2021年浙江省湖州市中考数学试卷（学生版+解析版）.docx

1、第 1页（共 23页） 2021 年浙江省湖州市中考数学试卷年浙江省湖州市中考数学试卷 一、选择题（本题有一、选择题（本题有 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）下面每小题给出的四个选项中，只分）下面每小题给出的四个选项中，只 有一个是正确的有一个是正确的.请选出各题中一个最符合题意的选项，并在答题卷上将相应题次中对应字请选出各题中一个最符合题意的选项，并在答题卷上将相应题次中对应字 母的方框涂黑，不选，多选、借选均不给分。母的方框涂黑，不选，多选、借选均不给分。 1 （3 分）实数2 的绝对值是（） A2B2C? ? D? ? ? 2 （3 分）化简 ?的正确结果是（

2、） A4B4C2 ?D2 ? 3 （3 分）不等式 3x15 的解集是（） Ax2Bx2Cx ? ? Dx ? ? 4 （3 分）下列事件中，属于不可能事件的是（） A经过红绿灯路口，遇到绿灯 B射击运动员射击一次，命中靶心 C班里的两名同学，他们的生日是同一天 D从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球 5 （3 分）将如图所示的长方体牛奶包装盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平， 则得到的图形可能是（） AB CD 第 2页（共 23页） 6 （3 分）如图，已知点 O 是ABC 的外心，A40，连结 BO，CO，则BOC 的度数 是（） A60B70C80D90 7 （3 分）

3、已知 a，b 是两个连续整数，a? ?1b，则 a，b 分别是（） A2，1B1，0C0，1D1，2 8 （3 分）如图，已知在ABC 中，ABC90，ABBC，BE 是 AC 边上的中线按下 列步骤作图：分别以点 B，C 为圆心，大于线段 BC 长度一半的长为半径作弧，相交 于点 M，N；过点 M，N 作直线 MN，分别交 BC，BE 于点 D，O；连接 CO，DE 则 下列结论错误的是（） AOBOCBBODCODCDEABDDBDE 9 （3 分）如图，已知在矩形 ABCD 中，AB1，BC?，点 P 是 AD 边上的一个动点，连 结 BP，点 C 关于直线 BP 的对称点为 C1，当点

4、 P 运动时，点 C1也随之运动若点 P 从 点 A 运动到点 D，则线段 CC1扫过的区域的面积是（） AB? ? ? ? C? ? ? D2 10 （3 分）已知抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴的交点为 A（1，0）和 B（3，0） ，点 第 3页（共 23页） P1（x1，y1） ，P2（x2，y2）是抛物线上不同于 A，B 的两个点，记P1AB 的面积为 S1， P2AB 的面积为 S2，有下列结论：当 x1x2+2 时，S1S2；当 x12x2时，S1 S2；当|x12|x22|1 时，S1S2；当|x12|x2+2|1 时，S1S2其中正 确结论的个数是（） A1B2C

5、3D4 二、填空题（本题有二、填空题（本题有 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11 （4 分）计算：22 1 12 （4 分）如图，已知在 RtABC 中，ACB90，AC1，AB2，则 sinB 的值 是 13 （4 分）某商场举办有奖销售活动，每张奖券被抽中的可能性相同，若以每 1000 张奖券 为一个开奖单位，设 5 个一等奖，15 个二等奖，不设其他奖项，则只抽 1 张奖券恰好中 奖的概率是 14 （4 分）为庆祝中国共产党建党 100 周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五 角星（A，B，C，D，E 是正五角星的五个顶点） ，则图中A 的度数是度

6、 15 （4 分）已知在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为（3，4） ，M 是抛物线 yax2+bx+2 （a0）对称轴上的一个动点小明经探究发现：当? ?的值确定时，抛物线的对称轴上能 使AOM 为直角三角形的点 M 的个数也随之确定，若抛物线 yax2+bx+2（a0）的对 称轴上存在 3 个不同的点 M，使AOM 为直角三角形，则? ?的值是 16 （4 分）由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的数学的魅力一书中记载了这样一 个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为 1 的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块， 再拼成三个小正方形（阴影部分） 则图中 AB 的长应是 第 4页（共 2

7、3页） 三、解答题（本题有三、解答题（本题有 8 小题，共小题，共 66 分）分） 17 （6 分）计算：x（x+2）+（1+x） （1x） 18 （6 分）解分式方程：? ? ?1 19 （6 分）如图，已知经过原点的抛物线 y2x2+mx 与 x 轴交于另一点 A（2，0） （1）求 m 的值和抛物线顶点 M 的坐标； （2）求直线 AM 的解析式 20 （8 分）为了更好地了解党的历史，宣传党的知识，传颂英雄事迹，某校团支部组建了： A党史宣讲；B歌曲演唱；C校刊编撰；D诗歌创作等四个小组，团支部将各组人 数情况制成了统计图表（不完整） 各组参加人数情况统计表 小组类别ABCD 人数（人

8、）10a155 根据统计图表中的信息，解答下列问题： （1）求 a 和 m 的值； （2）求扇形统计图中 D 所对应的圆心角度数； （3）若在某一周各小组平均每人参与活动的时间如下表所示： 小组类别ABCD 平均用时（小时）2.5323 求这一周四个小组所有成员平均每人参与活动的时间 第 5页（共 23页） 21 （8 分）如图，已知 AB 是O 的直径，ACD 是? ?所对的圆周角，ACD30 （1）求DAB 的度数； （2）过点 D 作 DEAB，垂足为 E，DE 的延长线交O 于点 F若 AB4，求 DF 的长 22 （10 分）今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的

9、游客人数三 月份为 4 万人，五月份为 5.76 万人 （1）求四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长百分之几； （2）若该景区仅有 A，B 两个景点，售票处出示的三种购票方式如下表所示： 购票方式甲乙丙 可游玩景点ABA 和 B 门票价格100 元/人80 元/人160 元/人 据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有 2 万、3 万和 2 万，并且当甲、 乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降 1 元，将有 600 人原计划购买甲种门票的 游客和 400 人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票 若丙种门票价格下降 10 元，求景区六月份的门票总收入； 问：将丙种门

10、票价格下降多少元时，景区六月份的门票总收入有最大值？最大值是多 少万元？ 23 （10 分）已知在ACD 中，P 是 CD 的中点，B 是 AD 延长线上的一点，连结 BC，AP 第 6页（共 23页） （1）如图 1，若ACB90，CAD60，BDAC，AP?，求 BC 的长 （2）过点 D 作 DEAC，交 AP 延长线于点 E，如图 2 所示，若CAD60，BDAC， 求证：BC2AP （3）如图 3，若CAD45，是否存在实数 m，当 BDmAC 时，BC2AP？若存在， 请直接写出 m 的值；若不存在，请说明理由 24 （12 分）已知在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 是反比例函

11、数 y? ? ?（x0）图象上的一 个动点，连结 AO，AO 的延长线交反比例函数 y? ? ?（k0，x0）的图象于点 B，过点 A 作 AEy 轴于点 E （1）如图 1，过点 B 作 BFx 轴，于点 F，连接 EF 若 k1，求证：四边形 AEFO 是平行四边形； 连结 BE，若 k4，求BOE 的面积 （2）如图 2，过点 E 作 EPAB，交反比例函数 y? ? ?（k0，x0）的图象于点 P，连 结 OP试探究：对于确定的实数 k，动点 A 在运动过程中，POE 的面积是否会发生变 化？请说明理由 第 7页（共 23页） 2021 年浙江省湖州市中考数学试卷年浙江省湖州市中考数学

12、试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题有一、选择题（本题有 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）下面每小题给出的四个选项中，只分）下面每小题给出的四个选项中，只 有一个是正确的有一个是正确的.请选出各题中一个最符合题意的选项，并在答题卷上将相应题次中对应字请选出各题中一个最符合题意的选项，并在答题卷上将相应题次中对应字 母的方框涂黑，不选，多选、借选均不给分。母的方框涂黑，不选，多选、借选均不给分。 1 （3 分）实数2 的绝对值是（） A2B2C? ? D? ? ? 【解答】解：实数2 的绝对值是：2 故选：B 2 （3 分）化简 ?的正确结果是

13、（） A4B4C2 ?D2 ? 【解答】解： ? ? ? ? ?2 ?， 故选：C 3 （3 分）不等式 3x15 的解集是（） Ax2Bx2Cx ? ? Dx ? ? 【解答】解：不等式 3x15， 移项合并得：3x6， 解得：x2 故选：A 4 （3 分）下列事件中，属于不可能事件的是（） A经过红绿灯路口，遇到绿灯 B射击运动员射击一次，命中靶心 C班里的两名同学，他们的生日是同一天 D从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球 【解答】解：A、经过红绿灯路口，遇到绿灯是随机事件，故本选项不符合题意； B、射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故本选项不符合题意； C、班里的两名同学，

14、他们的生日是同一天是随机事件，故本选项不符合题意； D、从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球是不可能事件，故本选项符合题意； 第 8页（共 23页） 故选：D 5 （3 分）将如图所示的长方体牛奶包装盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平， 则得到的图形可能是（） AB CD 【解答】解：该长方体表面展开图可能是选项 A 故选：A 6 （3 分）如图，已知点 O 是ABC 的外心，A40，连结 BO，CO，则BOC 的度数 是（） A60B70C80D90 【解答】解：点 O 为ABC 的外心，A40， A? ? ?BOC， BOC2A80， 故选：C 第 9页（共 23页） 7

15、（3 分）已知 a，b 是两个连续整数，a? ?1b，则 a，b 分别是（） A2，1B1，0C0，1D1，2 【解答】解：134， 1?2， 0? ?11， 故选：C 8 （3 分）如图，已知在ABC 中，ABC90，ABBC，BE 是 AC 边上的中线按下 列步骤作图：分别以点 B，C 为圆心，大于线段 BC 长度一半的长为半径作弧，相交 于点 M，N；过点 M，N 作直线 MN，分别交 BC，BE 于点 D，O；连接 CO，DE 则 下列结论错误的是（） AOBOCBBODCODCDEABDDBDE 【解答】解：由作法得 MN 垂直平分 BC， OBOC，BDCD，ODBC，所以 A 选

16、项正确； OD 平分BOC， BODCOD，所以 B 选项正确； AECE，DBDC， DE 为ABC 的中位线， DEAB，所以 C 选项正确； DE? ? ?AB， 而 BD? ? ?BC， ABBC， BDDE，所以 D 选项错误 第 10页（共 23页） 故选：D 9 （3 分）如图，已知在矩形 ABCD 中，AB1，BC?，点 P 是 AD 边上的一个动点，连 结 BP，点 C 关于直线 BP 的对称点为 C1，当点 P 运动时，点 C1也随之运动若点 P 从 点 A 运动到点 D，则线段 CC1扫过的区域的面积是（） AB? ? ? ? C? ? ? D2 【解答】解：如图，当 P

17、 与 A 重合时，点 C 关于 BP 的对称点为 C， 当 P 与 D 重合时，点 C 关于 BP 的对称点为 C， 点 P 从点 A 运动到点 D，则线段 CC1扫过的区域为：扇形 BCC和BCC， 在BCD 中，BCD90，BC?，CD1， tanDBC? ? ? ? ? ? ， DBC30， CBC60， BCBC BCC为等边三角形， S扇形BCC? ? ? ? ?， 作 CFBC 于 F， BCC为等边三角形， BF? ? ? ?t ? ? ? ， 第 11页（共 23页） CFtan60 ? ? ? ? ?， SBCC? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， 线段 CC1扫过

18、的区域的面积为：? ? ? ? 故选：B 10 （3 分）已知抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴的交点为 A（1，0）和 B（3，0） ，点 P1（x1，y1） ，P2（x2，y2）是抛物线上不同于 A，B 的两个点，记P1AB 的面积为 S1， P2AB 的面积为 S2，有下列结论：当 x1x2+2 时，S1S2；当 x12x2时，S1 S2；当|x12|x22|1 时，S1S2；当|x12|x2+2|1 时，S1S2其中正 确结论的个数是（） A1B2C3D4 【解答】解：不妨假设 a0 如图 1 中，P1，P2满足 x1x2+2， P1P2AB， S1S2，故错误 如图 2 中

19、， 第 12页（共 23页） x12x2， ? ? ?1， P1，P2关于点 A 对称， S1S2，故错误， |x12|x22|1， P1，P2在 x 轴的上方，且 P1离 x 轴的距离比 P2离 x 轴的距离大， S1S2，故正确， 如图 1 中，P1，P2满足|x12|x2+2|1，但是 S1S2，故错误 故选：A 二、填空题（本题有二、填空题（本题有 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11 （4 分）计算：22 1 1 【解答】解：22 12? ? ?1 故答案为：1 12 （4 分） 如图， 已知在 RtABC 中， ACB90， AC1， AB2， 则

20、sinB 的值是 ? ? 【解答】解：ACB90，AC1，AB2， sinB? ?t ? ? ? ? 故答案为：? ? 13 （4 分）某商场举办有奖销售活动，每张奖券被抽中的可能性相同，若以每 1000 张奖券 为一个开奖单位，设 5 个一等奖，15 个二等奖，不设其他奖项，则只抽 1 张奖券恰好中 奖的概率是 ? ? 【解答】解：只抽 1 张奖券恰好中奖的概率是? ? ? ? ? 故答案为： ? ? 14 （4 分）为庆祝中国共产党建党 100 周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五 角星（A，B，C，D，E 是正五角星的五个顶点） ，则图中A 的度数是36度 第 13页（共 23页

21、） 【解答】解：如图， 正五角星中，五边形 FGHMN 是正五边形， GFNFNM? ? ? ?108， AFNANF180GFN18010872， A180AFNANF180727236 故答案是：36 15 （4 分）已知在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为（3，4） ，M 是抛物线 yax2+bx+2 （a0）对称轴上的一个动点小明经探究发现：当? ?的值确定时，抛物线的对称轴上能 使AOM 为直角三角形的点 M 的个数也随之确定，若抛物线 yax2+bx+2（a0）的对 称轴上存在 3 个不同的点 M，使AOM 为直角三角形，则? ?的值是 2 或8 【解答】解：AOM 是直

22、角三角形， 一定存在两个以 A，O 为直角顶点的直角三角形，且点 M 在对称轴上的直角三角形， 当以 OA 为直径的圆与抛物线的对称轴 x? ? ?相切时， 对称轴上存在 1 个以 M 为直角 顶点的直角三角形，此时对称轴上存在 3 个不同的点 M，使AOM 为直角三角形（如图 所示） 第 14页（共 23页） 观察图象可知，? ? ? ?1 或 4， ? ? ?2 或8， 故答案为：2 或8 16 （4 分）由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的数学的魅力一书中记载了这样一 个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为 1 的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块， 再拼成三个小正方形（阴影部分） 则图

23、中 AB 的长应是? ?1 【解答】解：如图，设 DEx 由题意 3DE21， 第 15页（共 23页） DE? ? ? ， 在 RtCDE 中，CED90，CD1， EC?t? ? ? ? ? ? ? ， tanECD? ?t t? ? ? ?t， DT? ? ? ， AT1? ? ? ， ABTTCD， tanABTtanTCD， ?t ? ? ?t t?， ? ? ? ? ? ? ? ? ， AB? ?1 故答案为： ? ?1 三、解答题（本题有三、解答题（本题有 8 小题，共小题，共 66 分）分） 17 （6 分）计算：x（x+2）+（1+x） （1x） 【解答】解：原式x2+2x+

24、1x2 2x+1 18 （6 分）解分式方程：? ? ?1 【解答】解：去分母得：2x1x+3， 解得：x4， 当 x4 时，x+30， 分式方程的解为 x4 19 （6 分）如图，已知经过原点的抛物线 y2x2+mx 与 x 轴交于另一点 A（2，0） （1）求 m 的值和抛物线顶点 M 的坐标； （2）求直线 AM 的解析式 第 16页（共 23页） 【解答】解： （1）抛物线 y2x2+mx 与 x 轴交于另一点 A（2，0） ， 222+2m0， m4， y2x24x 2（x1）22， 顶点 M 的坐标为（1，2） ， （2）设直线 AM 的解析式为 ykx+b（k0） ， 图象过 A

25、（2，0） ，M（1，2） ， ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 解得 ? ? ? ? ? ?， 直线 AM 的解析式为 y2x4 20 （8 分）为了更好地了解党的历史，宣传党的知识，传颂英雄事迹，某校团支部组建了： A党史宣讲；B歌曲演唱；C校刊编撰；D诗歌创作等四个小组，团支部将各组人 数情况制成了统计图表（不完整） 各组参加人数情况统计表 小组类别ABCD 人数（人）10a155 根据统计图表中的信息，解答下列问题： （1）求 a 和 m 的值； （2）求扇形统计图中 D 所对应的圆心角度数； （3）若在某一周各小组平均每人参与活动的时间如下表所示： 小组类别ABCD 平均用时（小

26、时）2.5323 求这一周四个小组所有成员平均每人参与活动的时间 第 17页（共 23页） 【解答】解： （1）由题意可知：四个小组所有成员总人数是 1530%50（人） ， a501015520， m%1050100%20%， m20； （2）55036036， 扇形统计图中 D 所对应的圆心角度数为 36； （3）? ? ? ? ?（102.5+203+152+53）2.6（小时） ， 这一周四个小组所有成员平均每人参与活动的时间是 2.6 小时 21 （8 分）如图，已知 AB 是O 的直径，ACD 是? ?所对的圆周角，ACD30 （1）求DAB 的度数； （2）过点 D 作 DEAB

27、，垂足为 E，DE 的延长线交O 于点 F若 AB4，求 DF 的长 【解答】解： （1）如图，连接 BD， ACD30， BACD30， AB 是O 的直径， ADB90， DAB90B60； 第 18页（共 23页） （2）ADB90，B30，AB4， AD? ? ?AB2， DAB60，DEAB，且 AB 是直径， EFDEADsin60?， DF2DE2 ? 22 （10 分）今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数三 月份为 4 万人，五月份为 5.76 万人 （1）求四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长百分之几； （2）若该景区仅有 A，B 两个

28、景点，售票处出示的三种购票方式如下表所示： 购票方式甲乙丙 可游玩景点ABA 和 B 门票价格100 元/人80 元/人160 元/人 据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有 2 万、3 万和 2 万，并且当甲、 乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降 1 元，将有 600 人原计划购买甲种门票的 游客和 400 人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票 若丙种门票价格下降 10 元，求景区六月份的门票总收入； 问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门票总收入有最大值？最大值是多 少万元？ 【解答】解： （1）设四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长率为 x，

29、由题意，得 4（1+x）25.76， 解这个方程，得 x10.2，x22.2（舍去） ， 答：四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长率为 20%； （2）由题意，得 100（2100.06）+80（3100.04）+（16010）（2+100.06+100.04） 798（万元） 答：景区六月份的门票总收入为 798 万元 设丙种门票价格降低 m 元，景区六月份的门票总收入为 W 万元， 由题意，得 W100（20.06m）+80（30.04m）+（160m） （2+0.06m+0.04m） ， 第 19页（共 23页） 化简，得 W0.1（m24）2+817.6， 0.10， 当 m

30、24 时，W 取最大值，为 817.6 万元 答：当丙种门票价格下降 24 元时，景区六月份的门票总收入有最大值，最大值是 817.6 万元 23 （10 分）已知在ACD 中，P 是 CD 的中点，B 是 AD 延长线上的一点，连结 BC，AP （1）如图 1，若ACB90，CAD60，BDAC，AP?，求 BC 的长 （2）过点 D 作 DEAC，交 AP 延长线于点 E，如图 2 所示，若CAD60，BDAC， 求证：BC2AP （3）如图 3，若CAD45，是否存在实数 m，当 BDmAC 时，BC2AP？若存在， 请直接写出 m 的值；若不存在，请说明理由 【解答】解： （1）ACB

31、90，CAD60， AB? ?t ?th? ? ?t， BDAC， ADAC， ADC 是等边三角形， ACD60， P 是 CD 的中点， APCD， 在 RtAPC 中，AP?， ?t ? ?t h? ? ?， ?t ? ?t? ? ? ?， （2）证明：连接 BE， 第 20页（共 23页） DEAC， CAPDEP， 在CPA 和DPE 中 t?t ?t ?tt? ? ?t? tt ? ?t ， CPADPE（AAS） ， APEP? ? ?，DEAC， BDAC， BDDE， 又DEAC， BDECAD60， BDE 是等边三角形， BDBE，EBD60， BDAC， ACBE， 在

32、CAB 和EBA 中 ?t ? ? ?t? ? ? ? ? ? ， CABEBA（SAS） ， AEBC， BC2AP， （3）存在这样的 m，m? 理由如下：作 DEAC 交 AP 延长线于 E，连接 BE， 由（2）同理可得 DEAC，EDBCAD45，AE2AP， 当 BD?t 时， BD?， 第 21页（共 23页） EDB45， 作 BFDE 于 F， BD?， DEDF， 点 E，F 重合， BED90， EBDEDB45， BEDEAC， 同（2）可证：CABEBA（SAS） ， BCAE2AP， 存在 m?，使得 BC2AP 24 （12 分）已知在平面直角坐标系 xOy 中，

33、点 A 是反比例函数 y? ? ?（x0）图象上的一 个动点，连结 AO，AO 的延长线交反比例函数 y? ? ?（k0，x0）的图象于点 B，过点 A 作 AEy 轴于点 E （1）如图 1，过点 B 作 BFx 轴，于点 F，连接 EF 若 k1，求证：四边形 AEFO 是平行四边形； 连结 BE，若 k4，求BOE 的面积 （2）如图 2，过点 E 作 EPAB，交反比例函数 y? ? ?（k0，x0）的图象于点 P，连 结 OP试探究：对于确定的实数 k，动点 A 在运动过程中，POE 的面积是否会发生变 第 22页（共 23页） 化？请说明理由 【解答】 （1）证明：设点 A 的坐标

34、为（a，? ?） ，则当点 k1 时，点 B 的坐标为（a， ? ? ?） ， AEOFa， AEy 轴， AEOF， 四边形 AEFO 是平行四边形； 解：过点 B 作 BDy 轴于点 D，如图 1， AEy 轴， AEBD， AEOBDO， ? ? ? ? ? ? ?， 当 k4 时， ? ? ? ? ? ? ? ?， 即? ? ? ? ?， SBOE2SAOE1； （2）不改变 理由如下： 过点 P 作 PHx 轴于点 H，PE 与 x 轴交于点 G， 第 23页（共 23页） 设点 A 的坐标为（a，? ?） ，点 P 的坐标为（b， ? ?） ， 则 AEa，OE? ? ?，PH? ? ?， 四边形 AEGO 是平行四边形， EAOEGO，AEOG， EGOPGH， EAOPGH， 又PHGAEO， AEOGHP， ? ?t ? ? tt， GHOHOGba， ? ? ? ? ? ? ? ， ? ? ? ? ? ? ?k0， 解得? ? ? ? ? ? ， a，b 异号，k0， ? ? ? ? ? ? ， SPOE? ? ? ?OE（b）? ? ? ? ? ? ?（b）? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， 对于确定的实数 k，动点 A 在运动过程中，POE 的面积不会发生变化