（高中数学 一师一优课系列）高三数学-平面向量及其应用-1教案.docx

1、教教 案案教学基本信息课题平面向量及其应用平面向量及其应用学科数学学段： 高中年级高三教材书名： 普通高中课程标准实验教科书人教 A 版出版社：人民教育出版社出版日期：2004 年 5 月教学设计参与人员姓名单位设计者蒋晓东北京市朝阳区教育研究中心实施者蒋晓东北京市朝阳区教育研究中心指导者王文英北京市朝阳区教育研究中心课件制作者蒋晓东北京市朝阳区教育研究中心其他参与者教学目标及教学重点、难点教学目标：1. 通过具体问题的解决，能够从多种角度理解向量概念和运算法则，加深对平面向量基本定理的认识；2. 能够运用向量运算解决简单的几何和物理问题，知道数学运算与逻辑推理的关系.3. 通过对知识的综合运

2、用，逐步学会用联系的眼光看问题.4. 在运用向量解决问题的过程中，提升直观想象、逻辑推理、数学运算和数学抽象素养.教学重点：通过向量的运算从不同角度对问题展开分析与探索.突出数形结合、运动变化的思想方法.教学难点：概括出应用向量的运算解决问题的基本策略.教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图环节一：平面向量知识结构梳理知识结构向量内部的知识结构有四个维度：概念、运算、定理、应用普通高中数学课程标准 （2017 年版)中对平面向量这一章的学业要求是：能够从多种角度理解向量概念和运算法则， 掌握向量基本定理； 能够运用向量运算解决简单的几何和物理问题，知道数学运算与逻辑推理的关系.重点提

3、升直观想象、逻辑推理、数学运算和数学抽象素养.通过知识结构的梳理，明确研究对象的整体框架，理清知识间的联系，为后续复习做好准备.点明平面向量基本定理的作用.明确课程标准对平面向量的要求，为接下来的学习与思考指明了方向！环节二：平 面 向 量典 型 例 题分析例 1 ：如图，DE是ABC的中位线，用向量方法证明：BCDE ，DE =BC12.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何关系.证明：因为DE是 ABC

4、的中位线，所以ADAB12 ，AEAC12 .所以=DEAEAD 1122ACAB 12ACAB() .通过例 1 回顾用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”，并经历解决问题的过程.BCADE又BCACAB ，所以DEBC12 .所以BCDE ，DE =BC12.环节二：平 面 向 量典 型 例 题分析借助向量解决几何问题的过程可以用下图来表示.承上启下，为例 2 的研究做铺垫.环节二：平 面 向 量典 型 例 题分析例例 2：如图，已知平行四边形ABCD，你能发现对角线AC和BD的长度与两条邻边AB和AD的长度之间的关系吗？解析：第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元

5、素，将平面几何问题转化为向量问题：取 AB，AD作为基底，则ACABAD ，BDADAB ，第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系：ACABADABAB ADAD2222()2 ， 2222()2BDADABADAB ADAB.上面两式相加，得ACBDABAD22222() .第三步，把运算结果“翻译”成几何关系：ACBDABAD22222().在平行四边形中，利用向量解决问题，一方面是对例 1 的深化，另一方面也是对平行四边形法则的应用.与例1 用三角形法则形成对比.环节二：平 面 向 量例例 3 3：已知两点A，B(| 2 ,0)ABa a，且动点P使PAPB，求点P的轨迹方程.解:

6、 以线段AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，则(,0)Aa，( ,0)B a.设所求轨迹上任意一点( , )P x y，则(, )APxa y ，前面两个例题是利用非坐标化的向量运算解几何条件向量表示向量运算向量结果几何结论典 型 例 题分析(, )BPxa y 由题意可知：APBP ，则0AP BP ，所以2()()0 xa xay，即222xya，故点P的轨迹方程为222xya.决问题，而此题借助向量的坐标运算来解决平面几何问题.环节二：平 面 向 量典 型 例 题分析已知： 如图， 在ABC中， 角A，B，C的对边为a，b，c.求证：2222cosabb

7、cAc.在ABC中，BCACAB ，22()BCACAB 222ACAC ABAB 222cos,ACACABAC ABAB .得到2222cosabbcAc.如何用向量法证明正弦定理呢？思考： 向量的数量积运算中出现了角的余弦， 而我们需要的是角的正弦.如何实现转化？由诱导公式cos()sin2可知，我们可以通过构造角直接的互余关系，把边与角的余弦关系转化为正弦关系.已知：如图，在ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c.求证：sinsinabAB.证明 1：如图建立直角坐标系，设1e，2e单位正交基向量.因为ACABBC ，所以222ACABBC eee，利用向量证明余弦定理.在这个过程

8、中加深对向量的应用的认识，同时也为正弦定理的证明做铺垫.通过思考题引导学生思考，在余弦定理的基础上，用向量探求正弦定理.以其为载体借助向量的坐标运算完成探究过程.=sinsinsinabcABC环节二：平 面 向 量典 型 例 题分析环节二：平 面 向 量典 型 例 题分析所以2cos()2ACBACe2cos()2BCABC e，即sinsinACBACBCABC ，故sinsinabAB.证明 2：建立直角坐标系如图，设外接圆半径长为R，则A点的坐标为( ,0)R，B点的坐标为( cos2 , sin2 )RC RC.因为= ( cos2, sin2 )ABRCR RC ，所以=( cos

9、2)( sin2 )ABRCRRC22| =2(1cos2 )RC= 2 sinRC.即= 2 sincRC.同理可得：= 2 sinaRA，= 2 sinbRB，所以= 2sinsinsinabcRABC.“两角差的余弦公式”的推导：利用单位圆中的单位向量的夹角， 以及坐标表示及向量运算得到两角差的余弦公式.借助单位圆，以向量的坐标、模、运算等知识为工具获得正弦定理.cos()coscossinsin| |OA OBOAOB 环节二：平 面 向 量典 型 例 题分析例例 4 4：已知：22222()()() (0)abcdacbdcd.求证：abcd.证明：构造向量( , )a bm，( ,

10、 )c dn.则2222cos,| |acbdabcd= =m nm nmn.因为22222()()() (0)abcdacbdcd，所以2cos,1m n，即0,m n或，所以存在0，使得mn，及( , )( , )a bc d，故abcd.通过例 4 的解决，突出向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具.为后续解决物理问题做好准备.环节二：平 面 向 量典 型 例 题分析例例 5 5：在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗？解：如图，设作用在旅行包上的两个拉力分别为1F，2F，不妨设

11、12FF，又设1F，2F的夹角为，旅行包所受的重力为G.由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识，得1| | |2cos2GF.以力的合成与分解所对应的物理问题为载体，将向量与其物理背景下对应的对象之一力联系起来，借助向量这一工具解决问题.环节二：平 面 向 量典 型 例 题分析例例 6 6：如图，一条河两岸平行，河的宽度500md =，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船的速度= 10km / h1|v，水流速度= 2km / h2|v，那么当航程最短时，这艘船行驶完全程需要多长时间（精确到0.1min）？以船的行驶问题为载体，将向量与其物理背景下对应的对象之一速度联系

12、起来，借助向量这一工具解决问题.解：设点B是河对岸一点，AB与河岸垂直，那么当这艘船实际沿着AB方向行驶时，船的航程最短.如图，设12vvv，则=96(km / h)2212| |vvv.此时船的航行时间0.503.1(min)6| |96dt=v.所以， 当航程最短时， 这艘船行驶完全程需要3.1min.环节二：平 面 向 量典 型 例 题分析例例 7 7：已知a，b是单位向量，0a b. 若向量c满足| 1cab，则|c的取值范围是（）（A） 21, 21（B） 21, 22（C）1, 21（D）1, 22解析解析 1 1：依条件有|()| 1cab，设c与ab的夹角大小为（0） ，因为2

13、|()|1cab，所以222()()1 cabcab.所以22()10 cabc.所以22 2 |cos10 cc.所以22 28cos4| |2c222cos12cos2.由0cos21及上式知21|21c.故选 A.在具体的过程中，有关向量模的问题要有“平方意识” ，涉及范围可以运用函数与方程的思想方法解决问题.解析解析 2 2：以a，b分别为x轴和y轴正向的单位向量，建立直角坐标系，则(1, 0)a，(0, 1)b.以求向量模的取值范围为载体，分别从：向量的模的运算、向量的模的坐标运算、向量的模的几何意义三个角度对问题展开分析与探索.突出了数形结合、运动变化的思想方法.既能开阔视野，又灵

14、活运用知识解决问题.发展逻辑推理素养和数学运算素养.环节二：平 面 向 量典 型 例 题分析设( , )x yc，则(1, 1)xycab.因为| 1cab，所以22(1)(1)1xy.即( , )x y是以点(1, 1)M为圆心， 1 为半径的圆上的点，而22|xyc.所以| |c可以理解为圆M上的点到原点的距离.由圆的性质可知，| | |OMrOMrc.所以| 21, 21c. 故选 A.在解决问题的过程中，合理建系，设点坐标，这种“坐标意识”很关键.解析解析 3 3：依条件及|()| | 1cabcab画出右图.显然当点C运动到点B时，|c取最大值21；当点C运动到点A时，|c取最小值2

15、1.所以|c的取值范围是 21, 21.故选 A.环节二：平 面 向 量典 型 例 题分析为什么在这个正方形中点E,F都是动点， 但数量积则一个是定值一个是变量呢？以正方形为背景，利用向量的数量积的几何意义解决问题，突出其在解决几何问题中的作用.环节二：平 面 向 量典 型 例 题分析例例 8 8：在正三角形ABC中,3AB ,D是BC上一点,且3BCBD ,则_AB AD .结论如何转化结论如何转化? ?AB AD 很难直接用数量积公式直接求得，那该怎办？（1）可以转化为其他向量的数量积.（2）联想数量积几何意义，即投影的概念.（3）可以建立平面直角坐标系，转化为坐标运算.方法一：方法一：转

16、化为其他向量的数量积.1B()()3AADABABBDABABBC 2111593 3 cos120332ABAB BC .方法二：方法二：由数量积几何意义，联想投影概念.过D点作DMAB于M，515B|322AADAMAB .方法三：方法三：转化为坐标运算以A为坐标原点，以AB为x轴建立直角坐标系.则(3,0)B，3 3 3( ,)22C，53( ,)22D，(3,0)AB ，53( ,)22AD ，152AB AD 以例 8 为背景，分析求数量积的不同方法，实质上是对前面几种分析问题方法的应用，体现了对已知条件的不同转化，将经历不同的运算过程.环节三：平 面 向 量应 用 的 知识小结数量积的求法及每种方法的适用条件数量积的求法及每种方法的适用条件1定义法： 数量积定义， 适用条件是已知向量的模与夹角. .2转化法： 适用条件是所求数量积中的向量可以转化为已知模和夹角的向量中去. .3几何法（投影等） ：适用条件是几何法易求得投影或找到几何意义. . 坐标法（通法） ： 适用条件是方便建立平面直角坐标系，坐标易写. .通过反思和总结本节课的学习过程，对应用向量解决问题的基本过程、基本思路、基础知识进行梳理，突出应用向量解决问题的基本策略.