种 所以满足条件的排法共有100804435135536AAAAA种13解解：先将 a，b 看成一件)(22A和第五件排序，共有22A种排法，将 c，d 插入 3 个空缺共有23A种插法，故得不同的排法为24332222AAA(种)14解：解：7 个球有 6 个空，为使每个盒子都不空，插入 3 个空，分成 4 份(四个盒子)，故有2036C种放法