2021年辽宁省朝阳市中考数学试卷（学生版+解析版）.docx

1、第 1页（共 29页） 2021 年辽宁省朝阳市中考数学试卷年辽宁省朝阳市中考数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分。每小题给出的四个选项中，只分。每小题给出的四个选项中，只 有一个选项是正确的）有一个选项是正确的） 1 （3 分）在有理数 2，3，? ?，0 中，最小的数是（ ） A2B3C? ? D0 2 （3 分）如图所示的几何体是由 6 个大小相同的小立方块搭成的，它的左视图是（） ABCD 3 （3 分）下列运算正确的是（） Aa3+a3a6Ba2a3a6C （ab）2ab2D （a2）4a8 4 （3 分）

2、某校开展了以“爱我家乡”为主题的艺术活动，从九年级 5 个班收集到的艺术作 品数量（单位：件）分别为 48，50，47，44，50，则这组数据的中位数是（） A44B47C48D50 5 （3 分）一个不透明的口袋中有 4 个红球，6 个绿球，这些球除颜色外无其他差别，从口 袋中随机摸出 1 个球，则摸到绿球的概率是（） A ? ? B? ? C? ? D? ? 6 （3 分）将一副三角尺按如图所示的位置摆放在直尺上，则1 的度数为（） A45B65C75D85 7 （3 分）不等式4x12x+1 的解集，在数轴上表示正确的是（） AB CD 8 （3 分）如图，O 是坐标原点，点 B 在 x

3、 轴上，在OAB 中，AOAB5，OB6，点 A 第 2页（共 29页） 在反比例函数 y? ? ?（k0）图象上，则 k 的值（ ） A12B15C20D30 9 （3 分）如图，在菱形 ABCD 中，点 E，F 分别在 AB，CD 上，且 BE2AE，DF2CF， 点 G，H 分别是 AC 的三等分点，则 ?四边形 ?侨 ?菱形 ?tex 的值为（） A? ? B? ? C? ? D? ? 10 （3 分）如图，在正方形 ABCD 中，AB4，动点 M 从点 A 出发，以每秒 1 个单位长度 的速度沿射线 AB 运动，同时动点 N 从点 A 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿折线 AD

4、DCCB 运动，当点 N 运动到点 B 时，点 M，N 同时停止运动设AMN 的面积为 y， 运动时间为 x（s） ，则下列图象能大致反映 y 与 x 之间函数关系的是（） AB 第 3页（共 29页） CD 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11 （3 分）2020 年 9 月 1 日以来，教育部组织开展重点地区、重点行业、重点单位、重点 群体 “校园招聘服务” 专场招聘活动， 提供就业岗位 3420000 个， 促就业资源精准对接 数 据 3420000 用科学记数法表示为 12 （3 分）因式分解：3am2+12

5、an2 13 （3 分）如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小等边三角形构成，向游戏板随机投掷一 枚飞镖（飞镖每次都落在游戏板上） ，则击中黑色区域的概率是 14 （3 分）已知O 的半径是 7，AB 是O 的弦，且 AB 的长为 7 ?，则弦 AB 所对的圆周 角的度数为 15 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（5，0） ，点 M 的坐标为（0，4） ， 过点 M 作 MNx 轴，点 P 在射线 MN 上，若MAP 为等腰三角形，则点 P 的坐标 为 16 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB1，BC2，连接 AC，过点 D 作 DC1AC 于点 C1，以 C1A，C1

6、D 为邻边作矩形 AA1DC1，连接 A1C1，交 AD 于点 O1，过点 D 作 DC2 A1C1于点 C2，交 AC 于点 M1，以 C2A1，C2D 为邻边作矩形 A1A2DC2，连接 A2C2，交 A1D 于点 O2，过点 D 作 DC3A2C2于点 C3，交 A1C1于点 M2；以 C3A2，C3D 为邻边作矩形 A2A3DC3， 连接 A3C3， 交 A2D 于点 O3， 过点 D 作 DC4A3C3于点 C4， 交 A2C2于点 M3 第 4页（共 29页） 若四边形 AO1C2M1的面积为 S1，四边形 A1O2C3M2的面积为 S2，四边形 A2O3C4M3的面 积为 S3四

7、边形 An1OnCn+1Mn的面积为 Sn，则 Sn （结果用含 正整数 n 的式子表示） 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，共小题，共 72 分分.解答应写出必要的步骤、文字说明或证明过程）解答应写出必要的步骤、文字说明或证明过程） 17 （5 分）先化简，再求值： （ ? ?t? ?1） ?t? ?t? ，其中 xtan60 18 （6 分）为了进一步丰富校园文体活动，学校准备购进一批篮球和足球，已知每个篮球 的进价比每个足球的进价多 25 元，用 2000 元购进篮球的数量是用 750 元购进足球数量 的 2 倍，求：每个篮球和足球的进价各多少元？ 19 （7 分） “

8、赏中华诗词，寻文化基因，品文学之美” ，某校对全体学生进行了古诗词知识 测试，将成绩分为一般、良好、优秀三个等级，从中随机抽取部分学生的测试成绩，根 据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题： （1）求本次抽样调查的人数； （2）在扇形统计图中，阴影部分对应的扇形圆心角的度数是； （3）将条形统计图补充完整； （4）该校共有 1500 名学生，根据抽样调查的结果，请你估计测试成绩达到优秀的学生 人数 第 5页（共 29页） 20 （7 分）为了迎接建党 100 周年，学校举办了“感党恩跟党走”主题社团活动，小颖喜 欢的社团有写作社团、书画社团、演讲社团、舞蹈社团（分别用字

9、母 A，B，C，D 依次 表示这四个社团） ，并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片正面，然后将 这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上 （1）小颖从中随机抽取一张卡片是舞蹈社团 D 的概率是； （2）小颖先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母不放回，再从剩下的卡片中随 机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母，请用列表法或画树状图法求出小颖抽取的两张 卡片中有一张是演讲社团 C 的概率 21 （7 分）一数学兴趣小组去测量一棵周围有围栏保护的古树的高，在 G 处放置一个小平 面镜，当一位同学站在 F 点时，恰好在小平面镜内看到这棵古树的顶端 A 的像，此时测 得 FG3m，这位同学向古树

10、方向前进了 9m 后到达点 D，在 D 处安置一高度为 1m 的测 角仪 CD， 此时测得树顶 A 的仰角为 30， 已知这位同学的眼睛与地面的距离 EF1.5m， 点 B， D， G， F 在同一水平直线上， 且 AB， CD， EF 均垂直于 BF， 求这棵古树 AB 的高 （小 平面镜的大小和厚度忽略不计，结果保留根号） 22 （8 分）如图，AB 是O 的直径，点 D 在O 上，且AOD90，点 C 是O 外一 点，分别连接 CA，CB、CD，CA 交O 于点 M，交 OD 于点 N，CB 的延长线交O 于 点 E，连接 AD，ME，且ACDE （1）求证：CD 是O 的切线； （2）

11、连接 DM，若O 的半径为 6，tanE? ? ?，求 DM 的长 第 6页（共 29页） 23 （10 分）某商场以每件 20 元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价， 又不高于 38 元，经市场调查发现：该商品每天的销售量 y（件）与每件售价（元）之间 符合一次函数关系，如图所示 （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）该商场销售这种商品要想每天获得 600 元的利润，每件商品的售价应定为多少元？ （3）设商场销售这种商品每天获利 w（元） ，当每件商品的售价定为多少元时，每天销 售利润最大？最大利润是多少？ 24 （10 分）如图，在 RtABC 中，ACBC，AC

12、B90，点 O 在线段 AB 上（点 O 不 与点 A，B 重合） ，且 OBkOA，点 M 是 AC 延长线上的一点，作射线 OM，将射线 OM 绕点 O 逆时针旋转 90，交射线 CB 于点 N （1）如图 1，当 k1 时，判断线段 OM 与 ON 的数量关系，并说明理由； （2）如图 2，当 k1 时，判断线段 OM 与 ON 的数量关系（用含 k 的式子表示） ，并证 明； （3）点 P 在射线 BC 上，若BON15，PNkAM（k1） ，且et ?e ?t? ? ，请直接 写出?e ?e的值（用含 k 的式子表示） 第 7页（共 29页） 25 （12 分）如图，在平面直角坐标系

13、中，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴分别交于点 A（1， 0）和点 B，与 y 轴交于点 C（0，3） （1）求抛物线的解析式及对称轴； （2）如图 1，点 D 与点 C 关于对称轴对称，点 P 在对称轴上，若BPD90，求点 P 的坐标； （3）点 M 是抛物线上位于对称轴右侧的点，点 N 在抛物线的对称轴上，当BMN 为等 边三角形时，请直接写出点 M 的横坐标 第 8页（共 29页） 2021 年辽宁省朝阳市中考数学试卷年辽宁省朝阳市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30

14、 分。每小题给出的四个选项中，只分。每小题给出的四个选项中，只 有一个选项是正确的）有一个选项是正确的） 1 （3 分）在有理数 2，3，? ?，0 中，最小的数是（ ） A2B3C? ? D0 【解答】解：30 ? ? 2， 在有理数 2，3，? ?，0 中，最小的数是3 故选：B 2 （3 分）如图所示的几何体是由 6 个大小相同的小立方块搭成的，它的左视图是（） ABCD 【解答】解：从左边看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形， 故选：A 3 （3 分）下列运算正确的是（） Aa3+a3a6Ba2a3a6C （ab）2ab2D （a2）4a8 【解答】解：Aa3+a32a3，

15、故本选项不符合题意； Ba2a3a5，故本选项不符合题意； C （ab）2a2b2，故本选项不符合题意； D （a2）4a8，故本选项符合题意； 故选：D 4 （3 分）某校开展了以“爱我家乡”为主题的艺术活动，从九年级 5 个班收集到的艺术作 品数量（单位：件）分别为 48，50，47，44，50，则这组数据的中位数是（） A44B47C48D50 【解答】解：将这五个数据从小到大排列后处在第 3 位的数是 48，因此中位数是 48； 第 9页（共 29页） 故选：C 5 （3 分）一个不透明的口袋中有 4 个红球，6 个绿球，这些球除颜色外无其他差别，从口 袋中随机摸出 1 个球，则摸到绿

16、球的概率是（） A ? ? B? ? C? ? D? ? 【解答】解：袋中装有 4 个红球，6 个绿球， 共有 10 个球， 摸到绿球的概率为： ? ? ? ? ?； 故选：D 6 （3 分）将一副三角尺按如图所示的位置摆放在直尺上，则1 的度数为（） A45B65C75D85 【解答】解：2+60+45180， 275 直尺的上下两边平行， 1275 故选：C 7 （3 分）不等式4x12x+1 的解集，在数轴上表示正确的是（） AB CD 【解答】解：不等式4x12x+1， 移项得：4x+2x1+1， 合并得：2x2， 解得：x1， 第 10页（共 29页） 数轴表示，如图所示： 故选：D

17、 8 （3 分）如图，O 是坐标原点，点 B 在 x 轴上，在OAB 中，AOAB5，OB6，点 A 在反比例函数 y? ? ?（k0）图象上，则 k 的值（ ） A12B15C20D30 【解答】解：过 A 点作 ACOB， AOAB，ACOB，OB6， OCBC3， 在 RtAOC 中，OA5， AC?t ?e?t ? ?， A（3，4） ， 把 A（3，4）代入 y? ? ?，可得 k12， 故选：A 9 （3 分）如图，在菱形 ABCD 中，点 E，F 分别在 AB，CD 上，且 BE2AE，DF2CF， 点 G，H 分别是 AC 的三等分点，则 ?四边形 ?侨 ?菱形 ?tex 的值

18、为（） 第 11页（共 29页） A? ? B? ? C? ? D? ? 【解答】解：BE2AE，DF2FC， ? t? ? ? ?， e x ? ? ? G、H 分别是 AC 的三等分点， ?侨 侨e ? ? ?， e ? ? ? ?， ? t? ? ?侨 侨e， EGBC ?侨 te ? ? ?t ? ? ?， 同理可得 HFAD， ?x ? ? ?， ?四边形 ?侨 ?菱形 ?tex ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 故选：A 10 （3 分）如图，在正方形 ABCD 中，AB4，动点 M 从点 A 出发，以每秒 1 个单位长度 的速度沿射线 AB 运动，同时动点 N 从点 A 出发

19、，以每秒 2 个单位长度的速度沿折线 AD DCCB 运动，当点 N 运动到点 B 时，点 M，N 同时停止运动设AMN 的面积为 y， 运动时间为 x（s） ，则下列图象能大致反映 y 与 x 之间函数关系的是（） 第 12页（共 29页） AB CD 【解答】解：当点 N 在 AD 上时，即 0 x2 AMx，AN2x， ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 此时二次项系数大于 0， 该部分函数图象开口向上， 当点 N 在 DC 上时，即 2x4， 此时底边 AMx，高 AD4， y? ? ? ? ? ?2x， 该部分图象为直线段， 当点 N 在 CB 上时，即 4x6 时， 第 13页（

20、共 29页） 此时底边 AMx，高 BN122x， y? ? ?t ? ?t ? ? ? ?， 10， 该部分函数图象开口向下， 故选：B 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11 （3 分）2020 年 9 月 1 日以来，教育部组织开展重点地区、重点行业、重点单位、重点 群体 “校园招聘服务” 专场招聘活动， 提供就业岗位 3420000 个， 促就业资源精准对接 数 据 3420000 用科学记数法表示为3.42106 【解答】解：数据 3420000 用科学记数法表示为 3.42106 故答案为：3.42106

21、12 （3 分）因式分解：3am2+12an23a（m+n） （mn） 【解答】解：原式3a（m2n2） 3a（m+n） （mn） 故答案为：3a（m+n） （mn） 13 （3 分）如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小等边三角形构成，向游戏板随机投掷一 枚飞镖（飞镖每次都落在游戏板上） ，则击中黑色区域的概率是 ? ? 【解答】解：总面积为 9 个小正方形的面积，其中阴影部分面积为 3 个小正方形的面 积， 飞镖落在阴影部分的概率是? ? ? ? ?， 第 14页（共 29页） 故答案为：? ? 14 （3 分）已知O 的半径是 7，AB 是O 的弦，且 AB 的长为 7 ?，则弦 AB 所对

22、的圆周 角的度数为60或 120 【解答】解：ACB 和ADB 为弦 AB 所对的圆周角，连接 OA、OB，如图， 过 O 点作 OHAB 于 H，则 AHBH? ? ?AB? ? ? ? ， 在 RtOAH 中，cosOAH? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， OAH30， OAOB， OBHOAH30， AOB120， ACB? ? ?AOB60， ADB+ACB180， ADB18060120， 即弦 AB 所对的圆周角的度数为 60或 120 故答案为 60或 120 15 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（5，0） ，点 M 的坐标为（0，4） ， 过点

23、M作MNx轴， 点P在射线MN上， 若MAP为等腰三角形， 则点P的坐标为（? ?， 4）或（ ?，4）或（10，4） 【解答】解：设点 P 的坐标为（x，4） ， 第 15页（共 29页） 分三种情况：PMPA， 点 A 的坐标为（5，0） ，点 M 的坐标为（0，4） ， PMx，PA? ?t ?， PMPA， x? ?t ?，解得：x? ? ?， 点 P 的坐标为（? ?，4） ； MPMA， 点 A 的坐标为（5，0） ，点 M 的坐标为（0，4） ， MPx，MA? ?， MPMA， x?， 点 P 的坐标为（ ?，4） ； AMAP， 点 A 的坐标为（5，0） ，点 M 的坐标为

24、（0，4） ， AP? ?t ?，MA? ?， AMAP， ? ?t ?，解得：x110，x20（舍去） ， 第 16页（共 29页） 点 P 的坐标为（10，4） ； 综上，点 P 的坐标为（? ?，4）或（ ?，4）或（10，4） 故答案为： （? ?，4）或（ ?，4）或（10，4） 16 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB1，BC2，连接 AC，过点 D 作 DC1AC 于点 C1，以 C1A，C1D 为邻边作矩形 AA1DC1，连接 A1C1，交 AD 于点 O1，过点 D 作 DC2 A1C1于点 C2，交 AC 于点 M1，以 C2A1，C2D 为邻边作矩形 A1A2DC

25、2，连接 A2C2，交 A1D 于点 O2，过点 D 作 DC3A2C2于点 C3，交 A1C1于点 M2；以 C3A2，C3D 为邻边作矩形 A2A3DC3， 连接 A3C3， 交 A2D 于点 O3， 过点 D 作 DC4A3C3于点 C4， 交 A2C2于点 M3 若四边形 AO1C2M1的面积为 S1，四边形 A1O2C3M2的面积为 S2，四边形 A2O3C4M3的面 积为 S3四边形 An1OnCn+1Mn的面积为 Sn，则 Sn ?t? ? （结果用含正整数 n 的 式子表示） 【解答】解：四边形 ABCD 是矩形， B90，ADBC，ADBC2，CDAB1， AC?t? te?

26、 ?， DC1ACABBC， DC1? ?t?te ?e ? ? ? ? ? ? ? ， 同理，DC2? ? ? ? DC1（? ? ? ）2， DC3（? ? ? ）3， ， 第 17页（共 29页） Dn（? ? ? ）n， xe? ee? ?tanACD? ?x ex ?2， CC1? ? ?DC1? ? ? ， tanCAD? xe? ?e? ? ex ?x ? ? ?， A1DAC12DC1? ? ? ? ， AM1AC1C1M12DC1t ? ?DC1? ? ? ?DC1? ? ? ? ， 同理，A1M2? ? ? ?DC2， A2M3? ? ? ?DC3， ， An1Mn? ?

27、? ?Dn， 四边形 AA1DC1是矩形， O1AO1DO1A1O1C11， 同理DC2A1C1A1DDC1， DC2? ?x?xe? ?e? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 在 RtDOC 中，O1C2?x?t xe?t ? ? ? ? ? ? ? ? ?DC2， 同理，O2C3? ? ?DC3， O3C4? ? ?DC4， ， OnCn+1? ? ?DCn+1， S1? ?四边形 ?e?t? ? ?xt?t ? ?xe? ? ? ?AM1DC1t ? ? ?O1C2DC2（? ? t ? ?） xe? ? ?xe? ? ? ? ?， 同理，S2? ? ?xt?t ? ?xe?

28、 ? ?xe? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， S3? ? ?xe? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， ， 第 18页（共 29页） Sn? ? ?xe? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?t? ? 故答案为：? ?t? ? 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，共小题，共 72 分分.解答应写出必要的步骤、文字说明或证明过程）解答应写出必要的步骤、文字说明或证明过程） 17 （5 分）先化简，再求值： （ ? ?t? ?1） ?t? ?t? ，其中 xtan60 【解答】解：原式? ?t? ?t? ? ?t? ?t? ? ?t? ?t? ? ?

29、t? ?t? ? ? ? xtan60?，代入得：原式? ? ? ?1? ? ? ? 18 （6 分）为了进一步丰富校园文体活动，学校准备购进一批篮球和足球，已知每个篮球 的进价比每个足球的进价多 25 元，用 2000 元购进篮球的数量是用 750 元购进足球数量 的 2 倍，求：每个篮球和足球的进价各多少元？ 【解答】解：设每个足球的进价是 x 元，则每个篮球的进价是（x+25）元， 依题意得：? ? ?2 ? ? ， 解得：x75， 经检验，x75 是原方程的解，且符合题意， x+2575+25100 答：每个足球的进价是 75 元，每个篮球的进价是 100 元 19 （7 分） “赏中

30、华诗词，寻文化基因，品文学之美” ，某校对全体学生进行了古诗词知识 测试，将成绩分为一般、良好、优秀三个等级，从中随机抽取部分学生的测试成绩，根 第 19页（共 29页） 据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题： （1）求本次抽样调查的人数； （2）在扇形统计图中，阴影部分对应的扇形圆心角的度数是90； （3）将条形统计图补充完整； （4）该校共有 1500 名学生，根据抽样调查的结果，请你估计测试成绩达到优秀的学生 人数 【解答】解： （1）总人数50 ? ? ?120（人） ； （2）阴影部分扇形的圆心角360 ? ? ?90， 故答案为：90； （3）优秀的人数为

31、：120305040（人） ， 形统计图如图所示： （4）测试成绩达到优秀的学生人数有：1500 ? ? ?500（人） ， 答：该校 1500 名学生中测试成绩达到优秀的学生有 500 人 20 （7 分）为了迎接建党 100 周年，学校举办了“感党恩跟党走”主题社团活动，小颖喜 欢的社团有写作社团、书画社团、演讲社团、舞蹈社团（分别用字母 A，B，C，D 依次 表示这四个社团） ，并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片正面，然后将 这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上 第 20页（共 29页） （1）小颖从中随机抽取一张卡片是舞蹈社团 D 的概率是 ? ? ； （2）小颖先从中随机

32、抽取一张卡片，记录下卡片上的字母不放回，再从剩下的卡片中随 机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母，请用列表法或画树状图法求出小颖抽取的两张 卡片中有一张是演讲社团 C 的概率 【解答】解： （1）共有 4 种可能出现的结果，其中是舞蹈社团 D 的有 1 种， 小颖从中随机抽取一张卡片是舞蹈社团 D 的概率是? ?， 故答案为：? ?； （2）用列表法表示所有可能出现的结果如下： 共有 12 种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同， 其中有一张是演讲社团 C 的有 6 种， 小颖抽取的两张卡片中有一张是演讲社团 C 的概率是 ? ? ? ? ? 21 （7 分）一数学兴趣小组去测量一棵周围有围

33、栏保护的古树的高，在 G 处放置一个小平 面镜，当一位同学站在 F 点时，恰好在小平面镜内看到这棵古树的顶端 A 的像，此时测 得 FG3m，这位同学向古树方向前进了 9m 后到达点 D，在 D 处安置一高度为 1m 的测 角仪 CD， 此时测得树顶 A 的仰角为 30， 已知这位同学的眼睛与地面的距离 EF1.5m， 点 B， D， G， F 在同一水平直线上， 且 AB， CD， EF 均垂直于 BF， 求这棵古树 AB 的高 （小 平面镜的大小和厚度忽略不计，结果保留根号） 【解答】解：如图，过点 C 作 CHAB 于点 H， 则 CHBD，BHCD1m， 第 21页（共 29页） 由题

34、意得：DF9m， DGDFFG6（m） ， 在 RtACH 中，ACH30， tanACH? ? e ?tan30? ? ? ， BDCH?AH， EFFB，ABFB， EFGABG90 由反射角等于入射角得EGFAGB， EFGABG， ? ?t ? 侨 t侨， 即 ? ? ? ? ?， 解得：AH（8+4 ?）m， ABAH+BH（8+4 ?）m， 即这棵古树的高 AB 为（8+4 ?）m 22 （8 分）如图，AB 是O 的直径，点 D 在O 上，且AOD90，点 C 是O 外一 点，分别连接 CA，CB、CD，CA 交O 于点 M，交 OD 于点 N，CB 的延长线交O 于 点 E，连

35、接 AD，ME，且ACDE （1）求证：CD 是O 的切线； （2）连接 DM，若O 的半径为 6，tanE? ? ?，求 DM 的长 第 22页（共 29页） 【解答】解： （1）ACDE，EBAC， BACACD， ABCD， ODCAOD90， 即 ODCD， CD 是O 的切线； （2）过点 D 作 DFAC 于 F， O 的半径为 6，tanE? ? ? ?tanACDtanOAN， ON? ? ?OA? ? ? ?62， DNODON624， CD3DN12， 在 RtCDN 中， CN?x? ex? ?4 ?， 由三角形的面积公式可得， CNDFDNCD， 即 4 ?DF412，

36、 DF? ? ? ? ， 又AMD? ? ?AOD? ? ? ?9045， 在 RtDFM 中， DM?DF? ? ? ? ? ? ? ? ? 23 （10 分）某商场以每件 20 元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价， 又不高于 38 元，经市场调查发现：该商品每天的销售量 y（件）与每件售价（元）之间 符合一次函数关系，如图所示 第 23页（共 29页） （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）该商场销售这种商品要想每天获得 600 元的利润，每件商品的售价应定为多少元？ （3）设商场销售这种商品每天获利 w（元） ，当每件商品的售价定为多少元时，每天销 售利润最大

37、？最大利润是多少？ 【解答】解： （1）设 y 与 x 之间的函数关系式为 ykx+b（k0） ， 由所给函数图象可知： ? 耀 ? ? ? 耀 ? ?， 解得 ? ?t ? 耀 ? ?， 故 y 与 x 的函数关系式为 y2x+120； （2）根据题意，得： （x20） （2x+120）600， 整理，得：x280 x+15000， 解得：x30 或 x50（不合题意，舍去） ， 答：每件商品的销售价应定为 30 元； （3）y2x+120， w（x20）y（x20） （2x+120） 2x2+160 x2400 2（x40）2+800， 当 x40 时，w最大800， 售价定为 40 元/

38、件时，每天最大利润 w800 元 24 （10 分）如图，在 RtABC 中，ACBC，ACB90，点 O 在线段 AB 上（点 O 不 与点 A，B 重合） ，且 OBkOA，点 M 是 AC 延长线上的一点，作射线 OM，将射线 OM 绕点 O 逆时针旋转 90，交射线 CB 于点 N （1）如图 1，当 k1 时，判断线段 OM 与 ON 的数量关系，并说明理由； 第 24页（共 29页） （2）如图 2，当 k1 时，判断线段 OM 与 ON 的数量关系（用含 k 的式子表示） ，并证 明； （3）点 P 在射线 BC 上，若BON15，PNkAM（k1） ，且et ?e ?t? ?

39、，请直接 写出?e ?e的值（用含 k 的式子表示） 【解答】解： （1）OMON， 如图 1， 作 ODAM 于 D，OECB 于 E， ADOMDOCEOOEN90， DOE90， ACBC，ACB90， AABC45， 在 RtAOD 中， ODOAsinAOAsin45? ? ? OA， 同理：OE? ? ? OB， OAOB， ODOE， DOE90， 第 25页（共 29页） DOM+MOE90， MON90， EON+MOE90， DOMEON， 在 RtDOM 和 RtEON 中， tx? ? ?x ? ? ?x?t ? ? ， DOMEON（ASA） ， OMON （2）如图

40、 2， 作 ODAM 于 D，OEBC 于 E， 由（1）知：OD? ? ? OA，OE? ? ? OB， ?x ? ? ? ?t ? ? ?， 由（1）知： DOMEON，MDONEO90， DOMEON， ?t ? ? ?x ? ? ? ?， ONkOM （3）如图 3， 第 26页（共 29页） 设 ACBCa， AB?a， OBkOA， OB? ? ?a，OA? ? ? ?a， OE? ? ? OB? ? ?a， NABCBON451530， EN? ? ? ?OE? ? ?a， CEOD? ? ? OA? ? ?a， NCCE+EN? ? ?a? ? ? ?a， 由（2）知：?t ?

41、 ? ? ?t ? ? ?，DOMEON， MN ?t ? ? ? ?， ?t ? ? ?t ?， PONAOM， PA45，AMON30， PEOE? ? ?a， PNPE+EN? ? ?a? ? ? ?a， 设 ADODx， DM?， 由 AD+DMAC+CM 得， （ ? ? ?）xAC+CM， x? ?t? ? （AC+CM） ?t? ? （AC? ?t? ? ?e）? ? ?AC， k1 ?e ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 第 27页（共 29页） ?e ?e ? ? ? ?t? 25 （12 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+bx

42、+c 与 x 轴分别交于点 A（1， 0）和点 B，与 y 轴交于点 C（0，3） （1）求抛物线的解析式及对称轴； （2）如图 1，点 D 与点 C 关于对称轴对称，点 P 在对称轴上，若BPD90，求点 P 的坐标； （3）点 M 是抛物线上位于对称轴右侧的点，点 N 在抛物线的对称轴上，当BMN 为等 边三角形时，请直接写出点 M 的横坐标 【解答】 解：（1） 把 A （1， 0） ， 点 C （0， 3） 的坐标代入 yx2+bx+c， 得到 ? ? ? t ? t 耀 ? ? ? ?， 解得 耀 ? ? ? ? ?， 抛物线的解析式为 yx2+2x+3，对称轴 x?t ? t? ?

43、1 （2）如图 1 中，连接 BD，设 BD 的中点 T，连接 PT，设 P（1，m） 点 D 与点 C 关于对称轴对称，C（0，3） ， D（2，3） ， B（3，0） ， 第 28页（共 29页） T（? ?， ? ?） ，BD? ?t ? ?， NPD90，DTTB， PT? ? ?BD? ? ? ， （1t ? ?） 2+（mt? ?） 2（ ? ? ）2， 解得 m1 或 2， P（1，1） ，或（2，1） （3）当点 M 在第一象限时，BMN 是等边三角形，过点 B 作 BTBN 交 NM 的延长线 于 T，设 N（1，t） ，设抛物线的对称轴交 x 轴于 E BMN 是等边三角形

44、， NMBNBM60， NBT90， MBT30，BT?BN， NMBMBT+BTM60， MBTBTM30， MBMTMN， NBE+TBJ90，TBJ+BTJ90， NBEBTJ， BENTJB90， BENTJB， ? ?t ? t? ? ? t? t? ?， BJ?t，TJ2 ?， 第 29页（共 29页） T（3?t，2 ?） ， NMMT， M（? ? ? ，? ? ? ） ， 点 M 在 yx2+2x+3 上， ? ? ? ?t（? ? ? ）2+2 ? ? ? ?3， 整理得，3t2+（4 ? ?2）t12+4 ? ?0， 解得 t2 ?（舍弃）或? ?t? ? ， M（?t ? ? ，? ?t? ? ） 如图 32 中，当点 M 在第四象限时，设 N（1，n） ，过点 B 作 BTBN 交 NM 的延长线 于 T 同法可得 T（3t?n，2 ?） ，M（?t ? ? ，?t? ? ? ） ， 则有?t? ? ? ?t（?t ? ? ）2+2 ?t ? ? ?3， 整理得，3n2+（24 ?）n124 ? ?0， 解得 n? ? ? ? （舍弃）或? ?t? ? ， M（1?，t? ?t? ? ） ， 综上所述，满足条件的点 M 的坐标为（?t ? ? ，? ?t? ? ）或（1?，t? ?t? ? ）