（高中数学 一师一优课系列）高一数学(人教B版)-两角和与差的余弦-1教案.docx

1、教教 案案教学基本信息课题两角和与差的余弦公式学科数学学段：高中年级高一教材书名： 普通高中教科书数学（B 版）必修第三册出版社：人民教育出版社出版日期：2019 年 7 月教学设计参与人员姓名单位设计者范艳琴北京市房山区良乡中学实施者范艳琴北京市房山区良乡中学指导者刘雪明房山区教师进修学校课件制作者范艳琴北京市房山区良乡中学其他参与者任宝泉北京市房山区良乡中学教学目标及教学重点、难点教学目标：（1）通过特殊角的三角函数值试求非特殊角的余弦值， 猜想两角差的余弦公式，根据猜想出来的公式, 引导学生找到推导公式的方法；（2）理解两角差的余弦公式的推导过程,推导过程中给学生渗透直观想象、数学抽象、

2、逻辑推理三大核心素养，体验和领会数形结合的数学思想；（3）通过对两角和与差余弦公式的简单应用，理解公式的结构及功能。教学难点：两角差的余弦公式的推导；教学重点：两角和与差的余弦公式的应用。教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图温故知新温故知新复习回顾复习回顾1.向量的数量积向量的数量积（1）若已知OP 与OQ夹角为, OP OQ，则| |cos, OP OQOPOQOP OQ；（ 2 ） 若 已 知1122( ,),(,)OPx yOQxy ， 则1212 OP OQx xy y.温故知新，为本节课两角差的余弦公式的推导做基础准备.探究新知探究新知2.单位圆上点的坐标单位圆上点的坐标

3、（1）设角的终边与单位圆交于一点 P，则 P 的坐标为（cos，sin） ；（2）设角的终边与单位圆交于一点 Q，则 Q 的坐标为（cos，sin）.（一）提出问题，猜想公式一）提出问题，猜想公式我们已经熟知30， 45，的正弦、余弦值，那么，能否根据这些值求出cos15的值呢?能否说因为15 =4530cos15 =cos(4530 )所以=cos45cos30=232？这显然是不对的：cos15一定大于 0，但上式右边小于 0.既然15 =4530， 那么cos15的值和30， 45，的正弦、余弦值有没有关系？更一般的对于任意角，-的余弦值与，的三角函数值有没有关系？如果有又有何关系？事实

4、上，利用单位圆以及向量的数量积，可以证明，对于任意，都有cos=cos cos +sin sin（ - - ） （二）（二）引导学生，推导公式引导学生，推导公式证明：在平面直角坐标系 xoy 中，设，的终边与单位圆的交点分别为 P,Q，则cos ,sin )P（cos ,sin )Q（= cos ,sin )因此（ OP ,= cos ,sin )（ OQ= cos cos +sin sin所以： OP OQ由向量数量积的定义可知：=cos OP OQOP OQOP OQ=1,而所以 OPOQ= cos OP OQOP OQcos = cos cos +sin sin所以： OP OQ从知识需

5、要出发，创设情境，提出问题，猜想公式.引导学生理解公式推导师：我们找到了向量夹角的余弦值与，三角函数值的关系，接下来的核心是找出, OP OQ与-的关系。，为任意角，而, OP OQ的范围为0,，因此在图（1）中，= +2 , OP OQkkZ- - 在图（2）中，- - 与向量 OP、向量 OQ 夹角的和为2 ,kkZ 图（1）图（2）= +2 ,即 - - -Z OP OQkkcos()=cos 2 因此 kOP OQ=cos. OP OQ= cos cos +sin sin.coscos cos +sin sin即：（ - - ） = = .（三）借助公式，解决初始问题（三）借助公式，解

6、决初始问题cos15 = cos(4530 ) = cos45 cos30 +sin45 sin30232126+=.22224或者cos15cos 6045ooo=cos60 cos45 +sin60 sin4532126 +2+=.2222=4（四）借助差角公式，推导和角公式（四）借助差角公式，推导和角公式有了两角差的余弦公式，又如何得到两角和yxOQPyxOQP“数形结合”帮助学生理解, 、OP OQ- -的关系解决一开始提出的问题典例剖析典例剖析的余弦公式呢？我们说加一个数即减去它的相反数，所以可借助两角差的余弦公式去推得两角和的余弦.+=()- - - - cos( + )=cos(

7、)- - - -= cos cos()+sin sin()- - -= cos cossin sin- -.cos( +) = cos cossin sin即- -.（五）（五）解读公式解读公式对于两个公式，做以下四点说明：1.公式对任意角、都成立；2.公式特点是，公式中右边有两项，两项排列顺序是 coscos,sinsin, 中间符号与左边两角间符号相反，可以用口诀“余余正正，加减相反”来辅助记忆公式；前面我们借助三角函数线推得公式：cos=sin2，cos= cos，事实上，我们还可借助两角差的余弦公式推导其成立.cos= coscos +sinsin222= 0cos +1sin =si

8、n.cos=cos cos +sinsin=( 1)cos+0 sincos . 3. 和（差）角公式可以看成诱导公式的推广，诱导公式可以看成和（差）角公式的特例.当,中有一个角是2整数倍时，用诱导公式较简便；4.公式从左往右正用可以将一些非特殊的角转化为两特殊角的和或差，从而求出此角的余弦值；从右往左反用，可以将满足右边特点的式子化简为某个角的余弦.cos105例1.求的值.设计意图：熟悉两角和与差公式的正用；借助已经推导出的两角差的余弦公式，推导两角和的余弦公式对推导出的两角和与差的余弦公式结构特征进行说明，帮助学生理解记忆公式，让学生能意识到部分诱导公式其实是两角和与差的余弦公式的特列，

9、两角和与差的余弦公式是其推广.反思总结反思总结课外作业课外作业cos32 cos28sin32 sin28例2.求的值.设计意图：熟悉两角和与差公式的反用；cos32 cos28cos58 sin28变式1：求的值.设计意图：诱导公式和两角和与差公式的简单综合应用；22cos 32sin 32变式2：化简.设计意图：两角和的余弦公式中，特殊地，两角相等时的反用；45sin,(,),cos,5213cos 例3.已知是第三象限角，求的值（）.( ,)2思考：若将删掉，其他条件不变，结果会怎样？本节课我们借助单位圆和向量数量积的相关知识，推导出了两角差的余弦公式，推导过程中渗透了数学抽象、直观想象、逻辑推理三大核心素养；之后将加法视为减去一个数的相反数，利用已推导出的差角公式得到了两角和的余弦公式，并通过三个实例熟练了公式正向和逆向的灵活应用，能够准确书写相关的解答题.1. 求下列格式的值.(1)cos(-165 )7(2)cos1261(3)cos (-)12(4)cos70 sin80 +sin70 sin1022(5)cos 22.5sin 22.5+2sin =, ( , ),2. 已求cos() ，cos(.3知)323通过实例，强化对公式的理解和应用.通过小结，反思学习过程中公式的产生、推导、公式结构特征及功能.