8 数学广角-数与形-ppt课件-(含教案+素材)-市级公开课-人教版六年级上册数学(编号：e6c34).zip

第八单元 数学广角数与形的教学设计 一、教材说明和教学建议 （一）教学目标 1、使学生通过自主研究发现图形中隐藏着的书的规侓，并会应用所发现的规侓。 2、使学生会利用图型来解决一些有关的问题。 3、使学生在解决数学问题的过程中，体会和掌握数形结合、归纳推理、极限等基本的数学思想。 （二）内容安排及其特点 1、教学内容和作用。 数形结合是一种非常重要的数学思想，把数与行结合起来解决问题可使复杂的问题变得更简单，使抽象的问题变得更直观。 数与形相结合的例子在小学教材中比比皆是。有的时候，是图形中隐含着数的规侓，可利用数的规侓来解决图形的问题。有时候，是利用图形来直观地解释一些比较抽象的数学原理与事实，让人一目了然。尤其是小学生思维的抽象程度还不够高.经常需要借助直观模型来帮助理解。例如：利用长方形模型来教学乘法的算理，利用线段图来帮助学生理解分数除法的算理，利用面积模型来解释两位乘两位数的算理、乘法分配侓、完全平方公式等（如下图）。 还有时候，数与形密不可分，可用“数”来解决“形”的问题，也可以用“形”来解决“数”的问题。例如：几何及微积分中曲线与方程、方程组及函数与图像互为工具互为解释，有机融合。小学中的正比例关系和反比比例关系图象也很好的反映了这样的思想。 本单元中，教材以“1+3+5+7+（2n-1）=n2”“1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 +=1”为例，引导学生认识和利用数学与形的结合，可以解决一些有趣的数学问题。 具体编排结构如下： 等差数列 1,3,5，之和与正方形数的关系 例 1 数与形 求等比数列1/2,1/4,1/8，之和 例 2 从上表可以看出，本单元的教学内容分为两个层次。 一是使学生通过数与形的对照，利用图形直观形象的特点表示出数的规律。例如，例 1 中，从图形的角度直观的理解“正方形数”和“平方数”的特点 二、是借助图形解决一些比较抽象的、复杂的、不好解释的问题。例如，例 2 中，解决 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 +的求和问题，教材利用分数意义的直观模型，使学生直观的理解“无限”的抽象概念；再如，练习二十二第 6 题，通过画示意图的方式可以比较便捷的解决比较抽象的问题。2、教材编排特点。 本单元教材在编排上有下面几个特点。1 突出探索规律、应用规律的编排意图。不管是数还是形，都突出对其规律的探索。例如，通过观察和计算 1、1+3、1+3+5、1+3+5+7+既能发现加数的规律（从 1 开始的连续奇数的相加），又能发现和的规律（都是连续的正方形数）；通过观察和计算1/2+1/4、1/2+1/4+1/8、1/2+1/4+1/8+1/16，同样，既能发现加数的规律，又能发现和的规律。在发现规律的基础上，通过推理，再引导学生把规律应用于一般的情形，解决问题。2 在利用数形解决问题的过程中积累基本的活动经验，培养基本的数学思想。例如，在例 2 中，让学生通过计算，发现和越来越趋向于 1，感受什么叫“无限接近”。虽然无法一一穷举所得的结果，但可以利用观察到的规律进行“无穷无尽的”类推。使学生在这一过程中体会推理和极限的思想。 （三）教学建议 1、引导学生数形结合，相互印证。 形的问题中包含数的规律，数的问题也可以用形来帮助解决，教学时，要让学生通过解决问题体会到数与形的这种完美结合。既可以从数的角度出发，让学生看看可以怎样用图形来表示数的规律，也可以让学生寻找图形中所包含的数的规律。通过数与形的对应关系，互相印证结果、感受数学的魅力。例如，在例 1 中可以先让学生计算 1+3+5+的得数，使学生发现得到的和都是“平方数”，再通过图形的规律理解“平方数”和“正方形数”的含义。也就是说，如果用 1 个小正方形、3 个小正方形、5 个小正方形可以共同拼出一些大小不一的大正方形图。也可以有规律的呈现由小正方形拼成的大小不一的大正方形图，让学生看看前后两个大正方形图相差多少个小正方形，例如，边长是 2 的大正方形和边长是 1 大正方形，相差的是 3 个小正方形；边长是 3 的大正方形和边长是 2 大正方形，相差的是 5 个小正方形相差的小正方形数正好是“”形中的小正方形数。因此，每个大正方形图中都隐藏着一个算式，即1+3+5+（2n-1）=n2。 2、使学生感受到用形来解决数的有关问题的直观性与简捷性。 图形的直观、形象的特点，决定了化数为形往往能够达到以简驭繁的目的。例如，例 2 中，用举例的方法求出等比数列的有限和，都不能证明无限多项相加的结果为 1。但是如果用圆和线段的图形加以说明，学生则比较容易理解当一个数无限趋近于 1 时，其结果就是 1.一个极其抽象的极限问题，由于用图形来解决，就变得十分直观和便捷了。 3、引导学生从不同的角度探索数与形的通用模式。 小学阶段，虽然不要求写出一个数列的通式，但可以通过数形结合的方法，利用图形的规律，从不同的角度，用自己的语言描述出数列的通用模式。例如，第 109 页第1 题，根据例 1 的结论，很容易得到第 n 个图形中最外围的小正方形数为：（2n+1）2-（2n-1）2，也可以从结果看到第一个图最外圈有 8 个小正方形，第二个图最外圈有 82 个小正方形，第三个图最外圈有 8*3 个小正方形通过推理，可知第 n 个图最外圈就有 8n 个小正方形，每一次都是在前一个图的基础上增加 8 个小正方形。还可以引导学生进一步思考：每次多的这 8 个小正方形都是怎么来的？使学生观察到是由于每边增加 2 个小正方形所产生的。三、布置作业第八单元 数学广角数与形的教学设计 一、教材说明和教学建议 （一）教学目标 1、使学生通过自主研究发现图形中隐藏着的书的规侓，并会应用所发现的规侓。 2、使学生会利用图型来解决一些有关的问题。 3、使学生在解决数学问题的过程中，体会和掌握数形结合、归纳推理、极限等基本的数学思想。 （二）内容安排及其特点 1、教学内容和作用。 数形结合是一种非常重要的数学思想，把数与行结合起来解决问题可使复杂的问题变得更简单，使抽象的问题变得更直观。 数与形相结合的例子在小学教材中比比皆是。有的时候，是图形中隐含着数的规侓，可利用数的规侓来解决图形的问题。有时候，是利用图形来直观地解释一些比较抽象的数学原理与事实，让人一目了然。尤其是小学生思维的抽象程度还不够高.经常需要借助直观模型来帮助理解。例如：利用长方形模型来教学乘法的算理，利用线段图来帮助学生理解分数除法的算理，利用面积模型来解释两位乘两位数的算理、乘法分配侓、完全平方公式等（如下图）。 还有时候，数与形密不可分，可用“数”来解决“形”的问题，也可以用“形”来解决“数”的问题。例如：几何及微积分中曲线与方程、方程组及函数与图像互为工具互为解释，有机融合。小学中的正比例关系和反比比例关系图象也很好的反映了这样的思想。 本单元中，教材以“1+3+5+7+（2n-1）=n2”“1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 +=1”为例，引导学生认识和利用数学与形的结合，可以解决一些有趣的数学问题。 具体编排结构如下： 等差数列 1,3,5，之和与正方形数的关系 例 1 数与形 求等比数列1/2,1/4,1/8，之和 例 2 从上表可以看出，本单元的教学内容分为两个层次。 一是使学生通过数与形的对照，利用图形直观形象的特点表示出数的规律。例如，例 1 中，从图形的角度直观的理解“正方形数”和“平方数”的特点 二、是借助图形解决一些比较抽象的、复杂的、不好解释的问题。例如，例 2 中，解决 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 +的求和问题，教材利用分数意义的直观模型，使学生直观的理解“无限”的抽象概念；再如，练习二十二第 6 题，通过画示意图的方式可以比较便捷的解决比较抽象的问题。2、教材编排特点。 本单元教材在编排上有下面几个特点。1 突出探索规律、应用规律的编排意图。不管是数还是形，都突出对其规律的探索。例如，通过观察和计算 1、1+3、1+3+5、1+3+5+7+既能发现加数的规律（从 1 开始的连续奇数的相加），又能发现和的规律（都是连续的正方形数）；通过观察和计算1/2+1/4、1/2+1/4+1/8、1/2+1/4+1/8+1/16，同样，既能发现加数的规律，又能发现和的规律。在发现规律的基础上，通过推理，再引导学生把规律应用于一般的情形，解决问题。2 在利用数形解决问题的过程中积累基本的活动经验，培养基本的数学思想。例如，在例 2 中，让学生通过计算，发现和越来越趋向于 1，感受什么叫“无限接近”。虽然无法一一穷举所得的结果，但可以利用观察到的规律进行“无穷无尽的”类推。使学生在这一过程中体会推理和极限的思想。 （三）教学建议 1、引导学生数形结合，相互印证。 形的问题中包含数的规律，数的问题也可以用形来帮助解决，教学时，要让学生通过解决问题体会到数与形的这种完美结合。既可以从数的角度出发，让学生看看可以怎样用图形来表示数的规律，也可以让学生寻找图形中所包含的数的规律。通过数与形的对应关系，互相印证结果、感受数学的魅力。例如，在例 1 中可以先让学生计算 1+3+5+的得数，使学生发现得到的和都是“平方数”，再通过图形的规律理解“平方数”和“正方形数”的含义。也就是说，如果用 1 个小正方形、3 个小正方形、5 个小正方形可以共同拼出一些大小不一的大正方形图。也可以有规律的呈现由小正方形拼成的大小不一的大正方形图，让学生看看前后两个大正方形图相差多少个小正方形，例如，边长是 2 的大正方形和边长是 1 大正方形，相差的是 3 个小正方形；边长是 3 的大正方形和边长是 2 大正方形，相差的是 5 个小正方形相差的小正方形数正好是“”形中的小正方形数。因此，每个大正方形图中都隐藏着一个算式，即1+3+5+（2n-1）=n2。 2、使学生感受到用形来解决数的有关问题的直观性与简捷性。 图形的直观、形象的特点，决定了化数为形往往能够达到以简驭繁的目的。例如，例 2 中，用举例的方法求出等比数列的有限和，都不能证明无限多项相加的结果为 1。但是如果用圆和线段的图形加以说明，学生则比较容易理解当一个数无限趋近于 1 时，其结果就是 1.一个极其抽象的极限问题，由于用图形来解决，就变得十分直观和便捷了。 3、引导学生从不同的角度探索数与形的通用模式。 小学阶段，虽然不要求写出一个数列的通式，但可以通过数形结合的方法，利用图形的规律，从不同的角度，用自己的语言描述出数列的通用模式。例如，第 109 页第1 题，根据例 1 的结论，很容易得到第 n 个图形中最外围的小正方形数为：（2n+1）2-（2n-1）2，也可以从结果看到第一个图最外圈有 8 个小正方形，第二个图最外圈有 82 个小正方形，第三个图最外圈有 8*3 个小正方形通过推理，可知第 n 个图最外圈就有 8n 个小正方形，每一次都是在前一个图的基础上增加 8 个小正方形。还可以引导学生进一步思考：每次多的这 8 个小正方形都是怎么来的？使学生观察到是由于每边增加 2 个小正方形所产生的。三、布置作业第第 章章数学广角 数与形数与形教学目标教学目标 知识与技能：知识与技能： 【1】重视“数”“形”之间的联系，找到解题规律。 【2】引导学生探究算式左边的加数与大正方形左下角的小正方形和其他“”形图形所包含的小正方形个数的关系，发现“数”“形”之间的联系，找到其中的规律，使学生在体验用形表示数的直观性的同时，学会应用规律解决问题. 过程与方法：过程与方法： 【1】借助“数”“形”之间的关系，解决相关问题。 【2】使学生在初步了解、运用“数形结合”思想方法的同时，体验到数学的极限思想。 . 情感态度与价值观：情感态度与价值观： 巩固练习时，充分利用教材习题，引导学生在解决问题时能举一反三地运用所学，使学生的解题能力得到培养。培养学生通过数与形结合在来分析思考问题，从而感悟数形结合的思想，提高解决问题的能力10 873（ ）81（ ）25（ ）16 （ ）16410099544912、说一说：在0除外的自然数中，奇数有哪些？偶数有哪些？奇数有：1、3、5、7、9、11、13、15、17、19. 偶数有：2、4、6、8、10、12、14、16、18、20.一、引入新课一、引入新课看谁算得又对又快看谁算得又对又快 1.口算：复习旧知复习旧知一、引入新课一、引入新课 算一算算一算, ,说说算理说说算理135 （ ）913579（ ） 25 1357911 （ ） 36135791113151719（ ） 100 一、引入新课一、引入新课1.先观察图形，然后说一说图形中包含了什么数学问题？怎样解答？523（个） 复习旧知复习旧知形图包含的数学问题形图包含的数学问题加减法加减法一、引入新课一、引入新课形图包含的数学问题形图包含的数学问题利用线段图理解分数应用题利用线段图理解分数应用题2.张东看一本200页的故事书，第一天看了这本书的1/4，第二天看了余下的1/3，第二天看了多少页？ 200页 ？页第一天1/4 第二天余下1/3复习旧知复习旧知一、引入新课一、引入新课形图包含的数学问题形图包含的数学问题利用面积模型解释乘法分配律利用面积模型解释乘法分配律(a+b) c=ac+bc a b c复习旧知复习旧知一、引入新课一、引入新课二、探究新知二、探究新知我们一起来看看这些图中图我们一起来看看这些图中图2和图和图3各有多少个像图各有多少个像图1这样的小正方这样的小正方形形 分析理解分析理解二、探究新知二、探究新知同学们动动脑尝试用算式表示出每个同学们动动脑尝试用算式表示出每个图中小正方形的个数？图中小正方形的个数？ 图一：11=1图二：22=4图三：33=9。 从图一开始小正方形的个数是在前一图基础上分别加3，加5.分析理解分析理解二、探究新知二、探究新知把图中小正方形涂上不同的颜色进行把图中小正方形涂上不同的颜色进行演示。演示。 分析理解分析理解二、探究新知二、探究新知如果我们把刚才同学们表示图中小正方形个数而列出的不如果我们把刚才同学们表示图中小正方形个数而列出的不同算式综合起来，会是什么样的呢？同算式综合起来，会是什么样的呢？分析理解分析理解 1=11 1+3=22=4 1+3+5=33=9 （ ）111 3 （ ）21 35 （ ）223观察一下，上面的图和下面的算式观察一下，上面的图和下面的算式有什么关系？把算式补充完整。有什么关系？把算式补充完整。其生其生 1 1：我发现，算式左边的加数是大正方形右上角的小正方：我发现，算式左边的加数是大正方形右上角的小正方形和他形和他 “L”形图形所包含的小正方形个数之和正好是每行或形图形所包含的小正方形个数之和正好是每行或每列小正方形个数的平方。每列小正方形个数的平方。2二、探究新知二、探究新知例1观察一下，上面的图和下面的算式有什么观察一下，上面的图和下面的算式有什么关系？把算式补充完整。关系？把算式补充完整。生生2 2：我发现，从：我发现，从 1开始的连续奇数的和正好开始的连续奇数的和正好是这串数个数的平方。是这串数个数的平方。1 35 （ ）2313 （ ）22（ ）112二、探究新知二、探究新知 从1开始，连续奇数相加的和就等于加数个数的平方。9521162137213574232二、探究新知二、探究新知观察一下，上面的图和下面的算式有什么观察一下，上面的图和下面的算式有什么关系？把算式补充完整。关系？把算式补充完整。生生3 3：大正方形左下角的小正方形和其他正方：大正方形左下角的小正方形和其他正方形图形所包含的小正方形个数之和正好是每形图形所包含的小正方形个数之和正好是每行或每列小正方形个数的平方。行或每列小正方形个数的平方。1 35 （ ）2313 （ ）22（ ）112二、探究新知二、探究新知观察一下，上面的图和下面的算式有什么观察一下，上面的图和下面的算式有什么关系？把算式补充完整。关系？把算式补充完整。生生4 4：左边加法算式里的加数都是奇数。：左边加法算式里的加数都是奇数。1 35 （ ）2313 （ ）22（ ）112二、探究新知二、探究新知观察一下，上面的图和下面的算式有什么观察一下，上面的图和下面的算式有什么关系？把算式补充完整。关系？把算式补充完整。生生5 5：有几个数相加，和就是几的平方。：有几个数相加，和就是几的平方。1 35 （ ）2313 （ ）22（ ）112二、探究新知二、探究新知观察一下，上面的图和下面的算式有什么观察一下，上面的图和下面的算式有什么关系？把算式补充完整。关系？把算式补充完整。生生6 6：第几个图形就有几个数相加，和就是几：第几个图形就有几个数相加，和就是几的平方。的平方。1 35 （ ）2313 （ ）22（ ）112二、探究新知二、探究新知1357（ ）135791113 （ ）1. 你能利用规律直接写一写吗？你能利用规律直接写一写吗？47如如果果遇遇到到困困难难, ,可可以以画图来帮助。画图来帮助。1357911131517 9222二、探究新知二、探究新知做一做做一做1357531 （ ）2. 请根据例请根据例1的结论算一算。的结论算一算。25可以看成两部分：可以看成两部分：135742 531 32 42 32 25二、探究新知二、探究新知做一做做一做1357911131197531（ ）8522原式原式 7 6 853. 请根据例请根据例1的结论算一算。的结论算一算。二、探究新知二、探究新知做一做做一做二、探究新知二、探究新知例2计计算算这个算式你能发现什么规律？这个算式你能发现什么规律？观察与思考二、探究新知二、探究新知观察与发现1.从左往右看这些分数越来越小。2.这些分数的分子都是1，分母都是偶数。3.从第2个数开始，每个数是前一个数的1/2。二、探究新知二、探究新知观察与发现观察与发现12 14 3434 18 7811678151613231321516我我一一个个一一个个加加下下去去看看看看，答答案好像有点规律。案好像有点规律。加下去，等号右边的分数越来加下去，等号右边的分数越来越接近于越接近于1。 可以画一个圆来帮助思考。用一个圆或一条线段表示“1”。二、探究新知二、探究新知二、探究新知二、探究新知观察与发现观察与发现112114181326416。112 14 3434 18 78116781516132151631322141161813218743161532316463128127 计计 算算。二、探究新知二、探究新知12 143412143434 1878781878 161161516132116153211615 32313231646312812712 14 18 161 321 641 。= =1计计 算算 。二、探究新知二、探究新知三、知识运用三、知识运用1. 下面每个图中最外圈有多少个小正方形？下面每个图中最外圈有多少个小正方形？ 2.下面每个图形中各有多少个红色小下面每个图形中各有多少个红色小正方形和多少个蓝色小正方形正方形和多少个蓝色小正方形？蓝色蓝色：红色：红色：18210312414 照这样下去，第照这样下去，第6个图形有（个图形有（ ）个红色小正方形）个红色小正方形 ，（，（ ）个蓝色小正方形。第）个蓝色小正方形。第10个图形有（个图形有（ ）个）个红色小正方形红色小正方形 ，（，（ ）个蓝色小正方形。）个蓝色小正方形。6181026三、知识运用三、知识运用三、知识运用三、知识运用3.看谁算得又对又快三、知识运用三、知识运用4.运行图：小兰和爸爸、妈妈一起步行到离家800 m远的公园健身中心，用时20分钟。妈妈到了健身中心后直接返回家里，还是用了20分钟。小兰和爸爸一起在健身中心锻炼了10分钟。然后，小兰跑步回到家中，用了5分钟，而爸爸是走回家中，用了15分钟。下面几个图哪个是妈妈离家的时间和离家距离的关系？哪个是描述爸爸的？哪个是描述小兰的？看懂了吗？题目主要讲了一个什么事情？三、知识运用三、知识运用（1）你觉得这幅图表示的是谁走的？（妈妈）（妈妈）为什么？三、知识运用三、知识运用（2）在下图中，你觉得哪个是小兰，哪个是爸爸？5. 如下图，正方形的边长是a，如果边长增加b，使它变成一个更大的正方形，现在面积是多少？ 三、知识运用三、知识运用四、课堂总结四、课堂总结这节课的收获有哪些，知道了哪些数学问题？ 通过本课学习，在我们解决数学问题时，常用的数学方法中数形结合思想是最直观也是最美妙的，数和形有着十分密切的联系，在一定条件下可以互相转化、互相渗透。 我们知道数形结合的奇妙，在网上我们可以了解更多的趣味数字，像花朵数、巧数、金蝉脱壳数，它们神秘有趣，这正如我国著名数学家华罗庚所说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，树形结合百般好，隔离分家万事休。谢谢观赏谢谢观赏