2022年高考数学重点题型讲与练专题09 平面向量（教师版）.docx

1、专题 09平面向量重点题型题型一、平面向量的概念及其线性运算题型一、平面向量的概念及其线性运算1基本概念（熟记）基本概念（熟记）（1）向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小.（2）相等向量：不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性（3）共线向量：即平行向量，它们均与起点无关向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈（4）非零向量 a 与|aa的关系：|aa是 a 方向上的单位向量2向量的加法、减法、数乘运算及其几何意义、运算律

2、向量的加法、减法、数乘运算及其几何意义、运算律共线向量定理共线向量定理（重点）：（重点）：向量 a(a0)与 b 共线，当且仅当有唯一的一个实数，使得ba.3运算运算法则法则（1）进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来（2）向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用题型题型二二、平面向量的、平面向量的基本定理基本定理及坐标表示及坐标表示1平面平面向量向量基本定理基本定理及应用及应用（1）概念：如果

3、e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数1，2，使1 122aee.其中，不共线的向量 e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.（2）应用：先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式.2平面平面向量向量的坐标运算的坐标运算（1）若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.（2）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则AB =（x2x1

4、，y2y1）.（3）设 a=（x1，y1） ，b=（x2，y2） ，则 ab=（x2+x1，y2+y1） ，ab=（x1x2，y1y2） ，a=（x1，y1） ，|a|=2211+xy，|ab|=221212( + ) +(+)xxyy.（4）设 a=（x1，y1） ，b=（x2，y2） ，则 abx1y2x2y1=0.（5）已知两个非零向量 a 和 b，作OA =a，OB =b，则AOB=（0180）叫做向量 a 与 b 的夹角.如果向量 a 与 b 的夹角是 90，我们说 a 与 b 垂直，记作 ab.题型题型三三、平面向量的数量积及其应用平面向量的数量积及其应用1平面向量的数量积平面向量

5、的数量积（1）概念已知两个非零向量, a b，我们把数量|cosa b叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a b,即a b|cosa b，其中是a与b的夹角.注意：零向量与任一向量的数量积为 0.设非零向量a与b的夹角是，则|cosa(|cosb)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影.2平面向量数量积的常用公式平面向量数量积的常用公式设非零向量1122( ,),(,)x yxyab，是a与b的夹角.（1）数量积：a b1212|cosx xy ya b.（2）模：2211|xyaa a.（3）夹角：cos|a ba b121212122222x xy yxyxy.（4）垂直与平行：0a

6、ba b12120 x xy y；abab=|a|b|.3平面向量数量积的平面向量数量积的几何意义几何意义及应用及应用（1）a b的几何意义：数量积a b等于a的长度|a与b在a方向上的投影|cosb的乘积.（2） 力做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积， 实质是力和位移两个向量的数量积， 即W | | cos ( F sFs为F和s的夹角).（3）常见的向量表示形式：重心：若点 G 是ABC的重心，则GAGBGC0 或1()3PGPAPBPC= (其中 P 为平面内任意一点)反之，若GAGBGC0 ，则点 G 是ABC的重心垂心： 若H是ABC的垂心， 则HA HBHB HCHC

7、 HA .反之， 若HA HBHB HC HC HA ，则点 H 是ABC的垂心内心：若点 I 是ABC的内心，则|BCIACA IBABIC 0 .反之，若|BCIACA |IBABIC 0 ，则点 I 是ABC的内心外心：若点 O 是ABC的外心，则()()()0OAOBBAOBOCCBOCOAAC 或| | |OAOBOC .反之，若| | |OAOBOC ，则点 O 是ABC的外心.考点集训一、单选题一、单选题1已知向量(2,1),( 1, ), 2abxaba ，则 x 的值为（）A4B8C4D8【答案】B【解析】2112abxaba ，2=0aba，即， 2 211210 x ，计

8、算得：6208xx ，所以选项 B 正确，选项 ACD 错误.故选 B.2ABC中，“ABC是钝角三角形”是“ABACBC ”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】在ABC中，若A为锐角，如图画出平行四边形ABCDABACAD ，易知ADBC “ABC是钝角三角形”不一定能推出“ABACBC ”；在ABC中，ABC， ，三点不共线，ABACBC ，ABACACAB ，22ABACACAB ，0AB AC ，A为钝角，ABC为钝角三角形，“ABACBC ”能推出“ABC是钝角三角形”.故“ABC是钝角三角”是“ABACBC ”的必要不充分

9、条件,故选 B.3已知向量(3, 2)a ，(1, )bx，且ab与2ab共线，则 x=（）A23B23C32D32【答案】B【解析】2, 2abx ，27, 4abx ，ab与2ab共线，24720 xx ，解得23x 故选 B4设D为ABC所在平面内一点，2BCCD ，则（）A1433ADABAC B1322ADABAC C3122ADABAC D3122ADABAC 【答案】B【解析】由题意可知，D为ABC所在平面内一点， ，如下图所示ABBCAC ；ACCDAD 因为2BCCD ，代入中可得2ABCDAC 由可得，1322ADABAC ，故选 B.5已知向量a，b满足1a ，1a b

10、，则2aab（）A4B0C2D3【答案】D【解析】向量a，b满足| 1a ，1a b ，则2(2)2213aabaa b ，故选D6在ABC 中，2BCBAACAC ，则ABC 的形状一定是（）A直角三角形B等腰三角形C等边三角形D等腰直角三角形【答案】A【解析】2BCBAACAC BCBAACAC BCBACAAC 2BA AC 0BAAC,ABC 为直角三角形，故选A7已知平面向量ab与ab的模长之比为3 :1，且夹角为90，则ab与a的夹角为（）A30B60C120D150【答案】B【解析】因为向量ab与ab的夹角为90，所以2222() ()0abababab，所以abrr，因为向量a

11、b与ab的模长之比为3 :1，所以22()3()abab，所以222223(2)aa bbaa bb ，所以22242abaa b ，所以22()2aabaaa b ，222abaa bba ，所以1cos,2abaab aab a ，因为两个向量的夹角范围为0,，所以ab与a的夹角为60，故选 B.8已知, a b 为单位向量，向量c满足|2| |caa b ，则cb的最大值为（）A2B2C3D3【答案】B【解析】由|2| |caa b得122aca b ，说明c的终点的轨迹是以2a的终点为圆心，1|2a b为半径的圆，|cb的最大值是圆心与b的终点之间的距离加上半径，即为1|()|22ab

12、a b ，2111|()|2222aba bbaa b11142a ba b111cos,cos,42a ba b 1111422，（当且仅当cos,1a brr时取等号） 故选B9已知, a b 是不共线向量，设2OAab ，2OBab ，3OCabuuu rrr，3ODabuuu rrr，若OAB的面积为 3，则OCD的面积为（）A8B6C5D4【答案】A【解析】2OAab ，2OBab ，3OCabuuu rrr，3ODabuuu rrr，如图，在平行四边形OAMB中，111222AEABOBOAbauuu ruuu ruuu ruurrr，113222OEOMOAOBabuuu ruu

13、uruuruuu rrr设OEA，则sin31222OABOAEOEAESSVVuuu ruuu r，即sin3OEAEuuu r uuu r同理，在平行四边形OCND中，1122FCDCOCODabuuu ruuu ruuu ruuu rrr，11222OFONOCODabuuu ruuu ruuu ruuu rrr可得32OEFCuuu ruuu r，4OFAEuuu ruuu r，/ /OEFCuuu ruuu r，/ /OFAEuuu ruuu r；所以OF 与FC 的夹角为或其补角，则28sinsin12242sin33OCDOCFOFFCAEOEAESOESVVuuu ruuu r

14、uuu ruuu ruuu ruuu r8383OCD的面积为 8.故选 A.10 图 1 是我国古代数学家赵爽创制的一幅“赵爽弦图”， 它是由四个全等的直角三角形和一个小的正方形拼成个大的正方形，某同学深受启发，设计出一个图形，它是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，如图 2，若4AD，2BD ，那么BE CD （）A2B2C6D6【答案】D【解析】由题意可知，60FDEDEFEFD ，120AECCFBBDA ，又4AD ，2BD ，4BFCEAD，2BDDFCFEFAEDE，() ()BE CDBDDECFFD BD CFBD FDDE CFDE FD | |

15、cos120| | cos180BDCFBDFD | | cos60| | cos120DECFDEFD 11122()22( 1)2222()24226222 故选 D二、多选题二、多选题11已知点O为ABC外接圆的圆心，| 6AC ，30OAC，则（）A3OC B2 3OC C6OA OC D6OA OC 【答案】BD【解析】令2OCt，则222622tt，所以t3 （舍）或3t ，所以2 3OC ，所以cos2 32 3cos 180606OA OCOA OCAOC .故选 BD.12已知向量a，b，c满足1, 1ab，37, 1ab ，1,1c ，设a，b的夹角为，则（）AabrrB/

16、 /acC135Dbc【答案】BC【解析】1, 1ab，37, 1ab ，1, 1a ，2,0b ，得22112a ，2b ，故 A 错误；又1,1c ，则ac ，则/ /ac，故 B 正确；22cos22 2a bab ，又0 ,180，135，故 C 正确；2 1 0 120b c ，b与c不垂直，故 D 错误.故选 BC13已知菱形ABCD边长为 1，60BAD，E 是BC中点，F 是DE中点，M 是AB中点，延长AF交CD于N(如图所示)，设ABa ，ADb，则下列结论正确的是（）A.1324AFab B/ /MEAF C18AF DB D2AFFN 【答案】AC【解析】由 F 是DE

17、中点可得，12AFbDE1113()2224bbabab ，故 A 正确；因为 E 是BC中点，M 是AB中点，所以/ME AC,又ACAFA,所以/ /MEAF 错误，故 B 错误；因为DBABADba，1324AFab，所以13111112444488AbF DBaba ba ，故 C 正确;若2AFFN ，则22AFFDDN ，即AFDFFDDCFC,即AFFEAEFC,由图形可知显然不成立，故 D 错误.故选 AC.14已知平面向量a，b，c，若a，b是夹角为 3的两个单位向量，0acbc，,ab c，则下列结论正确的有（）A3c B3c C6cos3D6cos3【答案】AC【解析】因

18、为, a b 是夹角为3的两个单位向量，所以1cos,2|a ba ba b ，12a b ，20acbca bcabc 设(1,0)a ，则13,22br，33,22ab，3abrr，设,cx y，将, ,a b c 代入得，221330222xyxy，即22331444xy，因此向量c的坐标满足圆22331444xy，而圆上的点到原点的最大距离为1332，A 正确；由知，212cabc，21()313162cos2333322cabcccabcccc 当12cc时等号成立，故 C 正确.故选 AC15在ABC中，有如下四个命题正确的有（）A若0AC AB ，则ABC为锐角三角形B若BABC

19、AC ，则ABC的形状为直角三角形CABC内一点 G 满足0GAGBGC ，则 G 是ABC的重心D若PA PBPB PCPC PA ，则点 P 必为ABC的外心【答案】BC【解析】对于 A，由0AC AB ，得s0coAC ABA ，所以cos0A ，所以角A为锐角，但不能判断三角形为锐角三角形，所以 A 错误，对于 B，因为BABCAC ，所以2222BABA BCBCAC ，即2222cosBABA BCBBCAC ，所以222coscos2BABCACBBBA BC ,得cos0B ，因为(0, )B，所以2B，所以三角形为直角三角形，所以 B 正确，对于 C，因为0GAGBGC ，所

20、以GAGBGC ，所以2GDGC （D为BA的中点） ，所以,G C D三点共线，所以点G在BA边的中线CD上，同理，可得点G在其它两边的中线上，所以 G 是ABC的重心，所以 C 正确，对于 D，因为PA PBPB PC ，所以0PA PBPB PC ，0PBPAPCPB CA ,所以PBCA，所以点P在边CA的高上，同理可得点P也在其它两边的高上，所以点P为ABC的垂心，所以 D 错误，故选：BC三、填空题三、填空题16已知向量(1,0)a ，( ,1)bx，b在a上投影为3，则x _.【答案】3【解析】设a与b的夹角为，b在a上投影为2|cos|3| |10a ba bxbbabar r

21、r rrrrrr，解得3x .故答案为：3.17已知平面向量3a ，2b ，8aab，则cos, a b _.【答案】16【解析】因为8aab，所以22cos,8aa baa ba b ，代入数据可得：93 2cos,8a b ，解得1cos,6a b ，故答案为：16.18已知向量,2am，3, 6b ，若abab，则实数m的值是_【答案】4【解析】因为abab，故22abab，展开得到0a b ，因为,2am，3, 6b ，故3120m，4m ，故答案为：4.19设02，向量3cos2 ,cos2a，1,sinb ，若ab，则tan_.【答案】12【解析】由已知可得33cos2sincos

22、sin2cos2024a b ，所以，4tan23，02，则tan0，可得22tan4tan21tan3，所以，22tan3tan20，解得1tan2.故答案为：12.20 如图所示的平行四边形ABCD中，6042BADABADE，为DC的中点， 则AC AE _.【答案】18【解析】因为E为DC中点，所以1,2ACABAD AEABAD ，所以22113222AC AEABADABADABAB ADAD ，所以1311642418222AC AE ，故答案为：18.21已知向量1,3AB ，2, 1BD ，3EFAD ，5AD EF ，cos,AD EF _.【答案】13【解析】 2, 11

23、1,23ADABBD uuu ruuu ruuu rQ，22125ADuuu r又3EFAD ，3 5EFuuu r，利用向量的数量积公式可知51cos,33 55AD EFAD EFEFAD uuu r uuu ruuu r uuu ruuu r uuu r，故答案为13.22在四边形ABCD中，2AB ，单位向量CD 与AB 平行，P是BC的中点，APDCQ，若在AB BC ADDC中选两个作为基本向量，来表示向量AQ，则AQ _.【答案】2ABBCuuu ruuu r【解析】222AQAPABBPABBCuuu ruuu ruuu ruuruuu ruuu r，故答案为：2ABBCuuu ruuu r23已知A(1，1)，B(0，1)，C(1，0)，M为线段BC上一点，且CMCB ，若MA BCMB MC ，则实数的取值范围是_.【答案】21,12【解析】设点,M x y，由CMCB ，得1,1,1xy，所以1xy .因为MA BCMB MC ，所以 1,11, 1,11,xyxyxy ，即2211xyxxyy ，化简得2220 xyy将1xy 代入2220 xyy，得22120，即22410 ，解得221122 .因为M为线段BC上一点，且CMCB ，所以01.综上，可知2112.故实数的取值范围是21,12.