第一章 勾股定理-1 探索勾股定理-勾股定理的图形验证-ppt课件-(含教案+视频+素材)-省级公开课-北师大版八年级上册数学(编号：f031b).zip

5 米 3 米 3 米 4 米 20 米 1.11.1 探索勾股定理探索勾股定理 （2 2）练习题）练习题1斜边为，一条直角边长为的直角三角形的面积是（ ）cm17cm15(A) 60 (B) 30 (C) 90 (D) 1202. 等腰三角形的腰长为 10,底长为 12,则其底边上的高为( ) （A）13 （B）8 （C）25 （D）64 3. 已知一个 Rt的两边长分别为 3 和 4，则第三边长的平方是（）（A）25（B）14（C）7（D）7 或 254. 在直角三角形中，斜边=2，则=_.ABCAB222ABACBC5. 直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为 .6. 如图1-1-8为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要_米.7. 如图 1-1-9，校园内有两棵树，相距 12 米，一棵树高 13 米，另一棵树高 8 米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞_米.8. 如图 1-1-10，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽 4 米，高 3 米，长 20 米，棚的斜面用塑料布遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积.9利用两个全等的三角形拼成如图图形，且RtRtABCCDE90BD 三点共线，能证明了勾股定理，现请你尝试该证明过程BCD，图 1-1-8图 1-1-9图 1-1-10图 1-1-1110如图，已知长方形 ABCD 中 AB=8 cm,BC=10 cm,在边 CD 上取一点 E，将ADE 折叠使点 D 恰好落在 BC 边上的点 F，求 CE 的长.图 1-1-12 勾股定理勾股定理abcabc学习目标：学习目标： 知识与技能目标知识与技能目标 掌握勾股定理及其验证，并能应用勾股掌握勾股定理及其验证，并能应用勾股定理解决一些实际问题，定理解决一些实际问题， 过程与方法目标过程与方法目标 经历勾股定理的验证过程，体会数形结经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想合的思想和从特殊到一般的思想. 情感与态度目标情感与态度目标 培养探究能力；培养应用数学的意识培养探究能力；培养应用数学的意识.通过对勾股定理历史的了解，感受数学文通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，增强爱国情感。化，增强爱国情感。cmab求长方形的面积求长方形的面积 方法（方法（1）：）： m（a+b+c）方法（方法（2）：）：m(a+b+c)=ma+mb+mcma+mb+mcmambmc温故而知新温故而知新用不用不同的同的方法表示所拼方法表示所拼图的图的面积面积mnmabnba方法方法（1 1）：）：(m+b)(n+a)mn+ma+bn+ba=方法方法（2 2）：）：（m+b)(n+a）mn+ma+bn+bab ba aa ab bb bb ba-ba-ba aa ab bb ba-a-b ba-ba-b计算阴影的面积计算阴影的面积方法（方法（1）：）：方法（方法（2）：）：（a+b)(a-b）请请同学同学们画四们画四个个与右与右图图全等全等的的直角直角三三角形角形，并把并把它它剪下来剪下来。a ab bc c用用这这四四个三个三角形拼一拼、摆一摆角形拼一拼、摆一摆，看看看看是是否否得到一得到一个个含有以斜边含有以斜边c c为为边长边长的正的正方形方形，你你能利用能利用它它说明说明勾股定理勾股定理吗？并与吗？并与同同伴交流伴交流。ABCcabcabcaba2+2ab+b2 = c2 +2aba2+b2=c2大正方形的面积可以表示为大正方形的面积可以表示为 ；也可以表示为也可以表示为(a+b)2c2 +4ab/2证法一证法一cba证法二证法二：（毕达哥拉斯证法）（毕达哥拉斯证法） 如图，两个全等的正方形，双方都去如图，两个全等的正方形，双方都去掉四个全等带阴影的直角三角形后，两正掉四个全等带阴影的直角三角形后，两正方形中剩下的部分面积应相等。方形中剩下的部分面积应相等。 即：即：ABC证法证法三：三： （赵爽证法）（赵爽证法）ABCD正方形正方形ABCD的面积为的面积为方法（方法（2）：四个三角形：四个三角形与一个小正方形的和，与一个小正方形的和，即即 方法（方法（1）：）： 在在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景的美景他走着走着，突然发现附近的一个小他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨由于好奇心驱，时而大声争论，时而小声探讨由于好奇心驱使他循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到使他循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么只见一个小男孩正俯着身子用树枝底在干什么只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形在地上画着一个直角三角形勾股定理的勾股定理的 于于是这是这位位中年中年人不再散步人不再散步，立即回立即回家，家，潜心探讨小男孩潜心探讨小男孩给给他留下他留下的的难题难题。他他经经过过反复反复的的思考与演思考与演算，算，终于弄清楚了其终于弄清楚了其中的中的道道理，理，并并给出给出了简洁了简洁的的证明方法证明方法。1 187876 6年年4 4月月1 1日日，他他在在新英格兰新英格兰教育日教育日志志上发表了他对上发表了他对勾股定理的这勾股定理的这一一证法证法。 1 188881 1年，这年，这位位中年中年人人伽菲尔德伽菲尔德就就任美任美国国第二十任总统第二十任总统。后来后来，人们人们为为了纪了纪念他对念他对勾股定理勾股定理直观、简捷、易懂、明了直观、简捷、易懂、明了的的证明证明，就，就把把这这一证法一证法称为称为“总统总统”证法证法。 证法四证法四：（伽菲尔德证法（伽菲尔德证法1876年）年）ABCDE 如图，如图，RtABE RtECD，可知可知AED=90；梯形梯形ABCD的面积的面积梯形梯形ABCD的面积的面积abcabc例：例：我我方侦查员小王方侦查员小王在在距离东西向公路距离东西向公路4 40000米处侦查米处侦查, ,发现一辆敌方汽车发现一辆敌方汽车在在公路上疾驶公路上疾驶. .他赶紧拿他赶紧拿出出红外线测距仪红外线测距仪, ,测得汽车与他测得汽车与他相距相距4 40000米米, ,1010秒后秒后, ,汽车与他相距汽车与他相距500500米米, ,你你能帮小王计能帮小王计算算敌方汽车敌方汽车的的速度吗？速度吗？ 如图，学如图，学校有一块长方形花圃校有一块长方形花圃，有极少有极少数同学为数同学为了避了避开开拐角走拐角走“捷径捷径”，在，在花花圃内走圃内走出出了一条了一条“路路”，他们仅仅少走他们仅仅少走了了（ ）米）米，却踩伤了花草却踩伤了花草. . ccbbaa观观察察图图，用用数数格格子子的的方方法法判判断断图图中中三三角角形形的的三边长是否满足三边长是否满足a+b=c。议一议议一议3 3. .如图在如图在ABCABC中，中，ACB=90ACB=90 ，C CDDABAB，D D为为垂足垂足，AC=AC=3 3 , , BC=BC=4 4. .求斜边求斜边ABAB上上的的高高C CD D的的长长。D DA AB BC C我我最最大的大的收获；收获；我我表现较好表现较好的的方面；方面；我学会我学会了哪些知识；了哪些知识；我我还有哪些疑惑还有哪些疑惑结束寄语结束寄语 悟性的高低取决于有无悟悟性的高低取决于有无悟“心心”,其实其实,人与人的差别就在于你是否去人与人的差别就在于你是否去思考思考,去发现去发现.下课了!练习练习 1如图是如图是某沿江地区交通平面某沿江地区交通平面图，为图，为了加快了加快经经济发展济发展，该地区拟修建一条连接该地区拟修建一条连接M，O，Q三三城城市市的的沿江高速沿江高速，已知沿江高速已知沿江高速的的建设建设成成本本是是5000万元万元/ km，该沿江高速该沿江高速的的造价预计造价预计是是多少？多少？M MP PN NO OQ Q3 30 0k km m4 40 0k km m5050k km m120120k km m实践应用二实践应用二：探索情境探索情境1 1、如图，如图，一棵一棵大大树树在在一次强烈台风一次强烈台风中中于离于离地面地面9 9米处折断倒下米处折断倒下，树顶落树顶落在在离树根离树根1212米米处处。大。大树树在在折断之前高多少？折断之前高多少？2、等腰三角形底边上的高为、等腰三角形底边上的高为8，周长为，周长为32，求这个三角形的面积求这个三角形的面积.解：设三角形解：设三角形ABC的高为的高为AD，设，设BD为为X，则，则AB为（为（16-X），）， 由勾股定理得：由勾股定理得：X2+82=(16-X)2即即X2+64=256-32X+X2 X=6 SABC=BCAD/2=2 6 8/2=48英国业余数学家佩里哥尔的证英国业余数学家佩里哥尔的证法法毕达哥拉斯的证法毕达哥拉斯的证法美国第二十任总统伽菲尔德的证美国第二十任总统伽菲尔德的证法法赵爽的弦图以及印度婆什伽罗的证法我我国国魏魏晋晋时时期期数数学学家家刘刘徽徽的的证证法法我我国国清清代代数数学学家家梅梅文文鼎鼎的的证证法法我国清代数学家华华蘅蘅芳芳的证法无字证明无字证明青出青出朱朱方方青方青方朱入朱入朱朱出出青入青入青青入入青出青出青青出出青青朱朱出入图出入图abcABCDEFO方方法法三三: :意意大大利利文文艺艺复复兴兴时时代代的的著著名名画画家家达达芬芬奇奇对对勾勾股股定理定理进行了研究进行了研究。第第三三种种类类型型：AaBCbDEFOABCDEF第第二二种种类类型型：以以欧欧几几里里得得的的证证明明方方法法为为代代表表，运运用用欧欧氏氏几几何何的的基基本本定定理理进进行行证证明明，反映了反映了勾股定理的勾股定理的几何意义几何意义。如图，如图，过过 A 点画一点画一直直线线 AL 使其垂使其垂直于直于 DE， 并交并交 DE 于于 L，交交 BC 于于 M。通过证通过证明明BCFBDA，利用利用三三角形面积角形面积与与长方形面积的关长方形面积的关系系，得到得到正方形正方形ABFG与矩与矩形形BDLM等积，等积，同同理正方形理正方形ACKH与与 矩矩形形MLEC也也等积等积，于是，于是推得推得第第二二种种类类型型：以以欧欧几几里里得得的的证证明明方方法法为为代代表表，运运用用欧欧氏氏几几何何的的基基本本定定理理进进行行证证明明，反反映映了了勾勾股定理的股定理的几何意义几何意义。DABC比比谁比比谁算算得快得快: :蚂蚁沿蚂蚁沿图中的图中的折线从折线从A A点爬到点爬到D D点点，一共爬了多少厘米？一共爬了多少厘米？（小方格小方格的的边长边长为为1 1厘米）厘米）GFE1 、下列阴影部分是一个正方形，求此正方形的面积下列阴影部分是一个正方形，求此正方形的面积15厘米厘米17厘米厘米解：设正方形的边长为解：设正方形的边长为x厘米厘米 , 则则 x2=172-152 x2=64答：正方形的面积是答：正方形的面积是64平方厘米。平方厘米。练一练练一练补充练习：补充练习：1、放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿着东、放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿着东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是是40米米/分，小红用分，小红用15分钟到家，小颖用分钟到家，小颖用20分钟到家，分钟到家，小红和小颖家的距离为小红和小颖家的距离为 （ ）A、600米；米； B、800米；米； C、1000米；米； D、不能确定、不能确定2、直角三角形两直角边分别为、直角三角形两直角边分别为5厘米、厘米、12厘米，那么厘米，那么斜边上的高是斜边上的高是 （ ）A、6厘米；厘米； B、 8厘米；厘米； C、 80/13厘米；厘米；D、 60/13厘米；厘米； CD 课堂练习：课堂练习： 一、判断题一、判断题. 1. ABC的两边的两边AB=5,AC=12,则则BC=13 ( ) 2. ABC的的a=6,b=8,则则c=10 ( ) 二填空题二填空题 1.在在 ABC中中,C=90, (1)若若c=10,a:b=3:4,则则a=_,b=_. (2)若若a=9,b=40,则则c=_. 2.在在 ABC中中, C=90,若若AC=6,CB=8,则则 ABC面积为面积为_,斜边为上的高为斜边为上的高为_. 6841 244.81.一轮船以一轮船以16海里海里/小时的速度离小时的速度离A港向东北港向东北方向航行，另一艘轮船同时以方向航行，另一艘轮船同时以12海里海里/小时的小时的速度离速度离A港向西北方向航行，港向西北方向航行，2小时后，两船小时后，两船相距多少海里？相距多少海里？1.1.如图，如图，折叠矩形纸片折叠矩形纸片ABCABCD D，先折先折出出折痕折痕B BD D，再折叠使再折叠使A AD D边与对角线边与对角线B BD D重合重合，得折痕得折痕DGDG，若若AB=AB=8 8，A AD D=6=6，求求A AG G的的长长A将矩形纸片将矩形纸片ABCD沿对角线沿对角线AC折叠，使点折叠，使点B落在点落在点E处处,与与AD交于点交于点F，若，若AB=4,BC=8,求求AFC的面积。的面积。 5.已知，如图，在已知，如图，在RtABC中，中，C=90， 1=2，CD=1.5, BD=2.5, 求求AC的长的长.提示：作辅助线提示：作辅助线DEAB，利用平，利用平分线的性质和勾股定理。分线的性质和勾股定理。解：解：v 过过D点做点做DEABDACB12Ev 1=2, C=90v DE=CD=1.5v 在在 RtDEB中中,根据勾股定理根据勾股定理,得得v BE2=BD2-DE2=2.52-1.52=4 BE=2v 在在RtACD和和 RtAED中中,v CD=DE , AD=AD v RtACD RtAEDv AC=AEv 令令AC=x,则则AB=x+2v 在在 RtABC中中,根据勾股定理根据勾股定理,得得 AC2+BC2=AB2v 即即:x2+42=(x+2)2 x=3x4.如图，铁路上如图，铁路上A，B两点相距两点相距25km，C，D为为 两村庄，两村庄，DAAB于于A，CBAB于于B，已知，已知 DA=15km，CB=10km，现在要在铁路，现在要在铁路AB上上 建一个土特产品收购站建一个土特产品收购站E，使得，使得C，D两村到两村到 E站的距离相等站的距离相等. (1)E站应建在离站应建在离A站多少站多少km处？处？ (2)求两村与土特产品收购站围成的三角形的面积求两村与土特产品收购站围成的三角形的面积二、练习（一）、选择题（一）、选择题1已知一个已知一个Rt的两边长分别为的两边长分别为3和和4，则第三，则第三 边长的平方是（）边长的平方是（） A、25 B、14C、7D、7或或252下列各组数中，以下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是为边的三角形不是 Rt的是（）的是（） A、a=1.5，b=2,c=3 B、a=7,b=24,c=25 C、a=6,b=8,c=10 D、a=3,b=4,c=5DA3若线段若线段a，b，c组成组成Rt，则它们的比为（），则它们的比为（） A、2 3 4 B、3 4 6C、5 12 13D、4 6 7C1、在、在RtABC中，中，C=90， 若若a=5，b=12，则，则c=_； 若若a=15，c=25，则，则b=_； 若若c=61，b=60，则，则a=_； 若若a b=3 4，c=10则则SRtABC=_。 （二）、填空题（二）、填空题2、直角三角形两直角边长分别为、直角三角形两直角边长分别为5和和12，则它，则它 斜边上的高为斜边上的高为_。 13201124探究与思考探究与思考1.在直角三角形中在直角三角形中,斜边长为斜边长为13cm,一直角一直角边长为边长为12cm,求这个直角三角形的面积和求这个直角三角形的面积和周长周长.2.在直角三角形中在直角三角形中,斜边长为斜边长为26cm,一直角一直角边长为另一直角边长的边长为另一直角边长的2.4倍求这个直角倍求这个直角三角形的面积和周长三角形的面积和周长.例例1 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方飞到一个男孩头顶正上方4000米处，过了米处，过了20秒，飞机距离这个男孩秒，飞机距离这个男孩5000米，飞机每小时米，飞机每小时飞行多少千米？飞行多少千米？4000500050004000CBA第一章第一章 勾股定理勾股定理1.1. 探索勾股定理探索勾股定理（第（第 2 2 课时）课时）一、学生起点分析一、学生起点分析学生的知识技能基础：学生在七年级已经学习了整式的加、减、乘、除运算和等式的基本性质，并能进行简单的恒等变形；上节课又已经通过测量和数格子的方法，对具体的直角三角形探索并发现了勾股定理，但没有对一般的直角三角形进行验证.学生活动经验基础：学生在以前数学学习中已经经历了很多独立探究和合作学习的过程，具有了一定的自主探究经验和合作学习的经验，具备了一定的探究能力和合作与交流的能力；学生在七年级七巧板及图案设计的学习中已经具备了一定的拼图活动经验.二、教学任务分析二、教学任务分析本节课是八（上）勾股定理第 1 节第 2 课时，是在上节课已探索得到勾股定理之后的内容，具体学习任务：通过拼图验证勾股定理并体会其中数形结合的思想；应用勾股定理解决一些实际问题，体会勾股定理的应用价值并逐步培养学生应用数学解决实际问题意识和能力 ，为后面的学习打下基础.为此本节课的教学目标是：1.掌握勾股定理及其验证，并能应用勾股定理解决一些实际问题.2.在上节课对具体的直角三角形探索发现了勾股定理的基础上，经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想.3.在勾股定理的验证活动中，培养探究能力和合作精神；通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，增强爱国情感，并通过应用勾股定理解决实际问题，培养应用数学的意识.用面积法验证勾股定理，应用勾股定理解决简单的实际问题是本节课的重点.三、教学过程三、教学过程本节课设计了七个教学环节：（一）复习设疑，激趣引入；（二）小组活动，拼图验证；（三）延伸拓展，能力提升 （四） 例题讲解，初步应用；（五） 追溯历史，激发情感；（六） 回顾反思，提炼升华；（七） 布置作业，课堂延伸.第一环节：第一环节： 复习设疑，激趣引入复习设疑，激趣引入内容内容：教师提出问题：（1）勾股定理的内容是什么？（请一名学生回答）（2）上节课我们仅仅是通过测量和数格子，对具体的直角三角形探索发现了勾股定理，对一般的直角三角形，勾股定理是否成立呢？这需要进一步验证，如何验证勾股定理呢？事实上，现在已经有几百种勾股定理的验证方法，这节课我们也将去验证勾股定理. 意图：意图：（1）复习勾股定理内容；（2）回顾上节课探索过程，强调仍需对一般的直角三角形进行验证，培养学生严谨的科学态度；（3）介绍世界上有数百种验证方法，激发学生兴趣. 效果效果：通过这一环节，学生明确了：仅仅探索得到勾股定理还不够，还需进行验证.当学生听到有数百种验证方法时，马上就有了去寻求属于自己的方法的渴望.第二环节：小组活动，拼图验证第二环节：小组活动，拼图验证. 内容：内容： 活动活动 1 1： 教师导入，小组拼图.教师：今天我们将研究利用拼图的方法验证勾股定理，请你利用自己准备的四个全等的直角三角形，拼出一个以斜边为边长的正方形.（请每位同学用2 分钟时间独立拼图，然后再 4 人小组讨论.） 活动活动 2 2：层层设问，完成验证一.学生通过自主探究，小组讨论得到两个图形： 图图 2 22 图图1在此基础上教师提问：（1）如图 1 你能表示大正方形的面积吗？能用两种方法吗？（学生先独立思考，再 4 人小组交流） ；（2）你能由此得到勾股定理吗？为什么？（在学生回答的基础上板书(a+b)2=4ab+c2.并得到）21222cba从而利用图 1 验证了勾股定理.活动活动 3 3 ： 自主探究，完成验证二.教师小结：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，联系整式运算的有关知识，从理论上验证了勾股定理，你还能利用图 2 验证勾股定理吗？（学生先独立探究，再小组交流，最后请一个小组同学上台讲解验证方法二）意图：意图：设计活动 1 的目的是为了让学生在活动中体会图形的构成，既为勾股定理的验证作铺垫，同时也培养学生的动手、创新能力.在活动 2 中，学生在教师的层层设问引导下完成对勾股定理的验证，完成本节课的一个重点内容.设计活动 3，让学生利用另一个拼图独立验证勾股定理的目的是让学生再次体会数形结合的思想并体会成功的快乐.效果效果：学生通过先拼图从形上感知，再分析面积验证，比较容易地掌握了本节课的重点内容之一，并突破了本节课的难点.第三环节第三环节 延伸拓展，能力提升延伸拓展，能力提升1.议一议:观察下图,用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2_ b_ a_ a_ c_ b_ c2.一个直角三角形的斜边为 20cm ,且两直角边长度比为 3:4，求两直角边的长。意图：在前面已经讨论了直角三角形三边满足的关系，那么锐角三角形或钝角三角形的三边是否也满足这一关系呢？学生通过数格子的方法可以得出：如果一个三角形不是直角三角形，那么它的三边 a,b,c 不满足 a2+b2=c2。通过这个结论，学生将对直角三角形三边的关系有进一步的认识，并为后续直角三角形的判别打下基础。第四环节：第四环节： 例题讲解例题讲解 初步应用初步应用内容：例题：飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶上方 4000 米处，过了 20 秒，飞机距离这个男孩子头顶 5000 米，飞机每小时飞行多少千米？意图意图：（1）初步运用勾股定理解决实际问题，培养学生应用数学的意识和能力；（2）体会勾股定理的应用价值.效果效果：学生对这样的实际问题很感兴趣，基本能把实际问题转化为数学问题并顺利解决. 第五环节：第五环节： 追溯历史追溯历史 激发情感激发情感活动内容：由学生利用所搜集的与勾股定理相关的资料进行介绍.国内调查组报告国内调查组报告：用图 2 验证勾股定理的方法，据载最早是三国时期数学家赵爽在为周髀算经作注时给出的，我国历史上将图 2 弦上的正方形称为弦图 .2002 年的数学家大会（ICM-2002）在北京召开，这届大会会标的中央图案正是经过艺术处理的弦图，这既标志着中国古代的数学成就 ，又像一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学家们！ 国际调查组报告：勾股定理与第一次数学危机国际调查组报告：勾股定理与第一次数学危机.约公元前 500 年，毕达哥拉斯学派的弟子希帕索斯(Hippasus)发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线的长度是不可公度的.按照毕达哥拉斯定理(勾股定理)，若正方形边长是 1，则对角线的长不是一个有理数，它不能表示成两个整数之比，这一事实不但与毕氏学派的哲学信念大相径庭，而且建立在任何两个线段都可以公度基础上的几何学面临被推翻的威胁，第一次数学危机由此爆发.据说，毕达哥拉斯学派对希帕索斯的发现十分惶恐、恼怒，为了保守秘密，最后将希帕索斯投入大海. 不能表示成两个整数之比的数，15 世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数” ，无理数的英文“irrational”原义就是“不可比”.第一次数学危机一直持续到 19 世纪实数的基础建立以后才圆满解决.我们将在下一章学习有关实数的知识 .趣闻调查组报告：勾股定理的总统证法趣闻调查组报告：勾股定理的总统证法. .在 1876 年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨由于好奇心驱使他循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形于是这位中年人不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题.他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法. 1876 年 4 月 1 日，他在新英格兰教育日志上发表了他对勾股定理的这一证法. 1881 年，这位中年人伽菲尔德就任美国第二十任总统.后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法.说明说明：这个环节完全由学生来组织开展，教师可在两天前布置任务，让部分同学收集勾股定理的资料，并在上课前拷贝到教师用的课件中便于展示，内容可灵活安排.aabbcc意图意图：（1）介绍与勾股定理有关的历史，激发学生的爱国热情；（2）学生加强了对数学史的了解，培养学习数学的兴趣；（3）通过让部分学生搜集材料，展示材料，既让学生得到充分的锻炼，同时也活跃了课堂气氛.效果效果：学生热情高涨，对勾股定理的历史充满了浓厚的兴趣，同时也为中国古代数学的成就感到自豪.也有同学提出：当代中国数学成就不够强，还应发奋努力.有同学能意识这一点，这让我喜出望外.第六环节：第六环节： 回顾反思回顾反思 提炼升华提炼升华内容内容：教师提问：通过这节课的学习，你有什么样的收获？师生共同畅谈收获.目的：目的：（1）归纳出本节课的知识要点，数形结合的思想方法；（2）教师了解学生对本节课的感受并进行总结；（3）培养学生的归纳概括能力.效果：效果：由于这节课自始至终都注意了调动学生学习的积极性，所以学生谈的收获很多，包括利用拼图验证勾股定理中蕴含的数形结合思想，学生对勾股定理的历史的感悟及对勾股定理应用的认识等等.第七环节：第七环节： 布置作业，课堂延伸布置作业，课堂延伸内容：内容：教师布置作业1习题 12 1，2，32上网或查阅有关书籍，搜集至少 1 种勾股定理的其它证法，至少 1 个勾股定理的应用问题，一周后进行展评.意图意图：（1）巩固本节课的内容.（2）充分发挥勾股定理的育人价值.六、教学设计反思六、教学设计反思 1.1.设计说明设计说明勾股定理作为“千古第一定理”其魅力在于其历史价值和应用价值，因此我注意充分挖掘了其内涵特别是让学生事先进行调查，再在课堂上进行展示，这极大地调动了学生，既加深了对勾股定理文化的理解，又培养了他们收集、整理资料的能力勾股定理的验证既是本节课的重点，也是本节课的难点，为了突破这一难点，我设计了拼图活动，先让学生从形上感知，再层层设问，从面积（数）入手，师生共同探究得到方法 1，最后由学生独立探究得到方法2这样学生较容易地突破了本节课的难点2. .教学建议教学建议如果学生的程度较好可以按照本教学设计进行教学，并且可以把分层练习中“知识拓展”作为课堂教学内容如果学生程度稍差，可以舍弃第三环节以及第五环节中的（2） （3）两个问题而把分层练习中“基础训练”作为课堂过关使用