第七章 平行线的证明-5 三角形内角和定理-三角形外角定理的证明-ppt课件-(含教案)-部级公开课-北师大版八年级上册数学(编号：a2451).zip

7.5.2 三角三角形形内角和定理（内角和定理（2） 三角三角形形的外角的外角北师大版初中数学八年级上册北师大版初中数学八年级上册回顾回顾：三角形内角和定理及证明：三角形内角和定理及证明 复习回顾复习回顾 三角形的内角和为三角形的内角和为180o即即 A+B+C=180o将将ABC的一边的一边BC延长，得到延长，得到 ，这个角有何特征？，这个角有何特征？ ACD的顶点（点的顶点（点C）在三角形的一个）在三角形的一个顶点顶点上；上； ACD的一条边（的一条边（AC）是三角形的）是三角形的一条边一条边； ACD的另一条边（的另一条边（CD）是三角形的）是三角形的某条某条 边边（BC）的延长线的延长线； 定义解析定义解析 思考：思考：ABC还有还有其他外角其他外角吗吗？如果有，请你画出来，并？如果有，请你画出来，并标上数字标上数字.ACDACD是是ABC的外角的外角D123456小结：小结： 一个一个三角形三角形有有6个外角个外角； 每个每个顶点顶点处有处有2个个外角外角； 其中有其中有三个三个外角外角与另外三个与另外三个外角外角相等相等； 定义解析定义解析 2134 性质探究性质探究 外角外角相邻相邻内角内角不相邻不相邻 内内 角角 已知：如图，已知：如图，1是是ABC的一个的一个 . 探究：探究：1与三个内角之间有怎样的与三个内角之间有怎样的大小关系大小关系？为什么？小组讨论？为什么？小组讨论.外角外角 1 +4 =180o 1 = 2 +3 1 2 ， 1 3证明：证明： 1 +4 =180o 2 +3 +4 =180o 1 = 180o- 4 2 +3 =180o- 4 1 = 2 +3 1 2 ， 1 3 （三角形内角和定理）（三角形内角和定理）（平角的定义）（平角的定义）（等式的性质）（等式的性质）（等量代换）（等量代换）4213 1 +4 =180o 1 = 2 +3 1 2 ， 1 313423421改变外角改变外角1的位置的位置，这些关系还成立吗？，这些关系还成立吗？4213 1 +4 =180o 1 = 2 +3 1 2 ， 1 31342改变三角形的形状改变三角形的形状，这些关系还成立吗？，这些关系还成立吗？1243 性质归纳性质归纳 2134不相邻不相邻 内内 角角外角外角相邻相邻内角内角 1 +4 =180o 1 = 2 +3 1 2 ， 1 3你能用文字语言归纳你能用文字语言归纳这些性质吗？这些性质吗？定理定理1 1：三角形的一个：三角形的一个外角外角等于和它等于和它不相邻不相邻的的两个内角的和两个内角的和. . 性质归纳性质归纳 定理定理2 2：三角形的一个：三角形的一个外角大于外角大于任何一个和它任何一个和它不相邻不相邻的的内角内角. .三角三角形形内角和定理内角和定理的的两条两条“推论推论”判断判断角的不等关系角的不等关系由公理、定理直接推出的定理叫做推论。三角形的内角三角形的内角三角形的外角三角形的外角转化转化ACB180O60O100O145O80O140O1ABABCC 知识应用知识应用 1. 求出下列图形中求出下列图形中1的度数的度数. 1= ； 1= ； 1= ；140o55o120o 知识应用知识应用 2. 如图，在如图，在ABC中中, 1是它的一个外角是它的一个外角, E为边为边AC上一点上一点,延长延长BC到到D, 连接连接DE，则，则1 D.（填（填“，2 又又 2是是CDE的一个外角的一个外角 2D 1D1 12 方法巩固方法巩固 例例1 已知已知: 如图，在如图，在ABC中，中，B=C ，AD平分平分EAC. （1）找出图中）找出图中ABC的外角；的外角； （2）求证：）求证：AD BC思考思考: : 如何证明两条直线平行？如何证明两条直线平行？ 同位角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行 内错角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行同旁内角互补，两直线平行（EAC）还有其他还有其他方法吗？方法吗？ 方法巩固方法巩固 例例1 已知已知: 如图，在如图，在ABC中，中，B=C ，AD平分平分EAC. （1）找出图中）找出图中ABC的外角；的外角； （2）求证：求证：AD BC思考思考: : 如何证明两条直线平行？如何证明两条直线平行？ 同位角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行 内错角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行同旁内角互补，两直线平行（EAC） 合合作提升作提升 例例2 已知已知:如图，如图，P是是ABC内一点，连接内一点，连接PB，PC. 求证求证:BPC A. 思考思考: : 我们有哪些关于角的不等关系的结论？我们有哪些关于角的不等关系的结论？ 本题能直接运用这个结论吗？本题能直接运用这个结论吗？ 困难在哪里？困难在哪里？ 如何构造三角形的外角？如何构造三角形的外角？你能想出你能想出 几种方法？几种方法？（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角） 合合作提升作提升 例例2 已知已知:如图，如图，P是是ABC内一点，连接内一点，连接PB，PC. 求证求证:BPC A. （三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）添加辅助线添加辅助线构造三角形（外角）构造三角形（外角）问问1 1：本节课学习了什么：本节课学习了什么知识知识？问问2 2：三角形外角的两条性质定理有什么：三角形外角的两条性质定理有什么作用作用？问问3 3：如果图中没有三角形或三角形的外角：如果图中没有三角形或三角形的外角怎么办怎么办？ 反思感悟反思感悟 三角形的内角三角形的内角三角形的外角三角形的外角转化转化判断判断角的不等关系角的不等关系添加添加辅助线辅助线必做题：课本必做题：课本P183P183 习题习题7.77.7：1-41-4选做题：补充练习选做题：补充练习1 1、2 2 课后作业课后作业 17.5.27.5.2 三角形内角和定理（三角形内角和定理（2 2）三角形的外角三角形的外角 一、教材分析一、教材分析本节课位于北师大版数学八年级上册第七章第五节第二课时.其教学内容为三角形外角的定义以及三角形内角和定理的推论，这是对三角形内角和定理的拓展和延伸，使学生对三角形的外角由直观感知上升为理性认识，进而掌握三角形外角的定义和性质的应用，旨在利用已经学习过的知识来推导出新的定理以及运用新的定理解决相关问题.它既是对图形进一步认识的重要内容之一，也是用以研究角相等的重要方法之一.因此，作为八年级上册最后一节新课的内容，本节课起着承上启下的作用.二、学情分析二、学情分析1. 学生已经具备了一定的图形感知能力，所以能够把握好三角形的外角所具备的位置特征.2. 在三角形内角和定理的证明一节中，学生已掌握了三角形的内角和定理的严密证明及相关应用，这使得学生能够在充分理解的基础上对三角形内角和定理进行拓展和延伸，关于三角形外角性质的推导就会比较顺利.3. 以往学习中，学生已经掌握了邻补角的有关知识、两条直线平行的条件及平行线的特征，便于学生在本节学习过程中进行三角形外角性质的应用.由于学生已经具备了上述知识和一定的逻辑推理能力，为切实理解和掌握本节课的内容奠定了良好的知识和认知基础.三、教学目标分析三、教学目标分析1. 知识技能（1）三角形的外角的概念（2）三角形内角和定理的两个推论2. 过程与方法（1）经历探索三角形内角和定理的推论的过程，进一步培养学生的推理能力（2）理解掌握三角形内角和定理的推论及其应用（3）进一步学会数学说理23. 情感与价值观要求（1）通过观察和动手操作，体会探索过程，学会推理的数学思想方法，培养学生主动探索、勇于发现，敢于实践及合作交流的习惯.（2）通过探索三角形内角和定理的推论的活动，来培养学生的论证能力。在体验一题多变、一题多解得过程中发散思维拓宽他们的解题思路，提高空间想象能力，从而使他们灵活应用所学知识.四、教学重难点四、教学重难点 教学重点：三角形内角和定理的推论 教学难点：三角形的外角及三角形内角和定理推论的应用五、设计思路五、设计思路本节课是典型的几何特点的课程，我利用多媒体为学生创设生动、直观的学习环境，充分调动学生的学习兴趣和积极性.先以三角形内角和定理的证明为导入，用辅助线“延长 BC 至点 D”为学生观察三角形外角的特征铺平道路，引导学生通过观察、比较、讨论、总结的方式，明确三角形外角的定义和位置特征.接下来以ABC 的外角1 为研究对象，引导学生利用三角形内角和定理、邻补角的定义及不等式的性质，探究总结三角形外角的性质，即三角形内角和定理的两个推论，在此过程中，引导学生通过对锐角三角形、钝角三角形和直角三角形的观察，明确“和它不相邻”的意义，纠正学生的认识误区.要求学生用自己的语言正确表述两个推论，并用几何语言表达.在应用部分，先以两道基础练习，让学生熟悉两个推论的应用，再通过课本例题，巩固学生应用推论，同时引导学生总结两个推论所适用的数学问题，帮助其形成一定的分析能力，鼓励学生一题多解，拓展思路，最后以随堂练习再次提高,规范书写.课堂小结部分，以三个问题的形式，层层递进,引导学生总结本节知识点和应用技巧，明确所学和所缺，便于课后复习。分层布置作业，必做题为基础训练，选做题为适当提高，激发学生的积极性和挑战心理，更进一步巩固知识应用.六、教学方法：六、教学方法：启发诱导法、合作学习法、归纳总结法七、教具准备：七、教具准备：多媒体课件八八、教学过程、教学过程（一）复习回顾（一）复习回顾3问 1：上节课我们学习了什么内容？（三角形内角和定理及证明）问 2：定理的内容是什么？（三角形的内角和等于 180）问 3：结合ABC 如何表示？（A+B+C=180）问 4：其中A、 B、 C 是ABC 的什么角？（三个内角）引入：今天我们继续来研究三角形的角.（二）定义解析（二）定义解析将ABC 的一边 BC 延长问 1：这时在ABC 的外部得到哪个角？（ACD）问 2：观察它的顶点和边，有何特征？ ACD 的顶点（点 C）在三角形的一个顶点上； ACD 的一条边（AC）是三角形的一条边； ACD 的另一条边（CD）是三角形的某条边（BC）的延长线问 3：所以，ACD 是由什么组成的角？（ACD 是由三角形的一边与另一边的延长线组成的角） 问 4：我们把这样的角叫做？（三角形的外角）板书定义：板书定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角.如如 ACD是是 ABC 的外角的外角. .问 5：ABC 还有其他外角吗？如果有，请你画出来，并标上数字.（学生自主探究作图后，小组交流，观察比较所画的外角是否相同，分析问题所在）展示两位同学的作业，一个画 3 个外角，一个画 6 个外角，引导学生观察图形，发现易错点.将每条边向两边延长，即可得到所有的外角.问 6：一个三角形有几个外角？每个顶点处有几个外角？这些外角之间有怎样的数量关系？为什么？小结：小结： 一个三角形有一个三角形有 6 个外角；个外角； 每个顶点处有每个顶点处有 2 个外角；个外角； 其中有三个外角与另外三个外角相等其中有三个外角与另外三个外角相等. . （对顶角相等）（对顶角相等）4 所以我们在研究外角时，一般只研究其中的三个. 引入：三角形的内角有和为 180的性质，那么三角形的外角是否有特殊的性质呢？下面我们一起来探索.（三）性质探索（三）性质探索问 1：如图，1 与ABC 有何关系？（1 是ABC 的一个外角）问 2：2、3、4 是三角形的什么角？问 3：1 与三个内角之间有怎样的大小关系？为什么？（小组合作，列出它们之间的等量关系及不等关系，并探究理由） 由学生代表发言 1 +4 =180o 1 = 2 +3 1 2 ， 1 3证明： 2 +3 +4 =180（三角形的内角和为 180）1 +4 =180 （平角的定义） 2 +3 =180- 4 1 = 180- 4 （等式的性质） 1 = 2 +3 （等量代换） 1 2 ， 1 3 问 4：改变外角1 的位置，这些关系还成立吗？ 问 5：改变三角形的形状，这些关系还成立吗？ 5（四）性质归纳（四）性质归纳问 1：所以我们发现，对于任意三角形的任何一个外角，这些关系都成立.你能用文字语言归纳这些性质吗？（独立思考后小组讨论，代表回答，师注意引导强调“不相邻的内角”）问 2：符号语言如何表示？板书性质：板书性质：定理定理 1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 1 是ABC 的一个外角 1 = 2 +3 （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）定理定理 2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 1 是ABC 的一个外角 1 2 ，1 3 （三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）问 3：这两个结论是由什么推导出来的呢？（三角形内角和定理）引导：我们把由一个公理或定理直接推导出的定理叫做这个公理或定理的推论.因此这两个结论称为三角形内角和定理的推论，可当做定理直接使用.问 4：这两个定理有何作用？（五）知识应用（五）知识应用1. 求出下列图形中1 的度数. 1= ； 1= ； 1= ；6PCBA2.如图，在ABC 中, 1 是它的一个外角, E 为边 AC 上一点,延长 BC到 D, 连接 DE，则1 D.（填“，”、“”填空： （1） 1 ABC+BAC （2） 2 ABC （3） BAC 3 图 34. 如图 4，已知1= 20， 2= 25，A=35，求BDC 的度数。 图 4 图 56070CEFBA15535ADCB312CBA7031CDAbaDCBA2185. 如图 5，直线 ab, 则A= _. 6. 如图 6，已知1= 100o， 2= 140o，则3= _7. 如图 7，点 P 是ABC 内部一点，则1、 2、 A 的大小关系为： . 图 6 图 732112DBAC