（高中数学 一师一优课系列）高二数学（选修-人教B版）-复数的乘法与除法-1教案.docx

1、教教 案案教学基本信息课题复数的乘法与除法学科数学学段： 高中年级高二教材书名： 高中数学选修 2-2（人教 B 版） 出版社：人民教育出版社出版日期：2007 年 4 月教学设计参与人员姓名单位设计者唐巧北京师范大学附属中学实施者唐巧北京师范大学附属中学指导者课件制作者唐巧北京师范大学附属中学其他参与者教学目标及教学重点、难点理解复数的乘法、除法运算法则，能进行复数代数形式的乘法、除法运算.在学习过程中，体会类比的数学思想，提升数学抽象素养、数学运算素养和逻辑推理素养，并感受人类理性思维在数系扩充中的作用.教学重点：复数的乘法、除法法则及其运用教学难点：复数除法法则及其运用教学过程(表格描述

2、)教学环节主要教学活动设置意图引入我们己经学习了复数的加法和减法法则， 知道复数的加法运算类似于多项式的合并同类项， 你认为该如何定义复数的乘法法则呢？类比复数的加法运算， 学习复数的乘法运算.新课一、复数的乘法1.复数的乘法法则设i,i ( , , ,)12Rzab zcda b c d，定义：1 2()()iz zacbdadbc.在实际运算中，可以按照多项式乘法的方式来实施：1 22(i)(i)iii()()i=z zabcdacadbcbdacbdadbc发现复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似， 有助于学生理解复数乘法法则的定义.2.复数乘法满足的运算律复数的乘法运算满足交换律、 结

3、合律和对加法的分配律. 即对任意复数123,z zz ，有1 22 1,z zz z1 23123()(),z zzz z z1231 21 3().z zzz zz z3.复数的乘方及其运算律规定复数的乘方是相同复数的乘积. 由于复数乘法满足交换律和结合律，因此，实数集中正整数指数幂的运算律可推广到复数集中来，即对复数12,z z z和自然数,m n，有1212,(),().mnm nmnmnnnnzzzzzzzzz二、复数的除法1.复数的倒数对于复数izab，如果存在复数z，使1z z，则z叫做 z 的倒数，记作1z.2.分母实数化222222221ii(i)(i)i( i)iiababa

4、babababababababab3.复数的除法法则 22221ii =(i)ii=(i)()()i=abcdabcdcdabcdacbdbcadcd2222=iacbdbcadcdcd在实际运算时，可以把两个复数相除写成“分数”形式：通过验证复数的乘法运算满足交换律、结合律和对加法的分配律， 体会复数乘法法则规定的合理性.复数的除法运算， 实际上就是 “分母实数化”的过程，对于这一点，学生比较陌生， 如何想到分子和分母同时乘以分母的共轭复数， 是本节课的难点.这里通过类比学生学过的无理数的分母有理化的过程，突破难点. 222222iii =i(i)(i)=(i)(i)()()i=iababc

5、dcdabcdcdcdacbdbcadcdacbdbcadcdcd例题例 1. 计算：(2i)(34i)解：2(2i)(34i) 63i8i4i105i=例 2.计算：(1)(32i)(32i)(2)2(1 i)（1）解法 1：22(32i)(32i) 33 2i2 3i(2i)13= ;解法 2：22(32i)(32i) 3(2i)9413=.（2） 解法 1：22(1)(1)(1)1 112 ;=iiiiiii 解法 2：22(1 i)12ii2i=.例 3.求证：（1）22| ;z zzz（2）22( ) ;zz（3）1212.=zzzz（1）设izab，则222222(i)(i)( i

6、)|z zababababzz（2）设izab，则222222(i)2i( i)2izabaabbabab通过复数乘法法则的运用， 加深对法则的理解， 提升数学运算素养.多项式中的代数公式（如平方差公式、完全平方公式） 也适用于复数的乘法.这个过程将新授知识与原有知识建立联系， 帮助学生快速地掌握运算技巧.发现两个共轭复数的乘积是其模的平方， 乘积的结果是实数， 为后面学习复数的除法运算做了铺垫.从而2222izabab，222222( )(i)2i( i)2izabaabbabab于是22( ) .zz（3）设12izizabcd，则12(i)(i)()()i()()i=zzabcdacbd

7、adbcacbdadbc，12(i)(i)()()i=zzabcdacbdadbc,于是1212.=zzzz例 4.（1）计算2(5i)，3i，4i.解：222(5i)5i25= ,32iii( 1) ii= ，422iii( 1) ( 1)1 .（2）计算19i，28i，37i，90i的值，并总结i ()Nnn的取值规律.194 4 34434284 7477374 9 14 99904 22 2422222ii(i )i1( i)iii(i )11ii(i )i =1 iiii(i )i1( 1)1= 当4 ()Nnk k时，i1n当41()+Nnkk时，i = in当42 ()+Nnkk

8、时，i1n 当43()+Nnkk时，iin （3）计算23499iiiii的值.因为4414243iiii1 i 1 i0=kkkk 两个复数相乘和取共轭复数可以交换顺序，先相乘、再对积取共轭复数， 与先分别取共轭复数、 再相乘，结果是一样的.将实数集中乘方运算和正整数幂的运算律推广到复数集，进一步体会复数乘法运算和实数乘法运算的协调一致.学生经过运算发现i的乘方的周期规律,加深对复数乘方运算的理解， 发展数学抽象素养.又因为994 243，所以原式2324 0iii1= 例 5.计算：（1）313(i)22，313(i)22；（2）2000(1 i).解： （1）利用完全立方和公式33223

9、()33abaa babb3322313113(i)( )3 ( )i222221333(i)(i)22213 393 3ii88881 利用完全立方差公式33223()33abaa babb3322313113(i)( )3 ( )(i)222221333(i)(i)22213 393 3ii88881 （2）20002 10001000(1 i)(1 i) (2i)=10001000100010002i212 例 6.计算(12i)(34i).解：12i(12i)(34i)(12i)(34i)34i(34i)(34i)=.5 10i12i2555+= 例 7.计算81i() .1 i进一步

10、运用乘法公式和复数乘方的运算律，提升运算素养.通过复数除法法则的运用， 掌握复数除法的运算过程， 提升数学运算素养.通过复数除法法则解：因为21 i(1 i)2ii1 i(1 i)(1 i)2所以881 ii11 i例 8在复数范围内解方程：（1）220 x ；解：22x 22( 2i)x 122i,2ixx （2）2230 xx222221223212(1)2(1)( 2i)12i12i12i,12ixxxxxxxxxx 或（3）20(0, ,)Raxbxcaa b c且.当240=bac时，方程有两个实数根242bbacxa ；当240=bac时，方程有两个共轭的虚数根24i22bacbx

11、aa.和乘方的综合运用，提升数学运算素养.实系数一元二次方程原来在实数集中无解， 但在扩充后的复数集中有解， 学生在这里发现， 引入复数后， 更多的代数方程有解， 有助于学生了解引进复数的必要性， 体会实际需求与数学内部矛盾 （数的运算规则、 方程理论） 在数系扩充过程中的作用.总结本节课我们主要学习了三部分的内容：1.复数的乘法法则及其运算律2.复数的除法法则3.在复数范围内解实系数一元二次方程梳理本节课所学知识， 加深对复数乘除法法则的理解， 进一步体会乘除法法则规定的合理性以及引进复数的必要性.作业一、作业 11. 计算： （1）(32i)(7i);（2）(1 i)(1 i);（3）(48i)i;（4）i(112i);（5）3(34i) ;（6）2(32i)i .2. 计算：23352100033331997i ,i,i,i,i.3. 计算： （1）2i;74i（2）2i;4i（3）2i;1 i（4）1;2i（5）1;i（6）1.1+i二、作业 2（个人学习感想：哪个知识最重要，最有用，需要注意的关键之处等）巩固本节课所学知识.