（高中数学 一师一优课系列）高一数学（人教A版）复数的加、减运算及其几何意义-1教案.docx

1、教教 案案教学基本信息课题7 72.12.1 复数的加、减运算及其几何意义复数的加、减运算及其几何意义学科数学学段： 高中年级高一教材书名：普通高中教科书数学必修第二册出版社： 人民教育出版社出版日期：2019 年 6月教学设计参与人员姓名单位设计者王立军北京市平谷中学实施者王立军北京市平谷中学指导者岳广胜北京市平谷区教育研修中心课件制作者王立军北京市平谷中学其他参与者教学目标及教学重点、难点教学目标教学目标：1 1、知识与技能目标知识与技能目标：理解并掌握实数进行四则运算的规律，了解复数加减法运算的几何意义。2 2、过程与方法目标过程与方法目标：在问题探究过程中，体会和学习类比，数形结合等数

2、学思想方法，感悟运算形成的基本过程。3 3、情感情感、态度与价值观目标态度与价值观目标：通过探究学习,培养学生观察、理解、推理论证的能力。在掌握知识的同时,形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神.教学重点：理解和掌握复数加减运算的两种运算形式及加法运算律，准确进行加减运算，初步运用加减法的几何意义解决简单问题。教学难点：复数加减法的几何意义及其应用教学方法：探究法教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图复习回复习回顾顾教师：复数产生的背景:为了解决方程210 x在实数范围无解的问题,引入了虚数单位2i(i1);引入虚数单位后，方程无解的问题得意解决，而数集也随之扩大，实数集扩大到复数集

3、。复习复习1 什么是复数？对于形如i,za b a bR 的数叫做复数。其中i叫做虚数单位，a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部，2.两个复数相等的条件是什么？ii, , ,abcda b c dR当且仅当,ac bd3复数几何意义4复数,za bi a bR 的模：22 OZza biabOZ，从几何上来看复数,za bi a bR 的模表示点( , )a b到原点的距离。通过复习回顾复数概念、几何意义等相关知识,使学生对这一知识结构有个清醒的初步认知,逐渐过渡到对复数代数形式的加减运算及其几何意义的学习情境,为探究本节课的新知识作铺垫.新课新课探究探究师：我们知道实数有加我们知道实数有加

4、、减减、乘乘、除等运算除等运算，且有运算律且有运算律：加法：加法：abba()()abcabc乘法：乘法：abba()()ab ca bc()a bcabac那么，复数是否也具有这些运算及其运算律呢？那么，复数是否也具有这些运算及其运算律呢？探究一探究一: :复数的加法复数的加法复数的加法法则复数的加法法则我们规定我们规定, ,复数的加法法则如下复数的加法法则如下: :设设1iza b ，2izc d ( (, , ,a b c dR) )是任意两个复数是任意两个复数, ,那那么：么：12(i)(i)()()izzabcdacbd提出问题：提出问题：( (1) )两个复数的和是个什么数两个复数

5、的和是个什么数, ,它的值唯一确定吗它的值唯一确定吗? ?( (2) )当当=0,0bd 时时, ,与实数加法法则一致吗与实数加法法则一致吗? ?( (3) )它的实质是什么它的实质是什么? ?类似于实数的哪种运算方法类似于实数的哪种运算方法? ?学生明确学生明确: :( (1) )两个复数的和仍然是个复数两个复数的和仍然是个复数, ,且是一个确定的复数且是一个确定的复数，它它可以推广到多个复数相加可以推广到多个复数相加; ;( (2) )当当=0,0bd 时时, , 复数的复数的加法加法与实数加法法则一致与实数加法法则一致; ;( (3) )实质是实部与实部相加实质是实部与实部相加, ,虚部

6、与虚部相加虚部与虚部相加, ,类似于实数类似于实数运算中的合并同类项运算中的合并同类项师师：实数的加法有交换律实数的加法有交换律、结合律结合律,复数的加法满足这些运复数的加法满足这些运算律吗算律吗?对任意的对任意的123,z z z C, ,有有1221zzzz（交换律）（交换律）, ,加深对复数加法加深对复数加法法则的理解法则的理解, ,且且与实数类比与实数类比, ,了了解规定的合理解规定的合理性性: :将实数的运将实数的运算通性、通法扩算通性、通法扩充到复数充到复数, ,有利有利于培养学生的学于培养学生的学习兴趣习兴趣提高学生的建构提高学生的建构能力及主动发现能力及主动发现问题问题, ,探

7、究问题探究问题123123()()zzzzzz（结合律）（结合律）. .证明：设证明：设1iza b ，2izc d ( (, , ,a b c dR) )12(i)(i)()()izzabcdacbd21(i)(i)()()izzcdabcadb ; () 实数的交换律accabddb1221zzzz. .同理可证同理可证123123()()zzzzzz因此因此复数的加法满足交换律、结合律复数的加法满足交换律、结合律，即，即对任意的对任意的123,z z z C, ,有有1221zzzz（交换律）（交换律）, ,123123()()zzzzzz（结合律）（结合律）. .师：我们规定了复数的加

8、法法则，复数的减法法则又该如师：我们规定了复数的加法法则，复数的减法法则又该如何呢？何呢？类类比比复数的加法法则复数的加法法则, ,你能试着推导复数减法法则吗你能试着推导复数减法法则吗? ?复数的减法法则。复数的减法法则。探究二探究二: :复数的减法复数的减法类类比实比实数数减减法法的意义的意义， 我们规定我们规定, ,复数的减法是加法的逆运复数的减法是加法的逆运算算, ,即把满足即把满足(i) (i)icdxya b 的复数的复数i( ,)xy x yR叫做复数叫做复数i( ,)ab a bR减去复数减去复数i( ,)cdc dR的差的差, ,记作记作(i)(i)abcd. .根据复数相等的

9、定义根据复数相等的定义, ,有有,cxa dyb, ,因此因此,xac ybd, ,的能力的能力复数的减法运算法则是通过转化为加法运算而得到的,渗透了转化的数学思想方法,是学生体会数学思想的素材.考查学生的类比思想,提高学生主动发现问题,探究问题的能力所以所以i()()ixyacbd, ,即即(i)(i)()()iabcdacbd. .两个复数的差是一个确定的复数两个复数的差是一个确定的复数. . 这就是复数的减法法这就是复数的减法法则则, ,因此复数的减法法则为：因此复数的减法法则为：设1iza b ，2izc d 则12() ()izza cb d提醒：我们在推导两个复数减法的运算法则时，

10、应用了待定系数法，即12izzzxy ，这种方法也是确定未知复数实部与虚部经常用的一种方法.归纳总结：归纳总结：（1）两个复数的和与差仍然是个复数,且是一个确定的复数。（2）两个复数的和与差实质是实部与实部相加减作为实部, 虚部与虚部相加减作为虚部,类似于实数运算中的合并同类项；（3）复数的加、减法与实数加、减法法则一致，且加法满足实数的运算率。我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量有一一对应的关系。而我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？设1OZ及2OZ分别与复数1iza b 复数2izc d 对应，则1( , )OZa b ，2( , )OZc d 由平面

11、向量的坐标运算法则，得12OZOZOZ ( , ) ( , )abc d(,)a cb d 而12(i)(i)()()izzabcdacbd这说明两个向量1OZ与2OZ的和就是与复数() ()ia cb d 对应的向量。加深对复数加(减)法法则的理解,从不同的角度总结,既学到知识,又学到了数学方法,使知识更加系统化,学生的思维将上升到一个更高的层面,为准确地运用新知,作必要的铺垫.培养学生的归纳概括能力,通过向量的知识,让由图可以看出，以1OZ与2OZ为邻边的平行四边形12OZ ZZ，其对角线OZ所表示的向量OZ 就是复数() ()ia cb d 。因此复数的加法与向量的加法相对应,复数加法可

12、以按照向量的加法来进行(如图）,这就是复数加法的几何意义.师：师：类比复数加法的几何意义，你能得出复数减法的几何意义吗？探究四探究四: :复数减法运算的几何意义：复数减法运算的几何意义：设1OZ及2OZ分别与1iza b 复数2izc d 对应，则1( , )OZa b ，2( , )OZc d ，21Z Z=1OZ-2OZ=( , ) ( , )abc d(,)a cb d 这说明两个向量1OZ于2OZ的差向量21Z Z就是与复数() ()ia cb d 对应的向量。因此复数的减法与向量的减法相对应,复数减法可以按照向量的减法来进行(如图）, 这就是复数减法的几何意义.说明说明: :12ZZ

13、 的几何意义就是复数的几何意义就是复数12 , zz对应复平面上对应复平面上两点间的距离两点间的距离。在复平面上，这个结论你能证明吗？这个结论你能证明吗？学生体会从数形结合的角度来认识复数的加减法法则,训练学生的形象思维能力,加深复数几何意义的理解，也培养了学生的数形结合思想.复数的减法运算法则是通过转化为加法运算而得到的,渗透了转化的数学思想方法.yOx1( , )Z a b2( , )Z c d例题例 1.（1）已知复数1212i 43i =zz与 ，试求它们的和1212 .zzzz与差（2）计算：(5 6i)( 2 i)(34i) ;（详解见 PPT）变式训练变式训练（1 1）若(1 3

14、i)+z=6+2i,求复数z；（2）已知复数123i2+ i( ,)zxzy x yR ，125 4i, 且求实数x,y的值。zz；（3）已知复数z满足+13izz ,求复数z.（详解见 PPT）例例 2 2 根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点111222( , ) , Z ( , )Z x yx y之间的距离。之间的距离。（详解见 PPT）例 3 已知复平面内一平行四边形 AOBC 的点 A、O、B 对应复数是 -3+2i ，0 , 2+i，求： 点 C 对应的复数； 向量AB 对应的复数； A，B 两点间的距离。在巩固复数加、在巩固复数

15、加、减运算。减运算。变式（1）意在巩固减法是加法的逆运算； （2） （3）在渗透待定系数法，把复数问题实数化。 三个变式既复习了概念,又锻炼了学生的计算能力和解决问题的能力例 2 利用复数及其几何意义研究复平面内两点的距离问题，将复平面内两点12 , ZZ之间的距离转化为1212Z Zzz，使得几何问题代数化。例 3巩固复数的几何意义,加深对几何意义的理解。（详解见 PPT）总结（1）复数代数形式的加法、减法的运算法则。复数的加(减)法实质是:复数的实部与实部、 虚部与虚部分别相加减;（2）复数加法减法的几何意义.复数的加法可以按照向量的加法（平行四边形法则）来进行，复数的减法可以按照向量的减

16、法（三角形法则）来进行。通过课堂小结,增强学生对复数代数形式的加法、减法的运算法则及几何意义的理解, 引导学生自我反馈、自我总结,并对所学知识进行提炼升华,使知识系统化.让学生学会学习,学会内化知识的方法与经验,促进学习目标的完成.作业1.计算(1) (2+4i)(34i) (2) ( 34i) (2+i) (1 5i)(3) 5(32i) (4) (2i)(23i)4i 2向量OZ 对应的复数是z,分别作出下列运算的结果对应的向量； (1) 1 (2) zi (3) ( 2+i) zz 3四边形 ABCD 是复平面内的平行四边形，A，B，C 三点对应的复数分别是 1+3i ，-i ,2+i，求点 D 对应的复数.