（高三数学总复习指导）专题四 导 数.doc

1、专题四专题四导导数数导数的概念是微积分的核心概念之一， 它有极其丰富的实际背景和广泛的应用 在本专题中，我们将复习导数的概念及其运算，体会导数的思想及其内涵；应用导数探索函数的单调性、极值等性质，感受导数在解决数学问题和实际问题中的作用导数的相关问题主要围绕以下三个方面：导数的概念与运算，导数的应用，定积分与微积分基本定理41导数概念与导数的运算导数概念与导数的运算【知识要点】【知识要点】1导数概念：(1)平均变化率：对于函数 yf(x)，定义1212)()(xxxfxf为函数 yf(x)从 x1到 x2的平均变化率换言之，如果自变量 x 在 x0处有增量x，那么函数 f(x)相应地有增量 f

2、(x0 x)f(x0)，则比值xxfxxf)()(00就叫做函数 yf(x)从 x0到 x0 x 之间的平均变化率(2)函 数 y f(x)在 x x0处 的导 数： 函数 yf(x)在 xx0处 的瞬 时变 化率 是xxfxxfx)()(lim000，我们称它为函数 yf(x)在 xx0处的导数，记作 f(x0)，即xxfxxfxfx)()(lim)(0000.(3)函数 yf(x)的导函数(导数)：当 x 变化时，f(x)是 x 的一个函数，我们称它为函数 yf(x)的导函数(简称导数)，即xxfxxfxfx)()(lim)(0.2导数的几何意义：函数 yf(x)在点 x0处的导数f (x

3、0)就是曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，即kf (x0)3导数的运算：(1)几种常见函数的导数：(C)0(C 为常数)；(xn)nxn1(x0，nQ*)；(sinx)cosx；(cosx)sinx；(ex)ex；(ax)axlna(a0，且 a1)；xx1)(ln；exxaalog1)(log(a0，且 a1)(2)导数的运算法则：u(x)v(x)u(x)v(x)；u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)；)0)()()()()()()()(2 xvxvxvxuxvxuxvxu.(3)简单的复合函数(仅限于形如 f(axb)的导数：设函数 yf(u)，ug(x)，

4、则函数 yf(u)fg(x)称为复合函数其求导步骤是：xyuf xg，其中uf 表示 f 对 u 求导，xg表示 g 对 x 求导f 对 u 求导后应把 u 换成 g(x)【复习要求】【复习要求】1了解导数概念的实际背景；2理解导数的几何意义；3能根据导数定义求函数 yC，yx，yx2，yx3，xyxy,1的导数；4能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数；5理解简单复合函数(仅限于形如 f(axb)导数的求法【例题分析】【例题分析】例例 1求下列函数的导数：(1)y(x1)(x21)；(2)11xxy；(3)ysin2x；(4)yexlnx解解：(1)方法一：y

5、(x1)(x21)(x1)(x21)x21(x1)2x3x22x1方法二：y(x1)(x21)x3x2x1，y(x3x2x1)3x22x1(2)方法一：222) 1(2) 1() 1() 1() 1() 1)(1() 1() 1()11(xxxxxxxxxxxy方法二：12111.xxxy，2) 1(2)12()121 (xxxy.(3)方法一：y(sin2x)(2sinx cosx)2(sinx)cosxsinx(cosx)2(cos2xsin2x)2cos2x方法二：y(sin2x)(2x)cos2x22cos2x(4)(lneln)e (xxyxxxxxxxxxe)1(lnelne【评析

6、【评析】 理解和掌握求导法则和式子的结构特点是求导运算的前提条件 运用公式和求导法则求导数的基本步骤为：分析函数 yf(x)的结构特征；选择恰当的求导法则和导数公式求导数；化简整理结果应注意：在可能的情况下，求导时应尽量减少使用乘法的求导法则，可在求导前利用代数、三角恒等变形等方法对函数式进行化简，然后再求导，这样可减少运算量(如(1)(2)题的方法二较方法一简捷)对于(3)，方法一是使用积的导数运算公式求解，即使用三角公式将 sin2x 表示为 sinx 和cosx 的乘积形式， 然后求导数； 方法二是从复合函数导数的角度求解 方法二较方法一简捷对利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法

7、则求简单函数的导数要熟练、准确例例 2(1)求曲线 yx2在点(1，1)处的切线方程；(2)过点(1，3)作曲线 yx2的切线，求切线的方程【分析【分析】对于(1)，根据导数的几何意义：函数 yf(x)在点 x0处的导数 f (x0)就是曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，可求出切线的斜率，进而由直线方程的点斜式求得切线方程对于(2)，注意到点(1，3)不在曲线 yx2上，所以可设出切点，并通过导数的几何意义确定切点的坐标，进而求出切线方程解：解：(1)曲线 yx2在点(1，1)处的切线斜率为 y2xx12，从而切线的方程为 y12(x1)，即 2xy10(2)设切点的坐标为

8、),(200 xx根据导数的几何意义知，切线的斜率为 y2x|0 xx2x0，从而切线的方程为).(20020 xxxxy因为这条切线过点(1，3)，所以有)1 (230020 xxx，整理得032020 xx，解得 x01，或 x03从而切线的方程为 y12(x1)，或 y96(x3)，即切线的方程为 2xy10，或 6xy90【评析】【评析】用导数求曲线的切线方程，常依据的条件是：函数 yf(x)在点 x0处的导数 f (x0)就是曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，即 kf (x0)；切点既在切线上又在曲线上，即切点的坐标同时满足切线与曲线的方程例例 3 设函数 f(x

9、)ax3bxc(a0)为奇函数，其图象在点(1，f(1)处的切线与直线 x6y70 垂直，导函数 f (x)的最小值为12求 a，b，c 的值【分析】【分析】本题考查函数的奇偶性、二次函数的最值、导数的几何意义等基础知识，以及推理能力和运算能力题目涉及到三个未知数，而题设中有三个独立的条件，因此，通过解方程组来确定参数 a、b、c 的值解：解：f(x)为奇函数，f(x)f(x)，即ax3bxcax3bxc，c0f (x)3ax2b 的最小值为12，b12又直线 x6y70 的斜率为61，因此，f (1)3ab6，a2综上,a2，b12，c0例例 4已知 a0，函数axxf1)(，x(0，)设a

10、x201，记曲线 yf(x)在点 M(x1，f(x1)处的切线为 l(1)求 l 的方程；(2)设 l 与 x 轴的交点是(x2，0)，证明：ax102.【分析【分析】对于(1)，根据导数的几何意义，不难求出 l 的方程；对于(2)，涉及到不等式的证明，依题意求出用 x1表示的 x2后，将 x2视为 x1的函数，即 x2g(x1)，结合要证明的结论进行推理解：解：(1)对 f(x)求导数，得21)(xxf，由此得切线 l 的方程为：)(1)1(1211xxxaxy(2)依题意，切线方程中令 y0，得211112122)1(axxxaxxx由ax201，及)2(2112112axxaxxx，有

11、x20；另一方面，aaxaaxxx1)1(2212112，从而有ax102，当且仅当ax11时，ax12.【评析】【评析】本题考查的重点是导数的概念和计算、导数的几何意义及不等式的证明涉及的基础知识都比较基本，题目难度也不大，但把导数的相关知识与不等式等内容有机整合，具有一定新意，体现了导数作为工具分析和解决一些函数性质问题的方法本题中的(2)在证明ax102时，还可用如下方法：作法，. 0)1 (1211212112axaaxxaxa利用平均值不等式，aaxaxaaxaxaaxxx1)22(1)2)(1)2(21111112例例 5设函数),(1)( Zbabxaxxf，曲线 yf(x)在点

12、(2，f(2)处的切线方程为 y3(1)求 f(x)的解析式；(2)证明：曲线 yf(x)的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；(3)证明：曲线 yf(x)上任一点处的切线与直线 x1 和直线 yx 所围三角形的面积为定值，并求出此定值解：解：(1)2)(1)( bxaxf，于是, 0)2(1, 12122baba解得, 1, 1ba或.38,49ba因为 a，bZ，所以11)(xxxf(2)证明：已知函数 y1x，xy12都是奇函数，所以函数xxxg1)(也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形而1111)(xxxf，可知，函数 g(x)的图象按向量 a(1，1)平移，即得到函数

13、f(x)的图象，故函数 f(x)的图象是以点(1，1)为中心的中心对称图形(3)证明：在曲线上任取一点)11,(000 xxx由200) 1(11)( xxf知，过此点的切线方程为)() 1(11 110200020 xxxxxxy令 x1 得1100 xxy，切线与直线 x1 交点为)11, 1 (00 xx；令 yx 得 y2x01，切线与直线 yx 交点为(2x01，2x01)直线 x1 与直线 yx 的交点为(1，1)；从而所围三角形的面积为2|22|12|21| 112| 111|2100000 xxxxx所以，所围三角形的面积为定值 2练习练习 41一、选择题：一、选择题：1(ta

14、nx)等于()(A)x2sin1(B)x2sin1(C)x2cos1(D)x2cos12设 f(x)xlnx，若 f (x0)2，则 x0等于()(A)e2(B)e(C)22ln(D)ln23函数 yax21 的图象与直线 yx 相切，则 a 等于()(A)81(B)41(C)21(D)14曲线xy21e在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()(A)2e29(B)4e2(C)2e2(D)e2二、填空题：二、填空题：5f (x)是1231)(3xxxf的导函数，则 f (1)_6若函数 yf(x)的图象在点 M(1，f(1)处的切线方程是 yx2，则 f(1)f (1)_7过原点作

15、曲线 yex的切线，则切点的坐标为_；切线的斜率为_8设函数 f(x)xekx(k0)，则曲线 yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程是_三、解答题：三、解答题：9求下列函数的导数：(1)yxex；(2)yx3cosx；(3)y(x1)(x2)(x3)；(4)xxyln10已知抛物线 yax2bxc 经过点 A(1，1)，B(2，1)，且该曲线在点 B 处的切线方程为 yx3，求 a、b、c 的值11求曲线24121232xyxy与在交点处的两条切线的夹角的大小42导数的应用导数的应用【知识要点】【知识要点】1利用导数判断函数的单调性：(1)函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：设函数 f

16、(x)在区间(a，b)内可导，如果恒有 f (x)0，那么函数 f(x)在区间(a，b)内单调递增；如果恒有 f (x)0，那么函数 f(x)在区间(a，b)内单调递减值得注意的是，若函数 f(x)在区间(a，b)内有 f (x)0(或 f (x)0)，但其中只有有限个点使得 f (x)0，则函数 f(x)在区间(a，b)内仍是增函数(或减函数)(2)一般地，如果一个函数在某一范围内的导数的绝对值越大，说明这个函数在这个范围内变化得快这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就比较“平缓” 2利用导数研究函数的极值：(1)设函数 f(x)在点 x0附近有定义，如果对 x0附近

17、所有的点，都有 f(x)f(x0)，就说 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值，x0是极大值点；如果对 x0附近所有的点，都有 f(x)f(x0)，就说f(x0)是函数 f(x)的一个极小值，x0是极小值点(2)需要注意，可导函数的极值点必是导数为零的点，但导数为零的点不一定是极值点如 yx3在 x0 处的导数值为零，但 x0 不是函数 yx3的极值点也就是说可导函数 f(x)在 x0处的导数 f (x0)0 是该函数在 x0处取得极值的必要但不充分条件(3)函数 f(x)在区间a，b上的最值：f(x)在区间a，b上的最大值(或最小值)是 f(x)在区间(a，b)内的极大值(或极小值)及 f

18、(a)、f(b)中的最大者(或最小者)(4)应注意，极值只是相对一点附近的局部性质，而最值是相对整个定义域内的整体性质【复习要求】【复习要求】1了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(对多项式函数一般不超过三次)；2了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(对多项式函数一般不超过三次)； 会求闭区间上函数的最大值、 最小值(对多项式函数一般不超过三次)；3会利用导数解决某些实际问题【例题分析】【例题分析】例例 1求下列函数的单调区间：(1)f(x)x33x；(2)f(x)3x22lnx；(3)2) 1(2)(xbxxf解：解

19、：(1)f(x)的定义域是 R，且 f (x)3x23，令 f (x)0，得 x11，x21列表分析如下：x(，1)1(1，1)1(1，)f (x)00f(x)所以函数 f(x)的减区间是(1，1)，增区间是(，1)和(1，)(2)f(x)的定义域是(0，)，且xxxf26)(，令 f(x)0，得33,3321xx列表分析如下：x)33, 0(33),33(f (x)0f(x)所以函数 f(x)的减区间是)33, 0(，增区间是),33(3)f(x)的定义域为(，1)(1，)，求导数得3342) 1()1(2) 1(222) 1() 1(2)2() 1(2)(xxbxbxxxbxxxf令 f(

20、x)0，得 xb1当 b11，即 b2 时，f(x)的变化情况如下表：x(，b1)b1(b1，1)(1，)f (x)0所以，当 b2 时，函数 f(x)在(，b1)上单调递减，在(b1，1)上单调递增，在(1，)上单调递减当 b11，即 b2 时，f(x)的变化情况如下表：x(，1)(1，b1)b1(b1，)f (x)0所以，当 b2 时，f(x)在(，1)上单调递减，在(1，b1)上单调递增，在(b1，)上单调递减当 b11，即 b2 时，12)(xxf，所以 f(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递减【评析】【评析】求函数 f(x)的单调区间的步骤是：确定 f(x)的定义域(这一步

21、必不可少，单调区间是定义域的子集)；计算导数 f(x)；求出方程 f(x)0 的根；列表考察 f(x)的符号，进而确定 f(x)的单调区间(必要时要进行分类讨论)例例 2 求函数44313xxy的极值解：解：yx24(x2)(x2)，令 y0，解得 x12，x22列表分析如下：x(，2)2(2，2)2(2，)y00y极大值328极小值34所以当 x2 时，y 有极大值328；当 x2 时，y 有极小值34【评析】【评析】求函数 f(x)的极值的步骤是：计算导数 f(x)；求出方程 f(x)0 的根；列表考察 f(x)0 的根左右值的符号：如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值；如果左

22、负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值例例 3已知函数 f(x)x33x29xa(1)求 f(x)的单调递减区间；(2)若 f(x)在区间2，2上的最大值为 20，求它在该区间上的最小值解：解：(1)f(x)3x26x9令 f(x)0，解得 x1 或 x3所以函数 f(x)的单调递减区间为(，1)，(3，)(2)因为 f(2)81218a2a，f(2)81218a22a，所以 f(2)f(2)因为在(1，3)上 f(x)0，所以 f(x)在1，2上单调递增，又由于 f(x)在2，1上单调递减，因此 f(2)和 f(1)分别是 f(x)在区间2，2上的最大值和最小值于是有 22a20，解得

23、a2故 f(x)x33x29x2，因此 f(1)13927，即函数 f(x)在区间2，2上的最小值为7【评析】【评析】求函数 f(x)在闭区间a，b上最值的方法：计算导数 f(x)；求出方程 f(x)0 的根 x1，x2，；比较函数值 f(x1)， f(x2)， 及 f(a)、 f(b)的大小， 其中的最大(小)者就是 f(x)在闭区间a，b上最大(小)值例例 4设 f(x)，g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，当 x0 时，f(x)g(x)f(x)g(x)0，且 g(3)0，则不等式 f(x)g(x)0 的解集是()A(3，0)(3，)B(3，0)(0，3)C(，3)(3，)D(，

24、3)(0，3)【分析【分析】本题给出的信息量较大，并且还都是抽象符号函数解答时，首先要标出重要的已知条件，从这些条件入手，不断深入研究由 f(x)g(x)f(x)g(x)0 你能产生什么联想?它和积的导数公式很类似，整理可得f(x)g(x)0令 h(x)f(x)g(x)，则当 x0 时，h(x)是增函数再考虑奇偶性，函数 h(x)是奇函数还有一个已知条件 g(3)0，进而可得 h(3)f(3)g(3)0，这样我们就可以画出函数 h(x)的示意图，借助直观求解答案：D.例例 5求证：当 x0 时，1xex分析分析：不等式两边都是关于 x 的函数，且函数类型不同，故可考虑构造函数 f(x)1xex

25、，通过研究函数 f(x)的单调性来辅助证明不等式证明：证明：构造函数 f(x)1xex，则 f(x)1ex当 x0 时，有 ex1，从而 f(x)1ex0，所以函数 f(x)1xex在(0，)上单调递减，从而当 x0 时，f(x)f(0)0，即当 x0 时，1xex【评析【评析】通过构造函数，利用函数的单调性证明不等式是常用方法之一，而借助导数研究函数单调性辅助证明不等式突出了导数的工具性作用例例 6 用总长 14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架， 如果容器底面的长比宽多 0.5 m，那么长和宽分别为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积解：解：设容器底面长方形宽为 x m，则长为(

26、x0.5)m，依题意，容器的高为xxx22 . 3)5 . 0(448 .1441显然, 022 . 3, 0 xx0 x1.6，即 x 的取值范围是(0，1.6)记容器的容积为 y m3，则 yx(x0.5)(3.22x)2x32.2x21.6xx(0，1.6)对此函数求导得，y6x24.4x1.6令 y0，解得 0 x1；令 y0，解得 1x1.6所以，当 x1 时，y 取得最大值 1.8，这时容器的长为 10.51.5答：容器底面的长为 1.5m、宽为 1m 时，容器的容积最大，最大容积为 1.8m3【评析【评析】解决实际优化问题的关键在于建立数学模型(目标函数)，通过把题目中的主要关系

27、(等量和不等量关系)形式化，把实际问题抽象成数学问题，再选择适当的方法求解例例 7已知 f(x)ax3cxd(a0)是 R 上的奇函数，当 x1 时，f(x)取得极值2(1)求 f(x)的解析式；(2)证明对任意 x1、x2(1，1)，不等式f(x1)f(x2)4 恒成立【分析】【分析】对于(1)题目涉及到三个未知数，而题设中有三个独立的条件，因此，通过解方程组来确定参数 a、c、d 的值；对于(2)可通过研究函数 f(x)的最值加以解决解：解：(1)由 f(x)ax3cxd(a0)是 R 上的奇函数，知 f(0)0，解得 d0，所以 f(x)ax3cx(a0)，f(x)3ax2c(a0)由当

28、 x1 时，f(x)取得极值2，得 f(1)ac2，且 f(1)3ac0，解得a1，c3，所以 f(x)x33x(2)令 f(x)0，解得 x1，或 x1；令 f(x)0，解得1x1，从而函数 f(x)在区间(，1)内为增函数，(1，1)内为减函数，在(1，)内为增函数故当 x1，1时，f(x)的最大值是 f(1)2，最小值是 f(1)2，所以，对任意 x1、x2(1，1)，|f(x1)f(x2)|2(2)4【评析【评析】使用导数判断函数的单调性， 进而解决极值(最值)问题是常用方法，较为简便例例 8已知函数 f(x)xlnx(1)求 f(x)的最小值；(2)若对所有 x1 都有 f(x)ax

29、1，求实数 a 的取值范围解：解：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)的导数 f(x)1lnx令 f(x)0，解得e1x；令 f(x)0，解得e10 x从而 f(x)在)e1, 0(单调递减，在),e1(单调递增所以，当e1x时，f(x)取得最小值e1(2)解法一：令 g(x)f(x)(ax1)，则 g(x)f(x)a1alnx，若 a1，当 x1 时，g(x)1alnx1a0，故 g(x)在(1，)上为增函数，所以，x1 时，g(x)g(1)1a0，即 f(x)ax1若 a1，方程 g(x)0 的根为 x0ea1，此时，若 x(1，x0)，则 g(x)0，故 g(x)在该区间为减函数所

30、以，x(1，x0)时，g(x)g(1)1a0，即 f(x)ax1，与题设 f(x)ax1 相矛盾综上，满足条件的 a 的取值范围是(，1解法二：依题意，得 f(x)ax1 在1，)上恒成立，即不等式xxa1ln对于 x1，)恒成立令xxxg1ln)(，则)11 (111)(2xxxxxg当 x1 时，因为0)11 (1)(xxxg，故 g(x)是(1，)上的增函数，所以 g(x)的最小值是 g(1)1，从而 a 的取值范围是(，1例例 9已知函数) 1ln()1 (1)(xaxxfn，其中 nN*，a 为常数(1)当 n2 时，求函数 f(x)的极值；(2)当 a1 时，证明：对任意的正整数

31、n，当 x2 时，有 f(x)x1解：解：(1)由已知得函数 f(x)的定义域为xx1，当 n2 时，) 1ln()1 (1)(2xaxxf，所以32)1 ()1 (2)( xxaxf当 a0 时，由 f(x)0 得121, 12121axax，此时321)1 ()()(xxxxxaxf当 x(1，x1)时，f(x)0，f(x)单调递减；当 x(x1，)时，f(x)0，f(x)单调递增当 a0，f(x)0 恒成立，所以 f(x)无极值综上所述，n2 时，当 a0 时，f(x)在ax21处取得极小值，极小值为)2ln1 (2)21 (aaaf当 a0 时，f(x)无极值(2)证法一：因为 a1，

32、所以) 1ln()1 (1)(xxxfn当 n 为偶数时，令) 1ln()1 (11)(xxxxgn，则)2(0) 1(1211) 1(1)(11xxnxxxxnxgnn所以当 x2 时，g(x)单调递增，又 g(2)0，因此0)2() 1ln() 1(11)(gxxxxgn恒成立，所以 f(x)x1 成立当 n 为奇数时，要证 f(x)x1，由于0)1 (1nx，所以只需证 ln(x1)x1，令 h(x)x1ln(x1)，则)2(012111)(xxxxxh所以，当 x2 时，h(x)x1ln(x1)单调递增，又 h(2)10，所以，当 x2 时，恒有 h(x)0，即 ln(x1)x1 成立

33、综上所述，结论成立证法二：当 a1 时，) 1ln()1 (1)(xxxfn.当 x2 时，对任意的正整数 n，恒有1)1 (1nx，故只需证明 1ln(x1)x1令 h(x)x11ln(x1)x2ln(x1)，x2，)，则12111)(xxxxh，当 x2 时，h(x)0，故 h(x)在2，)上单调递增，因此当 x2 时，h(x)h(2)0，即 1ln(x1)x1 成立故当 x2 时，有1) 1ln()1 (1xxxn，即 f(x)x1练习练习 42一、选择题：一、选择题：1函数 y13xx3有()(A)极小值2，极大值 2(B)极小值2，极大值 3(C)极小值1，极大值 1(D)极小值1，

34、极大值 32f (x)是函数 yf(x)的导函数，yf (x)图象如图所示，则 yf(x)的图象最有可能是()3函数 f(x)ax3x 在 R 上为减函数，则 a 的取值范围是()(A)a0(B)a0(C)31a(D)31a4设 aR，若函数 f(x)exax，xR 有大于零的极值点，则 a 的取值范围是()(A)a1(B)a1(C)e1a(D)e1a二、填空题：二、填空题：5函数 f(x)x33ax22bx 在 x1 处取得极小值1，则 ab_6函数 yx(1x2)在0，1上的最大值为_7已知函数 f(x)2x36x2a 在2，2上的最小值为37，则实数 a_8有一块边长为 6m 的正方形铁

35、板，现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器，为使其容积最大，截下的小正方形边长为_m三、解答题：三、解答题：9已知函数 f(x)x3ax2bx(a，bR)的图象过点 P(1，2)，且在点 P 处的切线斜率为 8(1)求 a，b 的值；(2)求函数 f(x)的单调区间；(3)求函数 f(x)在区间1，1上的最大值与最小值10当)2, 0(x时，证明：tanxx11已知函数 f(x)exex(1)证明：f(x)的导数 f (x)2；(2)若对所有 x0 都有 f(x)ax，求 a 的取值范围43定积分与微积分基本定理定积分与微积分基本定理【知识要点】【知识要点】1曲边

36、梯形的面积与定积分：(1)定积分定义：设函数 yf(x)定义在区间a，b上用分点 ax0 x1x2xn1xnb 把区间a，b分为 n 个小区间，其长度依次为xixi1xi，i0，1，2，n1记为这些小区间长度的最大者当趋近于 0 时，所有的小区间的长度都趋近于 0在每个小区间内任取一点i，作和式)(10ifSninix当0 时，如果和式的极限存在，我们把 和式 Sn的极 限叫做函 数 f(x)在区 间a ，b上的 定积分， 记作xxfbad)(，即iinibaxfxxf)(limd)(100其中 f(x)叫做被积函数，a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，此时称函数 f(x)在区间a，b上可积(

37、2)定积分性质：定积分有三条主要的性质：xxfkxxkfbabad)(d)(k 为常数)；xxgxxfxxgxfbababad)(d)(d)()(；)(d)(d)(d)(bcaxxfxxfxxfbcbaca说明： 性质对于有限个函数(两个以上)也成立； 性质对于把区间a， b分成有限个(两个以上)区间也成立在定积分的定义中，xxfbad)(限定下限小于上限，即 ab为了计算方便，我们把定积分的定义扩展，使下限不一定小于上限，并规定：.d)(d)(xxfxxfbaab(3)几种典型的曲边梯形面积的计算方法：由三条直线 xa，xb(ab)，x 轴，一条曲线 yf(x)(f(x)0)围成的曲边梯形的

38、面积.d)(xxfSba由三条直线 xa，xb(ab)，x 轴，一条曲线 yf(x)(f(x)0)围成的曲边梯形的面积.d)(d)(xxfxxfbaba由两条直线 xa，xb(ab)，两条曲线 yf(x)，yg(x)(f(x)g(x)围成的平面图形的面积.d)()(xxgxfSba由三条直线 xa，xb(ab)，x 轴，一条曲线 yf(x)围成的曲边梯形的面积caxxfSd)(xxfbcd)(，即在区间a，b上，f(x)有正有负，求曲边梯形的面积时应分段计算2 微 积 分 基 本 定 理 ： 如 果 F(x) f(x) ， 且 f(x) 在 a ， b 上 可 积 ， 则)()(d)(aFbF

39、xxfab， 其中 F(x)叫做 f(x)的一个原函数 原函数在a， b上的改变量 F(b)F(a)简记作baxF| )(，因此微积分基本定理可以写成)()(| )(d)(aFbFxFxxfabba【复习要求】【复习要求】1了解定积分的概念；2了解微积分基本定理的含义【例题分析】【例题分析】例例 1计算下列定积分：(1)xx d220；(2)xxdsin0；(3)3edxx；(4)xxxd )sin3(20；(5)xcbxaxd )(102；(6)xxxd )cos(sin2解：解：(1)38|31d203220 xxx(2)20coscos|cosdsin00 xxx(3)13ln|lnd3

40、e3exxx(4)183| )cos23(d)sin3(220202xxxxx(5)cbacxxbxaxcbxax23| )2.3(d)(1021032(6)2| )sincos(d)cos(sin22xxxxx【评析】【评析】求xxfbad)(一般分为两步：求 f(x)的原函数 F(x)；计算 F(b)F(a)的值，对于求较复杂函数的定积分还要依据定积分的性质例例 2计算下列定积分：(1)xx d |11； (2)设. 0, 1cos, 0,)(2xxxxxf求xxfd)(11解：解：(1)1|212d2d |1021011xxxxx(2)321sin| )(sin|3d) 1(cosd)(

41、101001311201xxxxxxxdxxf【评析】【评析】设 f(x)在区间a，a上连续，则 f(x)是偶函数时，xxfaad)()(;d)(20 xfxxfa是奇函数时，. 0d)(xxfaa当 f(x)是分段函数时，求积分应分段进行例例 3 求曲线 yex，yex及直线 x1 所围成图形的面积解：解：两条曲线 yex，yex的交点为(0，1)，故所求面积. 2ee| )ee (d)ee (11010 xxxxxS例例 4 过原点的直线 l 与抛物线 yx22ax(a0)所围成图形的面积为329a，求直线 l 的方程解：解：设直线 l 的方程为 ykx，将其代入 yx22ax(a0)，解

42、得 x0 或 x2ak当 2ak0 时，所求面积为kakaxxkaxaxxkxS2032022| )322(d)2(6)2(3ka令33296)2(aka，解得 ka，此时直线 l 的方程为 yax当 2ak0 时，所求面积为0230222| )322(d)2(kakaxxkaxaxxkxS6)2(3ka令33296)2(aka，解得 k5a，此时直线 l 的方程为 y5ax习题习题 4一、选择题：一、选择题：1曲线 yex在点(1，e)处导数为()(A)1(B)e(C)1(D)e2曲线 yx32x4 在点(1，3)处切线的倾斜角为()(A)30(B)45(C)60(D)1203函数 f(x)

43、的定义域为开区间(a，b)，导函数 f (x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数 f(x)在开区间(a，b)内有极小值点()(A)1 个(B)2 个(C)3 个(D)4 个4函数 f(x)xlnx 的最小值是()(A)e(B)e(C)e1(D)e15设 f(x)、g(x)是定义域为 R 的恒大于零的可导函数，且 f (x)g(x)f(x)g (x)0，则当 axb 时，一定有()(A)f(x)g(x)f(b)g(b)(B)f(x)g(a)f(a)g(x)(C)f(x)g(b)f(b)g(x)(D)f(x)g(x)f(a)g(a)6设曲线 yax2在点(1，a)处的切线与直线 2xy60 平行

44、，则 a_7如图，函数 f(x)的图象是折线段 ABC，其中 A，B，C 的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(6，4)，则函数 f(x)在 x1 处的导数 f(1)_8函数 y2x33x212x5 在0，3上的最大值是_；最小值是_9设 aR，函数 f(x)x3ax2(a3)x 的导函数是 f (x)，若 f (x)是偶函数，则曲线 yf(x)在原点处的切线方程为_10抛物线 yx2x 与 x 轴所围成封闭图形的面积是_三、解答题：三、解答题：11设函数 f(x)xekx(k0)(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)若函数 f(x)在区间(1，1)内单调递增，求 k 的取值范围12设函数

45、f(x)2x33ax23bx8c 在 x1 及 x2 时取得极值(1)求 a，b 的值；(2)若对于任意的 x0，3，都有 f(x)c2成立，求 c 的取值范围13设 a0，函数axaxxxfe )1()(2(1)当 a2 时，求函数 f(x)的单调区间；(2)若不等式03)(axf对任意实数 x 恒成立，求 a 的取值范围14已知函数 f(x)ln(xa)x2(1)若当 x1 时，f(x)取得极值，求 a 的值，并讨论 f(x)的单调性；(2)若 f(x)存在极值，求 a 的取值范围，并证明所有极值之和大于2eln专题四专题四导数参考答案导数参考答案练习练习 41一、选择题：一、选择题：1C

46、2B3B4D二、填空题：二、填空题：53647(1，e)；e8yx三、解答题：三、解答题：9(1)y1ex；(2)y3x2sinx；(3)y3x212x11；(4)2ln1xxy10略解：因为抛物线 yax2bxc 经过点 A(1，1)，B(2，1)两点，所以abc14a2bc1因为 y2axb，所以 yx24ab故 4ab1联立、，解得 a3，b11，c911解：由01622412122332xxxyxy，所以(x2)(x24x8)0，故 x2，所以两条曲线只有一个交点(2，0)对函数2212xy求导数，得 yx，从而曲线2212xy在点(2，0)处切线的斜率是2对函数2413xy求导数，得

47、243xy ，从而曲线2413xy在点(2，0)处切线的斜率是 3设两条切线的夹角为，则1|3)2(132|tan，所以两条切线的夹角的大小是 45练习练习 42一、选择题：一、选择题：1D2C3B4A二、填空题：二、填空题：56169327381三、解答题：三、解答题：9解：(1)a4，b3(2)函数 f(x)的单调增区间为(，3)，),31(；减区间为)31, 3(3)函数 f(x)在1，1上的最小值为2714，最大值为 610证明：设 f(x)tanxx，)2, 0(x则0tan1cos11)cossin()(2 .2xxxxxf，所以函数 f(x)tanxx 在区间)2, 0(内单调递

48、增又 f(0)0，从而当)2, 0(x时，f(x)f(0)恒成立，即当)2, 0(x时，tanxx11解：(1)f(x)的导数 f (x)exex由于2ee2eexxxx，故 f (x）2，当且仅当 x0 时，等号成立(2)令 g(x)f(x)ax，则g(x)f(x)aexexa，若 a2，当 x0 时，g(x)exexa2a0，故 g(x)在(0，)上为增函数，所以，x0 时，g(x)g(0)，即 f(x)ax若 a2，方程 g(x)0 的正根为24ln21aax，此时，若 x(0，x1)，则 g(x)0，故 g(x)在该区间为减函数所以，x(0，x1)时，g(x)g(0)0，即 f(x)a

49、x，与题设 f(x)ax 相矛盾综上，满足条件的 a 的取值范围是(，2习题习题 4一、选择题：一、选择题：1B2B3A4D5C二、填空题：二、填空题：617285；159y3x1061三、解答题：三、解答题：11(1)f (x)(1kx)ekx，令(1kx)ekx0，得)0(1 kkx若 k0，则当)1,(kx时，f (x)0，函数 f(x)单调递减；当),1(kx时，f (x)0，函数 f(x)单调递增若 k0，则当)1,(kx时，f (x)0，函数 f(x)单调递增；当),1(kx时，f (x)0，函数 f(x)单调递减(2)若 k0，则当且仅当11k，即 k1 时，函数 f(x)在区间

50、(1，1)内单调递增；若 k0，则当且仅当11k，即 k1 时，函数 f(x)在区间(1，1)内单调递增综上，函数 f(x)在区间(1，1)内单调递增时，k 的取值范围是1，0)(0，112解：(1)f (x)6x26ax3b，因为函数 f(x)在 x1 及 x2 取得极值，则有 f (1)0，f (2)0即. 031224, 0366baba解得 a3，b4(2)由(1)可知，f(x)2x39x212x8c，f (x)6x218x126(x1)(x2)当 x(0，1)时，f (x)0；当 x(1，2)时，f (x)0；当 x(2，3)时，f (x)0所以，当 x1 时，f(x)取得极大值 f