六 数学百花园-密铺-ppt课件-(含教案+视频)-市级公开课-北京版五年级上册数学(编号：1005f).zip

铺地游戏 （1）四人一小组合作，每组至少选择3 种图形进行验证。 （2）用相同的图形铺一铺，哪些图形 能够单独密铺？ （3）边观察边思考，这些图形能够密 铺的原因可能是什么？ 12 34 12 34 12 34 12 34 12 34 12 34 12 34 12 34 12 34 12 34 120 1 2 3 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 108 135 美国数学家发现新五边形可无缝密铺平面 据外媒报道，美 国华盛顿大学研究团 队近日发现了一种新 的不规则五边形，相 互组合后可完全铺满 平面，不会出现重迭 或有任何空隙，是全 球第15种能做到此效 果的五边形。 多种图形的密铺 多种图形的密铺 生活中的密铺 埃舍尔镶嵌艺术 埃舍尔镶嵌艺术 - 稻草人 设计密铺图案 请你利用两种或两种以上的图形设计密铺图案 。 1619年-数学家奇柏（J.Kepler）第一个利用正多边形铺嵌平面 。 1891年-苏联物理学家费德洛夫（E.S.Fedorov）发现了十七种 不同的铺嵌平面的对称图案。 1924年-数学家波利亚（Polya）和尼格利（Nigele）重新发现 这个事实。 最富趣味的是荷兰艺术家埃舍尔（M.C.Escher）与密铺。 Escher于1898年生于荷兰。他到西班牙旅行参观时，对一种名为阿 罕拉（Alhambra）的建筑物有很深的印象，这是一种十三世纪皇宫 建筑物，其墙身、地板和天花板由摩尔人建造，而且铺了种类繁多、 美仑美奂的马赛克图案。Escher用数日的时间复制了这些图案，并得 到了启发，创造了各种并不局限于几何图案的密铺图案，这些图案包 括人、青蛙、鱼、鸟、蜥蜴，甚至是他凭空想象的物体。他创作的艺 术作品，结合数学与艺术，给人留下深刻的印象，更让人对数学产生 了另一种看法。 1 2 3 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 12 34 12 34 12 34 12 34 12 34 12 34 12 34 12 34 12 34 12 34 12 34 12 34 12 34 12 34 12 34 12 34 1 2 3 4 3 4 1 2 3 4 1 2 1 2 3 4 1 2 3 4 3 4 1 2 1 2 3 4 1 2 3 4 3 4 1 2 3 4 1 2 附件附件 3 3 编号：编号： 教学设计模板教学设计模板 所在学校：苏州市金阊新城实验小学校所在学校：苏州市金阊新城实验小学校 任课教师：汤琪任课教师：汤琪 学学 科科小学数学版本册数版本册数北京 2011 课标版五年级上册 课目课目名称名称密铺第第 1 课时课时 教学目标教学目标 1知识与技能：通过观察生活中常见的密铺现象，使学生初步理解图形的 密铺；通过拼摆各种图形，探索并了解能够进行密铺的平面图形的特点。 2过程与方法：在探究多边形密铺条件的过程中学生经历观察、猜测、推 理、验证和交流等过程。进一步发展学生的动手实践能力、合情推理能力。 3情感态度价值观：使学生在欣赏密铺图案和设计简单的密铺图案的过 程中，体会图形的转换，感受数学知识与生活的密切联系，经历欣赏数学美、 创造数学美的过程，从而激发学生学习数学的兴趣，体验学习数学的价值。 同时，进一步发展学生的团结合作意识，享受由合作获得成功的喜悦。 学情分析学情分析 这是一节根据有关平面图形特点进行观察、操作、思考和简单设计的实 践活动。密铺的教学主要是将几何平面图形的知识与实际生活相结合的活动 课程，其目的是在进一步体验常见的平面图形的形状、结构特点，加强对图 形的认识，初步认识密铺，感受密铺的特征。同时也是帮助学生在活动中进 一步感受研究数学现象、数学问题的一般数学方法、积累一定数学基本活动 经验。同时通过欣赏和设计简单的密铺图案，进一步感受图形密铺的奇妙， 获得美的体验。并能够对自己在活动中的表现进行自我评价和反思。 因此，密铺的教学是在建立在学生对平面图形的认识基础上。本课教学 之前，学生刚刚学习了平行四边形、三角形、梯形、组合图形等知识，积累 了一定的动手实践的经验，已经具有了探究“同一顶点各角度之和为 360 的图形能够密铺”的知识基础。 （1）知识水平：学生已经学习了图形的平移、旋转及多边形的内角和 等知识；具有了相关的知识经验； （2）能力和方法水平：学生已经具备一定的推理能力，能初步运用 “猜想验证推理”的数学思想方法来探究问题； （3）心理水平：该阶段的学生虽然已经具备一定的知识经验，但是还 是有较强的好奇心，也有较强的表现欲； （4）思维水平：学生的思维以直接经验为主，间接经验相对较少。在 学习过简单平面图形的基础上，学生已经对平面图形有了初步的印象，并能 准确的认识各种简单平面图形。对于密铺，学生已经有了较为直观的生活体 验，只是还未形成系统的理论知识。 在此基础上进行密铺理论知识的学习和活动设计，符合学生认知发展规 律，是对学生生活经验的提炼和再加工，从而形成较为系统的初步抽象的理 论知识。在这个知识系统的帮助下，可以进一步让学生认识到数学的美，激 发对数学学习的兴趣，是对学生进行的一次头脑风暴，对于培养学生的数学 应用意识有很大的帮助。基于以上认识，本课的设计重点放在让学生动手操 作、探究，从而获得丰富的知识经验和积极的情感体验。学习过程中充分发 挥小组长作用，小组内进行充分的交流讨论，通过经历与组内同伴动手拼图 以及设计密铺图形等活动过程，知道三角形、四边形、正六边形可以密铺， 并知道有些图形是不能密铺的。在整个活动中，教师参与到组内讨论，并指 导。最后在学生活动和交流的基础上，教师组织学生进行评价、自我评价和 反思，内化知识经验与知识体系。 重点难点重点难点 教学重点；知道什么是密铺，了解有一些图形（如三角形，四边形和正六边 形）是可以密铺的。 教学难点：初步感受密铺的原理。 教学过程教学过程 信息技术和数字资源的信息技术和数字资源的 使用方式和意图使用方式和意图 一、课前谈话 师：我们学习了五年级数学，数学给你什么感受？ 数学好玩吗？好玩在哪里？ 指出：是的数学大师陈省身爷爷也有何同学们的相同的 想法， “数学好玩”也是送给我们少年儿童的寄语。 小结：今天这节课我们一起来感受快乐、好玩的数学。 二、引入课题，揭示密铺定义 1、师：今天这节数学课老师就和大家一起来玩图形， 你们觉得图形可以怎么玩？ 老师要和大家玩的就是图形的密铺（板：密铺） 问：听说过密铺吗？就字面意思理解，你觉得密铺是怎 么铺？ 2、师：老师最近正在设计专用教室地砖的铺法。有两 种地砖可以选择，分别是什么形状？（正六边形、正八 边形） （1）引导：结合刚才你们对密铺的理解，请你们四人 一小组在小黑板上铺一铺，看看哪种形状的地砖更合适？ 从篮子中拿出正六边形和正八边形铺一铺。 （课件出示陈省 身的生平和成就， 以及相关照片。 ） 【设计意图】本环节重在让学 生感受研究数学快乐，激发学 生学习数学的信心。 【设计意图】根据前测已经了 解到学生在日常生活以及学生 的元认知中已经有了一些对密 铺概念的理解，所以教师依托 课前测数据，通过直接对密铺 字面的理解说说密铺是怎么铺 的！ 【设计意图】紧密结合生活中 的素材“铺地砖”这样的活动， 学生小组活动。 （2）学生交流：谁来交流你铺一铺后的发现。 比较这两片铺法，它们有什么不同？ 追问：哪种形状的地砖更适合铺地？为什么？ 问：怎么铺是密铺？（板：没有空隙） （3）.师：为了使正八边形没有空隙，对第一种铺法进 行改良。 （教师摆八边形） 问：这样铺行吗？为什么说不合适？怎么会容易摔跤 的？ 可能答案：这样重叠铺地砖，导致行走的时候不平整、 容易摔跤、费材料 引导：所以密铺能像这样重叠铺吗？板：不重叠 3. 师：你觉得怎样铺是密铺？（没有空隙，不重叠） 揭示定义：数学上像这样图形之间没有空隙，也不重叠， 铺在一个平面上的铺法有个专用名称，叫做密铺。 （板： 密铺） 三、明确密铺，引入课题 1.师：谁再说说密铺就是怎么铺？所以密铺中哪个字更 重要呢？密表示？没有空隙、不重叠 2.强化密铺概念 （1）师：想像一下，正六边形如果继续往下铺是密铺 吗？为什么？如果屏幕足够大，正六边形继续在这个平 面上铺下去还是密铺吗？ 问：现在你对密铺又有什么新的想法？ 小结：是的，只有像这样在一个平面上朝任何方向都能 不重叠、没有空隙的铺下去才是数学真正意义上的密铺。 3鼓励质疑，明确探究目标： 引导：通过玩铺地砖，我们在玩中认识了密铺。还知道 哪个图形能够密铺？正八边形呢？ 板书：能密铺：正六边形 不能密铺：正八边形 （1）师：如果我们继续往下玩图形的密铺，在玩中你 们最想研究什么问题呢？ 适当引导：你想研究哪些平面图形的密铺？ （出示核心问题：哪些图形可以密铺？密铺的条件是 在活动中通过两种图形的铺一 铺后的辨析，进一步感受怎么 铺才是密铺。同时，又通过继 续像这样没有空隙不重叠的铺 下去还是密铺的思考，进一步 延伸密铺的含义，真正感知了 数学意义上的密铺，为后面的 探究奠定基础！ 【设计意图】本环节重在提升 学生发现提出问题的能力，同 时也是引导学生在后面的学习 中围绕这两个核心问题展开活 动和思考！ 什么？） （2）小结：研究数学知识不仅要知其然，更要知其所 以然！这两个问题提得非常有价值。 接下来就我们围绕这两个问题一起来玩图形的密铺！ （板：图形的密铺） 四、思考与操作，探究密铺原理 1.动手操作、感受密铺 引导：想像一下，你觉得我们学过的平面图形中哪些图 形能单独密铺呢？ 师：这仅仅是我们的猜想（板：猜想） ，到底这些图形 能不能密铺呢！老师已经大家准备了这些图形，想让大 家验证自己的想法(板：验证)，我们一起先来看活动要 求。 （学生自学） 提出活动要求：四人一小组合作，每组至少选择 3 种 图形进行验证。 用相同的图形铺一铺，哪些图形能够 单独密铺？ 边观察边思考，这些图形能够密铺的 原因可能是什么？ 问：用相同的图形铺一铺，摆一摆是什么意思？ 提醒：看看哪一小组验证速度最快，能验证出 3 种图形 甚至更多种的图形能否单独密铺。 学生独立操作，并在小组里交流结果，教师巡视结果。 （教师贴图形） （1）交流验证结果 引导：哪个小组来介绍下你们验证的结果。 通过验证发现可以密铺，正五边形不能密铺。同 样验证某某图形能密铺的请举手。 追问：这些图形都是密铺吗？你们怎么都认为是密铺？ 无限往外铺出去呢？ 让我们再次屡一下。通过刚才的验证，我们发现哪些 平面图形可以密铺？不能单独密铺？ （教师相机板贴相关图形。 ） 2. 密铺原理初探 （1）引发问题：数学上我们不仅要知道结论，而且要 【设计意图】培养学生的观察 力，想象力和自主分析动手解 决问题的能力。引导学生明确 研究内容和研究方法等，为学 生后面的自主探究打好基础， 同时，也引导学生明确探究活 动的基本内容和步骤,形成初步 的探究能力。 知其所以然。为什么这些平面图形都能密铺，而正五边 形和正八边形就不能密铺呢？图形的能够密铺的原因到 底是什么？我们继续往下研究。 师：请同学们仔细观察，如果不操作，哪个图形更容易 想像出是能够密铺的？学生说明理由。 引导：长方形、正方形是特殊的四边形，还有其他的四 边形能密铺吗？ 小结:让我们先从这几个特殊和一般的四边形开始研究 起。 课件出示：平行四边形、长方形、正方形、梯形、四边 形 （2）师：为什么这些四边形都能够密铺，原因可能 是和什么有关呢？小组进行讨论，可以结合你们组铺的 一种四边形或者几种四边形观察思考，也可以结合自己 的发现再铺一铺，找找这些四边形能够密铺的原因是什 么？ 小组讨论活动。 交流汇报：和角有关，和边有关、和一个点上的角有 关 预设： 平行四边形：同学已经关注到了这个点上这些角，我 们不妨可以把（平行四边形）四个内角分别标上角 1- 4，再仔细平行四边形的密铺中一个点上的角，你有什 么发现？ 指出：平行四边形内角和是 360 度，四个不同的内角在 一个点上正好可以拼成 360 度。 其他特殊四边形：长方形、正方形、梯形它们的四个 不同内角和是 360 度，在一个点上正好能够拼成 360 度。 重点分析梯形（梯形角标上序号并平移） 长方形、正方形是特殊的平行四边形、两个完全相同 的梯形能够拼成平行四边形，从而能够密铺； 问：你认为一般四边形能密铺的原因是什么？ 课件演示：四边形内角和是 360 度，为了更好的区分这 四个角四边形标示角 14。一个四边形边上拼四边形可 以在角 1 边上分别放角 2、角 3、角 4 这是就是 360 度， 【设计意图】给予学生充足的 探究时间和空间，让学生带着 思考进行实践探究一般四边形 和特殊四边形能够的原因是什 么。同时经历动手活动验证平 行四边形、长方形、正方形、 梯形、一般四边形密铺过程， 探究其密铺原理，让学生在小 组合作中感受数学探究的过程。 那这里放个四边形应该用角几对应这里的顶点呢？继续 往下铺，密铺中的每个点上都是怎样的？ 追问：想像一下，如果继续密铺下去，其他的每个点会 是什么情况？课件演示。 （3）问：到这里你们有没有什么结论了？为什么？ 4.类推正六边形密铺原理 （1）引导（课件演示）：我们知道正六边形一个角是 120 度。你能根据刚才四边形的研究，说说正六边形能 密铺的原因是什么呢？ 追问：一个点上有几个内角拼成的？继续玩下密铺，其 他的点情况呢？ 问：比较四边形密铺的原理，你有没有想说的？ 指出：不管是 3 个内角拼还是 4 个内角拼，只要能在一 个点上拼成 360 度，图形就能密铺。 5. 探究一般三角形的密铺，进一步感受密铺的条件。 （1）引出问题：一般三角形能够密铺的原因是不是也 是这样呢？ （2） 师：小组讨论一般三角形的密铺的原因是什么？ 你可以结合已经铺好的三角形在小组中说一说你的推理， 没有铺过的小组也可以拿出一般三角形铺一铺来验证自 己的推理。 （3）集体交流，适时归纳： 预设 1：我们可以用转化的方法，把 预设 2：三角形的内角和是 180 度，6 个不同的内角能 够在一个点上拼成 360 度。 追问：也有这样发现的小组举手，你们密铺的三角形相 同吗？展示给大家看下！ （4）问：直角三角形能密铺吗？其他任意三角形呢？ 为什么？ 小结：刚才有的同学把三角形转化成平行四边形、有的 同学推理出任意三角形 6 个内角能够在一个点上拼成 360 度，这两种方法都说明了任意的三角形可以单独密 铺。 6.6.现在你能说说图形密铺的原因是什么？现在你能说说图形密铺的原因是什么？ 小结：瞧，在玩的过程中不仅知道了哪些图形能够密铺， 【设计意图】通过正六边形和 四边形密铺原理的辨析、比较， 进一步帮助学生直观感受、理 解不管是 3 个内角还是 4 个内 角只要能在一个点上拼成 360 度，图形就能密铺。 【设计意图】结合三角形密铺 原理的活动验证，进一步帮助 学生真正意义上理解图形密铺 的原理。同时引导感受可以运 用已有的知识经验，结合图形 之间的联系进行推理，感受转 化的数学思想。 【设计意图】运用图形密铺原 理及时验证数学知识，感受数 还知道了密铺的原因图形内角能在一个点上拼成 360 度， 这就是图形密铺的条件。 7.反向推理验证密铺的原理 （1）正五边形：正五边形每个角是 108 度，现在你能 告诉我正五边形为什么不能密铺吗？ （2）正八边形：正八边形每个角是 135 度它为什么不 能密铺吗？ （3）勾连一般图形，突破特例 师：刚才我们发现长方形、正方形、梯形、平行四边形 都能密铺，同时发现一般四边形都能密铺。现在我们发 现正五边形不能实现密铺这个结论，通过这个结论你也 有什么想说的？ 预设：学生表述不到位，引导：老师有点不相信，虽让 没有办法验证，但是通过多方查找有关资料发现科学家 也在研究这个成果，我们一起看下研究成果。这就是近 期科学家的发现，静静的看一下，这个五边形能密铺的 原因是什么？（课件显示五边形密铺资料） 瞧这是全球 15 种能单独密铺的五边形，现在你有什么 想法的？ 指出：对于数学研究，只要敢想、朝着这个方向努力， 你一定会有新的发现 五、拓展升华 1.师：其实我们今天研究的密铺仅仅是同一个图形的密 铺（板书：一种图形） 。密铺也可以是两种或两种以上 的平面图形进行密铺。正五边形、正八边形不能单独密 铺，要实现密铺要满足什么条件？加上什么图形才能实 现密铺吗？（课件） 2.生活中的密铺图案 （1）课件：看这是我们班同学利用两种或两种以上的 平面图形进行密铺制作出的密铺图案，你们觉得怎么样？ （2）课件：实际上生活中也有很多密铺图案的设计， 比如足球上五边形和六边形的密铺、水立方的任意多边 形的密铺，马路道板的地砖、拼图等等都是利用了密铺！ 学知识验证过程，体会数学探 究的严谨性，感受完整的数学 知识探究过程。 【设计意图】：在学生对同一 种图形的密铺已有认识基础上， 打破学生桎梏，展示交流两种 图形密铺。感受密铺原理进行 镶嵌艺术的美。 问： 看到这些图案，你有什么感受？ 引导：如果足球，水立方不是密铺图案，有空隙可以吗？ （3）人们还想到了用不规则的图形进行密铺，这是新 加坡科技馆的标志等等图案都更是让我们感受到了艺术 的美。 3.密铺五边形的知识。 师：不规则图形的密铺图案是如此的美，由此吸引 了艺术家们利用密铺的原理进行镶嵌艺术的创作。瞧！ 这是荷兰图形艺术家埃舍尔的镶嵌艺术创作。 师：我给大家带来了一幅镶嵌艺术作品，让我们一起来 欣赏吧！（课件：稻草人） 4.课堂小结： 问：现在回顾一下，我们今天一起玩了什么？我们是怎 么玩的？（用什么方法研究的） 追问：现在你知道有哪些平面图形能够密铺吗？ 我们要知道一个平面图形能不能密铺，应该怎么 办？ 指出：是的，图形的内角能否在一个点上拼成 360 度， 这就是图形密铺的条件。 【设计意图】引领学生从数学 课玩了什么？怎么玩？进一步 激发学生参与数学活动的兴趣。 并帮助学生积累一些基本的数 学活动经验，养成全面回顾的 习惯，培养自我反思、全面概 括的习惯。 板书设计板书设计 图形的密铺 密铺 哪些平面图形可以单独密铺？ 没有空隙 平面图形可以单独密铺的条件是什么？ 不重叠 能密铺 不能密铺 猜想 验证 正五边形 推理 正八边形 任意四边形 备注：备注： “教学过程”用宋体小四号；“信息技术和数字资源的使用方式和意图”用楷体小 四号；行间距为固定值 20。