（高中数学 一师一优课系列）高一数学（人教B版）-空间中的平行和垂直的综合应用（一)-2.pptx

1、高一年级 数学空间中平行和垂直的综合应用(一)北师大二附中证明线面平行、线面垂直有哪些方法？证明面面平行、面面垂直有哪些方法？【知识回顾】【知识回顾】线面平行的判定定理线面平行的性质定理aaabbabaab【知识回顾】面面平行的判定定理面面平行的判定定理推论,ababAab,ababAc dac bdcd【知识回顾】面面平行的性质定理aabb【知识回顾】线面垂直的判定定理线面垂直的性质定理aabb,m nmnAllm ln 【知识回顾】面面垂直的判定定理面面垂直的性质定理lllaaal平行与垂直的相互转化平行与垂直的相互转化垂直于同一个平面的两条直线平行，即与平面的垂线平行的直线也垂直于这个平

2、面，即aabbabab 通过前面几节课的学习，我们认识了空间中的点、线、面的位置关系，重点学习了空间中的平行关系和垂直关系，这节课我们将探究空间中平行和垂直的综合应用问题，进一步提升解决立体几何综合问题的能力.1.如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，E、F分别是AB、PD的中点，【真题面对面】PA=AD.求证：(1)AF 平面PEC(2) AF 平面PCD1.如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，E、F分别是AB、PD的中点，PA=AD.求证：(1)AF 平面PEC思路一：通过构造平行四边形生成线线平行关系G(1)证法一：取PC的中点G，连接E

3、G,FG 点F是PD的中点， GF CD,GF= CD 点E是AB的中点， EA= AB在平行四边形ABCD中，AB CD，AB=CD GF AE,GF=AE， 四边形AEGF是平行四边形，所以GE AF AF 平面PEC, GE 平面PEC AF 平面PEC1212G思路二：通过构造三角形中位线，生成线线平行关系(1)证法二：连接CE并延长交DA的延长线于点M，连接PM，在平行四边形ABCD中， AB CD，AD CB， AM CB 点E是AB的中点， 点E是MC的中点 点A是MD的中点，又 点F是PD的中点 AF PM AF 平面PEC，PM 平面PEC， AF 平面PEC思路三：通过构造

4、面面平行，生成线线平行关系（1)证法三：取CD的中点Q，连接FQ，AQ， 点F是PD的中点， QF CP. 点Q是CD的中点， CQ CD, 点E是AB的中点， AE AB ， 在平行四边形ABCD中，AB CD, AB=CD, CQ AE,CQ=AE , 四边形AECQ是平行四边形，AQ EC, AQ QF=Q， 平面AQF 平面PEC. AF 平面AQF， AF 平面PEC1212,AQEC QFCPAQ QFAQFEC CPPEC平面平面，1.如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，E、F分别是AB、PD的中点，PA=AD.求证：(2) AF 平面PCD证明线面垂直

5、的基本条件是什么？(2),PAABCDPACD PAADABCDCDADADPAACDPADAFPADCDAFRt PADPAAD FPDAFPDPDCDDAFPCD平面又四边形是矩形，平面平面在中，是中点平面证明线面平行,面面平行,需转化为证明线线平行证明线面垂直,面面垂直,需转化为证明线线垂直【题后反思】线面平行面面平行线线平行判定性质性质判定判定性质平行关系的转化平行关系的转化 线面垂直面面垂直线线垂直判定定义性质判定垂直垂直关系的转化关系的转化 【典型例题】例1：如图，在正方体 中， E是 中点，求证：(1)(2)1111ABCDABC D1CC1ACBD1ACBDE平面例1：如图，在

6、正方体 中， E是 中点，求证：(1)1111ABCDABC D1CC1ACBD1,BDACC先证：平面例1：如图，在正方体 中， E是 中点，求证：(2)1111ABCDABC D1CC1ACBDE平面1OEAC先证：证明： (1) 连接AC，交BD于点O，在正方体 中, ， , 又 , (2) 连接OE，因为E是 中点，又由(1)知，O为AC中点, ，又OE 平面BDE， , 1111ABCDABC DACBD1CCABCD平面1CCBD1ACCCC1,BDACC平面1ACBD1CC1OEAC1ACBDE平面1ACBDE平面同类练习1：直三棱柱 中， M为 的中点，N是 与 的交点.(1)

7、 求证：(2) 求证：111ABCABC90 ,ABC1,ABBCBB11AB1AC1AC11MNBCC B平面1MNABC平面同类练习1：直三棱柱 中， M为 的中点，N是 与 的交点.(1) 求证：111ABCABC90 ,ABC1,ABBCBB11AB1AC1AC11MNBCC B平面1MNBC先证：同类练习1：直三棱柱 中， M为 的中点，N是 与 的交点.(2) 求证：111ABCABC90 ,ABC1,ABBCBB11AB1AC1AC1MNABC平面11BCABC先证：平面证明：（1) 连接 ，因为M，N分别为 , 的中点 ， , , , (2) 在直三棱柱中， 所以侧面 为正方形

8、， 则 又 , 1BC11AB1AC1MNBC1MNABC平面11MNBCC B平面111BCBCC B平面11MNBCC B平面1BCBB11BCC B11,BCBC,ABBC11,BBABCABBB平面1BCBBB11,ABBCC B平面1,BCAB1,ABBCB11BCABC平面1,MNBC例2：如图所示，O是正方形ABCD的中心， ， E是PC的中点，求证：(1)(2) 【典型例题】PACBDE平面平面PABDE平面POABCD底面例2：如图所示，O是正方形ABCD的中心， ， E是PC的中点，求证：(1) PABDE平面POABCD底面OEAP先证：例2：如图所示，O是正方形ABCD

9、的中心， ， E是PC的中点，求证：(2) 【典型例题】PACBDE平面平面POABCD底面BDACP先证：平面证明：（1)连接OE，在正方形ABCD中，点O是AC的中点 E是PC的中点, OE是 的中位线， ,又 ，(2) 在正方形ABCD中， ， ， 又 POBDPOABCD 底面BDACPABDE平面PABDE平面OEBDE平面OEAPACP,BDBDE平面BDACP平面,ACPOOPACBDE平面平面又同类练习2：如图，PA 矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点(1)求证：(2)求证：(3) 若 求证：MNPCD平面45PDA，MNCDMNPAD平面同类练习2：如图，P

10、A 矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点(1)求证：MNPAD平面证明：（1）取CD的中点R，连接MR，NR因为R，N分别是CD，PC的中点所以 ，又可证因为NR与MR相交可证MRADMNRPAD平面平面NRPD,MNMNRMNPAD平面平面同类练习2：如图，PA 矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点(2)求证：MNCDCDMNR平面(2)因为 ，所以 在矩形ABCD中， ，又因为 ，所以 ，所以 ，由(1)已证 ，所以 ， ,又因为所以 ，所以PAADACDADPACDPAABCD平面NRPDCDPDCDPAD平面MRADNRCDMRCDNRMRRCDMNR平

11、面MNCD同类练习2：如图，PA 矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点(3) 若 求证：MNPCD平面45PDA，MNPCMNCDAHMNAHPCD平面(3)在 中，所以 ，连接PM，CM 所以 ，又因为N是PC的中点，于是 ,由(2)知 所以MNPCPMMC,ADBCPABCAMMCRt PAMCBM又RtPAAD45oPDARt PAD,MNCD CDPCCMNPCD平面【典型例题】例3：如图，已知 是正三角形，EA，CD都垂直于平面ACB，且EA=AB= ,DC= , F是BE的中点，求证：(1)(2)ABC2aaFDABC平面AFEDB平面例3：如图，已知 是正三角形，

12、EA，CD都垂直于平面ACB，且EA=AB= ,DC= , F是BE的中点，求证：(1)ABC2aaFDABC平面FDMC先证：证明：(1)取AB的中点M，连接FM，MC因为F，M分别是BE，BA的中点所以 ，因为AE，CD都和平面ABC垂直所以 ，所以 ，又CD ，所以所以四边形FMCD是平行四边形，所以 ，,FDABC CMABCFDABC平面平面平面aCDAEFMEA12FMEACDFMCDFMFDMC例3：如图，已知 是正三角形，EA，CD都垂直于平面ACB，且EA=AB= ,DC= , F是BE的中点，求证：(2)ABC2aaAFEDB平面CMAEB平面,CMAF FDAFAFBE(

13、2)因为M是AB的中点， 是正三角形，所以 ，所以因为F是BE的中点， ，所以 ，又 ，所以，DFBEFEAABCMABABC,CMAE,ABAEACMAEB平面,CMAF CMFDFDAF,AFBEAFDFAFEBD平面EAABC平面同类练习3：在如图所示的几何体中，四边形CDEF为正方形，四边形ABCD为等腰梯形，(1) 求证：(2)当点M为BD的中点时，求证：BDADE平面,2 3,24,.ABCD BDABADAEBD且BFECM平面同类练习3：在如图所示的几何体中，四边形CDEF为正方形，四边形ABCD为等腰梯形，(1) 求证：BDADE平面,2 3,24,.ABCD BDABADA

14、EBD且222BDADABBDAD证明：（1)因为所以 ，所以又 ，,ADAEA BDADE平面BDAD222BDADAB2 3,24BDABAD,AEBD AD AEADE平面同类练习3：在如图所示的几何体中，四边形CDEF为正方形，四边形ABCD为等腰梯形，(2)当点M为BD的中点时，求证：,2 3,24,.ABCD BDABADAEBD且BFECM平面MNBF(2)连接DF与EC交于点N，则N为DF的中点因为M是BD的中点，所以又所以MNEMCBFEMC平面平面，MNBFBFECM平面 M D A P B C【课后练习】练习1：如图，已知三棱锥A-BPC中，M为AB中点，D为PB中点，且 为正三角形(1)求证：(2)求证：DMAPC平面PMB,APPC ACBCABCAPC平面平面 F D E C1 B1 A1 C B A练习2.如图,三棱柱 中，侧棱 ， 为等腰直角三角形， ，D，E，F分别是 的中点.（1）求证：（2）求证：（3）设AB= ，求三棱锥D-AEF的体积190 ,BACABAAABC1AAABC平面111ABCABC11,B A CC BCDEABC平面1B FAEF平面a【方法小结】将空间位置关系转化成平面内的位置关系将图形语言、文字语言转化成符号语言将平行、垂直关系转化为线线平行、线线垂直高一年级 数学主讲人 黄 悦北师大二附中